UNIVERSITAS GADJAH MADA Bahan Ajar: RING DAN

UNIVERSITAS GADJAH MADA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
JURUSAN MATEMATIKA
PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKA
Sekip Utara, Gedung Jurusan Matematika, Yogyakarta - 55281
Bahan Ajar:
BAB / POKOK BAHASAN I
RING DAN SUBRING
Direncanakan Untuk Perkuliahan
Minggu ke-1 dan 2
PENGANTAR STRUKTUR ALJABAR II
(Semester III/3 SKS/MMM-2201)
Oleh:
Prof. Dr. Sri Wahyuni, M.S.
Dr.rer.nat. Indah Emilia Wijayanti, M.Si.
Dra. Diah Junia Eksi Palupi, M.S.
Didanai dengan dana DIPA-UGM (BOPTN)
Tahun Anggaran 2013
November 2013
BAB I
RING DAN SUBRING
Pada MK Pengantar Struktur Aljabar I telah diperkenalkan suatu struktur
aljabar abstrak, yaitu grup. Grup merupakan suatu himpunan tak kosong yang
dilengkapi suatu operasi biner dan memenuhi beberapa aksioma. Ada banyak contoh grup yang dapat kita temukan dalam kehidupan sehari-hari, yakni grup (Z, +),
(Q, +), (R, +), (M2×2 (R), +), dan lain sebagainya. Namun kenyataannya ada
banyak himpunan yang dilengkapi dengan dua operasi biner dan memenuhi beberapa aksioma tertentu, sehingga dapat didefinisikan suatu struktur aljabar abstrak.
Pada bab ini akan diperkenalkan struktur abstrak dengan dua operasi tersebut, yakni
struktur ring.
1.1. Pengantar: Sifat Himpunan Bilangan Bulat Terhadap Penjumlahan dan
Perkalian
Sebelum masuk ke pokok bahasan utama bab ini tentang Ring dan Subring,
terlebih dahulu akan ditampilkan sifat-sifat himpunan bilangan bulat terhadap operasi penjumlahan dan perkalian bilangan-bilangan yang tidak asing lagi bagi kita.
Sudah diketahui dari ”Pengantar Struktur Aljabar I (Pengantar Teori
Grup)” bahwa, himpunan bilangan bulat Z terhadap penjumlahan + merupakan
grup Abelian. Juga sudah diketahui bersama bahwa selain operasi penjumlahan pada himpunan bilangan bulat Z juga dapat didefinisikan operasi perkalian bilanganbilangan (dinotasikan dengan ·).
Dengan mudah dapat disimpulkan bahwa terhadap operasi penjumlahan +
dan perkalian ·, himpunan bilangan bulat Z bersifat:
1. terhadap penjumlahan +: (Z,+) merupakan grup Abelian
2. terhadap perkalian ·: Z bersifat assosiatif, yakni
(∀n1 , n2 , n3 ∈ Z)(n1 · n2 ) · n3 = n1 · (n2 · n3 )
1
3. terhadap keduanya (penjumlahan dan perkalian): Z bersifat distributif
kiri dan kanan, yakni
• (∀n1 , n2 , n3 ∈ Z)(n1 + n2 ) · n3 = (n1 · n3 ) + (n2 · n3 )
• (∀n1 , n2 , n3 ∈ Z)n1 · (n2 + n3 ) = (n1 · n2 ) + (n1 · n3 ).
1.2. Ring: Definisi, Contoh, dan Sifat Elementer
Dari fenomena sifat himpunan Z terhadap penjumlahan + dan perkalian ·
yang disebutkan dalam Subbab 1.1 di atas, didefiniskan struktur abstrak yang
disebut RING sebagai berikut.
Definisi 1.2.1. Misalkan R adalah sebarang himpunan tak kosong, dan pada R
didefinisikan 2 (dua) operasi yang dinotasikan dengan + dan · yang selanjutnya
disebut operasi penjumlahan dan perkalian. Himpunan R disebut RING terhadap
operasi penjumlahan + dan perkalian · jika memenuhi:
(i). terhadap penjumlahan +: (R,+) merupakan grup Abelian
(ii). terhadap perkalian ·: R bersifat assosiatif, yakni
(∀r1 , r2 , r3 ∈ R)(r1 · r2 ) · r3 = r1 · (r2 · r3 )
(iii). terhadap keduanya (penjumlahan dan perkalian): R bersifat distributif
kiri dan kanan, yakni
• distributif kiri: (∀r1 , r2 , r3 ∈ R) (r1 + r2 ) · r3 = (r1 · r3 ) + (r2 · r3 )
• distributif kanan: (∀r1 , r2 , r3 ∈ R) r1 · (r2 + r3 ) = (r1 · r2 ) + (r1 · r3 ).
Untuk mengefisienkan penulisan, himpunan R yang dilengkapi dengan operasi penjumlahan + dan perkalian · merupakan ring, dinotasikan tripel (R, +, ·).
Nampak jelas bahwa definisi ring merupakan abstraksi dari sifat yang dimiliki oleh
suatu obyek yang sudah kita kenal sehari-hari, yakni himpunan bilangan bulat Z
terhadap penjumlahan dan perkalian bilangan-bilangan.
Dari sini dengan mudah disimpulkan bahwa himpunan bilangan bulat Z
merupakan contoh ring terhadap operasi penjumlahan dan perkalian dan dituliskan
sebagai (Z, +, ·).
2
Contoh 1.2.2. Berikut contoh-contoh yang lain:
1. Dengan mudah dapat ditunjukkan bahwa himpunan bilangan rasional Q, himpunan bilangan real R, dan himpunan bilangan kompleks C juga merupakan
ring terhadap operasi penjumlahan dan perkalian bilangan-bilangan yang sudah
kita kenal sehari-hari. Oleh karena itu dapat dituliskan dengan notasi
• Ring (Q, +, .),
• Ring (R,+,)
• Ring (C,+,).
Namun himpunan bilangan asli N bukan merupakan ring sebab terhadap penjumlahan bukan merupakan grup.
2. Pandang himpunan matriks bujursangkar berukuran 2 × 2 dengan komponenkomponen bilangan real, yakni






a11 a12


| aij ∈ R, i, j : 1, 2 .
M2×2 (R) = A =


a21 a22
Dari sifat-sifat penjumlahan dan perkalian matriks yang sudah dipelajari dalam
MK Aljabar Linear Elementer dapat ditunjukkan bahwa M2×2 (R) merupakan
ring terhadap operasi penjumlahan dan perkalian matriks.
Selanjutnya untuk setiap bilangan asli n, dapat ditunjukkan bahwa








a11 a12 · · · a1n














 a21 a22 · · · a2n 


Mn×n (R) = A =  .
..
..  | aij ∈ R .


 ..

. ···
. 












a
a
··· a
n1
n2
nn
merupakan ring terhadap operasi terhadap operasi penjumlahan dan perkalian
matriks. Sehingga dapat dinyatakan dengan ring
(Mn×n (R), +, ·).
Proses memperluas dari M2×2 (R) ke Mn×n (R) merupakan salah contoh proses
generalisasi.
3
3. Pandang himpunan semua fungsi dari R ke R sebagai berikut
F (R, R) = {f : R → R | f fungsi}.
Dari MK Kalkulus kita dapat mendefinisikan operasi penjumlahan fungsi dan
juga perkalian fungsi sebagai berikut. Untuk sebarang f, g ∈ F (R, R) didefinisikan f + g dan f · g sebagai berikut:
(f + g)(x) = f (x) + g(x)
dan
(f · g)(x) = f (x) · g(x)
untuk setiap x ∈ R. Dengan menggunakan sifat-sifat dalam kalkulus dapat ditunjukkan bahwa F (R, R) merupakan ring. Sehingga dapat dinyatakan dengan
ring
(F (R, R), +, ·).
4. Dari MK Pengantar Logika Matematika dan Himpunan, sudah kita ketahui
bahwa jika A adalah sebarang himpunan maka himpuann kuasa dari A adalah
himpunan semua himpunan bagian A dinotasikan dengan
2A = {S | S ⊂ A}.
Dapat ditunjukkan bahwa (2A , +, ·) merupakan ring, dengan operasi penjumlahan dan perkaliannya didefinisikan sebagai berikut:
(∀S1 , S2 ∈ 2A )S1 + S2 = (S1 − S2 ) ∪ (S2 − S1 )
dan
(∀S1 , S2 ∈ 2A )S1 · S2 = S1 ∩ S2
5. Dari MK Teori Grup, kita sudah tahu bahwa jika (G, +) adalah grup abelian,
maka kita dapat membentuk himpunan semua endomorphisma dari G ke G,
yakni
End(G) = {f : G → G | f homomorphisma grup}.
4
Kita sudah tahu bahwa (End(G), +) merupakan merupakan grup Abelian. Selain itu kita dapat mendefinisikan operasi komposisi ◦ pada End(G), yakni
(f ◦ g)(x) = f (g(x)), ∀x ∈ G.
Dapat ditunjukkan bahwa (End(G), +, ◦) merupakan ring.
Sudah kita ketahui bahwa jika (R, +, ·) merupakan ring, maka jelas bahwa
(R, +) merupakan grup. Dengan demikian pada R akan terdapat elemen netral 0R
yang menenuhi:
(∀r ∈ R)0R + r = r + 0R = r,
dan setiap elemen r ∈ R terdapat −r ∈ R sedemikian hingga
r + (−r) = (−r) + r = 0R .
Berikut sifat-sifat dasar dari ring R dalam kaitannya dengan operasi perkaliannya.
Teorema 1.2.3. Jika (R, +, ·) merupakan ring, maka berlaku sifat-sifat sebagai
berikut:
(i). (∀r ∈ R)r · 0R = 0R · r = 0R
(ii). (∀r1 , r2 ∈ R)(−r1 ) · r2 = −(r1 · r2 ) = r1 · (−r2 )
(iii). (∀r1 , r2 ∈ R)(−r1 ) · (−r2 ) = (r1 · r2 )
(iv). (∀r1 , r2 ∈ R)(r1 + r2 )2 = r12 + r22 + r1 · r2 + r2 · r1
Bukti. (sebagai latihan)
Terkait dengan operasi perkalian, nampak bahwa dari contoh-contoh yang
diberikan sebelumnya bahwa pada suatu ring (R, +, ·) terhadap operasi perkalian,
R belum tentu bersifat:
(a). komutatif; sebagai contoh ring matriks (M2×2 (R), +, ·)
(b). mempunyai elemen satuan; sebagai contoh ring (2Z, +, ·) tidak mempunyai
elemen satuan terhadap perkalian
5
(c). setiap elemen mempunyai invers terhadap perkalian; sebagai contoh (Z, +, ·)
yang mempunyai invers terhadap perkalian hanyalah 1 dan -1.
Dari kenyataan diatas, didefinisikan jenis-jenis ring berikut ini.
Definisi 1.2.4. Misalkan (R, +, ·) suatu ring.
(i). Ring R disebut ring komutatif jika R komutatif terhadap perkalian.
(ii). Ring R disebut ring dengan elemen satuan jika R mempunyai elemen satuan
terhadap perkalian.
(iii). Ring R disebut ring komutatif dengan elemen satuan jika R komutatif dan
mempunyai elemen satuan terhadap perkalian.
(iv). Ring R disebut ring pembagian (division ring) jika R mempunyai elemen
satuan dan setiap elemen tak nol di R mempunyai invers terhadap perkalian.
Contoh 1.2.5.
1. Ring (2Z, +, ·) merupakan ring komutatif, namun tidak mem-
punyai elemen satuan.
2. Ring matriks (M2×2 (R), +, ·) merupakan ring dengan elemen satuan I2 . Ring
matriks M2×2 (R) bukan ring komutatif.
3. Ring (Z, +, ·), (R, +, ·), (Q, +, ·), dan (C, , +, ·) masing-masing merupakan
ring komutatif dengan elemen satuan.
Berikut ini merupakan akibat dari Teorema 1.2.3.
Akibat 1.2.6. Diberikan sebarang ring R dengan elemen satuan 1R . Elemen 0R
dan 1R merupakan elemen yang berbeda jika dan hanya jika R 6= {0R }.
Bukti. (⇒). Sudah jelas R 6= {0R }, sebab 1R ∈ R dan 1R 6= 0R .
(⇐). Diketahui R 6= {0R }. Misalkan a ∈ R sedemikian sehingga a 6= 0R .
Andaikan 1R = 0R , diperoleh a = a1R = a0R = 0R . Hal ini terjadi kontradiksi dengan fakta a 6= 0R . Jadi pengandaian salah, yang benar 1R 6= 0R .
6
1.3. Subring: Definisi dan Syarat Perlu dan Cukup
Sudah kita ketahui bahwa himpunan bilangan bulat genap dapat dinyatakan
sebagai
2Z = {2n | n ∈ Z},
dan dengan mudah dapat ditunjukkan bahwa terhadap operasi penjumlahan dan
perkalian bilangan bulat 2Z juga merupakan ring. Hal ini berbeda dengan himpunan bilangan ganjil
1 + 2Z = {1 + 2n | n ∈ Z}
bukan merupakan ring terhadap operasi penjumlahan bilangan-bilangan bulat, sebab tidak tertutup terhadap penjumlahan.
Dari fenomena ini, kita dapat mendefinisikan struktur subring sebagai berikut.
Definisi 1.3.1. Misalkan S adalah suatu himpunan bagian tak kosong dalam ring
(R,+,·). Himpunan S disebut subring dari R jika S juga merupakan ring terhadap
operasi penjumlahan dan perkalian yang sama pada ring R.
Jadi subring adalah suatu ring di dalam suatu ring. Nampak jelas bahwa 2Z
subring dalam ring (Z,+,·), dan 1 + 2Z bukan merupakan subring dalam (Z,+,·).
1. Dengan mudah dapat disimpulkan bahwa (Z,+,·) merupakan subring (Q,+,·),
juga merupakan subring di (R,+,·) dan (C,+,·).
2. Himpunan matriks segitiga atas






a11 a12
 | a11 , a12 , a22 ∈ R
T2×2 (R) = A = 


0 a22
merupakan subring dalam (M2×2 (R), +, ·). Begitu juga himpunan matriks
diagonal
D2×2 (R) =



A=
a11
0
0
a22

merupakan subring di (M2×2 (R), +, ·).
7

 | a11 , a22


∈R

Dari definisi subring, dapat disimpulkan bahwa suatu himpunan bagian dari
suatu ring (R, +, ·) merupakan ring jika:
1. terhadap penjumlahan +: (S,+) juga merupakan grup Abelian
2. terhadap perkalian ·: S juga bersifat assosiatif, yakni
(∀s1 , s2 , s3 ∈ S)(s1 · s2 ) · s3 = s1 · (s2 · s3 )
3. terhadap keduanya (penjumlahan dan perkalian): S bersifat distributif kiri
dan kanan, yakni
• (∀s1 , s2 , s3 ∈ S)(s1 + s2 ) · s3 = (s1 · s3 ) + (s2 · s3 )
• (∀s1 , s2 , s3 ∈ S)s1 · (s2 + s3 ) = (s1 · s2 ) + (s1 · s3 )
Nampak bahwa:
1. Syarat 1 ekuivalen dengan menyatakan bahwa S merupakan subgrup dalam grup
(R, +), hal ini ekuivalen dengan terpenuhinya:
(∀s1 , s2 ∈ S)(s1 − s2 ) ∈ S.
2. Syarat 2 merupakan syarat keassosiatifan yang pasti terpenuhi oleh sebarang
himpunan bagian dari R. Terhadap operasi · ini yang masih harus dicek adalah
sifat ketertutupannya yakni
(∀s1 , s2 ∈ S)(s1 · s2 ) ∈ S.
3. Syarat 3 merupakan syarat kedistributifanan, yang juga pasti terpenuhi oleh sebarang himpunan bagian dari R.
Dengan demikian, kita dapat menurunkan syarat perlu dan cukup agar himpunan bagian S dalam ring R merupakan subring dalam teorema sebagai berikut.
Teorema 1.3.2. Misakan S himpunan tak kosong dalam ring (R, +, ·). Himpunan
S merupakan subring dari R jika dan hanya jika
(∀s1 , s2 ∈ S)(s1 − s2 ), s1 · s2 ∈ S.
8
Bukti. (⇒). Diketahui S merupakan subring dari (R, +, ·), sehingga berdasarkan
penjelasan sebelumnya diperoleh bahwa untuk setiap s1 , s2 ∈ S berlaku
s1 − s2 ∈ S dan s1 · s2 ∈ S.
(⇐). (sebagai latihan)
Teorema di atas memberikan pada kita cara yang lebih efisien untuk mengecek suatu himpunan bagian dari suatu ring merupakan subring atau bukan.
1.4. Latihan
Kerjakan soal-soal latihan berikut ini.
1. Untuk sebarang ring (R, +, ·), tunjukkan bahwa {0} merupakan subring!
2. Apakah ring (2A , +, ·) pada Contoh 1.2.2 (4) merupakan ring dengan elemen
satuan? Jelaskan!
3. Jika (R1 , +1 , ·1 ) dan (R2 , +2 , ·2 ) merupakan ring, tunjukkan bahwa R1 ×R2 juga
merupakan ring terhadap operasi penjumlahan + dan perkalian · sebagai berikut:
(x1 , y1 ) + (x2 , y2 ) = (x1 +1 x2 , y1 +2 y2 )
(x1 , y1 ) · (x2 , y2 ) = (x1 ·1 x2 , y1 ·2 y2 )
untuk setiap (x1 , y1 ), (x2 , y2 ) ∈ R1 × R2 !
4. Tunjukkan secara umum himpunan kZ merupakan subring pada ring bilangan
bulat Z !
5. Misalkan A adalah sebarang himpunan tak kosong. Selanjutnya didefinisikan
himpunan semua fungsi dari A ke R sebagai berikut ini
F (A, R) = {f : A → R | f fungsi}.
Selanjutnya didefinisikan operasi penjumlahan + dan kali · pada F (A, R) sebagai beikut. Untuk setiap f1 , f2 ∈ F (A, R) dan untuk setiap a ∈ A,
(f1 + f2 )(a) = f1 (a) + f2 (a)
9
(f1 · f2 )(a) = f1 (a) · f2 (a).
Perhatikan bahwa soal ini adalah perluasan (generalisasi) dari Contoh 1.2.2 (3),
yakni dengan mengganti R dengan sebarang himpunan A. Buktikan (F (A, R), +, ·)
merupakan ring !
6. Tunjukkan jika S1 dan S2 masing-masing merupakan subring dalam ring (R, +, ·)
maka S1 ∩S2 juga merupakan subring di R, tetapi S1 ∪S2 belum tentu merupakan
subring!
7. Misalkan (R, +, ·) merupakan ring. Tunjukkan bahwa himpunan
C(R) = {a ∈ R | (∀x ∈ R)ax = xa}
merupakan subring! Subring C(R) selanjutnya disebut pusat (center) dari ring
R.
8. Misalkan S sebarang himpunan, R sebarang ring, dan f : S → R fungsi bijektif.
Untuk setiap x ∈ S, didefinisikan operasi penjumlahan dan perkalian sbb.:
x + y = f −1 (f (x) + g(y))
x · y = f −1 (f (x) · g(y)).
Tunjukkan bahwa S merupakan ring terhadap operasi penjumlahan dan perkalian
tersebut!
9. Buktikan bahwa untuk sebarang ring R, himpunan matriks berukuran n × n atas
ring R terhadap operasi penjumlahan dan perkalian matriks merupakan ring!
10. Misalkan



 z

z2
1
 | z1 , z2 ∈ C
M= 
 −z z

2
1
dengan z notasi konjugat dari bilangan kompleks z. Buktikan bahwa M merupakan ring terhadap operasi penjumlahan dan perkalian matriks!
10