persamaan kuadrat2 - X-Math

PERSAMAAN KUADRAT, FUNGSI KUADRAT DAN PERTIDAKSAMAAN
KUADRAT
Persamaan Kuadrat
a. Bentuk Umum Persamaan Kuadrat
Misalkan a,b,c Є R dan a ≠ 0 maka persamaan yang berbentuk ax 2  bx  c  0
dinamakan persamaan kuadrat dalam peubah x.
Dalam persamaan kuadrat ax 2  bx  c  0 , a adalah koefisien dari x2, b adalah
koefisien dari x dan c adalah suku tetapan.
Contoh:
1. x2 – 4, nilai a = 1, b= 0, c = -4
2. x2 + 2x = 0 nilai a = 1, b =2, c = 0
3. x2 – 5x + 2 = 0 nilai a = 2, b = -5, c = 2
4. x2 + x – 2 = 0 nilai a = 1, b =2, c = -2
b. Cara Menyelesaikan Persamaan Kuadrat
Persamaan ax 2  bx  c  0 dapat diselesaikan dengan cara menentukan nilai
pengganti x yang memenuhi persamaan itu, dan disebut penyelesaian atau akar
dari persamaan kuadrat ax 2  bx  c  0 .
Untuk menyelesaikan (menentukan akar-akar) persamaan kuadrat ada beberapa
cara, diantaranya adalah dengan cara:
1. Memfaktorkan
2. Melengkapkan bentuk kuadrat sempurna
3. Menggunakan rumus kuadrat
1. Memfaktorkan
Contoh:
Selesaikan persamaan kuadrat berikut ini!
a. x2 – 9 = 0
b. x 2  3x  2  0
c. 2 x 2  x  1  0
Jawab:
a. x2 – 9 = 0
 ( x  3)( x  3)  0
 x  3 atau x  3
b. x 2  3x  2  0
x 2  3x  2  0
<=> x  2x  1  0
<=> x  2  0 atau x  1  0
1
<=> x  2 atau x  1
c. 2 x 2  x  1  0
 (2 x  1)( x  1)  0
 (2 x  1)  0 atau ( x  1)  0
1
 x   atau x  1
2
2. Melengkapkan bentuk kuadrat sempurna
Bentuk seperti 16 = 42; 4x2 = (2x)2; (x + 1)2; (2x – 3)2
merupakan beberapa contoh bentuk kuadrat sempurna.
Bentuk x 2  2 x  7 dapat dimanipulasi aljabar sbb.
x 2  2x  7
 ( x 2  2 x  1)  1  7
 ( x  1) 2  8 memuat bentuk kuadrat sempurna ( x  1) 2
Proses mengubah bentuk kuadrat menjadi bentuk kuadrat sempurna
semacam itu dinamakan melengkapkan kuadrat sempurna.
Contoh:
Selesaikan persamaan kuadrat berikut ini!
a. x 2  3x  2  0
b. x 2  25  0
Jawab :
a. x 2  3x  2  0
<=> x 2  3 x  2
2
3
9

<=>  x    2 
2
4

2
3
8 9

<=>  x     
2
4 4

2
3
1

<=>  x   
2
4

3
1

<=>  x    
2
4

2
1 3
<=> x   
2 2
<=> x  2 atau x  1
b. x 2  25  0
 x 2  25
 x   25
 x  5
3. Menggunakan rumus kuadrat
Metode yang paling umum untuk menyelesaikan persamaan kuadrat
ax 2  bx  c  0 dengan menggunakann rumus kuadrat atau sering
disebut rumus abc.
Rumus kuadrat diperoleh dengan proses melengkapkan kuadrat
sempurna untuk persamaan kuadrat ax 2  bx  c  0 .
Prosesnya sbb:
ax 2  bx  c  0
b 

 a x 2  x   c  0
a 


b
b2   b2 
 a x 2  x  2     c  0
a
4a   4a 

2
b 
b2

 a x 

c 0

2a 
4a

2
b 
b2

 a x 
c
 
2a 
4a

b 
b 2  4ac

 x 


2a 
4a 2

2
2
b 
1

 x 
b 2  4ac
 
2
a
2
a


x
x
b
1

b 2  4ac
2a 2a
 b  b 2  4ac
2a
3
Uraian di atas membuktikan berlakunya rumus kuadrat.
Misalkan a, b, c bilangan rela dan a  0 maka akar-akar persamaan
kuadrat ax 2  bx  c  0 ditentukan oleh:
x12 
 b  b 2  4ac
2a
Contoh:
Selesaikan persamaan kuadrat berikut ini!
a. x 2  3x  2  0
b. 3x 2  6 x  2  0
Jawab :
a. x 2  3x  2  0
<=> a = 1, b = 3, c = 2
 3  32  4.1.2
<=> x12 
2.1
3 1
<=> x12 
2
<=> x  2 atau x  1
b. 3x 2  6 x  2  0
a = 3, b = -6, c =2
6  (6) 2  4.3.2
 x12 
2.3
6  36  24 6  12 6  2 3


6
6
6
62 3
1
62 3
1
x
 1
3 atau x 
 1
3
6
3
6
3
 x12 
4
c. Jenis akar-akar persamaan kuadrat dikaitkan dengan nilai diskriminan
Penyelesaian persamaan kuadrat ax 2  bx  c  0(a  0) adalah
x12 
 b  b 2  4ac
2a
Tampak bahwa akar-akarnya ditentukan oleh nilai dari b2 – 4ac yang
disebut dengan diskriminan disingkat D.
Jenis akar-akar persamaan kuadrat ax 2  bx  c  0 , ditentukan oleh nilai
Diskriminannya (D) yaitu D = b 2  4ac
 Jika D > 0 : mempunyai dua akar real yang berbeda
Untuk D berupa bilangan kuadrat ( k 2 ) akarnya rasional
Untuk D bukan berupa bilangan kuadrat akarnya rasional
 Jika D = 0 : mempunyai dua akar real yang sama
 Jika D < 0 : akar-akarnya imajiner (khayalan)
Contoh :
Tanpa menyelesaikan persamaan 2 x 2  x  3  0 tentukan jenis akar-akarnya !
Jawab :
2x2  x  3  0
<=> D  b  4ac
= 12  4.2.(3)
= 25
= 52
Jadi 2 x 2  x  3  0 mempunyai dua akar berlainan dan rasional
d. Rumus jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat
Akar-akar persamaan kuadrat ax 2  bx  c  0 (a  0) adalah
x1 
b D
b D
atau x 2 
2a
2a
Jumlah dan hasil kali akar-akar ditentukan dengan memanipulasi aljabar
sbb:
1. Jumlah akar-akar persamaan kuadrat
x1  x 2 
b D b D

2a
2a
5
b D b D
2a
b

a

2. Hasil kali akar-akar persamaan kuadrat
  b  D   b  D 


x1  x 2  


2
a
2
a



2
b D

4a 2
b 2  (b 2  4ac) 4ac c

 2 
a
4a 2
4a
Contoh
Jika x1 dan x2 akar-akar persamaan kuadrat 2 x 2  3 x  5  0 , tentukan nilai
dari : x1  x2
Jawab :
2
2
1
3
 5 9
 ( x1  x 2 )  2 x1 x 2     2
  5 7
4
2
 2  4
2
x1  x 2
2
2
2
e. Menyusun persamaan kuadrat yang diketahui akar-akarnya
Jika akar-akar sebuah persamaan kuadrat telah diketahui, persamaaan
kuadrat tersebut dapat disusun dengan dua cara
a. Memakai faktor
Apabila persamaan kuadrat dapat difaktorkan menjadi (x-x1)(x-x2) = 0
maka x1 dan x2 merupakan akar-akar persamaan kuadrat tersebut.
Sebaliknya apabila x1 dan x2 merupakan akar-akar persamaan kuadrat,
maka persamaan kuadrat itu dapat ditentukan dengan rumus
( x  x1 )( x  x 2 )  0
b. Memakai rumus jumlah dan hasil kali akar-akar
Persamaan kuadrat ax 2  bx  c  0 bila kedua ruas dibagi dengan a
diperoleh
b
c
x2  x   0
a
a
b
c
 x 2  ( ) x   0
a
a
6
 x 2  ( x1  x2 ) x  x1 x2  0
Jadi persamaan ax 2  bx  c  0 dapat dinyatakan dalam bentuk:
x 2  ( x1  x2 ) x  x1 x2  0
Contoh :
Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya 5 dan -2 !
Jawab :
a. Cara 1
( x  5)( x  (2))  0
( x  5)( x  2)  0
x 2  3x  10  0
b. Cara 2
x 2  (5  (2)) x  (5.(2))  0
x 2  3x  10  0
f. Menyusun persamaan kuadrat yang akar-akarnya mempunyai hubungan dengan
akar-akar persamaan kuadrat lain
Contoh :
Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya 2 lebihnya dari akar-akar
persamaan kuadrat x 2  x  4  0
Jawab :
a. Cara 1
Misalkan akar-akar persamaan kuadrat x 2  x  4  0 adalah x1 dan x2 maka
x1  x2  1 dan x1.x2  4 . Akar-akar persamaan kuadrat yang akar-akarnya
2 lebihnya dari akar-akar persamaan kuadrat x 2  x  4  0 dimisalkan α dan
β, maka   2  x1 dan   2  x2 . Jadi: didapat jumlah akar
    2  x1  2  x2  4  ( x1  x2 )  4  (1)  3 dan hasil kali akar
 .  (2  x1 )(2  x2 )  4  2( x1  x2 )  x1. x2  4  2(1)  4  2
Persamaan kuadrat yang ditanyakan sesuai rumus di atas adalah :
x 2  ( jumlah akar) x  (hasil kali)  0
<=> x 2  (3) x  (2)  0
<=> x 2  3x  2  0
b. Cara 2
( x  2) 2  ( x  2)  4  0
<=> x 2  4 x  4  x  2  4  0
<=> x 2  3x  2  0
7
II. Pertidaksamaan Kuadrat
Bentuk baku dari pertidaksamaan kuadrat dalam variabel ada 4 macam, yaitu:
1. ax 2  bx  c  0
2. ax 2  bx  c  0
3. ax 2  bx  c  0
4. ax 2  bx  c  0
dengan a, b, c bilangan real dan a  0.
Penyelesaian atau himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat dalam
variabel x dapat ditentukan dengan 2 cara, yaitu dengan menggunakan:
a. Dengan sketsa grafik fungsi kuadrat
Fungsi kuadrat yang ditentukan dengan rumus f ( x)  x 2  3x  4 grafiknya
berbentuk parabbola dengan persamaan y  x 2  3x  4 . Sketsa grafik
parabola y  x 2  3x  4 diperlihatkan pada gambar berikut:
1. Parabola di atas sumbu x (y > 0) dalam selang x < -1 atau x > 4.
Jadi x 2  3x  4  0 dalam selang x < -1 atau x > 4.
2. Parabola tepat pada sumbu x (y = 0) untuk nilai x = -1 atau x = 4.
Jadi x 2  3x  4  0 untuk nilai x = -1 atau x = 4.
3. Parabola di bawah sumbu x (y < 0) dalam selang – 1 < x < 4.
Jadi x 2  3 x  4  0 dalam selang – 1 < x < 4.
8
Dengan demikian sketsa grafik fungsi kuadrat f ( x)  x 2  3x  4 atau
parabola y  x 2  3x  4 dapat digunakan untuk menentukan penyelesaian
atau himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat berikut.
a. Pertidaksamaan kuadrat x 2  3x  4  0 . Himpunan penyelesaiannya
adalah: HP  {x | 1  x  4, x  R}
b. Pertidaksamaan kuadrat x 2  3 x  4  0 . Himpunan penyelesaiannya
adalah: HP  {x | 1  x  4, x  R}
c. Pertidaksamaan kuadrat x 2  3 x  4  0 . Himpunan penyelesaiannya
adalah: HP  {x | x  1 atau x  4, x  R}
d. Pertidaksamaan kuadrat x 2  3 x  4  0 . Himpunan penyelesaiannya
adalah: HP  {x | x  1 atau x  4, x  R}
Berdasar uraian di atas dapat disimpulkan bahwa grafik fungsi kuadrat
f ( x)  ax 2  bx  c  0 dapat digunakan untuk menentukan
penyelesaian pertidaksamaan kuadrat ax 2  bx  c  0 ; ax 2  bx  c  0 ;
ax 2  bx  c  0 ; ax 2  bx  c  0
9
Contoh:
Dengan menggunakan sketsa grafik fungsi kuadrat f ( x)  x 2  2 x  1,
carilah himpunan penyelesaian tiap pertidaksamaan berikut.
a. x 2  2 x  1  0
b. x 2  2 x  1  0
c. x 2  2 x  1  0
d. x 2  2 x  1  0
Jawab:
Sketsa grafik fungsi kuadrat f ( x)  x 2  2 x  1, atau parabola
y  x 2  2 x  1, diperlihatkan pada gambar berikut:
a. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat x 2  2 x  1  0
adalah Himpunan kosong ditulis 
b. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat x 2  2 x  1  0
adalah HP  {x | x  1}
c. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat x 2  2 x  1  0
adalah HP  {x | x  R dan x  1}
d. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat x 2  2 x  1  0
adalah HP  {x | x  1 atu x  1, x  R } dapat juga ditulis
HP  {x | x  R}
b. Dengan garis bilangan
10
Sebagai contoh kita akan menyelesaikan pertidaksamaan x 2 3x  4  0
Langkah 1
Carilah nilai-nilai nol (jika ada) dari bagian ruas kiri pertidaksamaan
x 2 3x  4  0
 ( x  1)( x  4)  0
 x  1 atau x  4
Langkah 2
Gambarlah nilai-nilai nol yang diperoleh pada langkah 1 pada garis
bilangan
Langkah 3
Tentukan tanda-tanda dalam interval untuk nilai-nilai x selain -1 dan 4.
Misalnya:
x  2 maka nilai dari x 2 3x  4  (2) 2  3(2)  4  6 sehingga tanda
dalam interval x < -1 (+) atau >0
x  1 maka nilai dari x 2 3x  4  (1) 2  3(1)  4  6 sehingga tanda dalam
interval -1 < x < 4 (1) atau < 0
x  5 maka nilai dari x 2 3x  4  (5) 2  3(5)  4  6 sehingga tanda dalam
interval x > 4 (+) atau > 0
Berdasar tanda-tanda interval, maka yang memenuhi pertidaksamaan
x 2 3x  4  0 adalah x < -1 atau x > 4.
Jadi himpunan penyelesainnya adalah HP  {x | x  1 atau x > 4}
III. Pertidaksamaan Rasional
Perhatikan bentuk-bentuk pertidaksamaan berikut.
1
0
x 1
x 1
0
ii.
x2
i.
11
2x  3
0
x 1
x2  4
iv. 2
0
x x2
iii.
Tiap pertidaksamaan di atas memuat variabel x pada bagian penyebut dari suatu
pecahan. Pertidaksamaan dengan ciri demikian disebut pertidaksamaan pecahan
atau pertidaksamaan rasional.
Penyelesaian atau himpunan penyelesaian pertidaksamaan rasional dapat
ditentukan dengan menggunakan garis bilangan. Sebagai contoh, penyelesaian
pertidaksamaan rasional
x 1
0
x3
dapat ditentukan dengan langkah-langkah sbb.
Langkah 1
Nilai nol pada bagian pembilang: x +1 = 0 x = -1. Nilai nol pada bagian
penyebut: x – 3 = 0  x = 3.
Langkah 2
Nilai nol pada bagian pembilang dan penyebut ditempatkan pada diagram
garis bilangan.
Langkah 3
Tentukan tanda-tanda dalam interval untuk nilai-nilai x selain -1 dan 3.
x 1 1 1

 sehingga tanda dalam interval x < -1
Misal x = -2 maka nilai dari
x3 4 4
(+) atau >0.
x = 0, maka nilai dari
x 1
1
1

  sehingga tanda dalam interval -1<x<3 (-)
x3 3
3
atau < 0.
x = 4, maka nilai dari
x 1
1
4 1


 5 sehingga tanda dalam interval –x >
x3 3 43
3 (+) atau > 0.
12
Tanda-tanda interval itu ditulis dalam interval yang bersesuaian seperti
diperlihatkan gambar sbb.
x 1
 0 adalah -1 < x < 3 dan
x3
himpunan penyelesaiannya adalah HP  {x | 1  x  3}
Maka penyelesaian dari pertidaksamaan
Contoh 1:
x2  x
Tentukan penyelesaian dari
0 !
x2
Jawab :
Harga nol pembilang
x2  x  0
x( x  1)  0
x1  0  x2  1
Harga nol penyebut
x20
x  2
Jadi penyelesaiannya adalah -2<x<0
atau x > 1
Contoh 2:
Tentukan penyelesaian dari
Jawab:
Harga nol pada pembilang
x 2  4x  3  0
 ( x  3)( x  1)  0
 x  3 atau x  1
x 2  4x  3
0
x2  x  6
Harga nol penyebut
x2  x  6  0
 ( x  3)( x  2)  0
 x  3 atau x =2
13
Jadi himpunan penyelesaian dari
1  x  2 atau x >3}
x 2  4x  3
 0 adalah HP  {x | x  3 atau
x2  x  6
IV. Penggunaan Persamaan dan Pertidaksamaan Kuadrat
Segitiga ABC siku-siku di B, diketahui panjang sisi AB = x cm, BC = x+2 cm, AC = x+4
cm. Hitung panjang AB, BC, dan AC !
Jawab :
A
x+4
x
B
x+2
C
AB 2  BC 2  AC 2
 x 2  ( x  2) 2  ( x  4) 2
 x 2  x 2  4 x  4  x 2  8 x  16
 x 2  4 x  12  0
 ( x  6)( x  2)  0
 x  6 atau x  2 (tidak memenuhi)
Diperoleh x=6, maka AB=6 cm, BC=8 cm, dan AC= 10 cm
14
Petunjuk : Pilihlah satu jawaban yang paling tepat !
1. Akar-akar persamaan x 2  3x  m adalah α dan β. Bila diketahui α+3β = 5 maka nilai m
adalah .....
A. -28
B. -20
C. 0
D. 20
E. 28
NO. 1. A
2. Diketahui α dan β merupakan akar-akar persamaan 4 x 2  3x  2  0 . Persamaan
kuadrat lain yang akarnya (α+3) dan (β+3) adalah .....
A. 4 x 2  27 x  43  0
B. 4 x 2  27 x  43  0
C. 4 x 2  27 x  43  0
D. 4 x 2  27 x  43  0
E.  4 x 2  27 x  43  0
NO. 2. B
3. Nilai maksimum fungsi f ( x)  (t  3) x 2  2tx  5 adalah 9. Persamaan sumbu
simetrinya x =…..
2
3
A. atau 2
D. atau -2
3
2
2
3
B.
atau -2
E. atau 2
NO. 3. C
3
2
15
2
atau 2
3
4. 4) Jika fungsi kuadrat 2ax 2  4 x  3a mempunyai nilai maksimum 1 maka 27 a 3  9a 
A. -2
C. 3
E. 18
NO. 4. E
B. -1
D. 6
C. 
5. Grafik f ( x)  ax 2  (2a  6) x  2a  2 menyinggung sumbu x maka koordinat titik balik
maksimum adalah.....
A. (-3,0)
B. (-2,0)
C. (2,0)
D. (4,0)
E. (5,0)
NO. 5. D
6. Jika α dan β akar-akar persamaan x 2  nx  n  0 maka  2   2 mencapai minimum
untuk ....
1
3
A. -1
C.
E.
NO. 6. D
2
2
B. 0
D. 1
7. Akar-akar persamaan kx2  (2k  4) x  (k  8)  0 adalah sama. Hasil kali kedua akar
persamaan tersebut adalah ….
A. 1
B. 4
C. 9
D. 16
E. 25
NO. 7. C
8. Persamaan kuadrat yang akar-akarnya saling berlawanan tanda dari akar-akar
persamaan x 2  x  6  0 adalah ….
A.
B.
C.
D.
E.
 x2  x  6  0
 x2  x  6  0
x2  x  6  0
x2  x  6  0
x2  x  6  0
NO. 8. C
9. Keliling suatu segiempat adalah 40cm dan luasnya 96 cm2 ukuran segiempat tersebut
adalah …..
A. 12cm x 8cm
C. 14cm x 6cm
E. 16cm x 6cm
B. 13cm x 7cm
D. 15cm x 5cm
NO.9. A
10. Akar-akar persamaan kuadrat 2 x 2  qx  (q  1)  0 adalah m dan n. Jika m 2  n 2  4
maka nilai q adalah ......
A. -6 dan 2
B. -5 dan 3
C. -4 dan 4
D. -3 dan 5
E. -2 dan 6
NO.10. E
11. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan 2 x 2  7 x  15  0 adalah
16
1
2
1
B. x  5 atau x  1
2
1
C. x  1 atau x  5
2
1
D. 1  x  5
2
1
E.  1  x  5
2
A. x  5 atau x  1
Kunci: D
12. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan 3x 2  9 x  x 2  4 adalah ....
1
x4
A.
2
1
B.   x  4
2
1
C.  4  x 
2
1
D. x  atau x  4
2
1
E. x  4 atau x 
2
Kunci: A
13. Himpunan penyelesaian dari persamaan
A.
B.
C.
D.
E.
HP  {x | 5  x  2}
HP  {x | 5  x  2}
HP  {x | x  1 atau x  2}
HP  {x | x  5 atau x  2}
HP  {x | x  1 atau x  1}
x2
 0 adalah ....
x5
Kunci: E
14. Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan
A.
B.
C.
D.
E.
HP  {x | 1  x  2}
HP  {x | 1  x  2}
HP  {x | x  1 atau x  2}
HP  {x | x  1 atau x  2}
HP  {x | x  2 atau x  1}
x 1 1
 adalah ....
x 1 3
Kunci: C
17
15. Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan
x2  4
 0 adalah ....
x 2  8 x  15
A. HP  {x | 2  x  2 atau 3  x  5}
B. HP  {x | 2  x  2 atau 3  x  5}
C. HP  {x | x  2 atau 2  x  3}
D. HP  {x | x  2 atau 2  x  3 atau x  5}
E. HP  {x | x  2 atau x  5}
Kunci: B
18