MAKALAH KAPITA SELEKTA MATEMATIKA SMA

MAKALAH KAPITA SELEKTA MATEMATIKA SMA
PERSAMAAN DAN FUNGSI KUADRAT
Oleh :
Kelompok III Matkom III-A
NING MASITAH
(09320039)
UMMI LAILA NURJANNAH
(09320044)
JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN
KOMPUTASI
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH MALANG
2010
PERSAMAAN DAN FUNGSI KUADRAT
Dalam materi persamaan dan fungsi kuadrat terdapat 3 indikator, yaitu :
1. Membentuk persamaan kuadrat yang diketahui sifat – sifat akarnya.
2. Menentukan fungsi kuadrat yang diketahui satu titik dan titik puncaknya.
3. Mencari titik ekstrim dan sumbu simetri fungsi kuadrat.
A. Persamaan Kuadrat
1. Bentuk Umum Persamaan Kuadrat.
Bentuk umum persamaan kuadrat dalam variable atau peubah x
adalah sebagai berikut :
ax2 + bx +c = 0
dengan a, b, c bilangan real, dan a  0.
a disebut koefisien x2, b koefisien x, dan c disebut konstanta.
2. Membentuk persamaan kuadrat yang diketahui sifat - sifat akarnya.
a. Sifat – Sifat Akar Persamaan Kuadrat.
Misalkan persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0 dengan x1 dan x2
adalah akar-akarnya. Dengan menggunakan akar-akar persamaan kuadrat
dari rumus ABC, yaitu:
Maka x1 =
maka x2 =
Sehingga didapat hubungan :
x1 + x2 =
x1 . x2 =
Bentuk diatas dikenal sebagai sifat akar pada persamaan kuadrat.
b. Cara Menyusun Persamaan Kuadrat
Persamaan kuadrat yang akar – akarnya x1 dan x2 adalah :
( x – x1 ) . ( x – x2 ) = 0 atau x2 – ( x1 + x2 )x + ( x1 . x2 ) = 0.
Contoh soal :
1) Tentukan persamaan kuadrat yang akar – akarnya -3 dan 1/3.
Jawab :
( x – x1 ) . ( x – x2 ) = 0
( x – (-3)) . ( x – 1/3 ) = 0
( x + 3 ) . ( x – 1/3 ) = 0
x2 – 1/3 x + 3x – 1 = 0
x2 – 2 2/3 x – 1 = 0
x2 – 8/3 x – 1 = 0
2) Jika akar – akar persamaan kuadrat 2x2 – x -5 = 0 adalah p dan q,
maka persamaan juadrat yang akar – akarnya ( p -1) dan (q -1)
adalah
Jawab :
2x2 – x - 5 = 0; a = 2, b = -1, c = -5
Maka :
p + q = -b / a = - (-1) /2 = 1/2 dan p . q = c / a = -5 / 2
Sehingga :
( p–1)+(q–1)=(p+q)–2
= 1/2 – 2
= -3 / 2
( p – 1) ( q – 1 ) = pq – p – q + 1
= pq – ( p + q ) + 1
= -5/2 – (1/2) + 1
= -2
Jadi persamaan kuadratnya adalah :
x2 – ( x1 + x2 ) x + ( x1 . x2 ) = 0.
x2 – (( p – 1 ) + ( q – 1)) x + (( p – 1) ( q – 1 )) = 0.
x2 – ( -3/2 ) x + ( -2 ) = 0.
x2 + 3/2 x -2 = 0.
2x2 + 3x – 4 = 0.
B. Fungsi Kuadrat
1. Bentuk Umum Fungsi Kuadrat
Suatu fungsi yang mempunyai variable dengan pangkat tertinggi dua
disebut fungsi kuadrat. Bentuk umumnya :
F(x) = ax2 + bx + c ; a, b, c, є bilangan real dan a ≠ 0.
Contoh : a) f(x) = x2 – 4
b) f(x) = 2x2 + 5x + 6
2. Menentukan Fungsi Kuadrat yang Diketahui 1 Titik dan Titik
Puncaknya.
Jika fungsi kuadrat y = ax2 + bx + c mempunyai titik puncak P (xp , yp),
maka fungsi kuadrat tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk :
Y = a(x - xp)2 + yp
P (xp , yp)
y
A (x, y)
x
0
Selanjutnya untuk menentukan nilai a, kita subtitusikan nilai x dan y dari
suatu titik lain yang dilalui grafik fungsi kuadrat ke persamaan diatas.
Contoh soal :
1) Tentukan rumus fungsi kuadrat yang mempunyai titik puncak P (2, -1)
serta melalui titik A ( 0,3).
Jawab :
Dengan menggunakan rumus di atas untuk xp = 2 dan yp = -1, maka
diperoleh:
Y = a(x - xp)2 + yp
Y = a(x – 2)2 – 1
Karena grafik fungsi kuadrat tersebut melalui titik A( 0, 3), maka:
3 = a (0 - 2)2 – 1
3 = 4a – 1
3 + 1 = 4a
4 = 4a
A=1
Sehingga diperoleh:
Y = 1 (x – 2)2 – 1
Y = (x - 2) (x - 2) – 1
Y = x2 - 4x + 4 - 1
Y = x2 – 4x + 3
3.
Sumbu Simetri dan Titik Ekstrim
P
y
A (x1,
0)
A (x1, 0) B (x2, 0)
x
l
0
l
y
B (x2,
0)
x
0
P
Grafik fungsi kuadrat berbentuk parabol (seperti gambar di atas)
dapat menghadap ke bawah atau ke atas. Grafik itu mempunyai sumbu
simetri yaitu l, dan titik puncak P. Titik puncak disebut juga titik balik .
Jika grafik fungsi y = ax2 + bx +c dipotongkan dengan sumbu x,
yang berarti y = 0, maka diperoleh ax2 + bx +c = 0. Jika grafik fungsi
berpotongan di A (x1, 0) dan B (x2, 0), maka x adalah akar – akar
persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0. Dikatakan pula bahwa x1 dan x2
adalah pembuat nol fungsi f(x) = ax2 + bx +c.
Garis l adalah sumbu simetri, yang berarti melalui tengah – tengah
AB, sehingga persamaannya adalah
=
.
Titik P
diperoleh dengan memotongkan garis x = -b/2a dengan kurva y = ax2 + bx
+c.
y = -b/2a dan y = ax2 + bx +c , maka :
y = a (-b/2a)2 + b(-b/2a) + c
= b2 – 2b2 + 4ac / 4a = - b2 – 4ac / 4a = -D/4a.
Jadi koordinat titik puncak adalah P ( -b/2a , -D/4a ).
Karena terdapat dua akar yaitu x1 dan x2, maka pasti D > 0. Ini
berarti jika a > 0, maka (-D/4a) < 0, dan jika a < 0, maka (-D/4a) > 0.
Dengan kata lain, jka a > 0 maka grafik menghadap keatas, dan jika a < 0,
maka grafik menghadap ke bawah.
Jika grafik menghadap ke atas maka titik puncaknya adalah titik
puncak minimum, dan jika grafiknya menghadap ke bawah, maka titik
puncaknya adalah titik puncak maksimum. Dengan demikian, berlaku sifat
berikut :
Pada fungsi kuadrat f(x) = ax2 + bx +c dengan a ≠ 0
a. Grafiknya berbentuk parabola
b. Bila a > 0 grafik menghadap keatas.
c. Bila a < 0 grafik menghadap ke bawah.
d. Persamaan sumbu simetri x =
e. Koordinat titik puncak P
,
.
Titik ekstrim disebut juga titik puncak, yaitu: P
,
.
Contoh soal:
1) Tentukan sumbu simetri dan titik puncak maksimum dari persamaan
f(x) = - x2 + 8x – 12!
Jawab:
a = -1 < 0 → membuka ke bawah, punya titik puncak maksimum.
D = b2 – 4ac
= 82 – 4(-1) (-12)
= 64 – 48 = 16
Titik potong dengan sumbu x, berarti f(x) = 0
f(x) = 0 → - x2 + 8x – 12 = 0
→ x2 – 8x + 12 = 0
→ (x – 6) (x – 2) = 0
→ x = 6; x = 2
Jadi titik potong dengan sumbu x adalah M (6, 0) dan N (2, 0)
Titik potong dengan sumbu Y berarti x = 0
X = 0 → f(x) = - 02 + 8 . 0 – 12 = - 12
Jadi, titik potong dengan sumbu Y adalah P = (0, 12)
Persamaan sumbu simetri: x =
Titik puncak:
=
=4
=
=4
Jadi, titik puncak maksimumnya adalah G (4, 4)
=4
C. LATIHAN SOAL
1. Hitunglah persamaan kuadrat yang akar – akarnya mempunyai jumlah
2/3 dan hasil kalinya 5!
2. Akar – akar persamaan kuadrat x2 + bx + c = 0 adalah x1 dan x2.
Hitunglah persamaan kuadrat yang akar – akarnya x1 + x2 dan x1 . x2!
3. Fungsi kuadrat yang grafiknya berpuncak di titik (3, 2) dan melalui
titik (2, 4) adalah…….
4. Gambarlah grafik fungsi kuadrat berikut ini!
F(x) = x2 – 2x - 8
5. Jumlah dan hasil kali akar-akar dari persamaan 3x2 – 6x + 3 = 0 adalah
?
DAFTAR PUSTAKA
Abdurahman, Maman. 2006. Intisari Matematika SMA IPA : Ringkasan
Materi Lengkap Disertai Contoh Soal – Jawab dan Soal – Soal Latihan UNAS.
Kurikulum Berbasis Kompetensi, Penerbit CV PUSTAKA SETIA.
Kuncoro Priyo dan Ihsanudin. 2008. Panduan Praktis Siap Uji Menghadapi
UN SPMB IPA SMA. Penerbit ERLANGGA.
Foster, Bob. 2006. 1001 Plus Soal dan Pembahasan Matematika Seleksi
Penerimaan Mahasiswa Baru. Penerbit ERLANGGA.
Alders, C.J. dan Ir. Bahar. 1987. Ilmu Aljabar 2. Penerbit PT. Pradnya
Paramita.
Johanes. Kastolan. Sulasim. 2003. Kompetensi Matematika untuk Kelas 1
SMA Semester Pertama. Penerbit Yudhistira.
www.belajar-matematika.com
httpcom.umy.ac.idelschoolmuallimin_muhammadiyahfile.php1materiMatematika
PERSAMAAN%20DAN%20FUNGSI%20KUADRAT%20-%202%5B1%5D.pdf