DERET TAYLOR DAN DERET MACLOURIN

DERET TAYLOR DAN
DERET MACLOUIN
DERET TAYLOR
Andaikan f dan semua turunannya 𝒇′ , 𝒇′′ , 𝒇′′′ , … berada di dalam selang [a, b].
MISALKAN : 𝒙𝟎 ∈ [𝒂, 𝒃]
Maka nilai-nilai x di sekitar 𝒙𝟎 dan x ∈ [𝒂, 𝒃],
f(x) dapat diperluas (diekspansi) ke dalam deret taylor :
𝒇 𝒙 = 𝒇 𝒙𝟎 +
𝒙−𝒙𝟎
𝟏!
′
𝒇 𝒙𝟎 +
𝒙−𝒙𝟎 𝟐 ′′
𝒇
𝟐!
𝒙𝟎 +…+
𝒙−𝒙𝟎 𝒎 (𝒎)
𝒇
𝒎!
Jika 𝒙 − 𝒙𝟎 = h
Maka :
𝒇 𝒙 = 𝒇 𝒙𝟎 +
𝒉 ′
𝒇
𝟏!
𝒙𝟎 +
𝒉𝟐 ′′
𝒇
𝟐!
𝒉𝒎 (𝒎)
𝒙𝟎 +…+ 𝒇
𝒎!
𝒙𝟎 + …
𝒙𝟎 + …
CONTOH 1 :
Diketahui sebuah fungsi f(x)=sin(x) di sekitaran x0=1.
Tentukan niai hampiran dengan menggunakan deret taylor!
Jawab :
f(x)
= sin (x)
f(1)
= 0,8415
f’(x) = cos (x)
f’(1) = 0,5403
f’’(x) = -sin (x)
f’’(1) = -0,8415
f’’’(x) = -cos (x)
f’’’(1) = -0,5403
f(4)
f(4)(1) = 0,8415
= sin (x)
𝒇 𝒙 = 𝒇 𝒙𝟎 +
𝒇 𝒙 = 𝒔𝒊𝒏 𝟏 +
𝒙−𝒙𝟎
𝟏!
𝒙−𝟏
𝟏!
𝒇′
𝒙𝟎 +
𝒄𝒐𝒔 𝟏 −
𝒇 𝒙 = 𝒔𝒊𝒏 𝟏 + 𝒉 𝒄𝒐𝒔 𝟏 −
𝒙−𝒙𝟎 𝟐 ′′
𝒇
𝟐!
𝒙−𝟏 𝟐
𝒔𝒊𝒏
𝟐!
𝒉𝟐
𝒔𝒊𝒏(𝟏)
𝟐
−
𝒙𝟎 +…+
𝟏 −
𝒉𝟑
𝒄𝒐𝒔
𝟔
𝒙−𝒙𝟎 𝒎 (𝒎)
𝒇
𝒎!
𝒙−𝟏 𝟑
𝒄𝒐𝒔
𝟑!
𝟏 +
𝟏 +
𝒉𝟒
𝒔𝒊𝒏
𝟐𝟒
𝒙𝟎 + …
𝒙−𝟏 𝟒
𝒔𝒊𝒏
𝟒!
𝟏 +
𝒉𝟓
𝒄𝒐𝒔
𝟏𝟐𝟎
𝟏 +
𝟏 +…
𝒙−𝟏 𝟓
𝒄𝒐𝒔
𝟓!
𝟏 +…
𝒇 𝒙 = 𝒔𝒊𝒏 𝟏 + 𝒉 𝒄𝒐𝒔 𝟏 −
Sin (1) = 0,8415
𝒉𝟐
𝒔𝒊𝒏(𝟏)
𝟐
−
𝒉𝟑
𝒄𝒐𝒔
𝟔
𝟏 +
𝒉𝟒
𝒔𝒊𝒏
𝟐𝟒
𝟏 +
𝒉𝟓
𝒄𝒐𝒔
𝟏𝟐𝟎
𝟏 +…
cos(1)= 0,5403
f(x) = 0,8415 +0,5403h – 0,4208h2 – 0,0901h3 +0,035h4 +0,0045h5
KASUS KHUSUS
Bila fungsi diperluas di sekitar x0=0, maka deretnya dinamakan deret
Maclaurin yang merupakan deret Taylor Baku.
CONTOH 1 :
Diketahui sebuah fungsi f(x)=sin(x) di sekitaran x0=0.
Tentukan nilai hampirannya dengan menggunakan deret Taylor!
Jawab :
f(x) = sin (x)
f(0) = sin (0) = 0
f’(x) = cos (x)
f’(0) = cos (0) = 1
f’’(x) = -sin (x)
f’’(0) = - sin (0) = 0
f’’’(x) = -cos (x)
f’’’(0) = - cos (0) = -1
f(4)
= sin (x)
f(4)(0) = sin (0) = 0
𝒇 𝒙 = 𝒇 𝒙𝟎 +
𝒙−𝒙𝟎
𝟏!
′
𝒇 𝒙𝟎 +
𝒙−𝒙𝟎 𝟐 ′′
𝒇
𝟐!
𝒙𝟎 +…+
𝒙−𝒙𝟎 𝒎 (𝒎)
𝒇
𝒎!
𝒙𝟎 + …
𝒙−𝒙𝟎
𝟏!
𝒇 𝒙 = 𝒇 𝒙𝟎 +
𝒙−𝟎
𝟏!
𝒇 𝒙 = 𝒔𝒊𝒏 𝟎 +
=
′
𝒇 𝒙𝟎 +
𝒄𝒐𝒔 0 −
𝑥
f x = sin x =
−
𝒙−0 𝟐
𝒔𝒊𝒏
𝟐!
𝑥3
3!
−
𝑥
𝒙−𝒙𝟎 𝟐 ′′
𝒇
𝟐!
𝑥3
6
+
𝒙𝟎 +…+
0 −
𝒙−𝒙𝟎 𝒎 (𝒎)
𝒇
𝒎!
𝒙−0 𝟑
𝒄𝒐𝒔
𝟑!
0 +
+
𝑥5
120
𝑥5
5!
𝒙𝟎 + …
𝒙−0 𝟒
𝒔𝒊𝒏
𝟒!
0 +
𝒙−0 𝟓
𝒄𝒐𝒔(𝟎)+…
𝟓!
CONTOH 2 :
Diketahui sebuah fungsi f(x) = cos (x) di sekitar x0 = 0.
Tentukan nilai hampirannya dengan menggunakan deret Taylor!
Jawab :
f(x) = cos (x)
f(0) = cos (0) = 1
f’(x) = -sin (x)
f’(0) = -sin (0) = 0
f’’(x) = -cos (x)
f’’(0) = -cos (0) = -1
f’’’(x) = sin (x)
f’’’(0) = sin (0) = 0
f(4) = cos (x)
f(4)(0) = cos (0) = 1
𝒇 𝒙 = 𝒇 𝒙𝟎 +
𝒙−𝒙𝟎
𝟏!
𝒇′
𝒙𝟎 +
𝒙−𝒙𝟎 𝟐 ′′
𝒇
𝟐!
𝒙𝟎 +…+
𝒙−𝒙𝟎 𝒎 (𝒎)
𝒇
𝒎!
𝒙𝟎 + …
𝒇 𝒙 = 𝒇 𝒙𝟎 +
𝒇 𝒙 = 𝑐𝑜𝑠 𝟎 −
=
𝒙−𝟎
𝟏!
1 −
𝒙−𝒙𝟎
𝟏!
𝒇′
𝒙𝟎 +
𝑠𝑖𝑛 0 −
𝑥2
2!
+
f x = sin x = 1 −
𝒙−𝒙𝟎 𝟐 ′′
𝒇
𝟐!
𝒙−0 𝟐
𝑐𝑜𝑠
𝟐!
𝑥4
4!
𝑥2
2
−
+
0 +
𝒙−0 𝟑
𝑠𝑖𝑛
𝟑!
𝑥6
6!
𝑥4
24
−
𝒙𝟎 +…+
𝑥6
720
0 −
𝒙−𝒙𝟎 𝒎 (𝒎)
𝒇
𝒎!
𝒙𝟎 + …
𝒙−0 𝟒
𝑐𝑜𝑠
𝟒!
𝒙−0 𝟓
𝒔𝒊𝒏(𝟎)+…
𝟓!
0 −
LATIHAN
1. Diketahui sebuah fungsi f(x) = ex di sekitar x0 = 0. untuk Etol = 0,00001
Tentukan nilai hampirannya dengan menggunakan deret Taylor!
2. Diketahui sebuah fungsi f(x) = ln (1+x) di sekitar x0 = 0. Untuk Etol = 0,05
Tentukan nilai hampirannya dengan menggunakan deret Taylor!
Untuk fungsi f(x) = ex
Turunannya adalah
f(x) = ex
f(0) = e0 = 1
f’(x) = ex
f’(0) = e0 = 1
f’’(x) = ex
f’’(0) = e0 = 1
f’’’(x) = ex
f’’’(0) = e0 = 1
f(4)
f(4)(0) = e0 = 1
= ex
Untuk fungsi f(x) = ln (1+x)
Turunannya adalah
f(x) = ln (1+x)
f’(x) =
f’’(x) =
f’’’(x) =
f(4)
f(0) = 0
𝟏
𝟏+𝒙
𝟏
(𝟏+𝒙)𝟐
f’(0) = 1
𝟐
(𝟏+𝒙)𝟑
f’’’(0) = 2
=−
𝟔
(𝟏+𝒙)𝟒
f’’(0) = -1
f(4)(0) = -6