Mas Roat - Seminar UNY

BIFURKASI HOPF PADA SISTEM PREDATOR-PREY DENGAN FUNGSI
RESPON TIPE II
Oleh
Mas Roat
Kus Prihantoso Krisnawan
ABSTRAK
Pada makalah ini di kaji mengenai sistem predator-prey dengan fungsi respon tak linier tipe
II. Fungsi respon ini muncul sebagai akibat adanya asumsi bahwa predator memerlukan
waktu untuk memproses makanannya. Pengaruh dari perubahan nilai parameter µ (laju
kematian predator) pada model mengakibatkan munculnya perubahan sifat dinamik sistem
di sekitar titik ekuilibrium. Analisis yang dilakukan menunjukkan perubahan tersebut
adalah karena terjadinya bifurkasi hopf.
Kata kunci: Sistem predator-prey, fungsi respon tipe II, bifurkasi hopf.
1. PENDAHULUAN
Model predator-prey menggambarkan persaingan antara predator dengan prey.
Model predator-prey yang paling sederhana didasarkan pada model Lokta-Volterra. Model
ini memiliki bentuk
 dx
  x  p( x) y

 dt

 dy  q( x) y   y

 dt
(1.1)
dengan x menyatakan populasi prey, y menyatakan populasi predator,   0 menyatakan
tingkat kelahiran prey per satuan waktu,   0 menyatakan tingkat kematian alami dari
predator, fungsi p(x) dan q(x) disebut sebagai fungsi respon.
Di dalam ekologi fungsi respon menyatakan tingkat asupan konsumen (predator)
sebagai fungsi kepadatan makanan (prey). Pada sistem Lokta-Volterra , fungsi respon p(x)
mempunyai bentuk p ( x)   x dan p ( x)  q ( x) . Hal ini karena pada model ini waktu yang
diperlukan predator untuk mencerna makanannya tidak diperhatikan (diabaikan. Tetapi,
dalam kenyataannya ketika terjadi serangan prey oleh predator, maka secara realistik
predator memerlukan waktu untuk mencerna makanannya.
Pada persamaan (1.1), laju kenaikan populasi prey diasumsikan sebanding dengan
jumlah populasi prey pada waktu tertentu. Hal ini mengikuti asumsi bahwa prey memiliki
makanan yang tidak terbatas, namun pada kenyataannnya makanan dari prey sendiri juga
terbatas yang menyebabkan pertemuan atau kompetisi dari antar prey sendiri dalam
memperebutkan makanan. Kompetisi ini dapat menyebabkan terjadinya kematian pada prey
sendiri. Dengan memperhitungkan asumsi ini, maka untuk   1 , sistem predator-prey
berubah menjadi
 dx
2
 dt  x  x  p ( x) y

 dy  p ( x) y   y
 dt
(1.2)
Pada sistem (1.2), diasumsikan hanya terdapat satu jenis predator dan satu jenis
prey, sehingga predator hanya memiliki satu pilihan makanan berupa satu spesies populsi
prey. Selain itu, diasumsikan predator memerlukan waktu untuk memproses makanannya
ketika mendapatkan mangsa. Sehingga sesuai dengan pernyataan diatas kita menggunakan
fungsi respon tipe II. Pada fungsi respon tipe II memiliki permasalahan yang lebih realistik.
Karena dalam hal ini telah memperhitungkan waktu untuk memproses makanan pada saat
predator mengkonsumsi makanannya. Hal ini ditandai dengan tingkat asupan predator
yang melambat atau bisa dikatakan berkurang. Hal ini disebabkan oleh perilaku bahwa
mencari makan dan pemrosesan makanan ketika dikonsumsi adalah dua perilaku yang
saling eksklusif. Persamaan fungsi respon tipe II adalah
p( x) 
ax
1  abx
(1a)
dengan fungsi f menunjukkan tingkat asupan, x menyatakan kepadatan makanan (populasi
prey), a adalah tingkat serangan yang dilakukan predator terhadap prey dan b adalah ratarata waktu yang dihabiskan predator untuk memproses makanannya. Untuk a  2
persamaan (1a) menjadi
p ( x) 
2x
1 2x
(1b)
Subsitusikan persamaan (1b) ke persamaan (1.2) maka diperoleh persamaan sebagai berikut
 dx
 2x 
2
 dt  x  x   1  2 x  y




 dy   2 x  y   y
 dt  1  2 x 
(1.3)
Sistem ini sebenarnya pernah dibahas oleh Dian Savitri, Erna Apriliani, dan
M.Setijo Winarko, 2006. Titik berat pada pembahasan penelitian tersebut adalah penentuan
bifurkasi hopf dengan menggunakan kriteria divergensi. Pada makalahnya, dinyatakan
bahwa terdapat limit cycle antara 0,1    0, 4 , diluar interval limit cycle akan hilang.
Sedangkan pada makalah ini akan ditunjukkan bahwa bifurkasi hopf terjadi pada saat
  1 3 . Saat   1 3 bentuk dinamik yang terjadi merupakan focus stabil, dan limit cycle
terjadi saat   1 .
3
2. Titik Ekuilibrium dan Matriks Jacobian
Titik ekuilibrium dari sistem (1.3) adalah

 x1 , y1   

 2 1   
,
2  3 
 dan  x2 , y2   1,0  .
2
4 1    
Matriks Jacobian dari sistem (1.3) adalah
 f1
 x
Df  
 f 2
 x

f1 
y 

f 2 
y 




2
2x
1  2 x  

y


 1  2 x 2 
1 2x 



Df  





2
 2x 
y








 1  2 x 2 


1 2x 






Subsitusi titik ekuilibrium
 x1 , y1   

 2 1   
,
2  3 
 pada
2
4 1    
(1.4)
matriks Jacobian
diperoleh

2  3

1  1    2
D f1  
2  3



2

 


0 

(1c)
dan subsitusi titik ekuilibrium  x2 , y2   1,0  pada matriks Jacobian maka diperoleh:
2

 1  3 
D f2  

2 
0


3 

(1d)
4. Nilai Eigen dari Matriks Jacobian
Nilai eigen dari matriks (1d) adalah 1 
2
dan 1  1 , sehingga titik (1,0)
3
merupakan titik saddle dan perubahan nilai  tidak berpengaruh terhadap keadaan
dinamik titik (1,0) tersebut. Sehingga pada titik tersebut tidak terjadi bifurkasi.
Nilai eigen dari matriks (1c) adalah
 3 2   
1
12  
33 4  70 3  57  2  16
 
 4 1     4 1   
Untuk nilai   0 maka nilai
 3.02  0 
1
12  
33.04  70.03  57.02  16.0
 
 4 1  0   4 1  0 
 00
0
Sehingga diperoleh 1  0 dan 2  0 . Tujuan utama dari penelitian ini adalah menyelidiki
munculnya bifurkasi hopf dan nilai 1  2  0 bukanlah ciri munculnya bifurkasi ini, oleh
karena itu nilai   0 tidak akan dibahas dalam makalah ini.
Untuk nilai  
1
maka nilai
3
4
3
2
1
1
1
1
34  0 
33    70    57    16  
 1
3
3
3
 3
4 1  
 3
1
 0
1
6i
6
1
1
1
6 i atau 4  0  
6 i sehingga untuk   adalah
6
6
3
saat dimungkinkan muncul bifurkasi hopf. Selanjutnya akan dilihat potret fase dari sistem
1
1
1
ini disekitar titik ekuilibrium untuk nilai   ,   , dan  
3
3
3
Diperoleh nilai eigen 3  0 
Gambar 1.1. Potret rase untuk   0, 2
Gambar 1.2. Potret fase untuk  
1
3
Gambar 1.3. Potret fase untuk   0,35
5. KESIMPULAN
Berdasarkan analisa bidang fase pada sistem (1.3), bifurkasi hopf terjadi pada saat
  1 3 . Saat   1 3 bentuk dinamik yang terjadi merupakan focus stabil, dan limit cycle
terjadi saat   1 .
3
DAFTAR PUSTAKA
P. Saliban, Ph.D. & Drs. I NyomanSusila, M.Sc.Aljabar Linear Elementer. (Howard Anton
& Chris RorresTerjemahan.Edisikelima). Jakarta. PenerbitErlangga. Buku asli
diterbitkan tahun 1987.
Drs. Naipospos,&Dra. NoeniekSoemartoyo.(1983). Aljabar Linear.(G.HadleyTerjemahan).
Jakarta.PenerbitErlangga.
Wiggins,S.1990. Introduction to applied nonlinear dynamical systems and chaos.
Perko, L. 1991.Differential Equations and Dynamical Systems.
Murray,J.D.2002.Mathematical Biology.third edition. Springer.
Haberman,R.1977.mathematical Model.prentica-hall.new jersey