VEKTOR FUNDAMENTAL

VEKTOR
DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO
UNIVERSITAS INDONESIA
CROSS PRODUCT
DEFINISI CROSS PRODUCT


Hasil kali silang dari vektor u dan v adalah sebuah
vektor w = u x v besarnya w didefinisikan sebagai
hasil kali antara besarnya u dan v dan sinus sudut 
antara keduanya.
Arah vektor w = u x v tegak lurus pada bidang yang
memuat u dan v sedemikian rupa sehingga u, v dan
w membentuk sebuah sistem tangan kanan
u x v  uv sin  n
Hasil Cross pada Vektor basis
z
0 0 1 0 1 0
  (0,0,1)  k
i x j  
,
,

1
0
0
0
0
1






ixi=jxj=kxk=0
ixj=k
jxk=i
kxi=j
k
(0,0,1)
(0,1,0)
j
(1,0,0)
i
x
i
k
jxi=-k
k x j = -i
y
i x k = -j
j
DEFINISI CROSS PRODUCT

Jika u=(u1,u2,u3) dan v =(v1,v2,v3) adalah vektor
diruang 3 maka hasil kali silang u x v adalah vektor
yang didefinisikan oleh :
u x v = (u1i + u2j + u3k) x (v1i + v2j + v3k)
= u1i x (v1i + v2j + v3k) +
u2j x (v1i + v2j + v3k) +
u3z x (v1i + v2j + v3k)
= ( u2v3- u3v2)i + (u3v1- u1v3)j + ( u1v2- u2v1 )k

Atau dalam notasi determinan :
 u2
u x v  
 v2
u3
v3
i,
u1 u2 
j,
k 
v3 v1 v2 
u1 u3
v1
i
j

u x v   u1 u2
 v1 v2
k 

u3 
v3 

Jika u dan v adalah vektor di ruang 3, maka :







u . (u x v) = 0
(u x v orthogonal ke u)
v . (u x v) = 0
(u x v orthogonal ke v)
uxv = -(vxu)
ux(v+w)=(uxv)+(uxw)
(u+v)xw =(uxw)+(vxw)
k ( u x v ) = k(u) x v = u x k(v)
uxu = 0
Contoh Soal

Carilah u x v dimana u=(1,2,-2) v=(3,0,1)
i j k 
1 2 2 


3 0 1 
 2 2
1 2 1 2 
u x v  i
, j
,k

3 1
3 0
 0 1
u x v  (2, 7, 6)
HASIL KALI VEKTOR DARI
VEKTOR TRIPEL


Pernyataan ( a x b ) x c dan a x ( b x c )
dikenal sebagai hasil kali vektor dari vektor
tripel.
Tanda kurung sangat mempengaruhi :


(ixi)xj=0
ix(ixj)=ixk = -j
Latihan
C


Diketahui segitiga ABC
Buktikan
1.a 2  b 2  c 2  2bc cos 
a
b
c
2.


sin  sin  sin 
b
a


A
c
1
3. Luas Segitiga ABC = ( AB  AC )
2
B
a  a   b  c   (b  c)
 b  b  b  c   c  b   c  c 
 b  c  2 b c cos 180   
2
2
 b  c  2 b c cos  
2
2
 a  a   a  b  c 
0  a  b  a  c
 a  b  a  c
a b sin   a c sin 
b
sin 

c
sin 
1
LABC  AB t
2
1
 AB AC sin 
2
1
 AB  AC
2
DIFERENSIAL, GRADIEN,
DIVERGENSI DAN CURL
DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO
UNIVERSITAS INDONESIA
TURUNAN BIASA VEKTOR

Misalkan R (u) merupakan sebuah vektor yang
bergantung pada sebuah variabel u, maka :
R R(u  u )  R(u )

u
u
R (u  u )
R  R(u  u)  R(u)
O
R (u )

Dimana  R menunjukkan suatu pertambahan
dalam variabel u

Turunan biasa dari vektor R(u) terhadap variabel u
diberikan oleh :
dR
R
R(u  u )  R(u )
 lim
 lim

t

0
du
u t 0
u

Turunan untuk orde lebih tinggi dari turunan diatas
dinyatakan oleh :
d 2R
du 2

Bila R(u) adalah vektor kedudukan r(u) yang menghubungkan
titik asal O dari suatu sistem koordinat dan sebarang titik
(x,y,z), maka :
r (u )  x(u )i  y (u ) j  z (u )k


Fungsi vektor r(u) mendefinisikan x,y,z sebagai fungsi-fungsi
dari u
Bila u berubah, titik terminal r menggambarkan sebuah kurva
ruang yang memiliki persamaan-persamaan parameter :
x  x(u )
y  y (u )
z  z (u )

Maka limitnya akan berupa sebuah vektor
yang searah dengan arah garis singgung
pada kurva ruang di (x,y,z) yang
dinyatakan oleh :
dr dx
dy
dz

i
j
k
du du
du
du
r (u  u )
r
O
r (u )
dr
du
Vektor Variable Waktu
dr
dt

Jika u adalah waktu (t), maka
menyatakan kecepatan v sepanjang kurva,

Turunan dari kecepatan terhadap waktu (t)
dv d 2 r
 2
dt dt
menyatakan percepatan (a) sepanjang kurva
RUMUS DIFERENSIASI
d
dA dB
( A  B) 

du
du du
d
dB dA
( A  B)  A 

B
du
du du
d
dB dA
( A x B)  A x

xB
du
du du
d
dB d
(A)  

A
du
du du
d
dC
dB
dA
( A  B  C)  A  B 
 A
C 
 BC
du
du
du
du
CONTOH 1

Sebuah partikel bergerak pada lengkung C,
yang mempunyai persamaan parameter :
x =e-t , y = 2 cos 3t dan z = 2 sin 3 t
dengan t adalah waktu.


Tentukan kecepatan dan percepatan setiap waktu
Hitung besarnya kecepatan dan percepatan pada
waktu t = 0
JAWAB

Vektor posisi r dari partikel ditulis :
r = x i + y j + z k
r = e-t i + 2 cos 3t j + 2 sin 3t k

Kecepatan = - e-t i - 6 sin 3t j + 6 cos 3t k
Percepatan = e-t i - 18 cos 3t j - 18 sin 3t k
Untuk t = 0 maka v = -i + 6k a = i – 18 j


v  (1) 2  6 2  37
a  1  (18)  325
2
2
CONTOH 2

Sebuah partikel bergerak pada lengkung
x=2t2 , y=t2-4t , z=3t-5 dengan t waktu.
Tentukanlah komponen dari kecepatan dan
percepatan untuk t=1 dalam arah i – 3j +2k
Jawab
Vektor posisi
r  xi  yj  zk
r  2t 2i  (t 2  4t ) j  (3t  5)k
Kecepa tan
dr
v
 4ti  (2t  4) j  3k
dt
Percepa tan 
d 2 r dv
a 2 
 4i  2 j
dt
dt
i  3 j  2k i  3 j  2k
Vektor satuan dalam arah i  3 j  2k 

1 9  4
14
Komponen kecepatan dalam arah i  3 j  2k untuk t  1 adalah
(4i  2 j  3k )  (i  3 j  2k ) 4  6  6 16


14
14
14
Komponen percepatan dalam arah i  3 j  2k untuk t  1 adalah
(4i  2 j )  (i  3 j  2k ) 4  6  0  2


14
14
14
GRADIEN

Misalkan f=f(x,y,z) terdefinisikan dan diferensiable
pada tiap-tiap titik (x,y,z) didalam suatu daerah
tertentu , maka gradien f (grad f) didefinisikan oleh :


 
f
f
f
f   i 
j  k  f  i 
j k
z 
x
y
z
 x y


 f Mendefinisikan sebuah medan vektor
Komponen dari  f dalam arah sebuah vektor-satuan
a diberikan oleh  f.a dan disebut turunan arah dari f
pada arah a.

Untuk permukaan (x,y,z)=C, maka  
merupakan vektor tegak lurus permukaan
(x,y,z)=C
Contoh :
Tentukanlah vektor satuan yang tegak lurus
pada permukaan x2y + 2 xz = 4 di titik (2,-2,3)
Jawab
Vektor n yang tegak lurus pada permukaan
(x,y,z)= x2y + 2 xz = 4 ditentukan oleh :



n   
i
j
k
x
y
z
n  (2 xy  2 z )i  x 2 j  2 xk
dititik (2,2,3)
n  (8  6)i  4 j  k
n  2i  4 j  k
DIVERGENSI

Misalkan V(x,y,z)=Vxi+Vyj+Vzk terdefinisikan dan
diferensiable didalam suatu daerah tertentu dari
ruang, maka divergensi dari V (.V) didefinisikan
oleh :


 
  V   i 
j  k   Vx i  V y j  Vz k 
z 
 x y
Vx V y Vz
 V 


x
y
z
CURL

Misalkan V(x,y,z)=Vxi+Vyj+Vzk terdefinisikan dan
diferensiable didalam suatu daerah tertentu dari
ruang, maka curl atau rotasi dari V didefinisikan oleh :


 
  V   i 
j  k   Vx i  V y j  Vz k 
z 
 x y
i

 V 
x
Vx
j

y
Vy
k
  Vz V y   Vx Vz   V y Vx 
i  
k
 



 j  
z  y
z   z
x   x
y 
Vz
Contoh

Jika A=x2y I -2xz j + 2yz k, hitunglah curl A dan div A
Curl A =  x A
i
j
k



curl A  
x
y
z
2
x y  2 xz 2 yz
curl A  (2 x  2 z )i  ( x 2  2 z )k
Div A =   A
 

 
 V   i 
j  k    x 2 yi - 2 xzj  2 yzk 
z 
 x y
  V  2 xy  2 y
Operator
grad
div
curl
is
a vector
a scalar
a vector
concerns
a scalar field
a vector
field
a vector field
Definition

v
v
SOAL (PR)


Jika a = 4i –j +3k dan b = -2i +j -2k, tentukanlah
vektor satuan yang tegak lurus pada kedua vektor
tersebut
Titik titik A, B, C mempunyai posisi vektor a = 3i – 2j – k
b = i + 3j + 4k dan c= 2i + j – 2k terhadap titik asal 0
(Gambar. 2). Hitunglah jarak terdekat antara titik A
A
terhadap bidang 0BC
a
s
B
b
0
c
C


2
3
A

5
t
i

tj

t
k dan B  (sin t )i  (cos t ) j
Jika
Tentukan :
Jika
Tentukan :
dan
pada titik (2,-1,1)

Suatu vektor V dikatakan irrasional jika curl V
= 0. Tentukan nilai a,b,c, pada
sehingga vektor V dikatakan irrasional

Jika
dan
, tentukan :