pertemuan 4 analisis vektor

[email protected]
PERTEMUAN 4
ANALISIS VEKTOR
VEKTOR PADA BIDANG
Definisi 7
Jika diketahui: 𝑎 = 𝑎1 𝑖 + 𝑎2 𝑗 + 𝑎3 𝑘 dan 𝑏 = 𝑏1 𝑖 + 𝑏2 𝑗 + 𝑏3 𝑘, maka
1. Jumlah dua vektor
𝑎 + 𝑏 = (𝑎1 + 𝑏1 )𝑖 + (𝑎2 + 𝑏2 )𝑗 + (𝑎3 + 𝑏3 )𝑘
(1)
2. Pengurangan (subtraction)
𝑎 − 𝑏 = (𝑎1 − 𝑏1 )𝑖 + (𝑎2 − 𝑏2 )𝑗 + (𝑎3 − 𝑏3 )𝑘
(2)
3. Perkalian skalar𝜆 dengan vektor 𝑎 = 𝑎1 𝑖 + 𝑎2 𝑗 + 𝑎3 𝑘
𝜆𝑎 = (𝜆𝑎1 )𝑖 + (𝜆𝑎2 )𝑗 + (𝜆𝑎3 )𝑘
(3)
HASIL KALI SKALAR (DOT PRODUCT ATAU SCALAR PRODUCT)
Definisi 8
Hasil kali skalar dua vektor 𝑎 dan 𝑏 ditulis 𝑎 ⋅ 𝑏, yaitu:
𝑎 ⋅ 𝑏 = |𝑎||𝑏| cos 𝜃
(4)
dimana |𝑎| = panjang 𝑎, |𝑏| = panjang 𝑏
𝜃 =sudut terkecil yang dibentuk oleh 𝑎 dan 𝑏
Karena
𝑎 ⋅ 𝑏 = |𝑎||𝑏| cos 𝜃 = |𝑏||𝑎| cos 𝜃 = 𝑏 ⋅ 𝑎
Jadi,
𝑎⋅𝑏=𝑏⋅𝑎
(5)
Sifat komutatif 𝑎 dan 𝑏 terhadap dot product.
Arti geometris 𝑎 ⋅ 𝑏
GAMBAR 7
Page | 1
DIKTAT KULIAH
[email protected]
KOMPONEN VEKTOR DALAM RUANG DAN BIDANG
Pada sistem sumbu koordinat 𝑥, 𝑦, 𝑧 (sistem tangan kanan atau right handed system) diletakkan:
vektor satuan 𝑖 pada arah sumbu 𝑋 positif
GAMBAR 8
vektor satuan 𝑗 pada arah sumbu 𝑌 positif
vektor satuan 𝑘 pada arah sumbu 𝑍 positif
Misalkan diketahui titik 𝑃(𝑥, 𝑦, 𝑧) dalam ruang berdimensi tiga.Vektor dari titik asal 𝑂 ke titik 𝑃
dinamakan vektor posisi (position vector) oleh titik 𝑃.
Jika vektor posisi untuk titik 𝑃 ditulis dengan notasi 𝑂𝑃 atau 𝑟, maka
𝑟 = 𝑂𝑃 = 𝑥𝑖 + 𝑦𝑗 + 𝑧𝑘
Jadi, 𝑥 ialah koefisien 𝑖, 𝑦 ialah koefisien 𝑗, 𝑧 ialah koefisien 𝑘.
Setiap titik dalam ruang mempunyai vektor posisi.
Contoh 9
Titik 𝐴(𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 ) mempunyai vektor posisi 𝑎 = 𝑎1 𝑖 + 𝑎2 𝑗 + 𝑎3 𝑘.
Titik 𝐵(𝑏1 , 𝑏2 , 𝑏3 ) mempunyai vektor posisi 𝑏 = 𝑏1 𝑖 + 𝑏2 𝑗 + 𝑏3 𝑘.
Titik 𝐴(2,1,3) mempunyai vektor posisi 𝑎 = 2𝑖 + 1𝑗 + 3𝑘.
GAMBAR 9
𝑒=
𝑎
|𝑎|
=
𝑎1 𝑖 + 𝑎2 𝑗 + 𝑎3 𝑘
√𝑎1 2 + 𝑎2 2 + 𝑎3 2
|𝑏| cos 𝜃 = panjang proyeksi 𝑏 pada 𝑎
𝑎 ⋅ 𝑏 = |𝑎||𝑏| cos 𝜃 = panjang 𝑎 kali panjang proyeksi 𝑏 pada 𝑎
= |𝑏||𝑎| cos 𝜃 = panjang 𝑏 kali panjang proyeksi 𝑎 pada 𝑏
Khusus untuk vektor-vektor satuan pada arah-arah positif sumbu koordinat, berlaku:
𝑖⋅𝑖 =1
𝑖⋅𝑗 =𝑗⋅𝑖 =0
𝑗⋅𝑗 =1
𝑗⋅𝑘 =𝑘⋅𝑗 =0
𝑘⋅𝑘 =1
𝑘⋅𝑖 =𝑖⋅𝑘 =0
Page | 2
DIKTAT KULIAH
[email protected]
Karena menurut persamaan (4)
𝑖 ⋅ 𝑖 = |𝑖||𝑖| cos 0° = (1)(1)(1) = 1
𝑖 ⋅ 𝑗 = |𝑖| |𝑗| cos 90° = (1)(1)(0) = 0
Sifat distributif juga berlaku:
1. Sifat distributif kiri
𝑎 ⋅ (𝑏 + 𝑐) = 𝑎 ⋅ 𝑏 + 𝑎 ⋅ 𝑐
(6)
(𝑎 + 𝑏) ⋅ 𝑐 = 𝑎 ⋅ 𝑐 + 𝑏 ⋅ 𝑐
(7)
2. Sifat distributif kanan
Jika diketahui: 𝑎 = 𝑎1 𝑖 + 𝑎2 𝑗 + 𝑎3 𝑘 dan 𝑏 = 𝑏1 𝑖 + 𝑏2 𝑗 + 𝑏3 𝑘, maka
(8)
𝑎 ⋅ 𝑏 = 𝑎1 𝑏1 + 𝑎2 𝑏2 + 𝑎3 𝑏3
Berdasarkan persamaan (8), diperoleh:
𝑎 ⋅ 𝑎 = 𝑎1 𝑎1 + 𝑎2 𝑎2 + 𝑎3 𝑎3 = 𝑎1 2 + 𝑎2 2 + 𝑎3 2
(9)
Dari persamaan (4) diperoleh:
2
2
𝑎 ⋅ 𝑎 = |𝑎||𝑎| cos 0° = |𝑎||𝑎| = |𝑎| atau|𝑎| = 𝑎 ⋅ 𝑎 atau |𝑎| = √𝑎 ⋅ 𝑎
(10)
Dari persamaan (9) dan (10) diperoleh: (rumus untuk mencari panjang 𝑎)
(11)
|𝑎| = √𝑎 ⋅ 𝑎 = √𝑎1 2 + 𝑎2 2 + 𝑎3 2
Dari persamaan (4) diperoleh: (rumus untuk mencari 𝜃, cos 𝜃 negative, 𝜃 sudut tumpul)
cos 𝜃 =
𝑎⋅𝑏
(12)
|𝑎||𝑏|
Proyek 10
Diketahui 𝑎 = 2𝑖 + 1𝑗 + 3𝑘, 𝑏 = 𝑖 − 4𝑘, dan 𝑐 = 3𝑖 − 𝑗 + 2𝑘
Carilah:
a. 𝑎 ⋅ 𝑏, 𝑏 ⋅ 𝑎
f. (𝑎 + 𝑏) ∙ 𝑐
b. |𝑎|, |𝑏|, |𝑐|
g. cos 𝜃 dimana 𝜃 = sudut yang dibentuk oleh 𝑎 dan 𝑏
c. |𝑎 + 𝑏|, |𝑎 + 𝑐|
h. Vektor satuan 𝑒 pada arah 𝑎
d. (𝑎 − 𝑏) ∙ 𝑐
e. 3𝑎 ⋅ 2𝑐, 6(𝑎 ∙ 𝑐)
Page | 3
DIKTAT KULIAH
[email protected]
HASIL KALI SILANG (CROSS PRODUCT/VECTOR PRODUCT)
Definisi 11
Hasil kali silang (cross product) dari 𝑎 dan 𝑏 ditulis 𝑎 × 𝑏 didefinisikan sebagai
𝑎 × 𝑏 = |𝑎||𝑏| sin 𝜃 𝑒
(13)
dimana
|𝑎| = panjang 𝑎
|𝑏| = panjang 𝑏
𝑒 = vektor satuan yang tegak lurus pada 𝑎 dan 𝑏, dan arahnya seperti arah gerak maju sekrup
Putar kanan, bila sekrup diputar dari 𝑎 ke 𝑏 (lihat Gambar 10)
Gambar 10
Arti geometris 𝑎 × 𝑏:
|𝑏| sin 𝜃 ialah tinggi jajaran genjang yang dilukiskan oleh 𝑎 dan 𝑏
|𝑎| = panjang alas jajaran genjang yang dilukiskan oleh 𝑎 dan 𝑏
Jadi, |𝑎 × 𝑏| = |𝑎||𝑏| sin 𝜃 |𝑒| = luas jajaran genjang yang dilukiskan oleh 𝑎 dan 𝑏.
Oleh karena itu, 𝑎 × 𝑏 ialah vektor yang tegak lurus pada 𝑎 dan 𝑏 yang besarnya sama dengan
luas maju sekrup putar kanan bila sekrup diputar dari 𝑎 ke 𝑏.
Jika urutan vektor dibalik, maka diperoleh −𝑎 × 𝑏. Jadi, 𝑏 × 𝑎 = −𝑎 × 𝑏 atau
𝑎 × 𝑏 = −𝑏 × 𝑎
(14)
Sifat distributif berlaku, yaitu:
𝑎 × (𝑏 × 𝑐) = 𝑎 × 𝑏 + 𝑎 × 𝑐
(15a)
(𝑎 × 𝑏) × 𝑐 = 𝑎 × 𝑐 + 𝑏 × 𝑐
(15b)
Khusus untuk vektor-vektor satuan pada arah sumbu-sumbu koordinat, menurut (13) diperoleh:
𝑖 × 𝑗 = |𝑖| |𝑗| sin 90° 𝑘 = (1)(1)(1)𝑘 = 𝑘
𝑖 × 𝑖 = |𝑖||𝑖| sin 0° 𝑒 = (1)(1)(0)𝑒 = 0
Page | 4
DIKTAT KULIAH
[email protected]
Dengan cara yang sama, rumus-rumus lainnya dapat diturunkan, dan diperoleh hasil-hasil
sebagai berikut.
𝑖×𝑗 =−𝑗×𝑖 =𝑘
𝑖×𝑖 = 0
𝑗×𝑘 = −𝑘×𝑗 =𝑖
𝑗×𝑗 = 0
𝑘×𝑖 =−𝑖×𝑘 =𝑗
𝑘×𝑘 = 0
(16)
Jika diketahui 𝑎 = 𝑎1 𝑖 + 𝑎2 𝑗 + 𝑎3 𝑘 dan 𝑏 = 𝑏1 𝑖 + 𝑏2 𝑗 + 𝑏3 𝑘, maka berlaku:
𝑖
𝑎 × 𝑏 = |𝑎1
𝑏1
𝑗
𝑎2
𝑏2
𝑘
𝑎3 |
𝑏3
(17)
Tugas 12
Buktikan bahwa berlaku persamaan (17) di atas!
Proyek 13
Diketahui 𝑎 = 𝑎1 𝑖 + 𝑎2 𝑗 + 𝑎3 𝑘 dan 𝑏 = 𝑏1 𝑖 + 𝑏2 𝑗 + 𝑏3 𝑘, tentukanlah:
1. 𝑎 × 𝑏
2. 𝑏 × 𝑎
3. (𝑎 + 𝑏) × (𝑎 − 𝑏)
Catatan:
COBA SELESAIKAN PROYEK 10, TUGAS 12, DAN PROYEK 13
DIKIRIM (BISA TULIS TANGAN LALU DISCAN) KE: [email protected]
SEBELUM PERTEMUAN BERIKUTNYA, TERIMA KASIH.
Yogyakarta, 20 Oktober 2014
ttd
Heru Sukoco, S.Si., M.Pd.
Page | 5
DIKTAT KULIAH