(x – a) 2 +

HOME
STANDAR
KOMPETENSI
PETA
KONSEP
MATERI
CONTOH
SOAL
LATIHAN
SOAL
PROFIL
STANDAR KOMPETENSI
• Menentukan persamaan lingkaran
• Menentukan persamaan garis
singgung lingkaran
Peta konsep
lingkaran
persamaan garis
singgung lingkaran
persamaan lingkaran
Persamaan
lingkaran berpusat
di (0, 0) dan (a, b)
Menentukan Pusat dan
Jari-Jari Lingkaran
yang Persamaannya
Diketahui
Kedudukan titik
dan garis terhadap
lingkaran
persamaan garis
persamaan garis
singgung yang
singgung yang
melalui suatu titik
gradiennya
pada lingkaran
diketahui
Lingkaran
tempat kedudukan titik-titik
yang berjarak sama
terhadap suatu titik tetap.
Jarak yang sama itu disebut jari-jari
dan titik tetap itu disebut
pusat lingkaran
Sumber: www.psb-sma.org
PERSAMAAN LINGKARAN
Persamaan Lingkaran yang berpusat di o(0,0) dan
berjari-jari r
Y
P(x,y)
r
y
O
x
P’
Persamaan lingkaran dengan pusat O
dan jari-jari r adalah
Sumber: Wirodikromo,Sartonno.Matematika SMA kelas XI.Erlangga.Jakarta:2007.
X
Persamaan lingkaran yang berpusat di
A(a, b)dan berjari-jari di r
Y
P (x,y)
r
y-b
A (a,b)
g
P’
Persamaan lingkaran
dengan pusat A(a,b)
dan jari-jari r adalah
x-a
X
Sumber: Wirodikromo,Sartonno.Matematika SMA kelas XI.Erlangga.Jakarta:2007.
Menentukan Pusat dan Jari-Jari Lingkaran yang Persamaannya
Diketahui
Sumber: Soedyarto,Nugroho.Matematika jilid 2 untuk SMA dan MA kelas XI
program IPA .DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL.Jakarta:2008.
Posisi suatu titik terhadap lingkaran
a. Posisi kedudukan titik P(a,b) terhadap lingkaran L ≡
dapat dirumuskan sebagai berikut:
1. Titik P(a,b) terletak di dalam lingkaran L ↔ a2 + b2 < r2
Y
r
O
P(a,b)
●
X
Sumber: Wirodikromo,Sartonno.Matematika SMA kelas XI.Erlangga.Jakarta:2007.
2. Titik P(a,b) terletak pada lingkaran L ↔ a2 +
b2 = r2
Y
P(a,b)
●
r
O
X
Sumber: Wirodikromo,Sartonno.Matematika SMA kelas XI.Erlangga.Jakarta:2007.
3. Titik P(a,b) terletak di luar lingkaran L ↔ a2 +
b2 > r2
Y
P(a,b)
●
r
O
X
Sumber: Wirodikromo,Sartonno.Matematika SMA kelas XI.Erlangga.Jakarta:2007.
b. Posisi suatu kedudukan titik P(h,k) terhadap
lingkaran L ≡
sebagai berikut:
1. Titik P(a,b) terletak di
dalam lingkaran L ↔ (xa)2 + (k-b)2 < r2
Y
A(a,b) ● r
●
P(h,k)
O
2. Titik P(a,b) terletak
pada lingkaran L ↔ (xa)2 + (k-b)2 = r2
Y
X
P(h,k)
●
A(a,b) ● r
O
X
Sumber: Wirodikromo,Sartonno.Matematika SMA kelas XI.Erlangga.Jakarta:2007.
3. Titik P(a,b) terletak di
luar lingkaran L ↔ (xa)2 + (k-b)2 > r2
Y
P(h,k)
●
A(a,b) ● r
O
Sumber: Wirodikromo,Sartonno.Matematika SMA kelas XI.Erlangga.Jakarta:2007.
X
Posisi garis y=mx + n terhadap suatu
lingkaran
Sumber: Soedyarto,Nugroho.Matematika jilid 2 untuk SMA dan MA kelas XI
program IPA .DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL.Jakarta:2008.
(a,b)
k
y= mx + n
k
y= mx + n
(a,b)
Sumber: Soedyarto,Nugroho.Matematika jilid 2 untuk SMA dan MA kelas XI
program IPA .DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL.Jakarta:2008.
(a,b)
y= mx + n
k
Sumber: Soedyarto,Nugroho.Matematika jilid 2 untuk SMA dan MA kelas XI
program IPA .DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL.Jakarta:2008.
PERSAMAAN GARIS SINGGUNG
LINGKARAN
• Garis Singgung Melalui Titik pada Lingkaran
Misalkan titik P(x1,y1) terletak pada lingkaran x2 + y2 = r2. Gradien
garis OP adalah mOP = . Jika P merupakan titik singgung, dan l
merupakan garis singgungnya, maka gradien garis singgung
lingkaran tersebut adalah karena mOP . ml = -1. Dengan
demikian, garis yang melalui titik P dan bergradien adalah
y – y1
= ml (x – x1)
y – y1
=
(x – x1)
y1 (y – y1)
= -x1 (x – x1)
y1y – y12
= -x1x + x12
x1x + y1y
= x12 + y12
x1x + y1y
= r2
Sumber: Soedyarto,Nugroho.Matematika jilid 2 untuk SMA dan MA kelas XI
program IPA .DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL.Jakarta:2008.
• Persamaan Garis Singgung Melalui Titik (x1 ,y1) pada
Lingkaran (x – a)2 + (y – b)2 = r2
- Gradien garis AP adalah mAP =
- Garis singgung l tegak lurus garis AP,
sehingga gradien f=garis singgung g adalah
ml = =- Persamaan garis singgung g adalah:
Sumber: Soedyarto,Nugroho.Matematika jilid 2 untuk SMA dan MA kelas XI
program IPA .DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL.Jakarta:2008.
Untuk P(x1, y1) terletak pada lingkaran (x – a)2 + (y – b)2 = r2,
maka:
Sumber: Soedyarto,Nugroho.Matematika jilid 2 untuk SMA dan MA kelas XI
program IPA .DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL.Jakarta:2008.
●
A(a,b)
Berikut gambar lingkarannya
●
Q
(x1 - a)
Sumber: Soedyarto,Nugroho.Matematika jilid 2 untuk SMA dan MA kelas XI
program IPA .DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL.Jakarta:2008.
P(x1 , y1)
(y1 - b)
• Persamaan Garis Singgung Melalui Titik Q(x1 ,y1) pada Lingkaran
Sumber: Soedyarto,Nugroho.Matematika jilid 2 untuk SMA dan MA kelas XI
program IPA .DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL.Jakarta:2008.
• Persamaan Garis Singgung Lingkaran dengan Gradien m
Sebuah garis yang mempunyai gradien m dan melalui titik (0,c)
dinyatakan dengan rumus y = mx + c. Jika garis tersebut
menyinggung lingkaran x2 + y2 = r 2, maka nilai c dapat diperoleh
dengan langkah-langkah sebagai berikut.
Substitusikan y = mx + c
x2 + y2 = r
x2 + (mx-c)2
=r
x2+m 2x2+ 2mcx + c2 = r
2
2
2
x2+m 2x2+ 2mcx + c2 - r2 = 0
(1+m 2)x2+ 2mcx + c2 - r 2 = 0
Sumber: Sukino.Matematika untuk SMA kelas XI.Erlangga.Jakarta:2006.
Persamaan kuadrat dalam x akan mempunyai satu akar real jika diskriminannya sama dengan
nol (D=0)
a = (1+m 2) ; b = 2mc ; c = c2 - r
2
D = b2 – 4ac = 0
(2mc)2 – 4 (1+m 2)( c2 - r 2) = 0
4m2c2 – 4 (c2 + m2c2 – r2 – m2r2) = 0
4m2c2 – 4c2 +4 m2c2 + 4 r2 + 4m2r2 = 0
– 4c2 + 4 r2 + 4m2r2= 0
– c2 + r2 + m2r2= 0
c2 = r2 + m2r2
c= ±r√m2+1
Substitusikan c= ±r√m2+1 ke persamaan garis y=mx+c, sehingga diperoleh
y=mx ±r√m2+1
Sumber: Sukino.Matematika untuk SMA kelas XI.Erlangga.Jakarta:2006.
•
Persamaan Garis Singgung Melalui Titik di Luar Lingkaran
Untuk menentukan garis singgung lingkaran melalui titik (x1, y1) di luar lingkaran, tidak terdapat
rumus yang baku. Untuk menentukannya dapat digunakan rumus garis polar:
L ≡ x2 + y2 = r2
titik P(x1, y1) di luar L
Garis-garis singgung di:
A(xA, yA)  xAx + yAy = r2
.................. (1)
B(xB, yB)  xBx + yBy = r2
.................. (2)
Sehingga persamaan garis;
(1): AP ≡ xAx1 + yAy1 = r2
.................. (3)
(2): BP ≡ xBx1 + yBy1 = r2
.................. (4)
(xA - xB)x1 + (yA - yB)y1 = 0
 =
=
.................. (5)
Sumber: Sukino.Matematika untuk SMA kelas XI.Erlangga.Jakarta:2006.
Gradien garis AB adalah mAB = yA – yB / xA - xB .................. (6)
Dari (5) dan (6):
mAB = - x1 /y1
Persamaan garis AB (garis polar) adalah y – yA = mAB(x - xA)
 y - yA = - x1 /y1 (x - xA)
 y1y - y1yA = - x1x + x1xA
 x1x + y1y = x1xA + y1yA ....................(7)
Dari (3) dan (7):
x1x + y1y = r2
Adalah persamaan garis polar lingkaran x2 + y2 = r2 dan titik (x1, y1) di luar lingkaran.
Persamaan garis polar dapat digunakan untuk menentukan persamaan garis singgung
yang melalui titik di luar lingkaran.
Sumber: Sukino.Matematika untuk SMA kelas XI.Erlangga.Jakarta:2006.
Perhatikan gambar dibawah ini:
Sumber: Sukino.Matematika untuk SMA kelas XI.Erlangga.Jakarta:2006.
Contoh 1
Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat
di O(0, 0) dan melalui titik P(-3, 1)
Jawab:
Lingkaran berpusat di O(0, 0), maka jari-jari r adalah
r=
=
sehingga r2 =
= 10
Persamaan lingkarannya: x2 + y2 = r2
Maka x2 + y2 = 10
Jadi persamaan lingkarannya adalah
x2 + y2 = 10
Sumber: Wirodikromo,Sartonno.Matematika SMA kelas XI.Erlangga.Jakarta:2007.
Contoh 2
Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat
di (2,3) dengan jari-jari 6
Jawab:
Pusat (2,3) a=2, b=3 ; r = 6
(x – a)2 + (y – b)2 = r2
(x – 2)2 + (y – 3)2 = 62
x2 - 4x + 4 + y2 - 6y + 9 = 36
x2 +y2 – 4x – 6y + 4 + 9 – 36 = 0
x2 +y2 – 4x – 6y – 23 = 0
Jadi persamaan lingkarannya adalah
x2 +y2 – 4x – 6y – 23 = 0
Sumber: Wirodikromo,Sartonno.Matematika SMA kelas XI.Erlangga.Jakarta:2007.
Contoh 3
Tentukan pusat dan jari-jari dari
lingkaran L ≡ x2 +y2 – 8x – 2y + 13 = 0
Jawab:
L ≡ x2 +y2 – 8x – 2y + 13 = 0
A = -8, B = -2, C = 13
• Pusat
=
• Jari-jari r =
=
=
=
=2
Jadi pusat lingkarannya dan jari-jarinya adalah
(-4, -1)
dan
2
Sumber: Wirodikromo,Sartonno.Matematika SMA kelas XI.Erlangga.Jakarta:2007.
Contoh 4
Tentukan persamaan garis singgung lingkaran L ≡ x2 +y2 = 12,
yang melalui titik (2,4)
Jawab:
Titik (2,4) → x1 = 2 dan y1 = 4, terletak pada L ≡ x2 +y2 = 12
Persamaan garis singgungnya:
x1x + y1y
= r2
(2)x + (4)y
= 12
2x + 4y
= 12
Jadi persamaan garis singgung lingkaran L ≡ x2 +y2 = 12 yang
melalui titik (2,4) adalah
2x + 4y = 12
Sumber: Sukino.Matematika untuk SMA kelas XI.Erlangga.Jakarta:2006.
Contoh 5
Tentukan persamaan garis singgung lingkaran
L ≡ (x-2)2 +(y+1)2 = 12 yang melalui titik (3,5)
Jawab:
Titik (3,5) → x1= 3 dan y1 = 5, terletak pada L ≡ (x-2)2 +(y+1)2 =
12
Persamaan garis singgungnya:
(x1 – a)(x – a) + (y1 – b)(y – b)
= r2
(3-2)(x-2) + (5+1)(y+1)
= 12
1(x-2) + 6(y+1)
= 12
x – 2 + 6y + 6
= 12
x + 6y + 4 – 12
=0
x + 6y – 8
=0
Jafi persamaan garis singgungnya adalah
x + 6y – 8 = 0
Sumber: Sukino.Matematika untuk SMA kelas XI.Erlangga.Jakarta:2006.
LATIHAN SOAL
1. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di O(0,0) dan melalui masingmasing titik nya sebagai berikut :
a. A(2,3)
b. G(-3,1)
c. I(4,4)
d. S(7,7)
e. R(6,9)
2. Tentukan persamaan tiap lingkaran berikut ini:
a. Pusat P(3,4), melalui titik O(2,3)
b. Pusat Z(-4,2), melalui titik I(0,2)
3. Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran pada masing-masing lingkaran
dibawah ini:
a. x2 + y2 – 6x + 2y – 24 = 0
b. x2 + y2 + 12x - y + 17 = 0
c. x2 + y2 - 10x + 4y – 31= 0
4. Tanpa menggambar pada bidang Cartesius, tentukan posisi titik P(a, b)
terhadap lingkaran L berikut ini:
a. P(2, 3) dan L ≡ x² + y² = 8
b. P(-1, 6) dan L ≡ x² + y² = 40
c. P(√3, -1) dan L ≡ x² + y² = 4
Sumber: Sukino.Matematika untuk SMA kelas XI.Erlangga.Jakarta:2006.
5. Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran L ≡ x² + y² + 4x +
8y – 21 = 0 melalui titik singgung A(2, 1)
6. Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran L ≡ x ² + y ² = 9,
jika mempunyai gradien 2
7. Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran L ≡ (x + 2)² + (y –
1)² = 4 yang tegak lurus garis l ≡ -3x + 4y – 1 = 0
8. Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran L ≡ (x – 1)² + (y –
4)² = 25 di titik singgung B(-3, 1)
9. Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran L ≡ x² + y² + 4x +
8y – 21 = 0 melalui titik singgung A(2, 1)
10.Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di (4, 3) dan berjari-jari
6
11.Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di A(5, -1), melalui titik
P(-1, 7)
12.Tentukan bentuk umum persamaan lingkaran yang berpusat di titik
A(3, 4) dan berjari-jari 3
Sumber: Sukino.Matematika untuk SMA kelas XI.Erlangga.Jakarta:2006.
PROFIL
APRIAN NURDIN
Kelas : 2i
NPM
: 112070086
TTL
: Kuningan, 16 Juni 1992
Sebagai pemateri pertama
IFA SHOLIHAH
Kelas : 2i
NPM
: 112070005
TTL
: 16 April 1993
Sebagai pemateri kedua
PROFIL
NURLAELA
Kelas : 2i
NPM
: 112070187
TTL
: Cirebon, 13 Maret 1995
Sebagai pemateri Ke 3
GINA PUTRI LESTARI
Kelas : 2j
NPM
: 112070027
TTL
: Cirebon, 24 April 1994
Sebagai pemateri Ke 4