Lingkaran - materi78

MAT 4
materi78.co.nr
Lingkaran
A.
PENDAHULUAN
Lingkaran adalah koordinat kedudukan titik-titik
yang memiliki jarak sama terhadap suatu titik
tertentu.
Persamaan lingkaran dapat dibentuk jika
diketahui beberapa variabel untuk mencari
variabel lain:
1) Titik pusat dan satu titik pada lingkaran
Jari-jari lingkaran adalah jarak lingkaran
terhadap titik pusat lingkaran yang besarnya
selalu sama terhadap titik dimanapun pada
lingkaran.
r
PERSAMAAN LINGKARAN
Persamaan lingkaran diturunkan dari teorema
Phytagoras.
A(x1, y1)
Pusat lingkaran
: (xp, yp)
Titik pada lingkaran : (x1, y1)
Jari-jari
A
y2
y2 – y1
B.
P(xp, yp)
r = √(x1 - xp)2 + (y1 - yp)2
y1
B
x2 – x1
x1
x2
AB2 = (x2 – x1)2 + (y2 – y1)2
Membentuk persamaan lingkaran
(x – xp)2 + (y – yp)2 = r2
2) Titik pusat dan menyinggung sumbu x
atau y
Persamaan dasar lingkaran adalah:
yp
P(xp, yp)
r
P(xp, yp)
xp
r
A(x, y)
Pusat lingkaran
: (xp, yp)
Titik pada lingkaran : (xp, 0) atau (0, yp)
Bentuk dasar
Jari-jari
(x – xp)2 + (y – yp)2 = r2
:r
Bentuk persamaan terbuka
2
Menyinggung sb y
r = |yp|
Pusat lingkaran : (xp, yp)
Jari-jari
Menyinggung sb x
2
x + y + Ax + By + C = 0
r = |xp|
Membentuk persamaan lingkaran
(x – xp)2 + (y – yp)2 = r2
3) Titik-titik ujung diameter
A = –2xp
B = –2yp
B(x2, y2)
C = xp2 + yp2 – r2
r
1
1
2
2
Pusat lingkaran : (– A, – B)
Jari-jari
:
√xp2
P
r
+ yp2 - C
A(x1, y1)
LINGKARAN
1
MAT 4
materi78.co.nr
Titik pada lingkaran : (x1, y1) dan (x2, y2)
1) Jika K < 0, maka titik berada di dalam
lingkaran.
Pusat lingkaran
1
1
2
2
2) Jika K = 0, maka titik berada pada lingkaran
(memenuhi persamaan lingkaran).
P( (x1 + x2) , (y1 + y2))
3) Jika K > 0, maka titik berada di luar lingkaran.
Jari-jari
r=
1
2
√(x2 - x1) + (y2 - y1)
2
Kedudukan garis terhadap lingkaran terdiri dari
tiga macam:
2
Membentuk persamaan lingkaran
(x – xp)2 + (y – yp)2 = r2
atau
garis
memotong
lingkaran
(x – x1)(x – x2) + (y – y1)(y – y2) = 0
4) Titik pusat dan persamaan garis singgung
lingkaran
1) Ubah agar persamaan lingkaran hanya
memuat satu variabel saja (x atau y), dengan
mensubstitusi persamaan garis ke persamaan
lingkaran.
r
P(xp, yp)
2) Persamaan lingkaran akan menjadi persamaan garis parabola dengan bentuk umum:
ax2 + bx + c = 0
: (xp, yp)
Titik pada lingkaran : tidak diketahui
3) Cari nilai determinan (D) persamaan tersebut:
Jari-jari
r=|
D = b2 – 4ac
a.xp+b.yp+c
√a2 +b2
|
Membentuk persamaan lingkaran
(x – xp)2 + (y – yp)2 = r2
C.
garis tidak
memotong
lingkaran
Kedudukan garis terhadap lingkaran dapat
ditentukan menggunakan nilai determinan.
ax + by + c = 0
Pusat lingkaran
garis
menyinggung
lingkaran
KEDUDUKAN TITIK DAN GARIS TERHADAP
LINGKARAN
Kedudukan titik terhadap lingkaran terdiri dari
tiga macam:
A(x1, y1)
titik di dalam
lingkaran
A(x1, y1)
titik pada
lingkaran
A(x1, y1)
titik di luar
lingkaran
Kedudukan titik terhadap lingkaran dapat
ditentukan menggunakan nilai kuasa.
Kuasa (K) adalah persamaan lingkaran yang telah
disubstitusi oleh koordinat titik yang diuji.
K = x12 + y12 + Ax1 + By1 + C
D.
a.
Jika D < 0, maka garis memotong
lingkaran (di dua titik perpotongan).
b.
Jika D = 0, maka garis menyinggung
lingkaran (di satu titik perpotongan).
c.
Jika D > 0, maka garis tidak memotong
lingkaran (tidak ada titik perpotongan).
PERSAMAAN GARIS SINGGUNG LINGKARAN
Garis singgung lingkaran adalah garis yang
memotong lingkaran hanya pada satu titik
perpotongan dan tegak lurus dengan jari-jari
lingkaran pada titik itu
Persamaan garis singgung lingkaran dapat
dibentuk jika diketahui persamaan lingkaran:
x2 + y2 + Ax + By + C = 0
1) Gradien garis singgung lingkaran
Membentuk persamaan garis singgung
y – yp = m(x – xp) ± r √m2 +1
(xp, yp) = pusat lingkaran
r = jari-jari
m = gradien garis singgung lingkaran
LINGKARAN
2
MAT 4
materi78.co.nr
2) Titik pada lingkaran/titik singgung (K = 0)
A(x1, y1)
Melalui satu titik pada lingkaran hanya dapat
dibuat satu buah garis singgung lingkaran
saja.
Membentuk persamaan garis singgung
(x – xp)(x1 – xp) + (y – yp)(y1 – yp) = r2
3) Titik di luar lingkaran (K > 0)
d
B(x1, y1)
Melalui satu titik di luar lingkaran dapat
dibuat dua buah garis singgung lingkaran.
Nilai gradien garis singgung dapat dicari
menggunakan persamaan:
y1 – yp = m(x1 – xp) ± r √m2 +1
Membentuk persamaan garis singgung
y – y1 = m(x – x1)
Panjang garis singgung dari titik di luar ke
titik singgung
d = √x12 + y12 + Ax1 + By1 + C
LINGKARAN
3