Vektor satuan

RESUME VEKTOR
Vektor dalam matematika dan fisika adalah obyek geometri yang memiliki besar dan arah.
Vektor jika digambar dilambangkan dengan tanda panah (→). Besar vektor proporsional
dengan panjang panah dan arahnya bertepatan dengan arah panah. Vektor dapat
melambangkan perpindahan dari titik A ke B.[1] Vektor sering ditandai sebagai
Vektor berperan penting dalam fisika: posisi, kecepatan dan percepatan obyek yang
bergerak dan gaya dideskripsikan sebagai vektor.
Panjang Vektor
Untuk mencari panjang sebuah vektor dalam ruang euklidian tiga dimensi, dapat
digunakan cara berikut:
Kesamaan dua vektor
Dua buah vektor dikatakan sama apabila keduanya memiliki panjang dan arah yang
sama
Kesejajaran dua vektor
Dua Buah Vektor disebut sejajar (paralel) apabila garis yang merepresentasikan
kedua buah vektor sejajar.
Operasi vektor
Perkalian skalar
Sebuah vektor dapat dikalikan dengan skalar yang akan menghasilkan vektor juga,
vektor hasil adalah:
Penambahan vektor dan pengurangan vektor
Sebagai contoh vektor a=a1i + a2j + a3k dan b=b1i + b2j + b3k.
Hasil dari a ditambah b adalah:
pengurangan vektor juga berlaku dengan cara mengganti tanda + menjadi
tanda Vektor satuan
Vektor satuan adalah vektor yang memiliki panjang 1 satuan panjang. Vektor
satuan dari sebuah vektor dapat dicari dengan cara:
Vektor Ortogonal
 Teorema
 Hasil perkalian dot product antara dua vektor bukan-nol adalah nol jika dan
hanya jika vektor-vektor tersebut saling tegak lurus
 Vektor a disebut ortogonal thd vektor b jika a•b = 0, dan vektor b juga ortogonal thd
vektor a.
 Vektor nol 0 ortogonal terhadap semua vektor.
 Untuk vektor bukan-nol
 a•b = 0 jika dan hanya jika cos γ = 0  γ = 90o = π/2
I.
PENJUMLAHAN DAN PENGURANGAN VEKTOR
Dua buah vektor dapat di jumlahkan secara grafik dengan menggambarkan kedua
vektor tersebut dari titik asal yang sama.
a. Penjumlahan Vektor
b. Pengurangan Vektor
II.
Sistem Koordinat Kartesian ( x, y, z )
Dalam matematika, Sistem koordinat Kartesius digunakan untuk menentukan tiap
titik dalam bidang dengan menggunakan dua bilangan yang biasa disebut koordinat x
dan koordinat y dari titik tersebut.
Untuk mendefinisikan koordinat diperlukan dua garis berarah yang tegak lurus
satu sama lain (sumbu x dan sumbu y), dan panjang unit, yang dibuat tanda-tanda
pada kedua sumbu tersebut (lihat Gambar 1).
Sistem koordinat Kartesius dapat pula digunakan pada dimensi-dimensi yang lebih
tinggi, seperti 3 dimensi, dengan menggunakan tiga sumbu (sumbu x, y, dan z)
I.
Perkalian Titik (Dot Product)
Definisi Perkalian titik
Misalkan a = (a1 , a2 , a3) dan b = (b1 , b2 , b3) adalah vektor di R3 . Perkalian titik dari a
dan b, dinotasikan a . b adalah
a . b = a1b1 + a2 b2+ a3b3
jika di R2 adalah
a . b = a1b1 + a2 b2
Contoh 1
(2, - 1, 3) . (1, 3, 5) = 2 – 3 + 15 = 14
(i + 3j – k ) . (7i + j + 9k) = 7 + 3 – 9 = 1
Sifat-sifat Perkalian titik
Jika a, b, dan c adalah sembarang vektor di R3 (atau R2) dan k R adalah skalar, maka
1. a . a 0 dan a . a = 0 jika dan hanya jika a = 0
2. a . b = b . a
3. a. (b + c) = a . b + a . c
4. (ka) . b = k(a . b) = a . (kb)
II.
Perkalian Silang Vektor (Cross Product)
Ada beberapa aturan perkalian silang dalam vektor, antara lain :
1. Perkalian silang A x B merupakan sebuah vektor dan besar A x B sama dengan besar
A dikalikan dengan besar B dan dikalikan dengan sinus sudut terkecil antara A dan B,
arah A dan B saling tegak lurus pada bidang datar tempat A dan B terletak dan
arahnya sesuai dengan arah maju sekrup putar kanan yang diputar dari arah A ke B.
Dapat dirumusukan sebagai berikut : A x B = aN |A| |B| sin ϴAB dengan pernyataan
tambahan yang diperlukan untuk menyatakan arah vektor satuan aN dimana subscrip
“N” menyatakan “normal”. Jika urutan vektor A dan B dibalik maka akan
menghasilkan vektor satuan yang arahnya berlawanan dengan arah semula dimana B
x A = - (A x B ).
2. Sebelumnya telah dijelaskan bahwa ax x ay = az, ay x az = ax, dan az x ax = ay didapatkan
bahwa ay x ax = -az , az x ay = -ax , dan ax x az = -ay dan ketiga suku lainnya sama
dengan nol mala sudut diantaranya nol. Sehingga A x B = (AyBz – AzBy)ax + (AzBx AxBz) ay + (AxBy – AyBx) az .
3. Dalam bentuk determinan adalah :
III.
Sistem Koordinat Tabung (ρ, φ , z)
Dalam koordinat tabung, ada beberapa komponen yang dibutuhkan seperti ρ, φ , dan
z. Koordinat tabung memiliki vektor satuan aρ, aφ, dan az. Ketiga vektor satuan
tersebut saling tegak lurus karena masing – masing vektor arahnya normal pada salah
satu dari tiga bidang yang saling tegak lurus, dan dapat didefinisikan sistem
koordinaat tabung putar kanan melalui sifat perkalian vektor dari vektor satuannya aρ
x aφ = az.