[PDF] Soal Lingkaran Dan Penyelesaiannya SMA Kelas XI Semester 1

1. Salah satu persamaan garis singgung lingkaran ( x – 2 )² + ( y + 1 )² =13 di titik yang
berabsis –1 adalah ….
a. 3x – 2y – 3 = 0
b. 3x – 2y – 5 = 0
c. 3x + 2y – 9 = 0
d. 3x + 2y + 9 = 0
e. 3x + 2y + 5 = 0
Penyelesaian
Langkah 1 :
Substitusi nilai x = –1 pada persamaan ( x – 2 )² + ( y + 1 )² =13,
sehingga didapat (–1 – 2 )² + ( y + 1 )² =13 :
(–1 – 2 )² + ( y + 1 )² =13 :
9 + ( y + 1 )² =13
( y + 1 )² =13 – 9
( y + 1 )² = 4
y+1=±2
y = –1 ± 2, sehingga didapat :
y1 = – 1 – 2
y2 = –1 + 2
y1 = –3
y2 = 1
didapat koordinat titik singgungnya adalah : ( –1,–3 ) dan ( –1,1 )
Langkah 2 :
Persamaan garis singgung pada umumnya “ membagi adil “ persamaan.
Dari persamaan ( x – 2 )² + ( y + 1 )² = 13 jika berbagi adil maka menjadi
persamaannya menjadi
( x – 2 ) ( x – 2 ) + ( y + 1 ) ( y + 1 ) = 13, kemudian substitusikan kedua koordinat
titik singgungnya.
( –1,–3 )
( –1,1 )
(–1 – 2 ) ( x – 2 ) + (–3 + 1 ) ( y + 1 ) = 13 (–1 – 2 ) ( x – 2 ) + ( 1 + 1 ) ( y + 1 ) = 13
–3 ( x – 2 ) + –2 ( y + 1 ) = 13
–3x + 6 – 2y – 2 = 13
–3 ( x – 2 ) + 2 ( y + 1 ) = 13
–3x + 6 + 2y + 2 = 13
–3x – 2y + 4 – 13 = 0
–3x – 2y – 9= 0
–3x + 2y – 13 + 8 = 0
–3x + 2y –5= 0
{kedua ruas dikalikan dengan (–)}, maka akan diperoleh :
3x + 2y + 9 = 0 atau 3x – 2y + 5 = 0 , keduanya merupakan jawaban yang benar tetapi
hanya jawaban D yang tersedia pada option .
2. Persamaan garis singgung lingkaran x² + y² – 2x – 6y – 7 = 0 di titik yang berabsis 5
adalah ….
a. 4x – y – 18 = 0
b. 4x – y + 4 = 0
c. 4x – y + 10 = 0
d. 4x + y – 4 = 0
e. 4x + y – 15 = 0
Penyelesaian
Langkah 1 :
Subtitusikan nilai x = 5 pada persamaan lingkaran untuk mendapatkan
tiksinggungnya.
x² + y² – 2x – 6y – 7 = 0
5² + y² – 2(5) – 6y – 7 = 0
y² – 6y – 7 + 25 – 10 = 0
y² – 6y + 8 = 0
(y–2)(y–4)=0
y =2
atau
y = 4, sehingga koordninat titik singgungnya adalah ( 5,2 ) dan
( 5,4 ).
Langkah 2 : Persamaan berbagi adil
x² + y² – 2x – 6y – 7 = 0
x.x1 + y.y1 – ( x + x1 ) – 3( y + y1 ) – 7 = 0
Langkah 2 :
Substitusikan kedua titik singgung pada persamaan x.x1 + y.y1 – ( x + x1 ) – 3( y +
y1 ) – 7 = 0
( 5,2 )
( 5,4 )
x.x1 + y.y1 – ( x + x1 ) – 3( y + y1 ) – 7 = 0 x.x1 + y.y1 – ( x + x1 ) – 3( y + y1 ) –
5x + 2y – ( x + 5 ) – 3( y + 2 ) – 7 = 0
5x + 2y – x – 5 – 3y – 6 – 7 = 0
4x – y – 18 = 0
7=0
5x + 4y – ( x + 5 ) – 3( y + 4 ) – 7 =
5x + 4y – x – 5 – 3y – 12 – 7 = 0
4x + y – 24 = 0
3. Persamaan lingkaran yang pusatnya terletak pada garis 2x – 4y – 4 = 0, serta
menyinggung smbu x negative dan sumbu y negative adalah ….
a. x² + y² + 4x + 4y + 4 = 0
b. x² + y² + 4x + 4y + 8 = 0
c. x² + y² + 2x + 2y + 4 = 0
d. x² + y² – 4x – 4y + 4 = 0
e. x² + y² – 2x – 2y + 4 = 0
Penyelesaian
Dari soal terdapat pernyataan “ menyinggung smbu x negative dan sumbu y negative
“, itu artinya lingkaran berada di kuadran III. Karena pusat lingkaran menyinggung
kedua sumbu maka nilai x dan y pastinya sama sehingga didapat persamaan x = y.
Substitusikan x = y pada persamaan garis 2x – 4y – 4 = 0, didapat :
2x – 4(x) – 4 = 0
–2x = 4
x = –2, karena x = y maka koordinat pusat lingkarannya adalah ( –2,–2 ). Karena
lingkaran menyinggung sumbu x dan sumbu y maka jari – jri lingkaran adalah 2.
Subtitusikan nilai yang didapat pada persamaan umum limgkaran :
( x – x1 )² + ( y – y1 )² = r²
( x + 2 )² + ( y + 2 )² = 2²
x² + y² + 4x + 4y + 4 = 0
4. Persamaan garis lingkaran yang berpusat di ( 1,4 ) dan menyinggung garis 3x – 4y – 2
= 0 adalah ….
a. x² + y² + 3x – 4y – 2 = 0
b. x² + y² – 4x – 6y – 3 = 0
c. x² + y² + 2x + 8y – 8 = 0
d. x² + y² – 2x – 8y + 8 = 0
e. x² + y² + 2x + 2y – 16 = 0
Penyelesaian
Karena pusat lingkarannya sudah diketahui maka nilai lain yang tinggal dicari adalah
jari – jarinya. Untuk menentukan nilai tersebut kita tinggal mencari jarak dari pusat
lingkaran ke garis singgungnya dengan menggunakan jarak titik ke garis yaitu :
d
=
ax1 + by1 + c
a 2 +b 2
Dari soal diketahui persamaan garisnya 3x – 4y – 2 = 0 berarti nilai a = 3, b = –4, dan
c = –4, dengan titiknya yaitu ( 1,4 ) berarti nilai x1 = 1 dan y1 = 4.
Masukkan niliai
d
3(1)
=
4(4)
3 −16
2
−
(3) 2
tersebut ke
−
=
( 4) 2
9
+ −
2
15
−
16
+
dalam rumus jarak titik
−
=
25
=
ke
garis
3
Maskkan nilai ( 1,4 ) yaitu pusat lingkarannya dan jari – jarinya 3.
( x – x1 )² + ( y – y1 )² = r²
( x – 1 )² + ( y – 4 )² = 3²
x² + y² – 2x – 8y + 8 = 0
5. Salah satu persamaan garis singgung lingkaran x² + y² = 25 yang tegak lurus garis 2y
– x + 3 = 0 adalah….
1
a.
y =−
b.
y
= −
c.
y
=
d.
y
=−
e.
y
=
2
5
x+
1
2
5
2
5
x
5
−
2
2 x −5 5
2x
2x
5
+
5 5
+
5
Penyelesaian
Gradien dari persamaan garis ax + by + c = 0 adalah m
a
= −
b
Gradien dari persamaan garis 2y – x + 3 = 0 adalah
m
=−
(−1)
2
1
=
2
, karena
persamaan garis singgung lingkaran tegak lurus dengan garis 2y – x + 3 = 0 maka
gardien garis tersebut adalah
m1
1
= −
1
= −
m2
1
2
= −
2
6. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat (3,4) dan berjari-jari 6 !
a. x2 + y2 - 6x - 8y - 11 = 0
b. x2 + y2 - 2x - 7y - 35 = 0
c. x2 + y2 - 8x - 8y – 5 = 0
d. x2 + y2 - 3x - 8y -81 = 0
e. x2 + y2 - 6x - 8y - 11 = 0
Penyelesaian
(x - 3)2 + ( y - 4)2 = 62
x2 + y2 - 6x - 8y - 11 = 0
7. Diketahui titik A(5,-1) dan B(2,4). Tentukan persamaan lingkaran yang diameternya
melalui titik A dan B !
a. x + y - 9x - 1y + 8 = 0
2
2
b. x + y - 7x - 3y + 6 = 0
2
2
c. x + y - 1x - 4y + 4 = 0
2
2
d. x + y – 2x - 4y + 3 = 0
2
2
e. x + y - 2x - 3y + 4 = 0
2
2
Penyelesaian
8. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di titik (2,-3) dan menyinggung garis
3x - 4y + 7 = 0 !
a. x2 + y2 – 9x + 3y – 64 = 0
b. x2 + y2 – 7 + 8y – 17 = 0
c. x2 + y2 – 4x + 6y – 12 = 0
d. x2 + y2 – 9x + 4y – 85 = 0
e. x2 + y2 – 8x + 3y – 15 = 0
Penyelesaian
9. Tentukan pusat lingkaran x2 + y2 + 4x - 6y + 13 = 0 !
a. (-4,3)
b. (-2,9)
c. (-1,2)
d. (-2,3)
e. (-6,4)
Penyelesaian
10. Tentukan jari-jari lingkaran x2 + y2 - 4x + 2y + c = 0 yang melalui titik A(5,-1) !
a. 1
b. 2
c. 3
d. 4
e. 5
Penyelesaian
11. Tentukan m supaya lingkaran x2 + y2 - 4x + 6y + m = 0 mempunyai jari-jari 5 !
a. -11
b. -12
c. -13
d. -14
e. -15
Penyelesaian
12. Agar garis y = x + c menyinggung lingkaran x2 + y2 = 25 maka tentukan c !
a. ±5√2
b. ±6√8
c. ±2√2
d. ±1√4
e. ±7√8
Penyelesaian
13. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 = 25 yang melalui titik (7,1) !
a. 4x-3y=25
b. 5x-4y=26
c. 6x-5y=27
d. 7x-6y=28
e. 8x-7y=29
Penyelesaian
14. Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran x2 + y2 - 4x + 6y - 12 = 0 di (5,1 )
a. 5x + 7y – 16 = 0
b. 3x + 4y – 19 = 0
c. 5x + 8y – 23 = 0
d. 9x + 9y – 18 = 0
e. 7x + 2y – 65 = 0
Penyelesaian
15. Garis singgung di titik (12,-5) pada lingkaran x2 + y2 = 169 menyinggung lingkaran
(x - 5)2 + ( y - 12)2 = p . Tentukan p !
a. 167
b. 168
c. 169
d. 170
e. 171
Penyelesaian
16. Tentukan persamaan lingkaran dengan pusat (3,2) dan menyinggung sumbu Y !
a. x2 + y2 - 9x - 3y + 7 = 0
b. x2 + y2 - 2x - 1y + 9 = 0
c. x2 + y2 - 4x - 9y + 4 = 0
d. x2 + y2 - 6x - 4y + 4 = 0
e. x2 + y2 - 3x - 6y + 1 = 0
Penyelesaian
17. Diketahui lingkaran l berpusat di (-2,3) dan melalui titik (1,5). Jika lingkaran L
diputar 90o searah jarum jam terhadap titik O(0,0), kemudian digeser ke bawah sejauh
5 satuan, maka tentukan persamaan lingkaran yang dihasilkan !
a.
b.
c.
d.
e.
x2 + y2 – 8x + 3y + 5 = 0
x2 + y2 – 9x + 3y + 5 = 0
x2 + y2 – 1x + 2y + 5 = 0
x2 + y2 – 6x + 8y + 5 = 0
x2 + y2 – 6x + 6y + 5 = 0
Penyelesaian
18. Tentukan jari-jari lingkaran yang melalui titik-titik A(5,0), B(0,5) dan C(-1,0) !
a. √13
b. √14
c. √15
d. √16
e. √17
Penyelesaian
19. Diketahui lingkaran dengan persamaan x2 + y2 + bx - 6y + 25 = 0 dan b < 0
menyinggung sumbu X. Tentukan nilai b !
a. -9
b. -10
c. -11
d. -12
e. -13
Penyelesaian
20. Lingkaran x2 + y2 - 2 px + q = 0 yang mempunyai jari-jari 2, akan menyinggung garis
x – y = 0 bila nilai p yang positif = ……
a. √2
b. 2√2
c. 3√2
d. 4√2
e. 5√2
Penyelesaian
21. Tentukan persamaan lingkaran yang sepusat dengan lingkaran x2 + y2 - 4x + 6y - 17 =
0 dan menyinggung garis 3x – 4y + 7 = 0 !
a. (x - 9)2 + (y + 7)2 = 32
b. (x - 6) 2 + (y + 2)2 = 27
c. (x - 9)2 + (y + 3)2 = 22
d. (x - 2)2 + (y + 3)2 = 25
e. (x - 3)2 + (y + 3)2 = 21
Penyelesaian