Pendugaan Rasio, Regresi, dan Beda

Pendugaan Rasio, Regresi,
dan Beda
Pertemuan V
Pendahuluan
Pada pendugaan parameter untuk suatu variabel y,
sering kali sulit dilakukan karena beberapa informasi
tidak diperoleh. Namun adanya variabel lain x yang
berhubungan erat dengan y, dapat digunakan untuk
menjadi pengganti informasi tambahan tersebut.
Pendugaan parameter dari y menggunakan informasi
dari variabel x dapat dilakukan menggunakan 3 cara
yaitu: penduga rasio, penduga regresi dan penduga
beda.
Ilustrasi Penggunaan Penduga Rasio
Seorang manajer produksi minuman kesehatan
menerima kiriman satu kontainer besar jeruk. Untuk
menduga besarnya kandungan vitamin C yang ada
pada satu kontainer jeruk tersebut, dapat digunakan
formula total kandungan vitamin C sebagai:
ˆ  Ny
yaitu perkalian antara banyaknya buah jeruk (N)
dengan rata-rata kandungan vitamin per buah jeruk.
Rata-rata kandugan vitamin C dapat diperoleh dari
contoh beberapa jeruk. Yang menjadi kendala adalah,
bagaimana mendapatkan nilai N? Tidak mungkin
melakukan pencacahan jeruk di seluruh kontainer.
Ilustrasi Penggunaan Penduga Rasio
Permasalahan ini dapat dibantu menggunakan
variabel tambahan yaitu berat jeruk. Mendapatkan
berat jeruk satu kontainer sangat memungkinkan.
Selain itu kandungan vitamin C berkorelasi dengan
berat jeruk. Dari setiap butir jeruk yang diambil
sebagai contoh yang ada kita bisa dapatkan nilai dari
dua variabel yaitu kandungan vitamin C, y, dan
beratnya, x. Rasio yang dimaksud adalah rasio antara
rata-rata kedua variabel.
 y N y  y


 x N x  x
y
 y   x  R x
x
Penduga Rasio Populasi (R)
y
R
x
n
yi
y ny 
r 
 i n1
x nx  x
i
diduga menggunakan
i 1
n
 ( yi  rxi )


N

n
1


i 1
Vˆ (r )  


 2
n 1
 nN    x 
2
Penduga Rasio untuk Total ()
n
ˆy 
 yi
i 1
n
 xi
 x  r x
i 1
n
 ( yi  rxi )


N

n
1


2
i 1
Vˆ (ˆy )   x 


 2
n 1
 nN    x 
Selang kepercayaan untuk 
ˆy  t Vˆ (ˆy )
2
2
Teladan 1
Sebuah survei dilakukan untuk menduga jumlah gula yang
terkandung didalam satu truk jeruk. Sampel acak sebanyak 10 jeruk
diambil, dan diukur jumlah gula yang terkandung didalamnya (lihat
tabel). Diketahui berat seluruh jeruk dalam satu truk sebesar 1800 pon.
Dugalah total gula yang terkandung dalam satu truk jeruk dan bound
of errornya.
Jumlah jeruk
Kandungan gula (pon)
Berat jeruk (pon)
n=10
Σy=0.246
Σx=4.35
n
ˆy 
y
i 1
n
x
i 1
i
x 
0.246
1800  101.79 pon
4.35
i
n
(y

 N  n  1
B  2 Vˆ (ˆy )  2  x2 
 2 
 nN    x 
i 1
i
 rxi ) 2
n 1
2

 0.000052285
1
  6.3
2 
9
10   0.435 

18002  1  
Penduga Regresi
n
ˆ yL  y  b( x  x )
dengan
b
 ( yi  y )( xi  x )
i 1
n
2
(
x

x
)
 i
i 1
n
n
N

n
1




2
2
2

Vˆ ( ˆ yL )  
(
y

y
)

b
(
x

x
)


i
i





i

1
i

1

 nN   n  2 
Selang kepercayaan untuk 
ˆ yL  t Vˆ ( ˆ yL )
2
Teladan 2
Sebuah tes matematika dilakukan pada 486 siswa untuk masuk ke perguruan
tinggi (PT) tertentu. Diambil contoh acak sebnayak 10 siswa, dan dilihat
perkembangan mereka setelah menjadi mahasiswa melalui nilai akhir mata
kuliah kalkulus. Nilainya adalah sebagai berikut:
Mahasiswa
Nilai Tes
Matematika
(x)
Nilai akhir
kalkulus
(y)
1
39
65
2
43
78
3
21
52
4
64
82
5
57
92
6
47
89
7
28
73
8
75
98
9
34
56
10
52
75
Diketahui bahwa μx=52 untuk semua
486 mahasiswa. Dugalah μy untuk
populasi tersebut, dan hitung bound of
errornya!
Jawab
y  76
x  46
n
b
(y
i 1
i
 y )( xi  x )
n
 (x
i 1
i

 x )2
36.854  10( 46)(76)
 0,766
23.634  10( 46) 2
ˆ yL  y  b( x  x )  76  0,76652  46  80
n
 N  n  1  n
2
2
2
ˆ
V ( ˆ yL )  
(
y

y
)

b
(
x

x
)

i

  n  2   i
nN


  i 1
i 1



 486  10   1 
2


2474  7,397

2056

0
,
766



 10(486)  10  2 
B  2 Vˆ ˆ yL   5,4
Penduga Beda
ˆ yD  y  (  x  x )   x  d
dengan d  y  x
n
2
(
d

d
)
 i
N

n


i 1
Vˆ ( ˆ yD )  

n 1
 nN 
dengan di = yi - xi
Selang kepercayaan untuk 
ˆ yD  t Vˆ (ˆ yD )
2
Teladan 3
Berikut data penjualan buku di sepuluh toko buku pada bulan lalu
dan bulan ini.
Dugalah μy dengan metode beda
dan dugalah ragamnya
Toko
Buku
Bulan
Lalu (y)
Bulan
Ini (x)
di
1
9
10
-1
2
14
12
2
3
7
8
-1
4
29
26
3
5
45
47
-2
6
109
112
-3
7
40
36
4
8
238
240
-2
9
60
59
1
10
170
167
3
y  72,1
 x  74
x  71,7
ˆ yD  y  (  x  x )   x  d
 74  (72,1  71,1)  74,4
n
2
(
d

d
)
 i
 N  n  i 1
ˆ
V ( ˆ yD )  
n 1
 nN 
180  10 
6,27  0,59


 18010 
Efisiensi Relatif antar
Penduga
Pelajari sub-bab 6.8 dari
Scheaffer et al, kemudian
buat ulasan mengenai sub-bab
tersebut.