(a) Carilah peluang bahwa T memuat dua bilangan ganjil dan satu

Peluang Diskrit
1
Peluang Diskrit
Counting menjadi landasan bagi perhitungan
peluang berlangsungnya suatu kejadian.
Abad 17: Pascal menentukan
kemungkinan untuk memenangkan
suatu taruhan yang didasarkan pada
keluaran dari dua buah dadu yang
dilemparkan berulang-ulang.
Abad 18: Laplace mempelajari
perjudian dan mendefinisikan
peluang suatu kejadian.
2
Peluang Hingga
eksperimen/percobaan: prosedur yang menghasilkan salah satu
dari himpunan keluaran-keluaran yang mungkin.
ruang sampel dari suatu eksperimen: himpunan semua keluaran
yang mungkin.
kejadian: himpunan bagian dari ruang sampel.
Definisi Laplace
Misalkan S: ruang sampel hingga yang kemungkinan terjadinya
setiap keluaran sama,
E: kejadian yang merupakan himpunan bagian dari S.
Maka peluang kejadian E adalah p(E) = |E|/|S|.
kejadian yang tidak
pernah terjadi
0  p(E)  1
kejadian yang selalu
terjadi apapun eksperimen
yang dilakukan
3
Contoh 1
Di dalam suatu kotak terdapat empat bola biru dan lima bola merah.
Berapakah peluang pengambilan sebuah bola biru dari kotak tersebut?
Solusi.
Terdapat sembilan keluaran yang mungkin, dan kejadian “terpilihnya
bola biru” meliputi empat dari sembilan keluaran tadi. Maka, peluang
kejadian ini adalah 4/9.
Dalam suatu lotere, pemain diminta untuk memilih enam angka,
dengan masing-masing angka berada dalam selang 1 – 49. Berapakah
peluang seseorang untuk memenangkan hadiah utama lotere tersebut?
Solusi.
Terdapat C(49, 6) keluaran yang mungkin. Hanya satu dari keluaran ini
yang menjadikan seseorang pemenang hadiah utama.
p(E) = 1/C(49, 6) = 1/13,983,816
4
Contoh 2
Suatu kuis dengan soal benar/salah memiliki sepuluh
pertanyaan. Jika anda menjawab setiap pertanyaan secara
random, berapakah peluang bahwa nilai anda minimal 70 (dari
skala 100)?
Solusi.
Untuk mendapat nilai minimal 70, anda perlu menjawab 7, 8,
9, atau 10 pertanyaan dengan benar dan terdapat:
•
•
•
•
C(10,10)=1 cara untuk menjawab 10 pertanyaan dengan benar,
C(10,9)=10 cara untuk menjawab 9 pertanyaan dengan benar,
C(10,8)=45 cara untuk menjawab 8 pertanyaan dengan benar,
C(10,7)=120 cara untuk menjawab 7 pertanyaan dengan benar,
Jadi, peluang untuk menjawab minimal 7 pertanyaan dengan
benar adalah:
p(min 7 benar) = p(10 benar) + p(9 benar) + p(8 benar) + p(7 benar)
= 1/210 + 10/210 + 45/210 + 120/210
= 176/1024  0,172
5
Contoh 3
Berapakah peluang bahwa bola bernomor 11, 4, 17, 39, 23 (dalam
urutan tersebut) terpilih dari suatu wadah yang memuat 50 bola
bernomor 1,2,…,50 jika
a. bola yang telah terpilih tidak dikembalikan ke dalam wadah
sebelum pemilihan bola
berikut
b. bola yang telah terpilih dikembalikan ke dalam wadah
sebelum pemilihan bola berikut
Solusi.
a. sampling dengan penggantian
Ada 50.49.48.47.46 cara memilih bola.
Jadi peluang memilih bola bernomor 11, 4, 17, 39, 23 adalah
1 / 59.49.48.47.46
b. sampling tanpa penggantian
Ada (50)5 cara memilih bola.
Jadi peluang memilih bola bernomor 11, 4, 17, 39, 23 adalah
1 / (50)5
6
Soal
Suatu keluarga memiliki dua anak. Anda
mengetuk pintu rumah keluarga tadi dan seorang
anak perempuan membuka pintu. Berapakah
peluang bahwa anak lainnya dalam keluarga
tersebut juga perempuan?
(Asumsikan bahwa mereka bukan anak kembar,
kelahiran anak laki-laki dan perempuan adalah
kejadian yang saling bebas, dan peluang
kelahiran seorang anak perempuan adalah ½.)
7
Solusi
Jika anda berpikir bahwa jawabannya adalah ½, maka anda salah.
Kesalahannya adalah dalam menentukan ruang sampel yang
kemungkinan tiap keluarannya sama. Jika kita memilih ruang sampel
{1 P dan 1L, 2 P},
maka kemungkinan tiap keluarannya tidaklah sama. Kemungkinan
mempunyai 1 P dan 1L adalah dua kali mempunyai 2 P.
Maka ruang sampelnya adalah
{PP,PL,LP,LL}, dg setiap pasang menyatakan sulung dan bungsu.
Karena keluarga memiliki paling sedikit satu perempuan, maka LL
dihapus sehingga ruang sampel menjadi
{PP,PL,LP}
Setiap keluaran mempunyai peluang 1/3, sehingga
p(anak yg lain P) = 1/3.
Misalkan, kita mempunyai informasi tambahan bahwa anak tertualah
yang menjawab pintu. Dalam hal ini, ruang sampel berubah menjadi
{PP,PL}
Jadi, peluang anak lainnya dalam keluarga tersebut juga perempuan
8
adalah ½.
Kejadian Komplementer
Misalkan E: kejadian dalam ruang sampel S. Peluang dari
kejadian Ē: kejadian komplementer dari E adalah
P(Ē) = 1 – p(E).
Ini dapat ditunjukan dengan mudah:
p(Ē) = (|S| - |E|)/|S| = 1 - |E|/|S| = 1 – p(E).
Aturan ini berguna jika menentukan peluang dari
kejadian komplementer ternyata lebih mudah daripada
menghitung peluang kejadian itu sendiri.
9
Contoh 1
Suatu barisan terdiri dari 10 bit yang dibangun secara
acak. Berapakah peluang bahwa paling sedikit satu dari
bit-bit tersebut adalah bit nol?
Solusi.
Misalkan E: kejadian paling sedikit satu bit dalam barisan
adalah bit nol.
Maka Ē: kejadian tidak ada bit nol dalam barisan.
Jelas Ē memuat hanya satu keluaran, yaitu barisan
1111111111.
Jadi, p(Ē) = 1/ 210 = 1/1024.
Dengan demikian,
p(E) = 1 – p(Ē) = 1 – 1/1024 = 1023/1024.
10
Contoh 2
Berapakah peluang paling sedikit dua dari 36 orang
memiliki tanggal ulang tahun yang sama?
Solusi.
Ruang sampel S memuat semua kemungkinan tanggal
ulang tahun dari 36 orang, sehingga |S| = 36536.
Pandang kejadian Ē: tidak ada dua dari 36 orang memiliki
tanggal ulang tahun yang sama.
Maka Ē memuat P(365, 36) keluaran
(365 kemungkinan untuk tanggal ulang tahun orang
pertama, 364 untuk orang kedua, dan selanjutnya).
Maka p(Ē) = P(365, 36)/36536  0.168
sehingga p(E)  0.832
11
Peluang Gabungan Dua Kejadian
Misalkan E1 dan E2 dua kejadian dalam ruang
sampel S.
Maka:
p(E1  E2) = p(E1) + p(E2) - p(E1  E2)
Mengingatkan pada sesuatu?
Prinsip inklusi - eksklusi
Bukti.
| E1  E2 | | E1 |  | E2 |  | E1  E2 |
p( E1  E2 ) 

|S|
|S|
12
Contoh
Suatu bilangan bulat positif terpilih secara acak
dari suatu himpunan bilangan bulat positif yang
tidak melebihi 100.
Berapakah peluangnya untuk menjadi suatu
bilangan yang habis dibagi 2 atau 5?
Solusi.
Misalkan E2: kejadian bahwa bilangan yang
terpilih habis dibagi 2
E5: kejadian bahwa bilangan yang
terpilih habis dibagi 5
13
Maka E2 = {2, 4, 6, …, 100} dan|E2| = 50.
Dengan demikian p(E2) = 0.5.
Demikian juga E5 = {5, 10, 15, …, 100}, |E5| = 20,
dan p(E5) = 0.2
Sedangkan E2  E5 = {10, 20, 30, …, 100},
berarti|E2  E5| = 10 dan p(E2  E5) = 0.1
Sehingga, p(E2  E5) = p(E2) + p(E5) – p(E2  E5 )
= 0.5 + 0.2 – 0.1 = 0.6
14
Soal
Misalkan S={1,2,…,20}. Anda memilih sebuah
subhimpunan TS dengan 3 anggota.
(a) Carilah peluang bahwa T memuat dua
bilangan ganjil dan satu bilangan genap.
(b) Carilah peluang bahwa T memuat tiga
bilangan prima.
(c) Carilah peluang bahwa ketiga anggota T
mempunyai jumlah lebih kecil dari 9.
(d) Carilah peluang bahwa T memuat paling
sedikit satu bilangan genap.
(e) Carilah peluang bahwa T memuat bilangan
10 atau 20.
15
Solusi
Terdapat C(20,3) subhimpunan dengan kardinalitas 3
dan memilih satu di antaranya memiliki kemungkinan
yang sama.
(a) Carilah peluang bahwa T memuat dua bilangan
ganjil dan satu bilangan genap.
Terdapat 10 bilangan ganjil dan 10 bilangan genap di
S. Jadi,
C (10,2)  C (10,1)
p(T memuat 2 ganjil & 1 genap) =
C (20,3)
16
Solusi (2)
(b) Carilah peluang bahwa T memuat tiga
bilangan prima.
Terdapat 8 bilangan prima dalam S, maka
C (8,3)
p(T memuat 3 prima) =
C (20,3)
(c) Carilah peluang bahwa ketiga anggota T
mempunyai jumlah lebih kecil dari 9.
Terdapat 4 cara sehingga 3 bilangan mempunyai
jumlah lebih kecil dari 9: 1,2,3; 1,2,4; 1,2,5; dan
1,3,4. Akibatnya
C (4,3)
p(jumlah anggota T < 9) =
C (20,3)
17
Solusi (3)
(d) Carilah peluang bahwa T memuat paling sedikit
satu bilangan genap.
Akan lebih mudah jika digunakan aturan peluang
kejadian komplementer.
Misalkan E: kejadian T memuat paling sedikit satu
bilangan genap,
maka
Ē: kejadian T memuat bilangan ganjil saja.
C (10,3)
Akibatnya p(E) = 1 – p(Ē) = 1 C (20,3)
18
Solusi (4)
(e) Carilah peluang bahwa T memuat bilangan 10
atau 20.
Digunakan aturan peluang dari gabungan dua
kejadian, dengan E: kejadian 10T dan F: kejadian
20T,
p(E  F) = p(E) + p(F) - p(E  F)
Banyaknya cara untuk memilih bilangan 10 di antara
3 bilangan adalah C(19,2) karena kita harus memilih
2 bilangan dari 19 bilangan yang tersisa.
Demikian pula, terdapat C(19,2) cara untuk memilih
bilangan 20 dan 2 bilangan lainnya; serta C(18,1)
untuk memilih bilangan 10 dan 20 dan 1 bilangan
lainnya.
2  C (19,2)  C (18,1)
Maka, p(E  F) =
C (20,3)
19
Penalaran Probabilistik
Suatu masalah yang sering muncul
adalah menentukan mana di antara
dua kejadian yang lebih mungkin
muncul.
Apabila menganalisa peluang dari
setiap kejadian cukup sulit dilakukan,
maka dipergunakan penalaran
probabilistik.
20
The Monty Hall Three Door Puzzle
Anda adalah peserta suatu kuis televisi. Anda diminta
untuk memilih membuka satu dari tiga pintu; hadiah
mobil Avanza baru terletak di balik salah satu pintu,
sedangkan dua pintu lainnya adalah pintu kalah yang
tidak memuat hadiah.
Setelah anda memilih satu pintu, maka sang pembawa
acara, yang tahu pasti apa yang terdapat di balik ketiga
pintu, akan melakukan yang berikut.
Pertama, pintu apa pun yang anda pilih: pemenang
atau tidak, ia akan membuka pintu kalah dari dua pintu
yang tidak anda pilih.
Kemudian, ia akan bertanya apakah anda ingin
mengganti pintu yang telah anda pilih.
Strategi apa yang harus anda pakai? Haruskah anda
mengganti pintu, atau tetap pada pilihan anda semula,
atau apapun yang anda lakukan tidak ada bedanya?
21