Document

CHAPTER 7
DISCRETE PROBABILITY
1
7.1 AN INTRODUCTION TO
DISCRETE PROBABILITY
2
Sejarah
1526: Cardano menulis Liber de Ludo
Aleae (Book on Games of Chance).
Abad 17: Pascal menentukan
kemungkinan untuk memenangkan
suatu permainan taruhan dua dadu
yang dilempar berulang-ulang.
Abad 18: Laplace mempelajari
perjudian dan mendefinisikan peluang
suatu kejadian.
3
Peluang Hingga
eksperimen/percobaan: prosedur yang menghasilkan salah satu
dari keluaranyang mungkin.
ruang sampel dari suatu eksperimen: himpunan semua keluaran
yang mungkin.
kejadian: himpunan bagian dari ruang sampel.
Counting menjadi landasan perhitungan peluang suatu
kejadian.
Definisi Laplace
Misalkan S: ruang sampel hingga yang kemungkinan terjadinya
setiap keluaran sama,
E: kejadian yang merupakan himpunan bagian dari S.
Maka peluang kejadian E adalah p(E) = |E|/|S|.
kejadian yang tidak
pernah terjadi
0  p(E)  1
kejadian yang selalu
terjadi apapun eksperimen4
yang dilakukan
Contoh 1
Di dalam suatu kotak terdapat empat bola biru dan lima bola merah.
Berapakah peluang pengambilan sebuah bola biru dari kotak tersebut?
Solusi.
Terdapat sembilan keluaran yang mungkin, dan kejadian “terpilihnya
bola biru” meliputi empat dari sembilan keluaran tadi. Maka, peluang
kejadian ini adalah 4/9.
Dalam suatu lotere, pemain diminta untuk memilih enam angka,
dengan masing-masing angka berada dalam selang 1 – 49. Berapakah
peluang seseorang untuk memenangkan hadiah utama lotere tersebut?
Solusi.
Terdapat C(49, 6) keluaran yang mungkin. Hanya satu dari keluaran ini
yang menjadikan seseorang pemenang hadiah utama.
p(E) = 1/C(49, 6) = 1/13,983,816
5
Contoh 2
Suatu kuis dengan soal benar/salah terdiri dari 10 pertanyaan.
Jika Anda menjawab setiap pertanyaan secara random,
berapakah peluang bahwa nilai Anda minimal 70 (dari skala
100)?
Solusi.
Untuk mendapat nilai minimal 70, anda perlu menjawab 7, 8,
9, atau 10 pertanyaan dengan benar dan terdapat:
•
•
•
•
C(10,10) = 1 cara untuk menjawab 10 pertanyaan dengan benar,
C(10,9) = 10 cara untuk menjawab 9 pertanyaan dengan benar,
C(10,8) = 45 cara untuk menjawab 8 pertanyaan dengan benar,
C(10,7) = 120 cara untuk menjawab 7 pertanyaan dengan benar,
Jadi, peluang untuk menjawab minimal 7 pertanyaan dengan
benar adalah:
p(min 7 benar) = p(10 benar) + p(9 benar) + p(8 benar) + p(7 benar)
= 1/210 + 10/210 + 45/210 + 120/210
= 176/1024  0,172
6
Contoh 3
Berapakah peluang bahwa bola bernomor 11, 4, 17, 39, 23 (dalam
urutan tersebut) terpilih dari suatu wadah yang memuat 50 bola
bernomor 1,2,…,50 jika
a. bola yang telah terpilih tidak dikembalikan ke dalam wadah,
b. bola yang telah terpilih dikembalikan ke dalam wadah.
Solusi.
a. sampling dengan penggantian
Ada 50.49.48.47.46 cara memilih bola.
Jadi peluang memilih bola bernomor 11, 4, 17, 39, 23 adalah
1 / 50.49.48.47.46
b. sampling tanpa penggantian
Ada (50)5 cara memilih bola.
Jadi peluang memilih bola bernomor 11, 4, 17, 39, 23 adalah
1 / (50)5
7
Contoh 4
Suatu keluarga memiliki dua anak. Anda
mengetuk pintu rumah keluarga tadi dan seorang
anak perempuan membuka pintu. Berapakah
peluang bahwa anak lainnya dalam keluarga
tersebut juga perempuan?
(Asumsikan bahwa mereka bukan anak kembar,
kelahiran anak laki-laki dan perempuan adalah
kejadian yang saling bebas, dan peluang
kelahiran seorang anak perempuan adalah ½.)
8
Solusi
Jika Anda berpikir bahwa jawabannya adalah ½, maka Anda salah.
Kesalahannya adalah dalam menentukan ruang sampel yang
kemungkinan tiap keluarannya sama. Jika kita memilih ruang sampel
{1 P dan 1L, 2 P},
maka kemungkinan tiap keluarannya tidaklah sama. Kemungkinan
mempunyai 1 P dan 1L adalah dua kali mempunyai 2 P.
Ruang sampelnya adalah
{PP,PL,LP,LL} dg setiap pasang menyatakan sulung dan bungsu.
Karena keluarga memiliki paling sedikit satu perempuan, maka LL
dihapus sehingga ruang sampel menjadi
{PP,PL,LP}
Setiap keluaran mempunyai peluang 1/3, sehingga
p(anak yg lain P) = 1/3.
Misalkan, kita mempunyai informasi tambahan bahwa anak tertualah
yang menjawab pintu. Dalam hal ini, ruang sampel berubah menjadi
{PP,PL}
Jadi, peluang anak lainnya dalam keluarga tersebut juga perempuan
9
adalah ½.
Kejadian Komplementer
Misalkan E: kejadian dalam ruang sampel S. Peluang dari
kejadian Ē: kejadian komplementer dari E adalah
P(Ē) = 1 – p(E).
Ini dapat ditunjukan dengan mudah
p(Ē) = (|S| - |E|)/|S| = 1 - |E|/|S| = 1 – p(E).
Aturan ini berguna jika menentukan peluang dari
kejadian komplementer lebih mudah daripada
menghitung peluang kejadian itu sendiri.
10
Contoh 5
Suatu barisan terdiri dari 10 bit yang dibangun secara
acak. Berapakah peluang bahwa paling sedikit satu dari
bit-bit tersebut adalah bit nol?
Solusi.
Misalkan E: kejadian paling sedikit satu bit dalam barisan
adalah bit nol.
Maka Ē: kejadian tidak ada bit nol dalam barisan.
Jelas Ē memuat hanya satu keluaran, yaitu barisan
1111111111.
Jadi, p(Ē) = 1/ 210 = 1/1024.
Dengan demikian,
p(E) = 1 – p(Ē) = 1 – 1/1024 = 1023/1024.
11
Contoh 6
Berapakah peluang paling sedikit dua dari 36 orang
memiliki tanggal ulang tahun yang sama?
Solusi.
Ruang sampel S memuat semua kemungkinan tanggal
ulang tahun dari 36 orang, sehingga |S| = 36536.
Pandang kejadian Ē: tidak ada dua dari 36 orang memiliki
tanggal ulang tahun yang sama.
Maka Ē memuat P(365, 36) keluaran
(365 kemungkinan untuk tanggal ulang tahun orang
pertama, 364 untuk orang kedua, dan selanjutnya).
Maka p(Ē) = P(365, 36)/36536  0.168
sehingga p(E)  0.832
12
Peluang Gabungan Dua Kejadian
Misalkan E1 dan E2 dua kejadian dalam ruang
sampel S.
Maka:
p(E1  E2) = p(E1) + p(E2) - p(E1  E2)
Mengingatkan pada sesuatu?
Prinsip Inklusi - Eksklusi
Bukti.
| E1  E2 | | E1 |  | E2 |  | E1  E2 |
p( E1  E2 ) 

|S|
|S|
13
Contoh 7
Suatu bilangan bulat positif terpilih secara acak
dari suatu himpunan bilangan bulat positif yang
tidak melebihi 100.
Berapakah peluangnya untuk menjadi suatu
bilangan yang habis dibagi 2 atau 5?
Solusi.
Misalkan E2: kejadian bahwa bilangan yang
terpilih habis dibagi 2
E5: kejadian bahwa bilangan yang
terpilih habis dibagi 5
14
Solusi
Maka E2 = {2, 4, 6, …, 100} dan|E2| = 50.
Dengan demikian p(E2) = 0.5.
Demikian juga E5 = {5, 10, 15, …, 100}, |E5| = 20,
dan p(E5) = 0.2
Sedangkan E2  E5 = {10, 20, 30, …, 100},
berarti|E2  E5| = 10 dan p(E2  E5) = 0.1
Sehingga, p(E2  E5) = p(E2) + p(E5) – p(E2  E5 )
= 0.5 + 0.2 – 0.1 = 0.6
15
Contoh 8
Misalkan S={1,2,…,20}. Anda memilih sebuah subhimpunan
TS dengan 3 anggota.
(a) Carilah peluang bahwa T memuat dua bilangan ganjil
dan satu bilangan genap.
(b) Carilah peluang bahwa T memuat tiga bilangan prima.
(c) Carilah peluang bahwa ketiga anggota T mempunyai
jumlah lebih kecil dari 9.
(d) Carilah peluang bahwa T memuat paling sedikit satu
bilangan genap.
(e) Carilah peluang bahwa T memuat bilangan 10 atau 20.
16
Solusi
Terdapat C(20,3) subhimpunan dengan kardinalitas 3.
(a) Carilah peluang bahwa T memuat dua bilangan
ganjil dan satu bilangan genap.
Terdapat 10 bilangan ganjil dan 10 bilangan genap di
S. Jadi,
C (10,2)  C (10,1)
p(T memuat 2 ganjil & 1 genap) =
C (20,3)
(b) Carilah peluang bahwa T memuat tiga bilangan
prima.
Terdapat 8 bilangan prima dalam S, maka
p(T memuat 3 prima) = C (8,3)
C (20,3)
17
Solusi (2)
(c) Carilah peluang bahwa ketiga anggota T mempunyai
jumlah lebih kecil dari 9.
Terdapat 4 cara sehingga 3 bilangan mempunyai jumlah
lebih kecil dari 9: 1,2,3; 1,2,4; 1,2,5; dan 1,3,4. Akibatnya
4
p(jumlah anggota T < 9) =
C (20,3)
(d) Carilah peluang bahwa T memuat paling sedikit satu
bilangan genap.
Akan lebih mudah jika digunakan aturan peluang kejadian
komplementer.
Misalkan E: kejadian T memuat paling sedikit satu bilangan
genap, maka Ē: kejadian T memuat bilangan ganjil saja.
Akibatnya p(E) = 1 – p(Ē) = 1 - C (10,3)
C (20,3)
18
Solusi (3)
(e) Carilah peluang bahwa T memuat bilangan 10
atau 20.
Digunakan aturan peluang dari gabungan dua
kejadian, dengan E: kejadian 10T dan F:
kejadian 20T,
p(E  F) = p(E) + p(F) - p(E  F)
Banyaknya cara untuk memilih bilangan 10 di
antara 3 bilangan adalah C(19,2) karena kita
harus memilih 2 bilangan dari 19 bilangan yang
tersisa.
Demikian pula, terdapat C(19,2) cara untuk
memilih bilangan 20 dan 2 bilangan lainnya; serta
C(18,1) untuk memilih bilangan 10 dan 20 dan 1
bilangan lainnya.
2  C (19,2)  C (18,1)
Maka, p(E  F) =
C (20,3)
19
Penalaran Probabilistik
Suatu masalah yang sering ditemui adalah
menentukan mana di antara dua kejadian yang
lebih mungkin muncul.
Apabila menganalisa peluang dari setiap
kejadian sulit dilakukan, maka digunakan
penalaran probabilistik.
20
The Monty Hall Three Door Puzzle
Anda adalah peserta suatu kuis televisi. Anda diminta
untuk memilih membuka satu dari tiga pintu; hadiah
mobil Avanza baru terletak di balik salah satu pintu,
sedangkan dua pintu lainnya adalah pintu kalah yang
tidak memuat hadiah.
Setelah Anda memilih satu pintu, maka sang pembawa
acara, yang tahu pasti apa yang terdapat di balik ketiga
pintu, akan melakukan yang berikut.
Pertama, pintu apa pun yang Anda pilih: pemenang atau
tidak, ia akan membuka pintu kalah dari dua pintu yang
tidak anda pilih.
Kemudian, ia akan bertanya apakah anda ingin mengganti
pintu yang telah anda pilih.
Strategi apa yang harus Anda pakai? Haruskah Anda
mengganti pintu, atau tetap pada pilihan Anda semula,
21
atau apapun yang Anda lakukan tidak ada bedanya?
7.2 PROBABILITY THEORY
Distribusi Peluang
Apa yang terjadi jika keluaran dari suatu eksperimen tidak
memiliki peluang yang sama?
Dalam kasus ini, peluang p(s) dipadankan dengan setiap
keluaran sS, di mana S adalah ruang sampel, yang memenuhi
dua syarat:
(1) 0  p(s)  1 untuk setiap sS, dan
(2) sS p(s) = 1
Artinya, bahwa
(1) setiap peluang bernilai antara 0 dan 1, dan
(2) jika peluang dari semua keluaran yang mungkin
dijumlahkan akan sama dengan 1, karena pada saat
eksperimen dilakukan, satu dari keluaran tersebut
dijamin akan terjadi.
Fungsi p: S  [0,1] dinamakan distribusi peluang.
Bagaimana Peluang p(s) Diperoleh?
Peluang p(s) dari suatu kejadian s sama
dengan
# kemunculan s
lim
#eksperimen  # eksperimen
Setelah diketahui p(s) untuk setiap s,
peluang suatu kejadian E adalah
p(E) = sE p(s)
Contoh 1
Suatu dadu dimodifikasi sehingga angka tiga muncul dua kali
lebih sering dari angka-angka lainnya.
(a) Berapakah peluang dari semua keluaran yang mungkin?
(b) Berapakah peluang bahwa angka ganjil akan muncul
ketika dadu tersebut digulingkan?
Solusi.
(a) Terdapat 6 kemungkinan keluaran s1, …, s6.
p(s1) = p(s2) = p(s4) = p(s5) = p(s6)
p(s3) = 2p(s1)
Karena jumlah semua peluang tersebut haruslah sama
dengan 1, maka 5p(s1) + 2p(s1) = 1 atau 7p(s1) = 1
Jadi, p(s1) = p(s2) = p(s4) = p(s5) = p(s6) = 1/7, p(s3) = 2/7
(b) Eganjil = {s1, s3, s5}
Maka, p(Eganjil) = sEganjil p(s) = p(s1) + p(s3) + p(s5)
= 1/7 + 2/7 + 1/7 = 4/7
Distribusi Uniform
Misalkan S himpunan dengan n anggota.
Distribusi uniform memadankan peluang 1/n pada
setiap anggota S.
Eksperimen yang memilih anggota dari suatu
ruang sampel S dengan menggunakan distribusi
uniform dikatakan sebagai memilih anggota dari S
secara acak.
Kombinasi Kejadian
Teorema 1.
Jika E1, E2, … adalah barisan kejadian yang
saling bebas dalam ruang sampel S, maka
p( Ei )   p( Ei )
i
i
Soal 1
Misalkan kelahiran anak laki-laki dan
perempuan adalah kejadian yang saling bebas.
Carilah peluang bahwa suatu keluarga dengan 5
anak tidak mempunyai anak laki-laki, jika
(a) kelahiran anak laki-laki dan perempuan
memiliki kemungkinan yang sama.
(b) peluang kelahiran anak laki-laki adalah
0,51.
(c) peluang bahwa anak ke-i laki-laki adalah
0,51 – (i/100).
Peluang Kondisional
Jika suatu uang logam dilemparkan tiga kali dan ke-8
keluaran memiliki kemungkinan kemunculan yang sama.
Misalkan kita tahu bahwa kejadian F, yaitu pelemparan
pertama menghasilkan muka, terjadi.
Berapakah peluang kejadian E, yaitu bagian muka akan
muncul sejumlah ganjil?
Karena hasil pelemparan pertama adalah muka, maka
keluaran yang mungkin adalah
MMM, MMB, MBM, dan MBB.
Kemunculan muka dalam jumlah ganjil terjadi sebanyak
dua kali.
Maka, peluang E, dengan syarat F terjadi, adalah 0.5.
Ini dinamakan peluang kondisional.
Peluang Kondisional (2)
Untuk memperoleh peluang kondisional dari kejadian
E diberikan F, digunakan
(a) F sebagai ruang sampel, dan
(b) setiap keluaran dari E yang muncul harus juga
berada dalam E  F.
Definisi.
Misalkan E dan F kejadian dengan p(F) > 0.
Peluang kondisional dari E diberikan F, dinotasikan
oleh p(E | F), didefinisikan sebagai
p(E | F) = p(E  F)/p(F)
Contoh 2
Suatu string bit dengan panjang 4 dibangun secara acak
sehingga setiap 16 string dengan panjang 4 memiliki
kemungkinan yang sama.
Berapakah peluang string memuat paling sedikit dua angka 0
yang berurutan, diberikan bahwa bit pertamanya adalah 0 ?
Solusi.
Misalkan E: kejadian bahwa string memuat paling sedikit dua
angka 0 yang berurutan.
F: kejadian bahwa bit pertama dari string adalah 0.
E  F = {0000, 0001, 0010, 0011, 0100}
p(E  F) = 5/16
p(F) = 8/16 = 1/2
p(E | F) = (5/16)/(1/2) = 10/16 = 5/8 = 0.625
Independensi
Kembali ke contoh koin yang dilemparkan tiga
kali.
Apakah peluang kejadian E (muka muncul
sejumlah ganjil) tidak bergantung pada
kemunculan kejadian F (pada pelemparan
pertama muncul muka) ?
Dengan kata lain, apakah p(E | F) = p(E)?
Ternyata p(E | F) = 0.5 and p(E) = 0.5.
Dalam hal ini, E dan F dikatakan sebagai
kejadian yang saling bebas.
Independensi (2)
Karena p(E | F) = p(E  F)/p(F),
p(E | F) = p(E)  p(E  F) = p(E)p(F).
Definisi.
Dua kejadian E dan F dikatakan saling bebas jika
dan hanya jika p(E  F) = p(E)p(F).
Jelas, definisi ini simetris untuk E dan F.
Jika p(E  F) = p(E)p(F), maka p(F | E) = p(F).
Contoh 3
Suatu string biner dengan panjang empat dibangun
secara random.
Misalkan E: kejadian string biner tersebut diawali
dengan 1
F: kejadian string biner tersebut
mengandung sejumlah genap 0.
Apakah E dan F saling bebas?
Solusi.
Jelas, p(E) = p(F) = 0.5.
E  F = {1111, 1001, 1010, 1100}
p(E  F) = 0.25, sehingga p(E  F) = p(E)p(F)
Jadi, E dan F saling bebas.
Contoh 4
Misalkan E: kejadian suatu keluarga dengan 3 anak
mempunyai anak laki-laki dan perempuan dan F: kejadian
suatu keluarga dengan 3 anak mempunyai paling banyak 1
anak laki-laki. Apakah E dan F saling bebas?
Asumsikan bahwa ke-8 cara suatu keluarga memiliki 3 anak
mempunyai peluang kejadian yang sama.
Solusi.
Dari asumsi, LLL, LLP, LPL, LPP, PLL, PLP, PPL, dan PPP
masing-masing mempunyai peluang terjadi 1/8.
Karena E = {LLP, LPL, LPP, PLL, PLP, PPL},
F = {LPP,PLP,PPL,PPP}, dan E  F = {LPP,PLP,PPL}, maka
p(E) = 6/8, p(F) = 4/8, dan p(E  F) = 3/8.
Akibatnya, p(E  F) = p(E)p(F)
Jadi, E dan F saling bebas.
Contoh 5
Anda menulis string dengan panjang tiga dari alfabet, di mana tidak
diperbolehkan pengulangan huruf.
Misalkan E1 adalah kejadian bahwa string dimulai dengan vokal dan E2
adalah kejadian bahwa string diakhiri dengan vokal.
Tentukan apakah E1 dan E2 saling bebas.
Solusi.
Ruang sampel berukuran 26.25.24.
Kejadian E1 memuat semua string dengan tempat pertama diisi oleh
vokal, maka |E1|= 5.25.24
Dengan cara yang sama, |E2|= 25.24.5
5  25  24 25  24  5
5 5

 
Jadi, p( E1 )  p( E2 ) 
26  25  24 26  25  24
26 26
E1  E2 memuat semua string dengan panjang tiga dengan tempat
pertama dan terakhir diisi dengan vokal, maka |E1  E2|= 5.24.4
5  24  4
2
p
(
E

E
)


Akibatnya,
1
2
26  25  24 65
Jadi, kedua kejadian tersebut tidak saling bebas.
Percobaan Bernoulli
Misalkan suatu eksperimen hanya memiliki dua
keluaran yang mungkin.
Contoh. Pelemparan sebuah koin.
Setiap pelaksanaan suatu eksperimen yang
demikian disebut percobaan Bernoulli.
Secara umum, kedua keluaran yang mungkin tadi
disebut kesuksesan atau kegagalan.
Jika p adalah peluang sukses dan q peluang
gagal, jelas
p + q = 1.
Percobaan Bernoulli (2)
Sering kali kita ingin tahu peluang terjadinya tepat k sukses ketika
suatu eksperimen terdiri dari n percobaan Berboulli yang saling
bebas.
Contoh 6.
Suatu koin dimodifikasi sehingga peluang muncul muka adalah 2/3.
Apakah peluang dari tepat empat muka muncul ketika suatu koin
dilemparkan sebanyak tujuh kali?
Solusi.
Terdapat 27 = 128 keluaran yang mungkin.
Jumlah kemungkinan kemunculan empat muka di antara tujuh
pelemparan adalah C(7, 4).
Karena ketujuh pelemparan tersebut saling bebas, maka peluang
untuk masing-masing dari keluaran tadi adalah (2/3)4(1/3)3.
Akibatnya, peluang kemunculan tepat empat muka adalah
C(7, 4)(2/3)4(1/3)3 = 560/2187
Teorema Bernoulli
Peluang k sukses dalam n percobaan
Bernoulli yang saling bebas, dengan
peluang sukses p dan peluang gagal
q = 1 – p, adalah
C(n, k) pk qn-k.
Ini dinotasikan dengan b(k; n, p).
Jika b dipandang sebagai fungsi dari k, maka b
dikatakan sebagai distribusi binomial.
Ilustrasi dari Bukti Teorema Bernoulli
Misalkan ‘S’: sukses dengan peluang p dan ‘F’:
gagal dengan peluang q = 1 – p.
Berapakah peluang dari dua sukses dalam lima
percobaan Bernoulli yang saling bebas?
Lihat salah satu barisan keluaran yang mungkin:
SSFFF
Berapakah peluang kita akan membangun barisan
ini?
Ilustrasi dari Bukti Teorema Bernoulli (2)
Barisan:
S S F F F
Peluang:
p p q q q = p2q3
Suatu barisan lain yang mungkin:
Barisan:
F S F S F
Peluang:
q p q p q = p2q3
Setiap barisan dengan dua sukses dalam lima
percobaan terjadi dengan peluang p2q3.
Ilustrasi dari Bukti Teorema Bernoulli (2)
Sekarang, ada berapa banyak barisan yang
mungkin? Dengan kata lain, ada berapa cara untuk
memilih dua obyek dari daftar yang berisi lima
obyek?
Ada C(5, 2) = 10 cara, sehingga terdapat 10
barisan yang mungkin, setiap barisan terjadi
dengan peluang p2q3.
Maka, peluang salah satu barisan tersebut muncul
pada saat melakukan lima percobaan Bernoulli
adalah C(5, 2) p2q3.
Secara umum, untuk k sukses dalam n percobaan
Bernoulli, kita memiliki peluang C(n,k) pk qn-k.
Contoh 6
Sebuah dadu dilempar 6 kali berturut-turut.
Carilah
(a) p(muncul tepat empat angka 1).
(b) p(tidak ada angka 6 yang muncul).
Solusi
(a) Ini adalah barisan dengan enam percobaan Bernoulli
yang saling bebas, di mana peluang sukses (muncul
angka 1) adalah 1/6 dan peluang gagal 5/6. Karena
itu, peluang muncul tepat empat angka 1 pada saat
dadu dilemparkan 6 kali adalah
4
2
1 5
C (6,4)     0,008
6 6
(b) Dalam kasus ini sukses adalah kemunculan angka
selain 6, yang memiliki peluang 5/6 dan gagal adalah
kemunculan angka 6, yang peluangnya 1/6.
Maka peluang tidak ada angka 6 yang muncul pada
saat dadu dilemparkan 6 kali adalah
5
C (6,6) 
6
6
0
1
   0,335
6
Variabel acak
Dalam banyak eksperimen, kita ingin memadankan nilai numerik
pada setiap keluaran yang mungkin untuk memungkinkan analisa
matematis dari eksperimen tersebut.
Untuk tujuan ini, diperkenalkan variabel acak.
Definisi.
Suatu variabel acak adalah fungsi dari ruang sampel suatu
eksperimen ke himpunan bilangan real. Yaitu, variabel acak
memadankan suatu bilangan real dengan setiap keluaran yang
mungkin.
Catatan.
– Variabel acak adalah fungsi, bukan variabel.
– Variabel acak tidak dilakukan secara acak, tetapi memetakan
hasil eksperimen yang acak ke bilangan real secara terdefinisi
dengan baik.
Contoh 7
Misalkan X adalah variabel acak hasil
permainan “suit”.
Jika pemain A memilih jari a dan B
memilih jari b, maka
= 1, jika A menang,
X(a,b) = 0, jika A dan B
memilih jari yang sama,
= -1, jika B menang.
X(ibujari,ibujari) =
0
X(ibujari,kelingking) =
-1
X(ibujari,telunjuk) =
1
X(kelingking,ibujari) =
1
X(kelingking,kelingking) = 0
X(kelingking,telunjuk) =
-1
X(telunjuk,ibujari) =
-1
X(telunjuk,kelingking) =
1
X(telunjuk,telunjuk) =
0
The Birthday Problem
Berapa jumlah minimum orang
yang diperlukan sehingga peluang
bahwa sedikitnya dua di antara
mereka mempunyai tanggal ulang
tahun yang sama adalah lebih
besar dari ½?
The Birthday Problem: Solusi
n: jumlah orang
pn: peluang bahwa setiap orang mempunyai
tanggal ulang tahun yang berbeda.
Maka
365 364 363
367  n
pn 
Dan


366 366 366

366
365 364 363
367  n
1  pn  1 



366 366 366
366
1 – pn ≥ 0,5 jika n ≥ 23
Soal
1. Latihan 7.1.5
Berapakah peluang munculnya jumlahan genap
pada saat dua dadu dilemparkan?
2. Latihan 7.1.17
Berapakah peluang memperoleh lima buah kartu
memuat kartu sejenis yang berurutan?
3. Latihan 7.1.21
Berapakah peluang bahwa sebuah dadu yang
dilemparkan 6 kali tidak pernah memunculkan
angka genap?
Soal (2)
4.
5.
6.
Latihan 7.1.23
Berapakah peluang bahwa suatu bilangan bulat positif
tidak melebihi 100 yang dipilih secara acak habis dibagi 5
dan 7?
Latihan 7.1.31
Terdapat 100 orang yang mengikuti suatu acara dan Ani
salah seorang di antaranya. Dia acara tersebut disediakan 3
buah doorprize yang pemilihan pemenangnya dilakukan
secara acak. Berapakah peluang Ani untuk memenangkan
satu dari ketiga hadiah tersebut?
Latihan 7.1.21
Manakah yang lebih mungkin terjadi: memperoleh
jumlahan 9 pada saat melemparkan dua dadu atau
memperoleh jumlahan 9 pada saat melemparkan tiga dadu
?
Soal (3)
7.
8.
9.
Latihan 7.2.3
Carilah peluang kemunculan setiap keluaran pada saat
pelemparan suatu dadu yang dimodifikasi: peluang
kemunculan 2 atau 4 adalah tiga kali lebih besar dari
kemunculan empat angka lainnya dan peluang kemunculan 2
dan 4 sama besar.
Latihan 7.2.23
Berapakah peluang bersyarat bahwa tepat empat muka
muncul pada saat suatu koin dilemparkan lima kali, jika
pelemparan pertama memberikan muka?
Latihan 7.2.27.a
Misalkan E: kejadian di mana suatu keluarga dengan 2 anak
mempunyai anak laki-laki dan perempuan dan F: kejadian di
mana suatu keluarga dengan 2 anak mempunyai paling
banyak 1 anak laki-laki. Apakah E dan F saling bebas?