3.5 MATERI-barisan-dan-deret aritmatika geometri

POLA BILANGAN, BARISAN DAN DERET

POLA BILANGAN
Adalah susunan bilangan yang memiliki aturan atau pola tertentu.
Contoh :
a. 1, 2, 3, 4,5, ….mempunyai pola bilangan ditambah satu dari bilangan
sebelumnya, dimulai dari 1
b. 0, 2, 4, 6, 8, ….mempunyai pola bilangan ditambah dua dari bilangan
sebelumnya, dimulai dari 0

BARISAN BILANGAN
Barisan bilangan adalah suatu urutan bilangan dengan pola tertentu. Masing-masing
bilangan dalam urutan tersebut disebut suku-suku barisan dan setiap suku
digabungkan dengan tanda koma(,).
Contoh:
1, 5, 9, 13, 17, 21, 25, 29,….
Angka 9 merupakan suku ketiga, 17 merupakan suku kelima. 25 merupakan suku
ketujuh
Secara umum ditulis : U1, U2, U3, …., Un , dengan U1 = suku pertama, U2 = suku
kedua, U3 = suku ketiga, Un = suku ke-n.
Contoh soal :
1. Tentukan tiga buah suku pertama dari barisan yang memiliki rumus suku
ke-n sebagai berikut :
a. Un = 2n – 1
b. Un = n2 + 2
Jawab :
a. Un = 2n – 1
U1 = 2.1 – 1 = 1
U2 = 2.2 – 1 = 3
U3 = 2.3 – 1 = 5. Jadi tiga suku pertama: 1, 3, 5
b. Un = n2 + 2
U1 = (1)2 + 2 = 3
U2 = (2)2 + 2 = 6
U3 = (3)2 + 2 = 11. Jadi tiga suku pertama : 3, 6, 11
2. Tentukan rumus suku ke-n untuk setiap barisan berikut :
a. 2, 5, 8, 11, 14, ….
b. 9, 7, 5, 3, 1, ….
Jawab :
a. 2, 5, 8, 11, 14, ….
2 = 3(1) – 1
5 = 3(1) – 1
8 = 3(1) – 1
11 = 3(1) – 1
14 = 3(1) – 1
Jadi rumus suku ke-n = Un = 3n – 1
b. 9, 7, 5, 3, 1, ….
9 = -2(1) + 11
1
7 = -2(1) + 11
5 = -2(1) + 11
3 = -2(1) + 11
1 = -2(1) + 11
Jadi rumus suku ke-n = Un = -2(n) – 1

DERET
Deret adalah penjumlahan dari suku-suku suatu barisan, secara umum ditulis
u1 + u2 + u3 + u4 + ….+ un

Notasi Sigma
Notasi sigma dilambangkan dengan

yang berarti penjumlahan. Secara umum
notasi sigma dapat didefinisikan sebagai berikut :
n
u1 + u2 + u3 + u4 + ….+ un =
u
i 1
i
, dibaca penjumlahan suku ui dimulai dari i = 1
sampai i = n
Contoh :
Tentukan notasi sigma untuk setiap deret berikut ini :
a. 1 + 2 + 3 + … + 10
b. 2 + 4 + 6 + … + 30
Jawab :
10
a. 1 + 2 + 3 + … + 10 =
i
i 1
15
b. 2 + 4 + 6 + … + 30 =
 2i
i 1
LATIHAN SOAL
1. Tentukan lima buah suku pertama pada barisan yang suku ke-n sebagai berikut :
a. Un = 2n + 5
b. Un = (-3)n
c. Un = 2n2 + 1
1 
d. Un =  
3
n
2. Tentukan rumus suku ke-n untuk setiap barisan berikut ini :
a. 3, 5, 7, 9, 11, ….
b. 6, 3, 0, -3, -6, ….
c.
1
, 1, 2, 4, 8, ….
2
d. 2, 0, -2, -4, -6,….
3. Tentukan notasi sigma untuk setiap deret berikut :
a. 3 + 6 + 9 + … + 60
b. 7 + 9 + 11 + …+ 33
2
c.
1 1 1
1
+ + + …+
2 3 4
100
d. 2 + 4 + 8 + …+ 1024

BARISAN DAN DERET ARITMATIKA
Barisan aritmatika adalah suatu barisan bilangan yang memiliki selisih dua bilangan
yang berurutan selalu tetap.
Rumus suku ke-n dari barisan aritmatika adalah sebagai berikut :
Un = a + (n – 1)b
Dimana :
Un = suku ke-n
a = suku awal
n = banyaknya suku
b = beda ( b = Un – Un-1)
Contoh :
Tentukan suku pertama, beda, suku kesepuluh dari barisan berikut ini :
a. 1, 4, 7, 10, ….
b. -2, 0, 2, 4, …
Jawab :
a. 1, 4, 7, 10, ….
a = 1, b = 3, U10 = 1 + ( 10 – 1).3
= 1 + 27 = 28
b. -2, 0, 2, 4, …
A = -2, b = 2 , U10 = -2 + ( 10 – 1)2
= -2 + 18 = 16
SOAL
1. Suku ketiga sebuah barisan aritmatika adalah 11 dan suku ketujuhnya adalah
19. Tentukan :
a. beda dan suku pertama
b. suku keduapuluh
c. suku ke-n
2. Diketahui sebuah barisan aritmatika : 2, -1, -4, -7, ….suku keberapa yang
nilainya -31 ?
3. Tentukan suku pertama, beda, suku ke-25 dan suku ke-n dari barisan
aritmatika berikut ini :
a. 6, 9, 12, 15,….
b. 17, 19, 21, 23, ….
4. Suku ke-4 suatu barisn aritmatika adalah -7 dan suku ke-10 adalah -25.
Tentukan :
a. beda dan suku pertama
b. suku ke-20
c. suku ke-n
d. suku yang nilai -115
3
5. Suku pertama suatu barisan aritmatika adalah 3
1
. Jika suku ke-10 adalah 8,
2
Tentukan :
a. beda
b. suku ke-30
c. suku ke-n
d. suku yang nilainya 53

JUMLAH N SUKU PERTAMA

Jumlah n suku pertama dari deret aritmatika ditentukan dengan rumus
Sn =
n
2a  (n  1)b atau S n  n a  U n 
2
2
Un = Sn – Sn-1
Keterangan :
Sn = Jumlah n suku pertama
n = banyaknya suku
a= suku awal/pertama
b = beda
Contoh :
 Diketahui deret aritmatika : 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + …. Tentukan :
a. Rumus suku ke –n
b. Rumus jumlah n suku pertama
c. Jumlah 50 suku pertama
Jawab :
a. 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + ….
a = 1, b = 2
Un = a + (n – 1)b
Un = 1 + ( n – 1)2
Un = 1 + 2n – 2
Un = 2n – 1
n
2a  (n  1)b
2
n
n
n
Sn = 2.1  ( n  1) 2 = 2  2n  2 = 2 n  = n2
2
2
2
b. Sn =
c. Sn = n2  S50 = (50)2 = 2500
LATIHAN SOAL
 Tentukan rumus jumlah n buah bilangan cacah pertama !
 Suku ke-2 suatu barisan aritmatika adalah -2 dan suku ke-7 adalah 8.
Tentukan :
a. beda dan suku pertama
4
b. Jumlah 20 suku pertama
c. Jumlan n suku pertama
 Tentukan jumlah 30 suku pertama dari deret aritmatika berikut ini !
a. 1 + 5 + 9 + 13 + …
b. 2 + 7 + 12 + 17 + …
c. 50 + 45 + 40 + 35 + …
d. -5 + (-10) + ( -15) + (-20) + ….
 Tentukan jumlah 50 buah bilangan asli pertama yang habis di bagi 3 !
 Sebuah pabrik memprodksi mobil, banyaknya produksi per bulan merupakan
deret aritmatika. Produksi pada bulan ke-3 adalah 150 unit dan produksi pada
bulan ke-6 adalah 225 unit. Tentukan :
a. Banyaknya produksi pada bulan pertama
b. Pertambahan produksi tiap bulan
c. Jumlah produksi pada tahun pertama
UJI KOMPETENSI
1. Suku ke- 10 dari barisan :8, 6, 4, 2, …. adalah ….
a. -8
b. -10
c. -12
d. -14
e. -16
2. Diketahui barisan aritmatika dengan U1 = 2 dan U7 = 20, maka U20 adalah ….
a. 50
b. 53
c. 56
d. 59
e. 62
3. Diketahui barisan aritmatika dengan U3 = 7 dan U11 = 47, maka U101 adalah….
a. 488
b. 491
c. 494
d. 497
e. 500
4. Suku ke-n dari barisan : 9, 8
1
1
, 8, 7 , 7, … adalah ….
2
2
1
( n  9)
2
1
( n  9)
b.
2
1
c. - ( n  9)
2
1
d. - ( n  9)
2
a.
5
e.
1
( n  9)
2
5. Diketahui barisan aritmatika : -7, -4, -1, 2, 5, ….Suku yang nilainya 38 adalah
suku ke ….
a. 15
b. 16
c. 17
d. 18
e. 19
6. Jumlah 100 buah bilangan asli pertama adalah….
a. 5.000
b. 5.025
c. 5.050
d. 5.075
e. 5.100
7. Diketahui deret aritmatika U1 = 3 dan U5 = -5, maka jumlah 10 suku pertama
adalah ….
a. -60
b. -50
c. -30
d. 50
e. 60
8. Jumlah deret aritmatika berikut : 200 + 190 + 180 + 170 + … + 90 adalah ….
a. 1.740
b. 1.750
c. 1.760
d. 1.770
e. 1.780
9. Jumlah n suku pertama suatu deret aritmatika adalah Sn =
1
(5n 2  7 n)
2
a. 80
b. 54
c. 36
d. 26
e. 24
10. Pertambahan hasil produksi mobil di Indonesia adalah deret hitung ( deret
aritmatika). Jika produksi pada bulan pertama adalah 150 unit dan pada bulan ke4 adalah 180 unit, jumlah produksi mobil di Indonesia pada tahun pertama adalah
… unit.
a. 160
b. 170
c. 2.440
d. 2.450
e. 2.460
Selamat mencoba
6

BARISAN DAN DERET GEOMETRI
Adalah suatu barisan yang memiliki perbandingan ( rasio ) antar dua buah suku
terdekat berturut-turut selalu tetap. Secara umum a, ar, ar2, ar3, …., arn-1
Rumus suku ke-n dari barisan geometri adalah
Un = a.rn-1
Keterangan : a = suku pertama
n = banyaknya suku
r = rasio  r 
Un
U n1
 Tentukan suku pertama, rasio, dan suku kedelapan dari barisan geometri berikut ini
2, 6, 18, 54, …
Jawab :
a = 2, r =
6
= 3, n = 8
2
Un = a.rn-1
U8 = 2.(3)8-1 = 2. (3)7 = 2.2.187 = 4.374
 Tentukan rumus suku ke-n dari barisan geometri 16, 8, 4, 2, …
a = 16, r =
1
2
1
Un = a.r
n-1
n
1
1 1
1
1
= 16.( )n-1 = 16. ( ) n .   = 16.   . 2 = 32.  
2
2 2
2
2
n
 Diketahui barisan geometri dengan suku ke-2 adalah 6 dan suku ke-8 adalah 384. Jika
r > 0 , Tentukan :
a. rasio dan suku pertama
b. rumus suku ke-n
c. suku yang nilainya 3.072
Jawab :
a. Un = a.rn-1
U2 = 6  ar = 6  a =
6
r
U8 = 384  ar7 = 384
6 7
384 6
. r = 384  6r6 = 384  r6 =
= r = 64  r = 2
r
6
a=
6
= 3, Jadi suku awal = 3 dan rasio = 2
r
b. Un = a.rn-1  Un = 3.2n-1  Un = 3.2n.2-1  Un =
3 n
.2
2
3 n
.2  Un = 3.072
2
3
2
3.072 = .2 n  2n = 3.072.
 2n = 2.048  2n = 211  n = 11
2
3
c. Un =
7
Jadi, suku yang nilainya 3.072 adalah suku ke-11

DERET GEOMETRI
Adalah jumlah suku-suku dari barisan geometri. Secara umum ditulis sebagai
berikut :
a + ar + ar2 + ar3 + … + arn-1
Rumus umum jumlah n suku pertama deret geometri :
1.
2.
a.(1  r n )
untuk r < 1
(1  r )
a(r n  1)
untuk r > 1
Sn 
(r  1)
Sn 
Contoh :
 Tentukan jumlah 7 suku pertama dari deret 1 + 2 + 4 + 8 + ….
Jawab :
a = 1, r = 2
1(128  1)
a(r n  1)
1(2 7  1)
 S7 
 S7 
= 127
Sn 
(2  1)
(r  1)
(2  1)
 Diketahui deret 3 + 32 + 33 + … + 3n mempunyai jumlah 363. Hitunglah n !
Jawab :
3 + 32 + 33 + … + 3 n
a = 3, r = 3, Sn = 363
Sn 
a(r n  1)
3(3n  1)
 363 
363 x 2 = 3(3n – 1)
(r  1)
(3  1)
363 x 2
 (3 n  1)  242 + 1 = 3n

3
= 243 = 3n  n = 5
 Suku ke-n dari barisan geometri adalah Un = 2 . Tentukan :
a. Jumlah 8 suku pertama
b. Rumus jumlah n suku pertama
Jawab :
a. Un = 2n  U1 = 21 = 2
U2 = 22 = 4
U3 = 23 = 8
2 + 4 + 8 + 16 + …
a = 2, r = 2, n = 8
n
Sn 
a(r n  1)
2(2 8  1)
2(256  1)
 S8 
 S8 
 S8 = 2.255 = 510
(r  1)
(2  1)
(2  1)
8
b. S n 
a(r n  1)
2(2 n  1)
 Sn 
 Sn = 2. ( 2n – 1)  Sn = 2.2n – 2 = 2n+1 – 2
(r  1)
(2  1)
SOAL LATIHAN
1. Tentukan suku pertama, rasio, dan rumus suku ke-n dari barisan geometri berikut :
a. 2,10, 50, 250,…
b. 1, 3, 9, 27, ….
c. 6, 3,
3 3
, ,…
2 4
2. Diketahui barisan geometri : 64, -32, 16, -8, .... Tentukan :
a. Rasio
b. rumus suku ke-n
c. suku yang nilainya
1
4
3. Diketahui suku ke-4 dari deret geometri adalah 24 dan suku ke-6 adalah 96.
Tentukan :
a. Rasio dan suku pertama
b. suku ke delapan
c. rumus suku ke-n
4. suku ke-2 dari barisan geometri adalah 2 dan suku ke -6 adalah
1
.Tentukan :
8
a. rasio dan suku pertama
b. suku ke-10
c. rumus suku ke-n
5. suku ke-3 dan suku ke-7 dari deret geometri adalah 1 dan
1
. Tentukan :
16
a. rasio dan suku pertama
b. jumlah 10 suku yang pertama
c. rumus jumlah n suku yang pertama
6. Tentukan jumlah 8 suku pertama dari deret berikut ini :
1
+ 1 + 2 + 4 + ....
2
4 8
b. 3 + 2 + + + ...
3 9
a.
7. Tentukan jumlah deret geometri dari 1 + 2 + 4 + 8 + ... + 512
8. Suku pertama deret geometri adalah 2.048. Jika rasio =
1
, Tentukan :
2
a. Jumlah 7 suku pertama
b. Rumus jumlah n suku pertama
9. Hitunglah n jika 1 + 2 + 4 + 8 + ... + 2n-1 = 127
10. Suku ke-2 dan ke-6 dari sebuah deret geometri adalah 16 dan 1.296. Tentukan :
a. rasio
b. suku pertama
9
c. jumlah 7 suku pertama
d. rumus jumlah n suku pertama

DERET GEOMETRI TAK HINGGA
Deret geometri tak hingga a + ar2 + ar3 + …akan mempunyai nilai jika
-1 < r < 1 ( nilai r terletak antara -1 dan 1)
Jumlah deret tak hingga dirumuskan sebagai berikut :
S~ =
a
1 r
Keterangan :
S~ = Jumlah deret tak hingga
a = suku awal
r = rasio
Contoh :
 Hitunglah jumlah tak hingga dari deret berikut :
1
+
2
1
b. 3 + 1 + +
3
a. 2 + 1 +
1
+…
4
1
+…
9
Jawab :
1 1
+ +…
2 4
1
a = 2, r =
2
a
2
2
S~ =
 S~ =
 S~ = = 4
1
1
1 r
1
2
2
a. 2 + 1 +
1 1
+ +…
3 9
1
a
a = 3, r =  S~ =
 S~ =
3
1 r
b. 3 + 1 +
3
1
1
3
 S~ =
3
 S~ = 4,5
2
3
 Jumlah suatu deret tak hingga adalah 4. Jika suku pertamanya adalah 2.
Tentukan rasio deret tersebut ¡
Jawab :
10
S~ = 4, a = 2  S~ =
a
2
1
 4=
4(1 – r) = 2  4 – 4r = 2  r =
1 r
1 r
2
 Sebuah bola dijatuhkan dari ketinggian 3 m. Setiap kali jatuh, bola memantul
2
lagi dengan ketinggian dari tinggi sebelumnya, demikian seterusnya sampai
3
bola berhenti. Hitunglah panjang lintasan yang ditempuh bola sampai berhenti
Jawab :
a. Lintasan turun
2
a = 3, r =
3
a
3
3
S~ =
 S~ =
 S~ =  S~ = 9 m
2
1
1 r
1
3
3
b. Lintasan turun
2
2
a=3x =2,r=
3
3
a
2
2
S~ =
 S~ =
 S~ =  S~ = 6 m
2
1
1 r
1
3
3
Jadi, panjang lintasan seluruhnya = 9 + 6 = 15 m
SOAL :
1. Hitunglah jumlah tak hingga dari deret geometri berikut ini :
1 1 1
a.
1+ + + +…
2 4 8
1 1
b.
3–1+ - +…
3 9
1
1
2. Jumlah deret geometri tak hingga adalah 4 . Jika rasionya adalah .
2
3
Tentukan suku pertamananya
3. Sebuah bola dijatuhkan dari ketinggian 4 m. Setiap kali jatuh,bola memantul
3
lagi dengan ketinggian dari tinggi sebelumnya,demikian seterusnya sampai
4
berhenti. Hitunglah panjang lintasan yang ditempuh bola sampai berhenti
11
UJI KOMPETENSI
Pilihlah salah satu jawaban yang paling tepat untuk setiap soal berikut ini !
1. Suku ke-7 dari barisan aritmatika 3, -6, 12, -24, … adalah ….
a. -192
b. -128
c. -64
d. 128
e. 192
2. Diketahui barisan geometri dengan U3 = 2 dan U8 =
1
untuk r > 0, maka U6 adalah
16
….
a. 1
b.
c.
d.
e.
1
2
1
4
1
8
1
9
3. Diketahui barisan geometri dengan U2 = 3 dan U4 =
1
untuk r > 0, suku yang nilainya
3
1
adalah ….
243
a. 5
b. 6
c. 7
d. 8
e. 9
4. Jumlah 5 suku pertama dari deret 1 + 5 + 25 + 125 + … adalah ….
a. 156
b. 256
c. 406
d. 625
e. 781
5. Jumlah deret : 1 + 3 + 9 + … + 729 adalah ….
a. 1.093
b. 1.193
c. 1.293
12
d. 2.086
e. 2.186
6. Suku ke-n dari suatu deret geometri adalah Un = 2n-1. jumlah 7 suku pertama adalah …
a. 191
b. 127
c. 117
d. 63
e. 31
7. Jika jumlah n suku pertama dari suatu deret geometri adalah Sn = 3n – 1, U5 adalah….
a. 242
b. 162
c. 152
d. 132
e. 80
8. Jumlah deret geometri tak hingga 6 – 2 +
a. 4
2 2
- + … adalah ….
3 9
1
2
b. 5
c. 5
1
2
d. 6
e. 6
1
2
9. Jumlah suatu deret geometri tak hingga adalah 10. Jika suku pertamanya 5, maka
rasionya adalah ….
a. 2
b. 1
c.
d.
e.
1
2
1
3
1
4
10. Sebuah bola dijatuhkan dari ketinggian 8 m. Setiap kali jatuh, bola memantul lagi
Dengan ketinggian
3
dari tinggi sebelumnya, demikian seterusnya sampai bola
4
berhenti. Panjang lintasan yang ditempuh sampai bola berhenti adalah ….
a. 24
b. 32
c. 46
d. 56
e. 65
13
Selamat Mencoba
14