modul vektor - WordPress.com

VEKTOR
1. Pengertian
Vektor adalah besaran yang memiliki besar (nilai) dan arah. Vektor merupakan sebuah ruas garis yang
berarah dan memiliki panjang. Panjang ruas garis tersebut adalah panjang vektor. Ruas
Q garis dari titik P dan berujung di titik Q maka vektornya disebut vektor ̅̅̅̅
𝑃𝑄 . Panjang vektor
a
̅̅̅̅̅|. Penulisan huruf kecil yang dicetak tebal adalah salah
̅̅̅̅ ini dilambangkan dengan |𝑃𝑄
𝑃𝑄
satu cara penulisan vektor. Vektor ̅̅̅̅
𝑃𝑄 disamping dapat ditulis sebagai vektor a. Dapat juga
P
huruf kecil dibubuhi tanda panah diatasnya seperti vektor 𝑎⃗.
Perhatikan gambar berikut:
Dengan menggunakan rumus jarak antara 2 titik, maka dapat ditentukan
y
panjang vektor a dan b dengan rumus:
b2
B(b1,b2)
Panjang vektor a adalah |𝒂| = √𝑎12 + 𝑎22
c
A(a1,a2)
a2
Panjang vektor a adalah |𝒃| = √𝑏12 + 𝑏22
b
a
a1
x
b1
O
Pada gambar diatas juga terdapat vektor c dengan panjang vektor c
adalah |𝒄| = √(𝑏1 − 𝑎1 )2 + (𝑏2 − 𝑎2 )2
Untuk setiap vektor a yang bukan vektor nol, dapat ditentukan suatu vektor satuan dari vektor a,
dilambangkan dengan 𝑒̂ . Vektor satuan arahnya searah dengan vektor a dan panjangnya sama dengan satu
satuan.
𝑎
Jika vektor 𝒂 = (𝒙𝒚), maka vektor satuan dari a dirumuskan dengan: 𝑒̂ = |𝑎| =
1
(𝑥 )
√𝑥 2 +𝑦2 𝑦
Vektor – vektor satuan 𝑖̂ dan 𝑗̂ dapat dinyatakan dengan vector kolom, yaitu: 𝑖̂ = (10) 𝑑𝑎𝑛 𝑗̂ = (01)
Dengan pemahaman yang sama seperti vektor pada bidang (R2), kalian dapat memahami vektor pada ruang
(R3).
2. Operasi Hitung pada Vektor
a. Penjumlahan dan Pengurangan Vektor
Perhatikan titik-titik A(a1, a2), B(b1, b2), dan C(c1, c2) pada koordinat Cartesius berikut ini!
Pada gambar tersebut, vektor a, b, dan c dapat kalian tulis sebagai berikut.
a = (b1 – a1, b2 – a2)
y
1
Dapat pula ditulis, 𝒂 = (𝑏𝑏1 −𝑎
)
−𝑎
2
b2
B(b1,b2)
c
A(a1,a2)
a2
a1
2
b1
O
b = (c1 – b1, c2 – b2)
1
Dapat pula ditulis, 𝒃 = (𝑐𝑐1 −𝑏
)
−𝑏
b
a
2
x
2
c = (c1 – a1, c2 – a2)
1
Dapat pula ditulis, 𝒄 = (𝑐𝑐1 −𝑎
)
−𝑎
2
2
Sekarang, jumlahkanlah vektor a dan b. Karena vektor merupakan matriks kolom, maka kalian dapat
menjumlahkan vektor a dan b dengan menggunakan aturan penjumlahan matriks.
Dengan aturan ini, akan diperoleh:
𝑏1 − 𝑎1
𝑐1 − 𝑏1
𝑏1 − 𝑎1 + 𝑐1 − 𝑏1
𝑐1 − 𝑎1
𝒂+𝒃= (
)+(
)=(
)=(
)
𝑏2 − 𝑎2
𝑐2 − 𝑏2
𝑏2 − 𝑎2 + 𝑐2 − 𝑏2
𝑐2 − 𝑎2
1
Perhatikan bahwa (𝑐𝑐1 −𝑎
)=𝒄
−𝑎
2
2
Uraian tersebut menunjukkan bahwa a + b = c.
Secara geometris, penjumlahan antara vektor a dan b ini dapat kalian lakukan dengan dua cara, yaitu:
a. Cara Segitiga
Dalam cara ini, titik pangkal vektor b berimpit ruas dengan titik ujung vektor
a. Jumlah vektor a dan b didapat dengan menarik ruas garis dari titik pangkal
vektor a ke titik ujung vektor b. Ruas garis ini diwakili oleh vektor c.
Akibatnya, a + b = c.
b.
Cara Jajargenjang
Misalkan, vektor a mewakili ruas garis berarah dari titik pangkal A ke
titik B dan vektor b mewakili ruas garis berarah dari titik pangkal C ke
titik D. Dalam cara jajargenjang, titik pangkal vektor a berimpit dengan
titik pangkal vektor b, yaitu A = C. Dengan membuat jajargenjang
ABED, akan diperoleh:
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵 + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐷 = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵 + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐵𝐸
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐵𝐸
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )
(Oleh karena 𝐴𝐷
= ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐸
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
Oleh karena ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵 = 𝒂, ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐷(Gunakan
= 𝒃 𝑑𝑎𝑛 cara
𝐴𝐸 =segitiga)
𝒄, 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝒂 + 𝒃 = 𝒄. Sekarang, jika
vector a dijumlahkan dengan invers vector b, maka akan didapat penjumlahan
vector a +(-b) seperti pada gambar di samping.
Seperti pada bilangan real, kalian dapat menuliskan a + (-b) = a - b.
Secara geometris, kita dapat mengurangkan a dengan b seperti pada
gambar di samping.
Dengan menggunakan aturan penjumlahan dan pengurangan matriks kolom,
kalian dapat menyatakan aturan penjumlahan dan pengurangan vektor sebagai
Perhatikan gambar
berikut.
berikut!
 Untuk a dan b vector – vector di R2, berlaku:
𝑎1
𝑏1
𝑎1 + 𝑏1
𝒂+𝒃=( )+( )=(
)
𝑎2
𝑏2
𝑎2 + 𝑏2
𝑎1
𝑏1
𝑎1 − 𝑏1
𝒂−𝒃=( )−( )=(
)
𝑎2
𝑏2
𝑎2 − 𝑏2
Dengan menggunakan pasangan terurut, dapat dituliskan:
𝒂 + 𝒃 = (𝑎1 , 𝑎2 ) + (𝑏1 , 𝑏2 ) = (𝑎1 + 𝑏1 , 𝑎2 + 𝑏2 )
𝒂 − 𝒃 = (𝑎1 , 𝑎2 ) − (𝑏1 , 𝑏2 ) = (𝑎1 − 𝑏1 , 𝑎2 − 𝑏2 )
 Untuk a dan b vektor – vektor di R3, berlaku:
Dari gambar di atas,
dapat dinyatakan:
 b+c=a
 d+e=c
 b+d+e=a
𝑎1 + 𝑏1
𝑎1
𝑏1
𝑎
𝒂 + 𝒃 = ( 2 ) + (𝑏2 ) = (𝑎2 + 𝑏2 )
𝑎3
𝑏3
𝑎3 + 𝑏3
𝑎1 − 𝑏1
𝑎1
𝑏1
𝒂 − 𝒃 = (𝑎2 ) − (𝑏2 ) = (𝑎2 − 𝑏2 )
𝑎3
𝑏3
𝑎3 − 𝑏3
Dengan menggunakan pasangan terurut, dapat dituliskan:
𝒂 + 𝒃 = (𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 ) + (𝑏1 , 𝑏2 , 𝑏3 ) = (𝑎1 + 𝑏1 , 𝑎2 + 𝑏2 , 𝑎3 + 𝑏3 )
𝒂 − 𝒃 = (𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 ) − (𝑏1 , 𝑏2 , 𝑏3 ) = (𝑎1 − 𝑏1 , 𝑎2 − 𝑏2 , 𝑎3 + 𝑏3 )
b. Perkalian Skalar dengan Vektor
Pada bagian sebelumnya, kita telah mempelajari penjumlahan vektor. Apa yang terjadi jika vektorvektor yang dijumlahkan adalah k vektor yang sama? Dalam penjumlahan tersebut, kita akan
mendapatkan sebuah vektor baru yang setiap komponen-komponennya diperoleh dengan mengalikan k
dengan setiap komponen-komponen vektor u. Akibatnya, vektor baru tersebut segaris dengan vektor u
dan memiliki panjang 𝑘|𝒖|.
Jika k skalar tak nol dan vektor 𝒖 = (𝑢1 , 𝑢2 , … , 𝑢𝑛 ),
maka 𝑘𝒖 = (𝑘𝑢1 , 𝑘𝑢2 , … , 𝑘𝑢𝑛 )
Dalam perkalian skalar dengan vektor ini, jika k > 0, maka vektor ku searah dengan vektor u. Adapun
jika k < 0, maka vektor ku berlawanan arah dengan vektor u.
c. Sifat – sifat Operasi Hitung pada Vektor
Jika a, b, dan c vektor-vektor di R2 atau di R3 dan k serta l skalar tak nol maka berlaku hubungan berikut:
a. a + b = b + a
b. (a + b ) + c = a + ( b + c )
c. a + 0 = 0 + a = a
d. a + (-a) = 0
e. k (la) = (kl) a
f. k ( a + b ) = ka + kb
g. (k + l) a = ka + la
h. Ia = a
d. Perbandingan Vektor
Dalam perbandingan PN : NQ = m : n terdapat dua kasus, yaitu:
1. Titik N membagi PQ di dalam.
PN : NQ = m : n
2. Titik N membagi PQ di luar.
PN : NQ = m : (-n)
e. Perkalian Skalar Dua Vektor
B
b
Jika a dan b vektor – vektor non nol dan 𝛼 sudut di antara vektor a dan b, maka
perkalian scalar vektor a dan b didefinisikan oleh a . b = |a||b| cos 𝛼.
Jika a = (a1,a2,…,an) dan b = (b1,b2,…,bn) adalah sembarang vektor pada Rn,
maka hasil kali dalam atau perkalian akalarnya adalah a . b = a1b1+a2b2+…+anbn.
𝛼
A
O
a
Jika a, b dan c vektor – vektor di R2 atau di R3 dan k skalar tak nol, maka terdapat sifat – sifat sebagai
berikut:
1.
a.b = b.a
2.
a.(b+c) = a.b + a.c
3.
k(a.b) = (ka).b = a.(kb)
4.
a.a = |a|2
f. Perkalian Silang Dua Vektor
Bila vektor 𝑎⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑥1 𝑖 + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑦1 𝑗 + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑧1 𝑘 dan vektor 𝑏⃗⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑥2 𝑖 + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑦2 𝑗 + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑧2 𝑘, maka perkalian silang dua vektor
dirumuskan sebagai berikut:
⃗⃗
𝑎⃗ × 𝑏⃗⃗ = (𝑦1 𝑧2 − 𝑦2 𝑧1 )𝑖⃗ + (𝑥2 𝑧1 − 𝑥1 𝑧2 )𝑗⃗ + (𝑥1 𝑦2 − 𝑥2 𝑦1 )𝑘
Jika terdapat dua vektor 𝑎⃗ dan 𝑏⃗⃗ di R-3, dan 𝜃 adalah sudut apit antara 𝑎⃗ dan 𝑏⃗⃗, maka
|𝑎⃗ × 𝑏⃗⃗ | = |𝑎⃗||𝑏⃗⃗| sin 𝜃
3. Contoh Soal
a. Tentukan panjang vektor berikut:
1) ⃗⃗⃗⃗
3𝑖 − ⃗⃗⃗⃗
4𝑗
2) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
−5𝑖 − ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
12𝑗
3) ⃗⃗⃗⃗
6𝑖 + ⃗⃗⃗⃗
6𝑗 + ⃗⃗⃗⃗⃗
6𝑘
−3
4) [ 0 ]
5
9
5) [−1]
4
6) PQ jika P (0,1) dan Q (6,0)
7) AB jika A (6, 6, 9) dan B (2, -2, -3).
⃗⃗ dan 𝑏⃗⃗ = −2𝑖
⃗⃗⃗⃗ +
⃗⃗⃗⃗ − 2𝑗
⃗⃗⃗⃗ + 𝑘
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 5𝑗
b. Misalkan vektor posisi dari titik A dan B berturut-turut adalah 𝑎⃗ = 3𝑖
⃗⃗⃗⃗⃗. Tentukan vektor-vektor yang mewakili ruas garis 𝐴𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ dan 𝐵𝐴
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ dalam bentuk kombinasi linear.
4𝑘
𝑥
−1
⃗
⃗
3
c. Misalkan vektor 𝑎⃗ = [ ] dan vektor 𝑏 = [ 1 ]. Jika |𝑎⃗| = |𝑏⃗⃗|, tentukan nilai x.
4
5
⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗
d. Diketahui 𝑎⃗ = ⃗⃗⃗⃗
2𝑖 + 𝑗⃗ − ⃗⃗⃗⃗⃗
4𝑘 dan 𝑏⃗⃗ = −4𝑖
3𝑖 − ⃗⃗⃗⃗⃗
5𝑘 . Tentukan:
1) 2𝑎⃗ − 3𝑏⃗⃗
2) |2𝑎⃗ − 3𝑏⃗⃗|
⃗⃗⃗⃗ − 3𝑗
⃗⃗⃗⃗⃗ dan 𝑏⃗⃗ = 4𝑖
⃗⃗⃗⃗⃗, dimana 𝑎⃗ ∙ 𝑏⃗⃗ = 12. Hitunglah nilai p!
⃗⃗⃗⃗ + 2𝑘
⃗⃗⃗⃗ − 𝑝𝑘
⃗⃗⃗⃗ + 2𝑗
e. Diketahui 𝑎⃗ = 5𝑖
f. Misalkan U adalah titik (5, 4, -1) dan V adalah titik (11, -3, 2).
1) Tentukan titik tengah ruas garis yang menghubungkan U dan V.
2) Cari titik pada ruas garis yang menghubungkan U dan V yang berada pada jarak
2
5
kali dari jarak
dari U ke V.
g. Ditentukan koordinat titik-titik A(-2, 6, 5), B(2, 6, 9), C(5, 5, 7), dan titik P terletak pada AB sehingga
AP : PB = 3 : 1. Tentukan:
1) Koordinat titik P
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ dalam bentuk kombinasi linear
2) Vektor 𝑃𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗⃗|, |𝑃𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | dan |𝑃𝐶
3) |𝐴𝑃
h. Hitung 𝑢
⃗⃗ ∙ 𝑣⃗ dari vektor-vektor berikut, kemudian cari nilai cosinus dari sudut 𝜃 antara 𝑢
⃗⃗ dan 𝑣⃗.
⃗⃗⃗⃗ − 7𝑗
⃗⃗⃗⃗ − 9𝑗
⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗ dan 𝑣⃗ = 3𝑖
1) 𝑢
⃗⃗ = 5𝑖
⃗⃗ dan 𝑣⃗ = 15𝑖
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 2𝑗
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗ − 𝑘
⃗⃗⃗⃗ − 3𝑘
2) 𝑢
⃗⃗ = 3𝑖
⃗⃗⃗⃗⃗ dan 𝑣⃗ = 𝑖⃗ + 7𝑗
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗ + 2𝑗
⃗⃗⃗⃗ + 3𝑘
⃗⃗⃗⃗ − 4𝑘
3) 𝑢
⃗⃗ = 2𝑖
i. Tentukan besar sudut yang terbentuk oleh kedua vektor di bawah ini dengan menggunakan rumus
perkalian skalar dua vektor.
⃗⃗ dan 𝑏⃗⃗ = 6𝑖
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗ − 2𝑗
⃗⃗⃗⃗ − 𝑘
⃗⃗⃗⃗ − 3𝑗
⃗⃗⃗⃗ + 2𝑘
1) 𝑎⃗ = 2𝑖
⃗⃗
⃗⃗⃗⃗ + 2𝑗
⃗⃗⃗⃗ − ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗ + 𝑘
⃗⃗⃗⃗ − 3𝑗
2) 𝑎⃗ = 3𝑖
6𝑘 dan 𝑏⃗⃗ = 4𝑖
2
3
j. Diketaui 𝑎⃗ = [0] dan 𝑏⃗⃗ = [ 1 ]. Hitunglah:
3
−2
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ dan |𝑏|
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
1) |𝑎|
2) 𝑎⃗ ∙ 𝑏⃗⃗
3) Sudut antara 𝑎⃗ dan 𝑏⃗⃗
⃗⃗ tegak lurus vektor 𝑏⃗⃗ = 4𝑖
⃗⃗⃗⃗ + 𝑚𝑗
⃗⃗⃗⃗ − ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗ − 2𝑗
k. Hitunglah nilai m agar vektor 𝑎⃗ = 2𝑖
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑘
2𝑘 .
⃗⃗ dan 𝑐⃗ = 𝑖⃗ − ⃗⃗⃗⃗
l. Diketahui vektor 𝑎⃗ = ⃗⃗⃗⃗
3𝑖 − 𝑗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗
2𝑘 , 𝑏⃗⃗ = ⃗⃗⃗⃗
2𝑖 + 𝑗⃗ − 𝑘
2𝑗 + ⃗⃗⃗⃗⃗
2𝑘 . Tentukan:
1) 𝑎⃗ × 𝑏⃗⃗
2) 𝑎⃗ × 𝑐⃗
3) 𝑎⃗ × (𝑏⃗⃗ + 𝑐⃗)
4) 𝑎⃗ × (𝑏⃗⃗ − 𝑐⃗)
3
0
2
m. Misalkan 𝑝⃗ = [ 2 ], 𝑞⃗ = [ 2 ] dan 𝑟⃗ = [6]. Hitunglah:
−1
−3
7
1) 𝑝⃗ × (𝑞⃗ × 𝑟⃗)
2) (𝑝⃗ × 𝑞⃗) × 𝑟⃗
3) (𝑝⃗ × 𝑞⃗) × (𝑞⃗ × 𝑟⃗)