Vektor dalam Ruang Euklide

Vektor dalam Ruang Euklide
Euklidian dalam n-Ruang
Vektor di dalam n-Ruang Definisi : Jika n adalah sebuah integer positif, sebuah n- grup topel
adalah sekuens dari n bilangan real (a1.a2.....an). Set dari semua grup yang terdiri dari n- grup
topel dinamakan n-ruangdan dituliskan sebagai Rn.
Jika n = 2 atau 3, sudah menjadi kebiasaan untuk menggunakan istilah grup pasangan dan grup
dari tiga secara respektif, daripada 2-grup topel atau 3- grup topel. Keitka n = 1, setiap n – grup
topel terdiri dari satu bilangan real, sehingga R1 bisa dilihat sebagai set dari bilangan real. Kita
akan menuliskan R daripada R1 pada set ini.
Mungkin kita telah mmepelajari dalam bahan 3-ruang symbol dari (a1, a2, a3) mempunyai dua
interpretasi geometris yang berbeda : ini bisa diinterpretasikan sebagai titik, yang dalam kasus ini
a2, a2, a3 merupakan koordinat, atau ini bisa diinterpretasikan sebagai vector, dimana a1, a2, a3
merupakan komponen vector. Selanjutnya kita bisa melihat bahwa n – grup topel (a1, a2, ...., an)
bisa dilihat sebagai antara sebuah “poin umum” atau “vector umum”- perbedaan antara keduanya
tidak penting secara matematis. Dan juga kita bisa menjelaskan 5- topel (-2, 4, 0 ,1 ,6) antara
poin dalam R5 atau vector pada R5.
u1 = v1 u2 = v2 un = vn
Penjumlahan u + v didefinisikan oleh
u + v = (u1 + v1, u2 + v2, ...., un + vn)
Dan jika k adalah konstanta scalar, maka perkalian scalar ku didefinisikan oleh
ku = (k u1, k u2,...,k un)
Operasi dari pertambahan dan perkalian scalar dalam definisi ini disebut operasi standar untuk
Rn Vektor nol dalam Rn didenotasikan oleh 0 dan difenisikan ke vektor
0 = (0, 0,...., 0)
Jika u = (u1, u2, ...., un) dalam setiap vector dalam Rn, maka negative (atau invers aditif) dari u
dituliskan oleh –u dan dijelaskan oleh
-u = (-u1, -u2, ...., -un)
Perbedaan dari vector dalam Rn dijelaskan oleh
v – u = v + (-u)
atau, dalam istilah komponen,
v – u = (v1-u1, v2-u2, ...., vn-un)
Sifat-sifat dari vektor dalam
jika
dalam
,
, dan
sedangkan k dan m adalah skalar, maka :
(a) u + v = v + u
(b) u + 0 = 0 + u = u
(c) u + (v + w) = (u + v) + w
(d) u + (-u) = 0 ; berarti, u - u = 0
(e) k (m u) = (k m) u
(f) k (u + v) = k u + k v
(g) (k + m) u = k u + m u
(h) 1u = u
Perkalian dot product
didefinisikan sebagai
adalah vektor
Contoh Penggunaan Vektor dalam Ruang Dimensi Tinggi



Data Eksperimen – Ilmuwan melakukan experimen dan membuat n pengukuran numeris
setiap eksperimen dilakukan. Hasil dari setiap experiment bisa disebut sebagai vector
dalam
dalam setiap
adalah nilai yang
terukur.
Penyimpanan dan Gudang – Sebuah perusahaan transportasi mempunyai 15 depot
untuk menyimpan dan mereparasi truknya. Pada setiap poin dalam waktu distribusi dari
truk dalam depot bisa disebut sebagai 15-topel
dalam setiap
adalah jumlah truk dalam depot pertama dan
adalah jumlah pada depot kedua., dan
seterusnya.
Rangkaian listrik – Chip prosesor didesain untuk menerima 4 tegangan input dan
mengeluarkan 3 tegangan output. Tegangan input bisa ditulis sebagai vector dalam
dan tegangan output bisa ditulis sebagai
. Lalu, chip bisa dilihat sebgai alat yang
mengubah setiap vektor input



dalam
ke vector keluaran
dalam
.
Analisis citra – Satu hal dalam gambaran warna dibuat oleh layar komputer dibuat oleh
layar komputer dengan menyiapkan setiap [pixel] (sebuah titik yang mempunyai alamat
dalam layar) 3 angka yang menjelaskan hue, saturasi, dan kecerahan dari pixel. Lalu
sebuah gambaran warna yang komplit bisa diliahat sebgai 5-topel dari bentuk
dalam x dan y adalah kordinat layar dari pixel dan h,s,b adalah hue,
saturation, dan brightness.
Ekonomi – Pendekatan kita dalam analisis ekonomi adalah untuk membagi
ekonomidalam sector (manufaktur, pelayanan, utilitas, dan seterusnya ) dan untuk
mengukur output dari setiap sector dengan nilai mata uang. Dalam ekonomi dengan 10
sektor output ekonomi dari semua ekonomi bisa direpresentasikan dngan 10-topel
dalam setiap angka
adalah output dari
sektor individual.
Sistem Mekanis – Anggaplah ada 6 partikel yang bergerak dalam garis kordinat yang
sama sehingga pada waktu t koordinat mereka adalah
dan kecepatan
mereka adalah
. Informasi ini bisa direpresentasikan sebagai vector
Dalam
. Vektor ini disebut
kondisi dari sistem partikel pada waktu t.

Fisika - Pada teori benang komponen paling kecil dan tidak bisa dipecah dari Jagat raya
bukanlah partikel tetapi loop yang berlaku seperti benang yang bergetar. Dimana jagat
waktu Einstein adalah 4 dimensi, sedangkan benang ada dalam dunia 11-dimensi
Menemukan norm dan jarak
Menghitung Panjang vektor u dalam ruang
jika u =
Maka Panjang vektor u
dan Menghitung jarak antara vektor u dengan vektor v
Bentuk Newton
interpolasi polinominal p(x)=anxn+an-1xn-1+...+a1x+a0 adalah bentuk standar. Tetapi ada juga
yang menggunakan bentuk lain . Contohnya , kita mencari interpolasi titik dari data
(x0,y0),(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3).
Jika kita tuliskan P(x)=a3x3+a2x2+a1x+a0
bentuk equivalentnya : p(x)=a3(x-x0)3+p(x)=a2(x-x0)2+p(x)=a1(x-x0)+a0
dari kondisi interpolasi p(x0)=yo maka didapatkan a0=yo , sehingga dapat kita tuliskan menjadi
p(x)=b3(x-x0)(x-x1)(x-x2)+b2(x-x0)(x-x1)+b1(x-x0)+b0 inilah yang disebut newton form dari
interpolasi , sehingga kita dapatkan :
p(x0)=b0
p(x1)=b1h1+b0
p(x2)=b2(h1+h2)h2+b1(h1+h2)+b0
p(x3)=b3(h1+h2+h3)(h2+h3)h3+b2(h1+h2+h3)(h2+h3)+b1(h1+h2+h3)+b0
sehingga jika kita tuliskan dalam bentuk matrix:
Operator Refleksi
Berdasarkan operator T:R2 -> R2 yang memetakan tiap vektor dalam gambaran simetris terhadap
sumbu y, dimisalkan w=T(x), maka persamaan yang berhubungan dengan x dan w adalah:
x1 = -x = -x + 0y
x2 = y = 0x + y
atau dalam bentuk matrik :
Secara umum, operator pada R2 dan R3 yang memetakan tiap vektor pada gambaran simetrinya
terhadap beberapa garis atau bidang datar dinamakan operator refleksi. Operator ini bersifat
linier.
Operator Proyeksi
Berdasarkan operator T:R2 -> R2 yang memetakan tiap vektor dalam proyeksi tegak lurus
terhadap sumbu x, dimisalkan w=T(x), maka persamaan yang berhubungan dengan x dan w
adalah:
x1 = x = x + 0y
x2 = 0 = 0x + 0y
atau dalam bentuk matrik :
Persamaan tersebut bersifat linier, maka T merupakan operator linier dan matrikx T adalah:
Secara umum, sebuah operator proyeksi pada R2 dan R3 merupakan operator yang memetakan
tiap vektor dalam proyeksi ortogonal pada sebuah garis atau bidang melalui asalnya.
Operator Rotasi
Sebuah operator yang merotasi tiap vektor dalam R2 melalui sudut ɵ disebut operator rotasi pada
R2. Untuk melihat bagaimana asalnya adalah dengan melihat operator rotasi yang memutar tiap
vektor searah jarum jam melalui sudut ɵ positif yang tetap. Unutk menemukan persamaan
hubungan x dan w=T(x), dimisalkan ɵ adalah sudut dari sumbu x positif ke x dan r adalah jarak x
dan w. Lalu, dari rumus trigonometri dasar x = r cos Θ ; y = r cos Θ dan w1 = r cos (ɵ + ɸ) ; w2=
r sin (ɵ + ɸ)
Menggunakan identitas trigonometri didapat:
w1 = r cos ɵ cos ɸ - r sin ɵ sin ɸ
w2 = r sin ɵ cos ɸ + r cos ɵ sin ɸ
kemudian disubtitusi sehingga:
w1 = x cos Θ - y sin Θ
w2 = x sin Θ + y cos Θ
Persamaan di atas merupakan persamaan linier, maka T merupakan operator linier sehingga
bentuk matrik dari persamaan di atas adalah:
Interpolasi Polinomial
Dengan menganggap masalah pada interpolasi polinomial untuk deret n + 1 di titik (x0,y0)....,
(xn,yn). Maka, kita diminta untuk menemukan kurva p(x) = am
+ am-1
+ ... + a1x + a0
dari sudut minimum yang melewati setiap dari titik data. Kurva ini harus memenuhi
karena xi diketahui, ini akan menuju pada sistem matrik di bawah ini
=
Ingat bahwa ini merupakan sistem persegi dimana n = m. Dengan menganggap n = m
memberikan sistem di bawah ini untuk koefisien interpolasi polinomial p(x):
=
(1)
Matrix di atas diketahui sebagai Matrix Vandermonde; kolom j merupakan elemen pangkat j-1.
Sistem linier pada (1) disebut menjadi Sistem Vandermonde.
Contoh soal:
Cari interpolasi polinomial pada data (-1,0),(0,0),(1,0),(2,6) menggunakan Sistem Vandermonde.
Jawab:
Bentuk Sistem Vandermonde(1):
=
Untuk data di atas, kita mempunyai
=
Untuk mendapatkan solusinya, digunakan Gaussian Elimination
Baris ke-2, ke-3, dan ke-4 dikurangi baris pertama
Baris ke-3 dibagi dengan 2, sedangkan baris ke-4 dibagi dengan 3
Baris ke-3 dikurangi baris ke-2
Baris ke-4 dikurangi baris ke-2
Baris ke-4 dibagi dengan 2
Baris ke-4 dikurangi baris ke-3
Didapatkan persamaan linier dari persamaan matrix di atas
Jadi, interpolasinya adalah
'