persamaan garis singgung lingkaran

KAPITA SELEKTA MATEMATIKA SMA
MATERI TENTANG
“LINGKARAN”
NAMA KELOMPOK :
ASKA MUTA YULIANI
(09320017 )
AYU DWI ASNANTIA
( 09320042 )
INDAH YUNIAWATI KHAIRIAH ( 09320046 )
KELAS 3A
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH MALANG
2010
1
DAFTAR ISI
DAFTAR ISI ...................................................................................................................... 2
A. PERSAMAAN LINGKARAN .............................................................................. 3
1. Definisi Lingkaran ........................................................................................... 3
2. Jarak dua titik ................................................................................................... 3
3. Persamaan Lingkaran dengan Pusat O(0,0) dan jari – jari r ............................. 4
4. Persamaan Lingkaran dengan Pusat M(a,b) dan jari – jari r ............................ 5
5. Bentuk Umum Persamaan Lingkaran .............................................................. 7
B. PERSAMAAN GARIS SINGGUNG PADA LINGKARAN ............................... 9
1. Definisi Garis Singgung .................................................................................... 9
2. Persamaan Garis Singgung Melalui Satu titik pada Lingkaran ....................... 10
3. Persamaan Garis Singgung Bergradien m ....................................................... 11
4. Persamaan Garis Singgung Melalui Titik di Luar Lingkaran .......................... 11
C. HUBUNGAN GARIS DENGAN LINGKARAN ................................................. 13
D. HUBUNGAN ANTAR LINGKARAN ................................................................. 16
KUMPULAN SOAL – SOAL ........................................................................................... 19
DAFTAR PUSTAKA ........................................................................................................ 21
2
A. PERSAMAAN LINGKARAN
C
1. Definisi Lingkaran
Perhatikan gambar lingkaran di samping!
Sebuah lingkaran mempunyai beberapa unsure,
diantaranya jari – jari dan pusat lingkaran .
O merupakan titik pusat.
OA, OB , dan OC adalah jari – jari .
O
Jari – jari (r) pada lingkaran memiliki panjang
yang sama. Sehingga, OA = OB = OC
Dengan demikian, kita dapat menyimpulkan bahwa :
A
Lingkaran adalah tempat kedudukan titik – titik
(himpunan titik) yang jaraknya terhadap satu titik tertentu
adalah sama ( konstan ) .
Titik tertentu disebut pusat lingkaran,dan jarak konstan disebut jari – jari
lingkaran.
2. Jarak Dua Titik
Sebelum memasuki persamaan lingkaran, diperlukan penguasaan terlebih
dahulu mengenai jarak dua titik. Dengan menggunakan Theorema
Phytagoras, kita dapat menemukan jarak antara dua titik (d) yaitu dengan
pemisalan titik A (x1,y1) dan B (x2,y2,) .
y
B(x2,y2)
A(x1,y1)
0
C
x
Pada segitiga ABC di atas, berlaku :
𝑨𝑩² = 𝑨𝑪² + 𝑩𝑪²
𝑨𝑩² = (𝒙𝟐 − 𝒙𝟏 )𝟐 + (𝒚𝟐 − 𝒚𝟏 )²
𝑨𝑩 = √(𝒙𝟐 − 𝒙𝟏 )𝟐 + (𝒚𝟐 − 𝒚𝟏 )𝟐
Dengan menggunakan definisi lingkaran dan mencari jarak antara dua titik
tersebut, diharapkan siswa dapat menemukan rumus persamaan lingkaran dengan
pusat O(0,0) dan jari – jarinya r.
3
B
3. Persamaan Lingkaran dengan Pusat O(0,0) dan Jari-jari r
Y
P(x0,y0)
O
Misalkan titik P(x0,y0)
lingkaran, maka:
X
adalah sembarang titik yang terletak pada
𝑶𝑷 = 𝒓
√(𝒙𝟎 − 𝟎)𝟐 + (𝒚𝟎 − 𝟎)𝟐 = 𝒓
(𝒙𝟎 − 𝟎)𝟐 + (𝒚𝟎 − 𝟎)𝟐 = 𝒓𝟐
𝒙 𝟎 𝟐 + 𝒚𝟎 𝟐 = 𝒓 𝟐
Untuk memudahkan penulisan rumus, kita dapat menghilangkan indeks 0
pada x0 dan y0, sebab maknanya akan sama saja. Sehingga akan menjadi 𝑥 2 +
𝑦2 = 𝑟 2.
Jadi , persamaan lingkaran dengan pusat O(0, 0) dan jari-jari r adalah :
𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝒓𝟐
4
 Contoh Soal Persamaan Lingkaran dengan Pusat O(0,0) dan Jari –
jari r
 Tentukan persamaan lingkaran dengan pusat O(0,0) dengan jari –
jari:
a. 5
b. 10
c. 8
Jawab :
a. 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝟐𝟓
b. 𝑥 2 + 𝑦 2 = 100
c. 𝑥 2 + 𝑦 2 = 64
 Tentukan panjang jari – jari lingkaran apabila diketahui
persamaannya :
a. 𝑥 2 + 𝑦 2 = 12
b. 𝑥 2 + 𝑦 2 = 49
Jawab :
a. 𝑟 = √12 = 2√3
b. 𝑟 = √49 = 7
4. Persamaan Lingkaran dengan Pusat M(a,b) dan Jari-jari r
Y
P ( x0,y0 )
M (a,b)
X
O
Jarak MP = r = jari –jari. Titik M (a,b) adalah pusat lingkaran. Andaikata P
(x0,y0) adalah titik yang terletak pada lingkaran, maka dengan
menggunakan definisi lingkaran didapat :
5
𝑴𝑷 = 𝒓
√(𝒙𝟎 − 𝒂)𝟐 + (𝒚𝟎 − 𝒃)𝟐 = 𝒓
(𝒙𝟎 − 𝒂)𝟐 + (𝒚𝟎 − 𝒃)𝟐 = 𝒓𝟐
Dengan menghilangkan indeks 0, maka didapat : (𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2 = 𝑟 2
Jadi, persamaan Lingkaran dengan pusat M (a,b) dan jari – jari r adalah :
(𝒙 − 𝒂)𝟐 + (𝒚 − 𝒃)𝟐 = 𝒓𝟐
.
 Contoh Soal Persamaan Lingkaran dengan Pusat M(a,b) dan Jari –
jari r
 Tentukan persamaan lingkaran dengan pusat M(5,2) dan jari jari 4.
Jawab :
(𝑥 − 5)2 + (𝑦 − 2)2 = 42
𝑥 2 − 10𝑥 + 25 + 𝑦 2 − 4𝑦 + 4 = 16
𝑥 2 + 𝑦 2 − 10𝑥 − 4𝑦 + 25 + 4 − 16 = 0
𝑥 2 + 𝑦 2 − 10𝑥 − 4𝑦 + 13 = 0
 Tentukan pusat dan jari – jari lingkaran bila diketahui persamaan
lingkaran :
𝑥 2 + 𝑦 2 − 10𝑥 − 4𝑦 + 71 = 0
Jawab :
𝑥 2 + 𝑦 2 − 10𝑥 − 4𝑦 + 71 = 0
𝑥 2 − 10𝑥 + 52 + 𝑦 2 − 4𝑦 + 22 − 52 − 22 = 71
(𝑥 − 5)2 + (𝑦 − 2)2 = 71 + 25 + 4
(𝑥 − 5)2 + (𝑦 − 2)2 = 100
Jadi, pusat lingkaran (5,2) dan jari – jari lingkaran 10
6
5. Bentuk Umum Persamaan Lingkaran
𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝑨𝒙 + 𝑩𝒚 + 𝑪 = 𝟎
Dengan menggunakan persamaan lingkaran dalam bentuk umum, siswa
dapat menemukan pusat dan jari – jari lingkaran, dengan cara sebagai
berikut :
Persamaan Lingkaran
𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝑨𝒙 + 𝑩𝒚 + 𝑪 = 𝟎
𝟏
𝟏
𝟏
𝟏
𝒙𝟐 + 𝑨𝒙 + ( 𝑨) ² + 𝒚𝟐 + 𝑩𝒚 + ( 𝑩) ² + 𝑪 − ( 𝑨) ² − ( 𝑩) ² = 𝟎
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
1
1 2
1
1
(𝑥 + 𝐴)2 + (𝑦 + 𝐵) = 𝐴2 + 𝐵 2 − 𝐶
2
2
4
4
Dari bentuk terakhir ini, siswa dapat menentukan pusat dan jari – jari
lingkaran. Sehingga, didapat rumus untuk pusat lingkaran adalah
𝟏
𝟏
𝟏
𝟏
𝑷 (− 𝟐 𝑨, − 𝟐 𝑩) dan jari – jari lingkaran 𝑹 = √𝟒 𝑨𝟐 + 𝟒 𝑩𝟐 − 𝑪
1
1
𝑅 = −√4 𝐴2 + 4 𝐵 2 − 𝐶
tidak diambil, karena jari – jari lingkaran
selalu positif.
 Contoh Soal .
Tentukan pusat dan jari – jari lingkaran jika persamaan lingkarannya
adalah :
a. 𝑥 2 + 𝑦 2 − 10𝑥 + 8𝑦 − 23 = 0
b. 𝑥 2 + 𝑦 2 − 10𝑦 − 24 = 0
Jawab :
a. 𝐴 = −10, 𝐵 = 8 𝑑𝑎𝑛 𝐶 = −23
1
1
𝑃𝑢𝑠𝑎𝑡 𝑙𝑖𝑛𝑔𝑘𝑎𝑟𝑎𝑛 𝑃 = (− 𝐴, − 𝐵) = (5, −4)
2
2
1
1
𝑗𝑎𝑟𝑖 − 𝑗𝑎𝑟𝑖 𝑙𝑖𝑛𝑔𝑎𝑘𝑟𝑎𝑛 𝑅 = √ 𝐴2 + 𝐵 2 − 𝐶
4
4
7
1
1
𝑅 = √4 (−10)2 + 4 8 + 23
= √25 + 16 + 23
= √64 = 8
b. 𝐴 = 0, 𝐵 = −10, 𝑑𝑎𝑛 𝐶 = −24
1
1
𝑃𝑢𝑠𝑎𝑡 𝐿𝑖𝑛𝑔𝑘𝑎𝑟𝑎𝑛 𝑃 = (− 𝐴, − 𝐵) = (0,5)
2
2
1
1
𝐽𝑎𝑟𝑖 − 𝑗𝑎𝑟𝑖 𝐿𝑖𝑛𝑔𝑘𝑎𝑟𝑎𝑛 𝑅 = √ 𝐴2 + 𝐵 2 − 𝐶
4
4
=
1
1
√ 02 + (−10)2 + 24
4
4
= √0 + 25 + 24 = √49 = 7
 Kesimpulan yang dapat diperoleh adalah :
 Persamaan Lingkaran dengan Pusat O(0,0) dan jari – jari r adalah
𝑥2 + 𝑦2 = 𝑟2
 Persamaan Lingkaran dengan pusat M(a,b) dan jari jari r adalah
(𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2 = 𝑟 2
 Persamaan Lingkaran dengan bentuk Umum :
𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0
1
1
Memiliki pusat lingkaran 𝑃 (− 2 𝐴, − 2 𝐵)
1
1
Dan jari - jari 𝑅 = √4 𝐴2 + 4 𝐵 2 − 𝐶
8
B. PERSAMAAN GARIS SINGGUNG LINGKARAN
1. Definisi Garis Singgung
Garis singgung adalah garis yang memotong lingkaran tepat di satu
titik. Titik tersebut disebut titik singgung. Jari-jari lingkaran yang melalui
titik singgung selalu tegak lurus dengan garis singung. Perhatikan gambar
berikut!
g≡Garis Singgung
D=0
r
P(a,b
)
A(x1,y2
)
g ≡ Garis singgung
A(x1,Y1)
titik singgung
𝐴𝑃 ⊥ 𝑔
O(0,0)
9
Persamaan Garis singgung dapat dinyatakan dalam bentuk y = mx
+ c. Persamaan Garis singgung lingkaran dapat dibedakan dalam tiga jenis
seperti digambarkan berikut ini:
T(X1,y1)
Y=mx
+c
99
Garis singgung melalui satu titik pada lingkaran
Y=m+c
2
Y=m+c
1
Garis singgung bergradien m
9
Y=m2x+c2
Y=m1x+c1
R(x1,y1)
Garis singgung melalui satu titik di luar lingkaran
2. Persamaan Garis Singgung Melalui Satu titik pada Lingkaran
Rumus Persamaan Garis Singgung ini dapat dirangkum sebagai berikut:
Persamaan Lingkaran
𝑥2 + 𝑦2 = 𝑟2
(𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2 = 𝑟 2
𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0
Persamaan Garis Singgung
𝑥𝑥1 + 𝑦𝑦1 = 𝑟 2
(𝑥 − 𝑎)(𝑥1 − 𝑎) + (𝑦 − 𝑏)(𝑦1
− 𝑏) = 𝑟 2
1
𝑥𝑥1 + 𝑦𝑦1 + 𝐴(𝑥 + 𝑥1 )
2
1
+ 𝐵(𝑦 + 𝑦1 ) + 𝐶
2
=0
Rumus di atas hanya berlaku untuk Persamaan Garis Singgung melalui
titik pada lingkaran.
 Contoh Soal .
Tentukan Persamaan Garis singgung Lingkaran 𝐿 ≡ 𝑥 2 + 𝑦 2 = 10 yang
melalui titik (-3,1).
Jawab :
Titik (-3,1)⇒ 𝑥1 = −3 dan 𝑦1 = 1, terletak pada 𝐿 ≡ 𝑥 2 + 𝑦 2 = 10
Persamaan garis singgungnya 𝑥𝑥1 + 𝑦𝑦1 = 𝑟 2
(−3)𝑥 + (1)𝑦 = 10
−3𝑥 + 𝑦 = 10
Jadi, persamaan garis singgung lingkaran 𝐿 ≡ 𝑥 2 + 𝑦 2 = 10 yang
melalui titik (-3,1) adalah −3 + 𝑦 = 10
10
3. Persamaan Garis Singgung Bergradien m
Rumus persamaan Garis singgung ini digunakan untuk mencari
persamaan garis singgung yang gradiennya diketahui, sejajar atau tegak
lurus dengan suatu garis atau unsure lain yang berhubungan dengan
gradient. Rumus-rumus yang dapat digunakan ialah
Persamaan Lingkaran
𝑥2 + 𝑦2 = 𝑟2
(𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2 = 𝑟 2
2
2
𝑥 + 𝑦 + 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0
Persamaan Garis Singgung
𝑦 = 𝑚𝑥 ± 𝑟√1 + 𝑚2
𝑦 − 𝑏 = 𝑚(𝑥 − 𝑎) ± 𝑟√1 + 𝑚2
Ubah
bentuk
persamaan
2
ke
(𝑥 − 𝑎) + (𝑦 − 𝑏)2 = 𝑟 2
gunakan
rumus
𝑦 − 𝑏 = 𝑚(𝑥 − 𝑎) ± 𝑟√1 + 𝑚2
4. Persamaan Garis Singgung Melalui Titik di Luar Lingkaran
Ada beberapa metode atau teknik untuk menyelesaikan masalah ini
antara lain: menggunakan rumus, menggunakan garis singgung bergradien
m.
a. Menggunakan rumus
Rumus persamaan garis singgung lingkaran melalui titik 𝐴(𝑥1 , 𝑦1 )
pada lingkaran
(𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2 = 𝑟 2 adalah 𝑦 − 𝑦1 =
𝑚(𝑥 − 𝑥1) adalah dengan
(𝑦1 − 𝑏)(𝑥1 − 𝑎) ± √(𝑦1 − 𝑏)2 + (𝑥1 − 𝑎)2 − 𝑟 2
𝑚=
(𝑥1 − 𝑎)2 − 𝑟 2
b. Menggunakan rumus persamaan garis singgung bergradien m
Teknik nini menggunakan kesamaan garis dari dua persamaan,
persamaan 1 (satu) adalah garis melalui 𝐴(𝑥1 , 𝑦1 ) dan persamaan 2
(dua) adalah persamaan garis singgng bergradien m.
Contoh :
Tentukan persamaan garis singgung lingkaran, 𝑥 2 + 𝑦 2 = 25 yang
malalui (7,1)
Jawab
Persamaan 1 : 𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1 )
𝑦 − 1 = 𝑚 (𝑥 − 7)
𝑦 = 𝑚𝑥 − 7𝑚 + 1
Persamaan 2 : 𝑦 = 𝑚𝑥 ± 𝑟√1 + 𝑚2
𝑦 = 𝑚𝑥 ± 5√1 + 𝑚2
11
𝑦 = 𝑚𝑥 ± 5√1 + 𝑚2 → 𝑦 = 𝑚𝑥 − 7𝑚 + 1
5√1 + 𝑚2 = 7𝑚 + 1
25(1 + 𝑚2 ) = 49𝑚2 − 14𝑚 + 1
25 + 25𝑚2 = 49𝑚2 − 14𝑚 + 1
24 − 14 − 24 = 0
(4𝑚 + 3)(3𝑚 − 4) = 0
3
4
𝑚1 = − 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑚2 =
4
3
Persamaan Garis singgung 1
𝑚1 = 𝑦 = 𝑚𝑥 − 7𝑚 + 1
3
3
𝑦 = − 4 𝑥 − 7 (− 4) + 1
4𝑦 = −3𝑥 + 21 + 4
3𝑥 + 4𝑦 = 25
Persamaan Garis singgung ke 2
𝑚2 = 𝑦 = 𝑚𝑥 − 7𝑚 + 1
4
4
𝑦 = 3 𝑥 − 7 (3) + 1
3𝑦 = 4𝑥 − 28 + 3
4𝑥 − 3𝑦 = 25
12
C. HUBUNGAN ANTARA GARIS DAN LINGKARAN
𝒍𝟑
Y
B
𝒍𝟏
A
P
0
X
C
𝒍𝟐
Misalnya diminta untuk menentukan sebuah titik sembarang di luar
lingkaran, misalnya titik P. Melalui titik P diminta untuk menggambar garis 𝑙1
yang memotong lingkaran di dua titik, yaitu di titik A dan titik B, garis 𝑙2 yang
memotong lingkaran di satu titik saja, yaitu titik C dan garis 𝑙3 yang tidak
memotong lingkaran. Sehingga posisi garis terhadap lingkaran ada 3 macam,
yaitu:
1. Garis Memotong Lingkaran pada Dua Titik yang Berbeda
B
A
D>0
garis memotong pada 2 titik yang berbeda
13
2. Garis Memotong Lingkaran pada Satu Titik Saja dan Ini Disebut
Garis Menyinggung Lingkaran
A
D= 0 garis menyinggung pada satu titik
3.
Garis Tidak Memotong Lingkaran Maupun Menyinggung Lingkaran
D < 0 maka garis tidak memotong maupun menyinggung
lingkaran
14
Posisi garis terhadap lingkaran dapat juga dilihat dari nilai diskriminan:
𝑫 = 𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄
1. Jika
D < 0 Garis Memotong Lingkaran pada Dua Titik yang Berbeda
D= 0 garis menyinggung pada satu titik
D>0 garis tidak memotong maupun menyinggung lingkaran
 Contoh Soal
Tentukan posisi garis
y = 𝟐𝒙 + 𝟑 𝒕𝒆𝒓𝒉𝒂𝒅𝒂𝒑 𝒍𝒊𝒏𝒈𝒌𝒂𝒓𝒂𝒏 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝟒𝟗!
Penyelesaian:
y = 2𝑥 + 3 subsitusi pada 𝑥 2 + 𝑦 2 = 49
𝑥 2 + (2𝑥 + 3)2 = 49
𝑥 2 + 4𝑥 2 + 12𝑥 + 9 = 49
5𝑥 2 + 12𝑥 − 40 = 0
𝐷 = 𝑏 2 − 4𝑎𝑐
=122 − 4(5)(40)
=944
D>0
Maka garis memotong pada dua titik yang berbeda
15
D. HUBUNGAN ANTAR LINGKARAN
Beberapa kemungkinan posisi dua lingkaran :
Pada gambar a lngkaran 𝒍𝟏 dan 𝒍𝟐 berpotongan di dua titik yang berlainan
-
Jika pusat lingkaran 𝑙2 berada di lingkaran 𝑙1, atau sebaliknya dikatakan 𝑙1
dan 𝑙2 berpotongan didalam. Perhatikan gambar a(i)
Jika pusat lingkaran 𝑙2 di luar lingkaran 𝑙1 atau sebaliknya ,dikatakan 𝑙1
dan 𝑙2 berpotongan di luar. Perhatikan gambar a(ii)
(b)
𝒍𝟏 dan 𝒍𝟐 bersinggungan
Pada gambar b (i) lingkaran 𝑙1 dan 𝑙2 bersinggungan di dalam sedangkan
gambar b(ii), lingkaran 𝑙1 dan 𝑙2 bersinggungan di luar
16
(c).
𝒍𝟏 dan 𝒍𝟐 Tidak berpotongan maupun bersinggungan
Pada gambar c(i), lingkaran 𝑙1 dan 𝑙2 tidak berpotongan maupun bersinggung
didalam
Pada gambar c(ii), lingkaran 𝑙1 dan 𝑙2 tidak berpotongan maupun bersinggung
diluar
Jika lingkaran 𝑙1 dan 𝑙2 tidak berpotongan maupun bersinggungan di kataka
𝑙1 dan 𝑙2 saling lepas.
Disamping posisi dua lingkaran yang telah dibicarakan di atas , masih ada dua
kemungkinan posisi dua lingkaran yang khusus yaitu:
 Dua lingkaran sepusat atau kosentris

Lingkaran 𝑙1 dikatakan sepusat dengan lingkaran 𝑙2 , jika pusat lingkaran
𝑙1 berimpit dengan pusat lingkaran 𝑙2 , tetapi jari – jari lingkaran 𝑙1 tidak
sama dengan jari – jari lingkaran 𝑙2
Dua lingkaran berimpit
Lingaran 𝑙1 dikatakan berimpit dengan lingkaran 𝑙2 jika pusat dan jari –
jari lingkaran 𝑙1 sama dengan pusat dan jari – jari lingkaran 𝑙2
 CONTOH SOAL
Tentukan Posisi dua Lingkaran berikut.
𝐿1 ≡ 𝑥 2 + 𝑦 2 = 9 𝑑𝑎𝑛 𝐿2 ≡ 𝑥 2 + 𝑦 2 − 6𝑥 − 6𝑦 + 9 = 0
17
Jawab :
𝐿1 ≡ 𝑥 2 + 𝑦 2 = 9
𝐿2 ≡ 𝑥 2 + 𝑦 2 − 6𝑥 − 6𝑦 + 9 = 0
6𝑥 + 6𝑦 − 18 = 0
𝑥+𝑦−3=0
𝒚 = −𝒙 + 𝟑
Substitusi 𝑦 = −𝑥 + 3 ke 𝑥 2 + 𝑦 2 − 9 = 0 diperoleh :
𝑥 2 + (−𝑥 + 3)2 − 9 = 0
𝑥 2 + 𝑥 2 − 6𝑥 + 9 − 9 = 0
2𝑥 2 − 6𝑥 = 0
𝑥 2 − 3𝑥 = 0
Nilai Diskriminan persamaan kuadrat 𝑥 2 − 3𝑥 = 0 adalah:
𝐷 = 𝑏 2 − 4𝑎𝑐
𝐷 = (−3)2 − 4(1)(0) = 9 > 0
𝑘𝑎𝑟𝑒𝑛𝑎 𝐷 > 0, 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝐿1 𝑑𝑎𝑛 𝐿2 𝑏𝑒𝑟𝑝𝑜𝑡𝑜𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑑𝑖 𝑑𝑢𝑎 𝑡𝑖𝑡𝑖𝑘 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑏𝑒𝑟𝑏𝑒𝑑𝑎
18
KUMPULAN SOAL – SOAL LINGKARAN
1. Tentukan persamaan lingkaran yang pusatnya O(0,0) dengan jari-jari
a. 3
b. 5√2
c. 7
d.√13
e. 2√7
2. Tentukan persamaan lingkaran yang memiliki pusat dan jari-jari sebagai
berikut:
a. pusat (5, 1) dan jari-jari 4
b. pusat (2, –3) dan jari-jari 12
c. pusat (–3, 4) dan jari-jari 9
d. pusat (–1, –5) dan jari-jari 3
3. Tentukan pusat dan jari-jari dari lingkaran jika persamaannya :
a. 𝑥 2 + 𝑦 2 − 8𝑥 − 2𝑦 − 8 = 0
b. 𝑥 2 + 𝑦 2 − 10𝑥 + 6𝑦 − 2 = 0
c. 𝑥 2 + 𝑦 2 − 10𝑥 − 56 = 0
d. 𝑥 2 + 𝑦 2 + 8𝑦 − 33 = 0
e. 𝑥 2 + 𝑦 2 = 18
f. 2𝑥 2 + 2𝑦 2 − 15𝑥 = 0
4. Tentukan persamaan lingkaran yang melalui titik O(0,0), pusatnya pada
garis x + 2y = 5, dan jari-jarinya 5.
5. Tentukan persamaan lingkaran yang menyinggung sumbu y dititik asal
dan melalui titik (6, –3).
6. Tentukan persamaan lingkaran yang menyinggung sumbu x, r = 2 dan
pusatnya pada garis 2x + y = 4.
7. Bagaimana Posisi :
a. Garis 𝑦 = 𝑥 − 5 terhadap lingkaran 𝑥 2 + 𝑦 2 − 6𝑥 − 6𝑦 = 0
b. Garis 𝑦 = 𝑥 + 5√2 terhadap lingkaran 𝑥 2 + 𝑦 2 = 25
c. Garis 𝑦 = −𝑥 − 5 terhadap lingkaran 𝑥 2 + 𝑦 2 − 4𝑥 + 2𝑦 − 4 = 0
8. Tentukan persamaan lingkaran yang melalui titik (2, - 1 ), (4,5), dan ( - 3, 2 ).
9. Tentukan pusat dan jari – jari lingkaran yang melalui titik – titik
(0,5),(12,0) dan titik pusat O.
10. Tentukan persamaan garis singgung yang melalui :
a. Titik (24, - 7) pada lingkaran 𝑥 2 + 𝑦 2 = 625
19
11. Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran 𝑥 2 + 𝑦 2 = 16 dan
mempunyai gradient 3!
12. Sebuah lingkaran berpusat pada O(0,0) dan berjari – jari 5. Tentukan
persamaan garis singgung pada lingkaran itu dan yang harus sejajar
dengan garis 𝑦 = 2𝑥 − 3
13. Tentukan Posisi dari dua Lingkaran berikut!
𝐿1 ≡ 𝑥 2 + 𝑦 2 − 2𝑥 − 4𝑦 + 1 = 0
𝑑𝑎𝑛 𝐿2 ≡ 𝑥 2 + 𝑦 2 − 8𝑥 − 12𝑦 + 43 = 0
20
DAFTAR PUSTAKA
Bird, John. 2002. Matematika Dasar Teori dan Aplikasi Praktis Edisi Ketiga.
Jakarta : Erlangga
Budiyono. 1984. Matematika Program Inti. Malang : Widia Duta
Wirodikromo, Sartono. 2007. Matematika Jilid 2 untuk SMA kelas XI Program
Ilmu Alam. Jakarta : Erlangga
http://matematikaict.files.wordpress.com.2009.03.pembelajaran-lingkaran-SMAdengan-geometri-analitik.html
21