analisis dinamik model rantai makanan tiga tingkat

ANALISIS DINAMIK MODEL RANTAI MAKANAN TIGA TINGKAT
TROFIK DENGAN FUNGSI RESPON MICHAELIS-MENTEN
Baiq Indah Rukmana Dewi
Jurusan Matematika, F.MIPA, Universitas Brawijaya
Email: [email protected]
Abstrak. Artikel ini mengulas model rantai makanan dengan tiga tingkat trofik dengan fungsi respon Michaelis-Menten.
Terdapat tiga laju pertumbuhan populasi yang dikaji, yakni populasi prey, predator, dan top predator. Kondisi tersebut
menghasilkan suatu sistem persamaan diferensial tiga dimensi. Penskalaan dilakukan terhadap model untuk memudahkan
analisis. Selanjutnya ditentukan titik kesetimbangan, syarat eksistensi titik kesetimbangan, dan kestabilan titik
kesetimbangan. Diperoleh tiga titik kesetimbangan dan ketiga titik tersebut bersifat stabil dengan syarat tertentu. Pada bagian
akhir dilakukan simulasi numerik untuk mengilustrasikan dan menguji hasil analisis yang telah diperoleh.
Kata Kunci: analisis dinamik, rantai makanan, tiga tingkat trofik.
1. PENDAHULUAN
Komunitas adalah kumpulan populasi makhluk hidup di suatu tempat tertentu. Kesatuan antara
komunitas dengan lingkungan hidupnya akan membentuk hubungan timbal balik yang disebut dengan
ekosistem. Di dalam ekosistem terdapat rantai makanan, yaitu lintasan konsumsi makanan yang terdiri
dari beberapa spesies organisme. Tiap tingkat dari rantai makanan disebut tingkat trofik. Bagian paling
sederhana dari suatu rantai makanan berupa interaksi dua spesies yaitu interaksi antara spesies mangsa
(prey) dengan pemangsa (predator). Model predator-prey pertama kali dikenalkan oleh Lotka pada
tahun 1925 dan Volterra pada tahun 1926, sehingga model ini juga disebut model Lotka-Volterra
(Boyce dan DiPrima, 2009).
Suwanto (2013) membahas perilaku prey, intermediate predator, dan top predator dengan
mengasumsikan prey sebagai spesies yang dimangsa oleh intermediate predator dan top predator,
intermediate predator sebagai spesies yang memangsa prey tetapi juga dimangsa oleh top predator,
sedangkan top predator sebagai spesies yang memangsa prey dan intermediate predator. Pada
model tersebut digunakan fungsi respon Beddington-DeAngelis untuk populasi intermediate predator
dan Holling tipe III untuk populasi top predator.
Berbeda dari kajian yang telah dilakukan Suwanto (2013), pada artikel ini dilakukan analisis
predator-prey tiga tingkat trofik yang terdiri dari prey, predator, dan top predator. Predator adalah
spesies yang memangsa prey dan top predator adalah spesies yang hanya memangsa predator. Model
matematika yang terbentuk terdiri dari tiga persamaan, yaitu laju pertumbuhan populasi prey,
predator, dan top predator. Pada model ini digunakan fungsi respon Michaelis-Menten. Analisis
dinamik dilakukan dengan menentukan titik kesetimbangan dan kestabilan dari titik kesetimbangan.
Penskalaan digunakan untuk mempermudah proses perhitungan. Metode Runge-Kutta orde 4
digunakan untuk mensimulasikan hasil analisis sehingga mempermudah interpretasinya. Artikel ini
mengulas kembali artikel Kara dan Can (2006).
2. FORMULASI MODEL
Model populasi rantai makanan tiga tingkat trofik dengan rasio ketergantungan adalah sebagai
berikut
̅
̅
(
̅
( ̅(
̅
̅̅̅̅ ̅
̅
̅
)
̅̅̅
( ̅̅̅
̅̅̅̅ ̅
̅
̅
) ̅
̅̅̅̅ ̅
̅
̅
)̅
̅̅̅̅ ̅
̅
̅
(1)
) ̅
dengan ̅ adalah kepadatan populasi prey, ̅ adalah kepadatan populasi predator, ̅ adalah kepadatan
120
populasi top predator, ̅ adalah konstanta setengah jenuh, dan ̅ adalah laju kematian predator.
Konstanta
adalah kapasitas lingkungan (carrying capacity) predator dan prey, ̅ adalah
pertumbuhan intrinsik predator dan prey, adalah konstanta hasil, sedangkan ̅ adalah pertumbuhan
maksimum predator. Sistem (1) disederhanakan dengan penskalaan parameter menggunakan
persamaan-persamaan berikut
̅
̅
̅
Kemudian didapatkan persamaan
̅̅̅̅
̅
(
̅̅̅̅̅
)
(
)
(
dengan
dan
̅̅̅̅
̅̅̅̅̅
dan
(2)
)
.
3. TITIK KESETIMBANGAN
Titik kesetimbangan sistem (2) diperoleh ketika
Sistem persamaan (2) menghasilkan tiga titik kesetimbangan yang eksis, yaitu yaitu
dan
. Titik kesetimbangan
eksis jika
sedangkan titik kesetimbangan eksis jika (
)
dan
,
dan
.
4. KESTABILAN TITIK KESETIMBANGAN
Kestabilan titik kesetimbangan diperoleh dengan melinearisasikan sistem (1) sehingga diperoleh
matrik Jacobi
.
[
]
4.1 Titik Kesetimbangan
Matrik Jacobi di titik
adalah
,
[
Akar karakteristik dari matriks
(
]
adalah
√ )
(
√ ) dan
,
dengan
dan
(
)
.
121
Titik kesetimbangan
bersifat stabil Jika
dan
.
4.2 Titik Kesetimbangan
Matrik Jacobi di titik
adalah
[
],
dengan
(
)
(
)
Akar karakteristik dari matrik
adalah
dengan
Titik
bersifat stabil jika dan hanya jika
dan
4.3 Titik Kesetimbangan
Matrik Jacobi di titik
adalah
[
Akar karakteristik dari matrik
stabil jika
.
],
adalah
,
dan
Titik
akan
5. SIMULASI NUMERIK
5.1
stabil,
dan
tidak stabil
Pada simulasi ini digunakan nilai awal
dengan parameter
,
,
dan
. Kemudian didapatkan
bersifat
tidak stabil karena
bersifat tidak stabil karena dihasilkan nilai
dan
Titik
bersifat tidak stabil karena nilai
. Pada Gambar 1 juga
tampak bahwa titik kesetimbangan
tidak stabil, dan solusi membentuk limit cycle.
5.2
dan
tidak stabil
Pada simulasi ini digunakan nilai awal
dengan parameter
,
,
dan
. Kemudian didapatkan
bersifat
tidak stabil karena
bersifat tidak stabil karena dihasilkan nilai
dan
Titik
bersifat tidak stabil karena nilai
. Pada Gambar 2
tampak bahwa titik kesetimbangan
tidak stabil, dan solusi membentuk limit cycle.
5.3
dan
tidak stabil
Simulasi numerik pada bagian ini menggunakan parameter
dan
dengan nilai awal yang menjauh dari
,
yaitu
,
122
bersifat tidak stabil karena nilai parameter
.
bersifat tidak stabil karena dihasilkan
nilai
dan
. Sedangkan nilai
bersifat tidak stabil karena
nilai parameter
. Jika nilai awal yang digunakan adalah
serta nilai
awal selanjutnya adalah
, diperoleh solusi yang benar-benar berbeda dari
solusi pada Gambar 3. Solusi membentuk limit cycle dan berhenti ketika top predator menghilang.
(0.70,0.40,0.42)
(2,4,3)
3
(0.5,1.05,1.4)
0.4
2
E1
z
0.38
1
(3,3,2)
0.36
0.45
z
0
(1,2,1)
Eo
0.34
(0.7,0.5,0.5)
5
E1
-1
0
E2(1,0,0)
0.32
4
0.5
3
1
1.5
0.35
0.3
0.35
0.4
0.45
1
2.5
3
0
0.5
y
0.55
0.6
0.65
0.7
y
0.3
x
x
Gambar 2. Potret fase solusi numerik
dengan nilai awal
Gambar 1. Potret fase solusi numerik
dengan beragam nilai awal
2
0.4
0.3
2
2
Eo
Eo
E1
z
1.5
1
0.5
3
(2,2,2)
0
0
2.5
(1.5,0.5,1)
0.5
2
1.5
E2
1
x
y
1
0.5
1.5
2
0
Gambar 3. Potret fase solusi numerik dengan nilai
awal
6. KESIMPULAN
Model rantai makanan tiga tingkat trofik berupa sistem persamaan nonlinear dengan tiga
persamaan. Setelah dilakukan penskalaan diperoleh tiga titik kesetimbangan dengan enam parameter
yang bernilai positif. Ketiga titik kesetimbangan tersebut bersifat stabil. Titik kesetimbangan
menunjukkan bahwa prey dan predator hidup berdampingan dan top predator mengalami kepunahan.
Titik kesetimbangan
merupakan salah satu titik kesetimbangan interior dan titik ini menunjukkan
bahwa prey, predator, dan top predator hidup berdampingan. Sedangkan titik kesetimbangan
menunjukkan bahwa predator dan top predator mengalami kepunahan. Beberapa simulasi numerik
yang telah dilakukan menunjukkan hasil yang sesuai dengan hasil analisis.
7. UCAPAN TERIMA KASIH
Penulis berterima kasih kepada Agus Suryanto, Indah Yanti, dan Ratno Bagus E. W. atas segala
bimbingan, saran, dan kesabaran yang telah diberikan selama penulisan artikel ini.
DAFTAR PUSTAKA
Boyce, W.E. dan DiPrima, R.C., (2009), Elementary Differential Equation and Boundary Value
Problem, Eight Edition, John Willey & Sons Inc, New York.
Kara, R dan Can, M. (2006), Ratio-dependent Food Chain Models with Three Trophic Levels,
International Journal of Computer Science,1, hal. 1306-4428.
Suwanto, N. 2013. Analisis Dinamik Model Predator-Prey Tiga Spesies, Skripsi, Universitas
Brawijaya, Malang. Indonesia.
123