Perkalian vektor

Vektor
Vektor memiliki besaran dan arah.
Beberapa besaran fisika yang
dinyatakan dengan vektor seperti :
perpindahan, kecepatan
dan percepatan.
Skalar hanya memiliki besaran saja,
contoh : temperatur, tekanan, energi,
massa dan waktu.
Susunan Koordinat Ruang-n
a. Ruang dimensi satu (R1)
R
O P
E A
Titik O mewakili bilangan nol ditulis O(0), titik E
mewakili bilangan 1 ditulis E(1).
P(2/5) artinya P mewakili bilangan 2/5 dan P
diletakkan ke arah E (arah positip) sehingga OP = 2/5
satuan.
b. Ruang dimensi dua (R2)
Setiap pasangan bilangan riel (koordinat titik) dapat
diwakili oleh sebuah titik pada suatu bidang rata,
yang membentuk susunan koordinat di dalam ruang
dimensi dua, ditulis R2.
c. Ruang dimensi tiga (R3)
d. Ruang dimensi n (Rn)
Secara umum untuk Rn adalah pengembangan lebih
lanjut dari R3 dengan n adalah bilangan bulat
positip, maka suatu titik di dalam Rn dinyatakan
sebagai n-urutan bilangan riel.
Contoh : Titik X (x1, x2, ……….xn)
Geometri dan Aljabar Vektor
Vektor dalam Bidang (R2)
Bidang Kartesian : x, y
Definisi : garis yang memiliki arah, yang menyatakan
perpindahan satu titik (A) ke titik yang lain (B).
Y
B
A
x
Notasi : AB
Titik A : titik awal atau ekor
Titik B : titik akhir atau kepala
Kumpulan titik-titik dalam bidang merupakan
kumpulan vektor yang berpangkal pada titik awal di
titik asal O.
Pada umumnya untuk menyatakan vektor dengan
menggunakan koordinat.
Contoh : titik A=(3,2), maka penulisan vektor a = OA =(3,2)
B
vektor b = OB =(-1,3)
vektor c = OC =(2,-1)
A
O
C
Penjumlahan vektor
s  a b
Mengikuti hukum :
• Komutatif
:
a b  b a
Assosiatif :
(a  b )  c  a  (b  c )
Vektor b adalah vektor yang memiliki
besaran yang sama dengan vektorb
tetapi berlawanan arah, bila
dijumlahkan akan menghasilkan :
(b )  (b )  0
Komponen vektor
• merupakan proyeksi vektor pada sumbu sistem
koordinat
Komponen vektor : a ax  a cos  dan a y  a sin 
disebut komponen skalar atau komponen
Penjumlahan vektor dengan komponen
s  a  b , setiap komponen s sama dengan
komponen a  b
s x  a x  bx
s y  a y  by
s z  a z  bz
Besar vektor a: a  a  a
2
x
2
y
ax
tan  
ay
dan
Khusus untuk penjumlahan 2 vektor (a dan b),
besar vektor s dapat dicari dengan rumus :
s  a  b  2ab cos 
2
2
Dalam perhitungan vektor dibutuhkan rumus
trigonometri :
Dalil cosinus :
a 2  b 2  c 2  2 bc cos 
β
c
b  a  c  2 ac cos 
2
2
2
c 2  a 2  b 2  2 ab cos 
Dalil sinus :
a
b
c


sin  sin  sin 
a
α
γ
b
Vektor satuan:
Koordinat Kartesius
Vektor satuan pada arah positif sumbu x, y dan z
diberi tanda : iˆ, ˆj dan kˆ
Kita dapat tulis vektor a dan b sebagai berikut :
a  axiˆ  a y ˆj
b  bxiˆ  by ˆj
disebut komponen vektor
Perkalian vektor :
• Perkalian vektor dengan skalar :
Jika vektor a dikalikan dengan skalar s akan
menghasilkan vektor baru dengan besar nilai
absolute s dengan arah a jika s positif, dan
berlawanan arah jika s negatif. Vektor a dibagi
dengan s berarti kita mengkalikan a dengan 1/s.
• Perkalian vektor dengan vektor :
Menghasilkan skalar : Scalar Product
Dikenal sebagai : Dot product
Perkalian titik dan perkalian silang antar vektor
satuan dalam koordinat kartesius :
i.i=j.j=k.k=1
i.j=j.k=I.k=0
ixi=jxj=kxk=0
ixj=k; jxi=-k
ixk=-j;kxi=j
kxj=-i;jxk=i
Dituliskan secara komponen bagian sebagai berikut :
a.b  (a cos  )(b)  (a)(b cos  )
Scalar product berlaku hukum komutatif
a.b  b.a
Jika ditulis dalam vektor satuan, maka perkalian scalar :
a.b  (axiˆ  a y ˆj  az kˆ).(bxiˆ  by ˆj  bz kˆ)
Diperoleh hasil akhir sebagai berikut :
a.b  axbx  a y by  az bz
 Menghasilkan vektor :
a xb c
Dengan besar c adalah :
c  ab sin 
Besaran a
xb
ditulis a x b  0 jika
dan maksimum jika a  b
a // b
Arah dari vektor ctegak lurus bidang yang berisi vektor
a dan b dikenal sebagai hukum tangan kanan.
b x a  ( a x b )
Penulisan dalam vektor satuan :
a x b  (axiˆ  a y ˆj  az kˆ) x (bxiˆ  by ˆj  bz kˆ)
axiˆ x bxiˆ  axbx (iˆ x iˆ)  0
axiˆ x by ˆj  axby (iˆ x ˆj )  axby kˆ
Hasil akhir :
a x b  (aybz  by az )iˆ  (azbx  bz ax ) ˆj  (axby  bx a y )kˆ
Cara mudah untuk perkalian silang dengan
mengunakan metode determinan
i
j
k
a x b = ax ay az
bx by by
Cara lain : reduksi matrix 3x3
2x2
Vektor dalam ruang (R3)
 Penjumlahan vektor dengan komponen vektor satuan
Contoh :
Diketahui ujung vektor A terletak pada titik (2,2,2), vektor B pada
titik (1,2,3) dan masing-masing berpangkal di titik (0,0,0) pada
ruang kartesius 3 dimensi di bawah ini :
Jawab : Vektor a dan b diuraikan pada sumbu x, y dan z
 Perkalian titik (dot product)
Jika v = (v1, v2, v3) dan w = (w1, w2, w3) adalah 2 vektor
tak nol. Dan θ adalah sudut antara v dan w, maka
hukum cosinus menghasilkan :
 Perkalian silang (cross product)
Definisi :
Jika v = (v1, v2, v3) dan w = (w1, w2, w3) adalah 2
vektor di R3 maka hasil kali silangnya adalah :
v x w = (v2w3 – v3w2, v3w1 – v1w3, v1w2 – v2w1)
Atau dalam notasi matrik
Contoh :
Carilah u x v dengan u = (1, 2, -2) dan v = (3, 0, 1)
Jawab :
1 2 -2
3 0 1


 2 -2
1 -2 1 2 
uxv
,
,

3 1 3 0
0 1
  2, 7, 6 
Vektor di ruang dimensi n (Rn)
Contoh soal :
1 Dua buah vektor a dan b bertitik tangkap sama
saling mengapit dengan sudut  . Jika besar vektor a
dua kali vektor b dan a  b  3 a  b , hitung  !
2
2
a

b

a

b
 2 ab cos
Jawab :
a  b  a 2  b 2  2 ab cos
a2  b2  2 ab cos  
3 a 2  b2  2 ab cos 
16 b 2 cos   10 b 2
  51,320
2 Dua buah vektor yang besarnya 8 dan 15 satuan saling
mengapit dengan sudut 45. Hitung besar resultannya dan
sudut antara resultan dengan vektor pertama.
Jawab :
v2
r
r  v12  v22  2 v1v2 cos 450
r
458, 7
r  21, 4 satuan
450
v1
Sudut antara resultan dengan vektor pertama dapat dicari
dengan 2 cara : dalil cosinus atau dalil sinus
Dalil Cosinus : v22  v12  r 2  2v1r cos 
v2
r
297, 7  342, 4 cos    =29,60
Dalil Sinus :
v2
r

sin  sin 1350
15(0, 707)
sin  
  =29,7 0
21, 4
v1
r
1350
v1
v2
ˆ
a  1 iˆ  3 ˆ
j4 k
3 Diketahui 3 buah vektor
ˆ
b  1 iˆ  2 ˆ
j2 k
ˆ
c  3 iˆ  1 ˆ
j 3 k
Hitung besar vektor r dan sudut antara vektor ini dengan sumbu z
jika r  2a  b  c. Hitung juga sudut antara vektor a dan b !
Jawab :
r  (2)iˆ  (7) ˆj  (13)kˆ  r  (2)2  (7)2  (13)2  14,9 satuan
Sudut antara r dengan sumbu z : men”dot” kan dengan vektor
satuan arah sumbu z. r . k  (2)iˆ.kˆ  ( 7) ˆj.kˆ  (13) kˆ.kˆ
r k
cos   13  cos =
13
  =29.30
14.9
Sudut antara a dan b diperoleh dengan men”dot”kan keduanya.
a. b  1.(1)  ( 3).(2)  4.(2)
a b
cos   13

cos =
13
26 9
  =31,80
4.Suatu vektor a dalam bidang xy mempunyai besar 5 satuan
dan arahnya 252 0 terhadap sumbu x positif. Vektor b
mempunyai besar 4 satuan dan arahnya searah sumbu y.
Hitung besar perkalian titik dan perkalian silang kedua vektor
tersebut.
Jawab :
Sudut terkecil antara kedua vektor tersebut adalah:
2520  900  1620
Sehingga diperoleh :
a . b  ab cos   (5)(4) cos1620  19 satuan
a x b  ab sin   (5)(4) sin1620  6,18 satuan
Soal Latihan :