MATEMATIKA EKONOMI 2A

MATERI KULIAH
MATEMATIKA EKONOMI 2
Disusun Oleh :
Muhammad Imron Hadisantosa
UNIVERSITAS GUNADARMA
@2016
DAFTAR ISI
BAB I
LIMIT DAN KEKONTINUAN ............................................................................................ 1
A. Pengertian .............................................................................................................. 1
B. Limir Kiri dan Limir Kanan ....................................................................................... 1
C. Kaidah-kaidah Limit ................................................................................................ 3
D. Limit Kasus-kasus Khusus ....................................................................................... 3
E. Kesimanbungan dan Kekontinuan .......................................................................... 5
BAB II DIFERENSIAL .................................................................................................................. 7
A. Definisi / Pengertian Diferensial ............................................................................. 7
B. Kaidah-kaidah Diferensial ....................................................................................... 8
C. Hakikat Derivatif dan Diferensial .......................................................................... 11
D. Derivatif dari Derivatif .......................................................................................... 12
E. Hubungan Antara Fungsi dan Derivatifnya ........................................................... 13
F. Aplikasi dalam Bisnis dan Ekonomi ....................................................................... 15
BAB III DIFERENSIAL FUNGSI MAJEMUK .................................................................................. 22
A. Derivatif Parsial ..................................................................................................... 22
B. Derivatif dari Derivatif Parsial ............................................................................... 22
C. Nilai Ekstrim : Maksimum dan Minimum ............................................................. 23
D. Optimasi Bersyarat ............................................................................................... 24
E. Penerapan Diferensial Parsial ............................................................................... 27
BAB IV INTEGRAL ...................................................................................................................... 31
A. Integral Tak Tentu ................................................................................................. 31
B. Aplikasi Integral Tak tentu dalam Bidang Bisnis dan Ekonomi ............................. 37
C. Integral Tertentu .................................................................................................... 41
D. Aplikasi Integral Tertentu ..................................................................................... 43
BAB 1
LIMIT DAN KEKONTINUAN
A. Pengertian
Limit menggambarkan seberapa jauh sebuah fungsi akan berkembang apabila variabel pada fungsi tersebut
mendekati suatu nilai tertentu.
Suatu fungsi f(x) mempuntai limit L apabila variabel x terus menerus berkembang mendekati nilai tertentu a
Hubungan ini ditulis dengan notasi : Lim f (x ) = L
x →a
Dibaca : ”Limit fungsi f(x) untuk x mendekati a adalah L”.
Yang perlu diperhatikan :
- x → a ditafsirkan sebagai x mendekati a
(x ≠ a)
- Lim f(x) = L ditafsirkan sebagai L adalah limit fungsi f(x).
( f(x) ≠ L )
B. Limit Kiri dan Limit Kanan
Ingat pada sebuah garis bilangan :
- Dari arah kiri ke kanan, bilangan dari kecil semakin besar
- Dari arah kanan ke kiri, bilangan dari besar semakin kecil
a. Limit kiri sebuah fungsi adalah nilai yang didekati fungsi tersebut apabila variabelnya bergerak mendekati
limitnya dari arah kiri.
Lim− f (x ) = L
Notasi :
nilai a didekati dari arah kiri
x →a
b. Limit kanan sebuah fungsi adalah nilai yang didekati fungsi tersebut apabila variabelnya bergerak mendekati
limitnya dari arah kanan.
Lim+ f (x ) = L
Notasi :
nilai a didekati dari arah kanan
x →a
c. Limit sebuah fungsi dikatakan ada jika dan hanya jika limit kiri dan kanan ada dan sama.
Lim− f (x ) = Lim+ f (x ) = Lim f (x )
x →a
x →a
x →a
Contoh 1 :
x2 −4
periksa apakah f(x) mempunyai limit untuk nilai x mendekati 2 !
x −2
 Jika kita substitusikan langsung nilai x = 2 ke dalam fungsi f(x) maka
Jika f(x) =
f(2) =
22 − 4 4 − 4 0
=
=
2−2
0
0
diperoleh nilai tak tentu(tak terdefinisi)
 Limit kiri dari f(x) adalah Lim−
x→2
x2 −4
= ...
x −2
Lengkapi tabel berikut dari kiri
x
0
1
1,2
f(x) =
x2 −4
x −2
2
3
3,2
1,3
1,5
...
...
1,7
1,8
1,9
1,999
x→2–
...
...
...
...
...
Pada tabel di atas, jika nilai x semakin mendekati nilai 2 dari kiri maka nilai f(x) semakin mendekati
suatu nilai yaitu ....
x 2 −4
= ....
Hal ini berarti Lim−
x →2
x −2
1
 Limit kanan dari f(x) yaitu Lim+
x →2
x2 −4
= ...
x −2
Lengkapi tabel berikut dari kanan
x
x→2+ 2,001 2,1
f(x) =
2
x −4
x −2
...
...
2,2
...
...
2,4
...
2,5
2,7
2,9
3
4
...
...
4,9
5
6
Pada tabel di atas, jika nilai x semakin mendekati nilai 2 dari kanan maka nilai f(x) semakin mendekati
suatu nilai yaitu ....
x2 −4
= ....
Hal ini berarti Lim+
x →2
x −2
 Ternyata limit kiri sama dengan limit kanan yaitu ... sehingga dikatakan limitnya ada/terdefinisi. Atau
x 2 −4
x2 − 4
= ....
mempunyai limit pada x = 2 yaitu .... Ditulis Lim
x→ 2 x − 2
x −2
juga bisa dikatakan fungsi f(x) =
Contoh 2 :
Jika f(x) =
3
periksa apakah f(x) mempunyai limit untuk nilai x mendekati 0 !
x
 Jika kita substitusikan langsung nilai x = 0 ke dalam fungsi f(x) maka
f(0) =
3
=∞
0
Perhatikan lebih teliti lagi dengan mencari limit kiri dan kanan.
 Limit kiri dari f(x) adalah Lim −
x →0
3
x
= ...
Lengkapi tabel berikut dari kiri
x
–1
–0,5 –0,2
f(x) =
3
x
–3
–6
–0,1
–15
–0,01
...
-0,001
-0,0001
-0,00000001
x→0–
...
...
...
...
...
Pada tabel di atas, jika nilai x semakin mendekati nilai 0 dari kiri maka nilai f(x) semakin mendekati
suatu nilai yaitu ....
Hal ini berarti Lim −
x →0
3
= ....
x
 Limit kanan dari f(x) yaitu Lim +
x →0
3
x
= ...
Lengkapi tabel berikut dari kanan
x
x→0+ 0,000000000001 0,00001 0,0001
f(x) =
3
x
...
...
...
...
0,1
0,3
0,6
1
...
10
5
3
Pada tabel di atas, jika nilai x semakin mendekati nilai 0 dari kanan maka nilai f(x) semakin mendekati
suatu nilai yaitu ....
3
= ....
x
 Karena limit kiri tidak sama dengan limit kanan maka dikatakan limitnya tidak ada/tak terdefinisi.
Hal ini berarti Lim +
x →0
Atau juga bisa dikatakan fungsi f(x) =
3
tidak mempunyai limit pada x = 0
x
2
C. Kaidah-kaidah Limit
Beberapa kaidah limit yaitu :
a. Lim k = k
x→a
Contoh :
b.
Lim 6 = 6
x →4
Lim f (x) ± g(a) = Lim f (x) ± Lim g (x)
x→a
x→a
Contoh :
x→a
Lim {( 3x - 2) + (2x + 1)} = Lim 3x - 2 + Lim 2x + 1
x→2
x→2
Lim { 5x - 1} =
x→2
9
c.
=
+
5
9
Lim { f (x) ⋅ g(a)} = Lim f (x) ⋅ Lim g (x)
x→a
x→a
(
Contoh : Lim 4 x
x→3
2
Lim 24x =
648
x→a
4x
→3
(36)
x→ 3
Lim
x→a
2
)(6x ) = Lim
x
3
d.
x→2
4
=
⋅ Lim 6 x
x→3
.
18
648
Lim f (x)
f (x)
= x→a
g (x ) Lim g (x)
Contoh :
x→a
(
3x 2 + 2
3x 2 + 2 Lim
x→2
Lim
=
x→2
x −1
Lim (x - 1 )
)
x→2
14
14
e.
14
=
1
= 14
Lim { f (x) }n =  Lim f (x) 
x→a
x →a

n
Lim (2x + 1 )2 =  Lim (2x + 1 )
Contoh :
x→3
(
)
x →3
2

Lim 4 x + 4 x + 1 = (7 )
x→3
2
2
49 = 49
f.
Jika f(x) = g(x) dan Lim f (x) = L maka Lim g (x) = L juga
x→a
Contoh :
Lim
x→2
Lim
x→2
x→a
2
x + 2x − 3
(x + 3)(x − 1)
= Lim
2
→
x
x −1
(x − 1)
x 2 + 2x − 3
= Lim (x + 3 )
x→2
x −1
5
=
5
D. Limit kasus-kasus khusus
∞
0
Limit suatu fungsi tidak boleh menghasilkan bilangan tak tentu  atau
 . Oleh karena itu, jika dengan
0
∞
substitusi langsung diperoleh bentuk tak tentu, maka perlu dilakukan perubahan pada bentuk fungsinya.
a. Jika diperoleh
0
0
Faktorkan pembilang dan/atau penyebut dari fungsi tersebut dan sederhanakan
3
Contoh :
x 2 + 3x − 4 1 + 3 − 4 0
=
=
x →1
x −1
1 −1
0
2
x + 3x − 4
(x + 4 )(x − 1)
Lim
= Lim
x →1
x →1
x −1
(x − 1)
= Lim (x + 4 )
1) Lim
(Karena diperoleh bentuk tak tentu maka...)
(Pembilang difaktorkan)
(disederhanakan)
x →1
=1+4 = 5
2)
Lim
x → −2
Lim
x → −2
x 2 + 5x + 6 4 − 10 + 6 0
=
=
4−2−2
0
x 2 +x −2
2
x + 5x + 6
(x + 3)(x + 2)
= Lim
2
x + x − 2 x → −2 (x − 1)(x + 2)
(x + 3)
= Lim
x → −2 ( x − 1)
−2 + 3
1
1
=
=−
=
− 2 −1 − 3
3
Latihan
Tentukan limit fungsi berikut :
6x 3
1) Lim
x→0
x
2) Lim
x→5
3) Lim
(disederhanakan)
x +3
x → −3 x − 3x − 18
8x 2
5) Lim
x → 0 4x 3
x 2 + 3x − 8
6) Lim
x → 4 x 2 − 2x − 5
(x − 3)2 − 9
b. Jika diperoleh
(Pembilang dan penyebut difaktorkan)
Lim
4)
x 2 − 25
x −5
x→0
(Karena diperoleh bentuk tak tentu maka...)
x
2
∞
∞
Pembilang dan penyebut dibagi dengan variabel pengkat tertinggi
Contoh :
∞+∞ ∞
4x 5 + x 2
(Karena diperoleh bentuk tak tentu maka...)
=
=
Lim
x → ∞ 3x 6 − 7 x 3
∞−∞ ∞
4x 5 x 2
+ 6
5
2
6
4x + x
x
x
Lim
= Lim
(pembilang dan penyebut dibagi dengan x6)
x → ∞ 3x 6 − 7 x 3
x → ∞ 3x 6
7x 3
− 6
x6
x
4
= Lim
x→∞
4 1
+
= ∞ ∞
7
3−
∞
x
+
3−
1
x4
(sederhanakan)
7
x3
=
Latihan
Tentukan limit fungsi berikut :
6x 4 + x 2 + 9
1) Lim
x → ∞ 2x 3 + 5x 2 − 4
0+0
0
=
=0
3−0
3
2) Lim
x→∞
5x 4 + 3x 2 − 6
2x
4
4
3
− 7 x + 3x
3) Lim
x→∞
2x + 3x 2 − 8x 5
3x 4 + 9x 3 + 4 x
Cara Ringkas :
Diketahui Lim
x→∞
Jika m > n
ax m + ....
px n + ....
dan
m adalah pangkat tertinggi pembilang
n adalah pangkat tertinggi penyebut
a>0
maka nilai Limitnya = ....
a<0
maka nilai Limitnya = ....
Jika m = n
maka nilai Limitnya = ....
Jika m < n
maka nilai Limitnya = ....
E. Kesinambungan/Kekontinuan
Sebuah fungsi dikatakan kontinu pada x = a jika memenuhi :
• f(a) terdefinisi/ada
terdefinisi/ada
• Lim f (x)
x →a
•
Lim f (x) = f(a)
x →a
Fungsi f(x) dikatakan kontinu pada interval b ≤ x ≤ c atau interval b < x < c jika ia kontinu pada setiap
titik di dalam interval tersebut.
Contoh :
Tunjukkan fungsi f(x) =
x 2 + 2x − 3
kontinu pada titik x = 2
(x − 1)
Jawab :
•
f(2) =
•
Lim
•
x→ 2
2 2 + 2(2) − 3 4 + 4 − 3
=
=5
(2 − 1)
1
x 2 + 2x − 3
=5
(x − 1)
f(2) = Lim f (x)
x→ 2
Jadi f(x) kontinu pada x = 2.
Jika tidak kontinu pada suatu titik dimana x = a, maka dikatakan f(x) diskontinu /asinambung pada x = a
Diskontinu ada 3 kemungkinan/jenis
a. Diskontinu tak berhingga
b. Diskontinu berhingga
c. Diskontinu titik
Penjelasan :
a. Fungsi f(x) diskontinu tak berhingga pada x = a jika
Lim f (x) = f(a) = ∞ atau
Lim f (x) = f(a) = −∞
x →a
Contoh :
x →a
f(x) =
(x
9
− 3)
2
Diperoleh Lim
x →3
pada x = 3
(x
9
− 3)
2
= ∞ = f ( 3)
Secara grafis, terlihat sebagai berikut :
(Grafik fungsi akan bertemu di jauh takhingga)
3
5
b. Fungsi f(x) diskontinu berhingga pada x = a jika
- f(a) terdefinisi/ada
Lim f (x) tak terdefinisi/tak ada
x →a
Contoh :
2x
3x
f(x) =
-
untuk 0 ≤ x < 5
x ≥5
untuk
15
Untuk fungsi ini diperoleh :
f(5) = 15(5) = 75
Lim f (x) = tidak ada / tak terdefinisi
10
x →5
(karena limit kiri = 10 tetapi limit kanan = 15)
Secara grafis terlihat seperti di samping :
5
c. Fungsi f(x) diskontinu titik pada x = a jika
- f(a) tak terdefinisi/tak ada
Lim f (x) terdefinisi/ada
x →a
Contoh :
Lim f (x) =
x →5
x 2 − 25
x −5
Untuk fungsi ini diperoleh :
-
0
tak terdefinisi/tak ada
0
(x + 5)(x − 5)
x 2 − 25
Lim
= Lim
x →5
x →5
(x − 5)
x −5
= Lim (x + 5 ) = 10
f(5) =
10
5
x→5
(terdefinisi/ada)
Secara grafis terlihat seperti di samping :
5
Fungsi kontinu untuk setiap x kecuali pada x = 5,
fungsi tidak terdefinisi.
6
BAB 2
DIFERENSIAL
A. Definisi/pengertian diferensial
Kuosien Diferensi (difference quotient) dari y = f(x) mencerminkan tingkat perubahan rata-rata variabel terikat y
terhadap variabel bebas x.
Jika y = f(x) dan ∆x (dibaca ”delta x”) adalah penambahan nilai variabel x, maka :
- Bentuk persamaan dapat dituliskan menjadi
→
y = f(x)
- Jika x bertambah sebesar ∆x, maka nilai y bertambah sebesar ∆y
→
y + ∆y = f(x + ∆x)
- Pertambahan nilai y (∆y) dapat ditentukan dengan
→
∆y = f(x + ∆x) – y
- Karena y = f(x) maka menjadi
→
∆y = f(x + ∆x) – f(x)
- Jika ruas kiri dan kanan dibagi dengan ∆x
Bentuk
→
∆y
f ( x + ∆x ) − f ( x )
=
∆x
∆x
∆y f ( x + ∆x ) − f ( x )
inilah yang disebut dengan hasil bagi perbedaan (kuosien diferensi)
=
∆x
∆x
Diferensiasi merupakan proses pendiferensian yaitu penentuan Limit dari kuosien diferensi dimana ∆x → 0.
Hasil yang diperoleh dari proses pendiferensian dinamakan Turunan atau Derivatif.
Derivatif dari y = f(x) terhadap variabel x dilambangkan dengan y’ = f’(x)
Sehingga dapat kita tuliskan :
y' = f’(x) =
Contoh :
1. Tentukan derivatif dari y = f(x) = 3x + 5
Jawab :
∆y
f ( x + ∆x ) − f ( x )
dy
= Lim
= Lim
∆x
dx ∆x → 0 ∆x ∆x → 0
f ( x + ∆x ) − f ( x )
∆x
(3( x + ∆x ) + 5) − (3x + 5)
= Lim
∆x → 0
∆x
3x + 3∆x + 5 − 3x − 5
= Lim
∆x → 0
∆x
3∆x
= Lim
∆x → 0 ∆x
= Lim 3 = 3
y' = f’(x) = Lim
∆x → 0
∆x → 0
2. Tentukan Derivatif dari y = f(x) = 4x2 + 5x – 1
Jawab :
f ( x + ∆x ) − f ( x )
∆x
(4( x + ∆x ) 2 + 5( x + ∆x ) − 1) − (4 x 2 + 5 x − 1)
Lim
∆x → 0
∆x
(4( x 2 + 2 x∆x + ∆x 2 ) + 5 x + 5∆x − 1) − (4 x 2 + 5 x − 1)
Lim
∆x → 0
∆x
2
2
4 x + 8 x∆x + 4 ∆x + 5 x + 5∆x − 1 − 4 x 2 − 5 x + 1
Lim
∆x → 0
∆x
2
8 x∆x + 4 ∆x + 5∆x
Lim
∆x → 0
∆x
Lim (8 x + 4 ∆x + 5) = 8x + 5
y' = f’(x) = Lim
∆x → 0
=
=
=
=
=
∆x → 0
7
Latihan : Tentukan turunan fungsi berikut :
a. f(x) = x3
c. f(x) = 3x 2 + 3x
b. f(x) = 3x
–2
d. f(x) = 4x
–3
2. Derivatif fungsi linier
Jika y = ax + b dimana b adalah konstanta, maka y’ = a
Contoh : y = 6x + 8, maka
y’ = 6
3. Derivatif fungsi pangkat
Jika y = axn, dimana a adalah koefisien dari xn, maka y = n.axn-1.
Contoh : y = 5x3 maka
y’ = 3.5x3-1
y’ = 15x2
4. Derivatif penjumlahan fungsi
Jika y = u ± v, dimana u = g(x) dan v = h(x), maka y’ = u’ ± v’
Contoh : y = 3x2 + 8x, maka
y’ = 6x + 8
5. Derivatif perkalian fungsi
a. Perkalian fungsi dan konstanta
Jika y = k.u, dimana k adalah konstanta dan u = g(x), maka y’ = k.u’
Contoh :
y = 3(5x2 – 4x + 1), maka
y’ = 3(10x – 4)
y’ = 30x – 12
b. Perkalian fungsi
Jika y = u.v, dimana u = g(x) dan v = h(x), maka y’ = u’v + uv’
Contoh :
y = (2x5 – 7)(3x2 + 4), maka
u = (2x5 – 7)
maka u’ = 10x4
v = (3x2 + 4)
maka v’ = 6x
y’ = u’v + uv’
y’ = (10x4)( 3x2 + 4) + (2x5 – 7)(6x)
y’ = 30x6 + 40x4 + 12x6 – 42x
y’ = 42x6 + 40x4 – 42x
6. Derivatif hasil bagi fungsi
u' v − uv '
u
, dimana u = g(x) dan v = h(x) , maka y’ =
v
v2
Contoh : y =
( x 6 + 3x )
4x 2
, maka
u = (x6 + 3x)
v = 4x2
y’ =
y’ =
maka u’ = 6x5 + 3
maka v’ = 8x
(6 x 5 + 3)(4 x 2 ) − ( x 6 + 3x )(8 x )
(4 x 2 ) 2
24 x 7 + 12 x 2 − 8 x 7 − 24 x 2
16 x 4
x
f. f(x) = x3 + 2x – 5
B. Kaidah-kaidah diferensiasi
Diferensial memenuhi beberapa kaidah :
1. Derivatif fungsi konstanta
Jika y = k, dimana k adalah konstanta, maka y’ = 0
Contoh : y = 5 maka
y’ = 0
Jika y =
e. y =
8
y’ =
y’ =
16 x 7 − 12 x 2
16 x 4
4x 5 − 3
4x 2
7. Derivatif fungsi komposisi (dalil rantai)
Jika y = f(u) sedangkan u = g(x), atau y = f(g(x)), maka
Contoh : y = (4x2 + 5)2, maka
y’ =
u = 4x2 + 5
maka
y = u2
maka
dy dy du
=
⋅
dx du dx
du
dx
dy
du
dy dy du
=
⋅
dx du dx
= 8x
= 2u
= 2u . 8x
= 2(4x2 + 5) . 8x
= 64x3 + 80x
8. Derivatif fungsi berpangkat
jika y = un dimana u = g(x), maka y’ = n.u’.un-1
Contoh : Jika
y = (4x2 + 5)2 maka Misalkan u = 4x2 + 5
y' = n.u’.un-1
y’ = 2.(8x). (4x2 + 5)1
y’ = 16x (4x2 + 5)1
y’ = 64x3 + 80x
sehingga u’ = 8x
9. Derivatif tingkat tinggi
Derivatif ke n dari fungsi f(x) diperoleh dari mendiferensialkan sebanyak n kali
Derivatif ke-n dari fungsi y = f(x) dilambangkan dengan y(n) = f(n)(x) =
5
4
3
2
dn y
dx n
Contoh : y = 6x + 3x – 2x + 6x – 5x + 8
y' = f’(x) =
y”= f”(x) =
dy
dx
= 30x4 + 12x3 – 6x2 + 12x – 5
d2 y
= 120x3 + 36x2 – 12x + 12
dx 2
y”’= f”’(x) =
d3 y
dx
3
= 360x2 + 72x – 12
10. Derivatif Fungsi Logaritmik
Jika y = alog x, maka y’ =
1
x ln a
Contoh : y = 5log x, maka y’ =
1
x ln 5
11. Derivatif fungsi logaritmik - Napier
Jika y = ln x
maka y’ = 1/x
dy dy du 1 du
=
⋅
= ⋅
dx du dx u dx
Jika y = ln u, dimana u = g(x)
maka y’ =
Contoh : y = ln(3 – 4x2)
Misal u = 3 – 4x2
y' =
u'
u
=
−8 x
3 − 4x 2
9
=
u'
u
maka u’ =
du
dx
= – 8x
12. Derivatif fungsi eksponensial
maka y’ = ax ln a
Jika y = ax
u
Jika y = a dimana u = g(x)
maka y’ = u’.au.ln a
Jika y = ex
maka y’ = ex
u
Jika y = e dimana u = g(x)
maka y’ = u’.eu
Contoh :
b. y = 56x
maka y’ = 6.56x.ln 5
a. y = 2e3x
(karena ln e = 1)
(karena ln e = 1)
maka y’ = 3.2e3x = 6e3x
13. Derivatif fungsi Implisit
Jika f(x,y) = 0 merupakan fungsi implisit sejati (tidak dapat dieksplisitkan), maka y’ dapat diperoleh dengan
mendiferensiasikan suku demi suku dengan menganggap y sebagai fungsi dari x.
Contoh :
a. Diketahui 4xy2 – x2 + 2y = 0, tentukan
dy
dx
!
Jawab :
Dalam contoh ini 4xy2 dianggap sebagai perkalian dua buah fungsi yaitu u = 4x dan v = y2 sehingga
u' = 4 dan v’ = 2y
dy
dx
derivatif dari u.v adalah u’v + uv’ = 4y2 + 4x(2y
derivatif dari – x2 adalah –2x
derivatif dari 2y adalah 2
Diperoleh :
4y2 + 8xy
dy
dx
dy
dx
) = 4y2 + 8xy
dy
dx
dy
dx
dy
=0
dx
dy
=0
dx
dy
= 2x – 4y2
dx
– 2x + 2
4y2 – 2x + (8xy + 2)
(8xy + 2)
dy
dx
=
2x − 4 y 2
8 xy + 2
=
b. Diketahui x2y – ex – ey = 5, tentukan
x − 2y 2
4 xy + 1
dy
dx
Derivatifnya adalah :
2xy + x2
dy
dx
dy
dx
dy
dx
dy
dx
=0
dy
dx
=
– ex – ey
2xy – ex + (x2 – ey)
(x2 – ey)
=0
= ex – 2xy
e x − 2 xy
x2 − ey
14. Derivatif fungsi trigonometrik
Jika y = sin x
⇒
y’ =cos x
Jika y = cos x
⇒
y’ = –sin x
Jika y = tg x
⇒
Jika y = ctg x
⇒
Jika y = sec x
⇒
Jika y = cosec x ⇒
Catatan :
2
y’ = sec x
y’ = – cosec2 x
y’ = sec x. tg x
y’ = –cosec x. ctg x
Sec x
10
=
1
cos x
dan
Cosec x =
1
sin x
Latihan :
1. Tentukan turunan fungsi berikut ini dengan kaidah turunan hasil kali fungsi
a. f(x) = (2x+4)(3x – 2)
b. f(x) = (x2 – 2)(4x)
c. f(x) = (4x – 2)(2x2 + 4)
d. f(x) = 3x(x + 2)
e. f(x) = (2 – 3x)(√x)
2. Tentukan turunan fungsi berikut ini dengan kaidah turunan pembagian fungsi
2x
x −1
x −1
b. f ( x ) =
x +1
a. f ( x ) =
3x 2 − 4
2x + 3
e. f ( x ) =
x+2
c. f ( x ) =
2x + 5
a.
b.
c.
d.
e.
y
y
y
y
y
2x3 – 4x2 + 7x5
9 – 3x –1 + 6x –2
(3x – 2)3
3(2x + 4)5
8(x2 + x)1/2
f.
y=
2
x −1
dy
fungsi berikut :
3. Tentukan
dx
=
=
=
=
=
1
d. f ( x ) =
f. f ( x ) =
x2 − 1
x2 + 9
1
2
3x − 4
g. y = (4x – 1)7
h. y = (4x3 – x2)3
i.
j.
2
y = 2𝑒𝑒 𝑥𝑥
xy – x2 + y2 = 0
C. Hakikat derivatif dan diferensial
Pada pembahasan sebelumnya, telah dijelaskan :
∆y
adalah lereng/kemiringan/gradien dari kurva y = f(x) sedangkan
∆x
∆y
dy
∆y
dy
adalah nilai Lim
untuk ∆x → 0.
( = Lim
)
Derivatif
dx
∆x
dx x → 0 ∆x
∆y
∆y
sama dengan
, dengan kata lain Kuosien diferensi sama dengan
Jika ∆x sangat kecil maka nilai Lim
∆x
∆x
dy ∆y
derivatifnya ( = ).
dx ∆x
Kuosien Diferensi
Lebih jelas dapat dipahami dari uraian berikut :
Notasi derivatif
dy
dx
terdiri dari dua suku, yaitu dy dan dx.
Suku dy dinamakan diferensial dari y yang mencerminkan taksiran perubahan pada veriabel terikat y berkenaan
dengan perubahan sangat kecil pada variabel bebas x.
Sedangkan suku dx dinamakan diferensial dari x yang mencerminkan perubahan sangat kecil dari variabel x.
Dengan demikian,
dy
dx
merupakan lereng taksiran (approximated slope) dari kurva y = f(x) pada kedudukan x
tertentu. Sedangkan lereng yang sesungguhnya (true slope) adalah kuosien diferensi
∆y
.
∆x
Lereng taksiran ini dapat lebih besar (over estimated) atau lebih kecil (lower estimated), atau sama dengan
lereng sesungguhnya. Hal ini tergantung pada jenis fungsi dan besar kecilnya berubahan pada variabel bebas.
11
Pada fungsi linier :
Perubahan x = ∆x
Perubahan y = ∆y
Diferensial x = dx
Diferensial y = dy
y = f(x)
y
∆y = dy
Kuosien diferensi =
∆y
∆x
dy
dx
∆x = dx
x
Derivatif
=
=
∆y
∆x
dy
dx
Untuk fungsi non linier :
Semakin besar ∆x maka semakin besar perbedaan antara lereng taksiran dan lereng sesungguhnya.
y = f(x)
y
S
P
Q
S
P
∆y ≠ dy
R
R
y
y = f(x)
Q
QR = dy
QS = ∆y
∆x = dx
QR = dy
QS = ∆y
∆y ≠ dy
∆x = dx
x
x
Lerang taksiran dy lebih kecil dari (under estimated)
lerang sesungguhnya
Lereng taksiran lebih besar (over estimated)
dari lereng sesungguhnya
D. Derivatif dari derivatif
Turunan pertama terhadap x dari fungsi y = f(x) adalah
dy df ( x)
y’ = f’(x) =
=
= fx
dx
dx
Turunan dari turunan pertama dinamakan turunan kedua dan dilambangkan dengan
d 2 y d 2 f ( x)
=
= fxx
y’’ = f’’(x) =
dx 2
dx 2
Turunan dari turunan kedua dinamakan turunan ketiga dan dilambangkan dengan
d 3 y d 3 f ( x)
=
= fxxx
y’’’ = f’’’(x) =
dx 3
dx 3
Contoh :
Fungsi y = f(x)
Turunan pertama
Turunan kedua
y = 3x + 5
y = 3x2 + 4x – 7
y = 4x3 + x2 – 3x + 10
y = 3 Sin x
y = 2 Cos 3x
12
Turunan ketiga
Latihan :
d3y
jika diketahui y = (2x + 5)4
dx 3
2
2. Tentukan fxx jika f(x) =
3x 2
3. Tentukan y’’’ jika diketahui
a. y = x2 + 3x + 4
b. y = 2x3 – ½ x2 + 2x + 9
c. y = 3e2x
d. y = x2 e3x
e. y = 5 Cos x
f. y = 4 Sin 2x
2x 2 − 1
g. y =
3x
1. Tentukan
E. Hubungan Antara Fungsi dan Derivatifnya
1. Menentukan persamaan Garis singgung dan Garis Normal
Langkah – langkah untuk mencari Garis singgung dan Garis normal adalah :
1) Tentukanlah titik singgung ( x1 , y1 )
2) Cari koefisien arah m = f’(x1)
3) Cari Garis singgung dengan rumus : y – y1 = m (x – x1)
4) Cari Garis Normal dengan rumus :
y – y1 =
−1
m
( x – x1)
Catatan :
Garis Normal adalah garis yang tegak lurus pada garis singgung kurva
Contoh :
Diketahui kurva dengan persamaan y = x2 – x – 6. Tentukan :
a. Persamaan garis singgung di x = 2
b. Persamaan garis normal di titik tersebut
Jawab :
y = x2 – x – 6
dengan x = 2
y = (2)2 – (2) – 6
y=–4
Diperoleh titik singgung di (2, –4)
y’ = f’(x) = 2x – 1
m = f’(2) = 2(2) – 1 = 4 – 1 = 3
Diperoleh gradien garis singgung m = 3
a. Persamaan garis singgung
y – y1 = 3 (x – x1)
y – (–4) = 3(x – 2)
y + 4 = 3x – 6
y = 3x – 10
b. Persamaan garis normal
y – y1
=
y+4
=
−1
(x – 2)
m
−1
(x – 2)
3
3y + 12 = –x + 2
x + 3y + 10 = 0
13
atau 3x –y – 10 = 0
2. Menentukan Keadaan Fungsi Menaik dan Fungsi Menurun
Diketahui titik (a, b) pada grafik fungsi y = f(x)
1) Jika f’ (a) > 0, maka fungsi naik pada titik tersebut
2) Jika f’ (a) > 0, maka fungsi turun pada titik tersebut
3) Jika f’ (a) = 0, maka titik (a,b) merupakan titik stasioner/ titik ekstrim/ titik balik
Jenis-jenis titik stasioner adalah :
• Jika f’’(a) > 0, maka (x,y) merupakan titik balik minimum
• Jika f’’(a) < 0, maka (x,y) merupakan titik balik maksimum
• Jika f’’(a) = 0, maka (x,y) merupakan titik belok
Contoh 1 :
Diketahui fungsi y = x2 + 6x – 24. Tentukan apakah pada titik-titik dengan absis berikut maka fungsinya
naik, turun, atau stasioner (Jika stasioner maka tentukan apakah minimum, maksimum, atau titik belok)
a. x = 2
b. x = –5
c. x = –3
Jawab :
y = x2 + 6x – 24
maka
a. x = 2
f’(2) = 2(2) + 6
f’(2) = 4 + 6
f’(2) = 10
b. x = –5
f’(–5) = 2(–5) + 6
f’(–5) = –10 + 6
f’(–5) = –4
y’ = f’(x) = 2x + 6
Karena f’(2) > 0 maka pada x = 2 berupa fungsi naik
Karena f’(–5) < 0 maka pada x = –5 berupa fungsi turun
c. x = –3
f’(–3) = 2(–3) + 6
f’(–3) = –6 + 6
f’(–3) = 0
Karena f’(–3) = 0 maka pada x = –3 merupakan titik stasioner
Karena berupa titik stasioner, maka perlu diselidiki apakah maksimum, minimum, atau titik belok.
f'(x) = 2x + 6
maka
dan f’’(–3) = 2
Karena f’’(–3) = 2 > 0
f’’(x) = 2
maka pada x = –3 merupakan titik stasioner yang minimum.
Contoh 2 :
Pada fungsi y = 2x2 – 16x + 10 tentukan titik stasioner, interval naik dan interval turun
Jawab :
y = 2x2 – 16x + 10
maka y’ = f’(x) = 4x – 16
Fungsi akan diperoleh stasioner jika y’ = f’(x) = 0
Yaitu f’(x) = 4x – 16 = 0
4x = 16
x =4
Karena x = 4 maka y = 2(4)2 – 16(4) + 10
y = 32 – 56 + 10
y = – 14
Diperoleh titik stasioner di (4, –14)
misal dipilih x = 1
Untuk x < 4
maka
y’ = f’(1) = 4(1) – 16
y’ = f’(1) = –11
f’(a) < 0 merupakan fungsi turun
Sehingga fungsi turun pada interval x < 4
14
Untuk x > 4
misal dipilih x = 6
maka
y’ = f’(6) = 4(6) – 16
y’ = f’(6) = 8
f’(a) > 0 merupakan fungsi naik
Sehingga fungsi naik pada interval x > 4
Latihan :
1. Tentukan persamaan garis singgung dan garis normal pada fungsi-fungsi berikut :
a. y = 2x2 – 3x – 9
pada x = –1
b. y = –3x2 + 10x + 8
pada x = 3
c. y = x3 + 2x2 – 4x – 10
pada x = 2
2. Tentukan titik stasioner dan jenisnya pada fungsi-fungsi berikut :
a. y = x2 + 4x – 6
b. y = –2x2 + 12x + 7
c. y = x3 – 3x + 1
d. y = 2x3 – 3
F. Aplikasi Dalam Bisnis dan Ekonomi
1. Elastisitas
Elastisitas dari suatu fungsi y = f(x) merupakan Limit dari rasio antara perubahan relatif dalam y terhadap
perubahan relatif dalam x, untuk perubahan x yang sangat kecil (mendekati nol).
Elastisitas dilambangkan dengan η (eta)
η=
Ey
( ∆y / y ) dy x
= Lim
=
⋅
x
∆
→
0
Ex
( ∆x / x ) dx y
Dengan terminologi lain, elastisitas y terhadap x dapat dikatakan sebagai rasio antara persentase
perubahan y terhadap persentase perubahan x.
a. Elastisitas Harga
Adalah perbandingan antara perubahan relatif dari jumlah dengan perubahan relatif dari harga. Untuk
menentukan elastisitas harga, ada dua macam cara yang digunakan, yaitu :
1) Elastisitas Titik (Point Elasticity)
η=
∆Q / Q
∆Q P
=
⋅
∆P / P
∆P Q
2) Elastisitas Busur (Arc Elasticity)
Merupakan elastisitas pada dua titik atau elastisitas pada busur kurva.
P ∆Q
η= 1 ⋅
Q 1 ∆P
P ∆Q
η= 2 ⋅
Q 2 ∆P
P + P2 ∆Q
⋅
η= 1
Q 1 + Q 2 ∆P
Elastisitas Titik dan Busur dipakai untuk menghitung :
1. Elastisitas Harga Permintaan
2. Elastisitas Harga Penawaran
Dari hasil perhitungan , nilai elastisitas akan menunjukkan :
• |η| > 1
=> Elastis
• |η| < 1 atau 0 < η < 1 => Inelastis (elastis sebagian)
• |η| = 1
=> Unitary Elastis
• |η| = ∞
=> Elastis sempurna
• |η| = 0
=> Inelastis Sempurna
15
b. Elastisitas Permintaan
Adalah suatu koefisien yang menjelaskan besarnya jumlah barang yang diminta akibat adanya
perubahan harga. Jika fungsi permintaan dinyatakan dengan Qd = f ( P ), maka elastisitas
permintaannya
P
ηd = Qd’ .
Qd
Contoh 1 :
Diketahui Fungsi permintaan Qd =25 – 3P2. Tentukan elastisitas pada P = 5
Penyelesaian :
Qd =25 – 3P2
maka Qd’ = –6P
Sehingga
P
Qd
ηd = Qd’ .
ηd = –6P .
P
25 − 3P 2
5
ηd = –6(5) .
ηd = –30 .
25 − 3(5) 2
5
25 − 75
ηd = 3 berarti apabila dari kedudukan P = 5 , harga
naik sebesar 1% maka barang yang diminta akan
berkurang sebanyak 3%.
ηd = 3
=> elastik
Karena ηd > 1
Contoh 2 :
Permintaan akan suatu barang dicerminkan oleh D = 5 – P, (D=jumlah barang yang diminta, P =
harga/unit). Hitunglah elastisitas permintaannya pada tingkat harga P = 3 dan pada tingkat permintaan
D=3
Penyelesaian :
D = 5 – P maka D’ = –1
Untuk P = 3
→ D=5–3=2
→
Untuk D = 3
→ P=2
→
P
= –1 .
D
P
ηd = D’ . = –1 .
D
ηd = D’ .
3
3
=−
2
2
2
2
=−
3
3
(elastik)
(inelastik)
c. Elastisitas Penawaran
Adalah suatu koefisien yang menjelaskan besarnya perubahan jumlah barang yang ditawarkan akibat
adanya perubahan harga. Jika fungsi permintaan dinyatakan dengan Qs = f (P), maka elastisitas
permintaannya
P
ηs = Qs’ .
Qs
Contoh 1 :
Diketahui Fungsi permintaan Qd = 7P2 – 200. Tentukan elastisitas pada P = 10
Penyelesaian :
Qs = 7P2 – 200
maka Qs’ = 14P
Sehingga
ηs = Qs’ .
ηs = 14P .
P
Qs
P
7P
ηs = 14(10) .
ηs = 140 .
2
− 200
10
karena P = 10 maka
7(10) 2 − 200
10
700 − 200
ηs = 2,8
=> elastik
Karena ηd > 1
ηd = 2,8 berarti apabila dari kedudukan P = 5 , harga
naik sebesar 1% maka barang yang ditawarkan akan
bertambah sebanyak 2,8%.
16
d. Elastisitas Produksi
Adalah suatu koefisien yang menjelaskan besarnya perubahan jumlah keluaran (output) yang dihasilkan
akibat adanya perubahan jumlah masukan (input) yang digunakan. Bisa juga dikatakan sebagai rasio
antara persentase perubahan jumlah keluaran terhadap persentase perubahan jumlah keluaran.
Jika fungsi produksi dinyatakan dengan P = f(x) dengan x menyatakan jumlah faktor produksi yang
digunakan maka elastisitas produksinya :
x
ηp = P’ .
P
Contoh :
Diketahui Fungsi produksi P = 6x2 – x3. Hitunglah elastisitas pada x = 5 dan x = 3
Penyelesaian :
P = 6x2 – x3
maka P’ = 12x – 3x2
x
x
ηp = P’ .
= (12x − 3x 2 ). 2
P
6x − x 3
ηp =
ηp =
12x 2 − 3x 3
6x 2 − x 3
=
(12 − 3x )x 2
(6 − x )x 2
(12 − 3x )
(6 − x )
Untuk x = 5
untuk x = 3
12 − 3(5)
ηp =
6−5
ηp =
ηp = –3
(elastis)
12 − 3(3)
6−3
ηp = 1
(elastis sempurna)
2. Biaya
a. Biaya Total (Total Cost, TC)
Adalah seluruh biaya yang dibutuhkan untuk memproduksi/memasarkan sejumlah barang/jasa, baik
yang merupakan biaya tetap (Fixed Cost, FC) atau biaya variabel (Variable Cost, VC)
TC = f(Q) atau TC = FC + VC
b. Biaya Rata-rata (Average Cost, AC)
Adalah biaya per unit yang dibutuhkan untuk memproduksi suatu barang/jasa pada tingkat produksi
total
AC = TC/Q
c. Biaya Marjinal
Biaya Marginal (Marginal Cost, MC) adalah biaya tambahan yang dikeluarkan untuk menghasilkan satu
unit tambahan produk. Secara matematik, fungsi biaya marjinal merupakan derivatif pertama dari
fungsi biaya total (Total Cost, TC) terhadap jumlah produk (Quantity, Q).
MC = TC’ =
dTC
dQ
Contoh :
Diketahui Biaya Total adalah TC = 150 + 15Q2, tentukan biaya marjinal pada jumlah produksi 20 unit !
Penyelesaian :
maka MC = TC’ = 30Q
TC = 150 + 15Q2
Untuk Q = 20
maka MC = 30(20) = 600
Jadi diperoleh biaya marjinal = 600
3. Penerimaan
a. Penerimaan Total (Total Revenue, TR)
Adalah total hasil penerimaan penjualan dari produk yang diproduksi
TR = f(Q) = P . Q
17
b. Penerimaan Rata-rata (Average Revenue, AR)
Adalah hasil dari penerimaan per unit yang diperoleh dari penjualan suatu barang/jasa pada kuantiats
tertentu. Fungsi Average Revenue sama dengan fungsi permintaan dari harga barang tersebut.
AR =
TR P × Q
=
=P
Q
Q
c. Penerimaan Marjinal (Marginal Revenue, MR)
Adalah penerimaan tambahan yang diperoleh akibat bertambahnya penjualan satu unit barang. Secara
matematik, fungsi penerimaan marjinal merupakan derivatif pertama dari fungsi penerimaan total
(Total Revenue, TR) terhadap jumlah produksi.
MR = TR’ =
dTR
dQ
Contoh :
Diketahui fungsi penerimaan total TR = Q2 + 14Q + 1000, tentukan penerimaan marjinal pada Q = 50 unit!
Penyelesaian :
TR = Q2 + 14Q + 1000 maka MR = TR’ = 2Q + 14
Untuk Q = 50
maka MR = 2(50) + 14 = 114
Jadi diperoleh penerimaan marginal = 114
4. Utilitas Marjinal
Utilitas Marjinal (Marginal Utility, MU) adalah utilitas tambahan yang diperoleh akibat satu unit tambahan
barang yang dikonsumsi. Secara matematik, merupakan derivatif pertama dari fungsi Utilitas Total (Total
Utility, TU).
MU = TU’ =
dTU
dQ
Contoh :
Diketahui fungsi Utilitas Total TU = f(Q) = 90Q – 5Q2. Tentukan Utilitas Marginal pada saat Utilitas total
mencapai maksimum !
Penyelesaian :
Utilitas total mencapai maksimum pada saat TU’ = MU = 0
TU = f(Q) = 90Q – 5Q2 maka TU’ = 90 – 10Q = 0
10Q = 90
Q=9
Latihan Soal :
1. Fungsi Permintaan suatu barang ditunjukkan oleh persamaan Qd = 50 – 2P2 . Tentukan elastisitas
permintaan pada saat harga Rp 6 / unit. Bagaimana sifat elastis permintaan tersebut, analisislah !
2. Fungsi Penawaran suatu barang ditunjukkan oleh persamaan P2 = 80 + Qs . Tentukan elastisitas
penawaran pada saat harga Rp 4 / unit. Bagaimana sifat elastisitas penawaran tersebut, analisislah !
3. Fungsi Permintaan suatu barang ditunjukkan oleh persamaan 2P = 60 – Q . Tentukanlah tingkat penjualan
yang menghasilkan penerimaan total, carilah harga jualnya, hitunglah penerimaan jika terjual 10 unit,
analisislah !
4. Biaya total yang dikeluarkan oleh perusahaan mobil PT Honda di tunjukkan oleh persamaan
TC = 43Q3 + 35Q2 – 44Q + 45. Tentukanlah besarnya biaya total, biaya rata-rata, dan biaya marginal pada
saat kuantitas 4 unit? Berikan analisisnya!
5. Fungsi permintaan perusahaan makanan ringan ditunjukkan oleh P = 45Q + 3. Bagaimanakah persamaan
penerimaan totalnya? Berapa besarnya penerimaan total, penerimaan rata-rata, dan penerimaan
marginal jika penjualan sebesar 4 unit? Berikan analisisnya!
18
5. Produk Marjinal
Marginal Product (MP) adalah produk tambahan yang dihasilkan dari satu unit tambahan faktor produksi
yang digunakan. Merupakan derivatif pertama dari fungsi produk total (Total Product, P).
Jika produk total dilambangkan dengan P = f(X) dengan X penyatakan jumlah masukan, maka Produk
Marjinalnya :
MP = P’ =
dP
dX
Fungsi produk total yang non linier pada umumnya berbentuk fungsi kubik sehingga produk marginalnya
akan berbentuk fungsi kuadrat yang titik ekstrim (maksimum)-nya tepat pada saat kurva produk total
berada pada titik belok (kedudukan ini menunjukkan hukum penambahan hasil yang semakin berkurang
”the law of deminishing return”)
Produk total mencapai puncaknya ketika produk marginalnya nol. Sesudah kedudukan ini, produk total
menurun bersamaan produk marginal negatif (dibawah sumbu x). Produk marginal negatif menunjukkan
penambahan penggunaan masukan yang bersangkutan justru akan mengurangi jumlah produk total
(disefisiensi dalam kegiatan produksi). Jka produk total hendak ditingkatkan maka jumlah masukan yang
digunakan harus dikurangi.
Contoh kasus :
Diketahui fungsi produksi total P = f(X) = 9X2 – X3. Tentukan :
a. Fungsi produk marginalnya
b. Jumlah masukan pada saat produk total mencapai maksimum dan tentukan produksi maksimumnya!
c. Jumlah masukan pada saat produk marginal mencapai maksimum dan tentukan produk marginalnya!
d. Gambarkan grafiknya
Penyelesaian :
Diketahui Produksi total P = 9X2 – X3
a. Produk marginalnya = MP = P’ = 18X – 3X2
b. P mencapai maksimum pada saat P’ = 0
P’ = 18X – 3X2 = 0
X(18 – 3X) = 0
X = 0 atau 18 – 3X = 0
3X = 18
X=6
Untuk X = 6 maka P = 9(6)2 – (6)3 = 9(36) – 216 = 324 – 216 = 108
Jadi pada saat jumlah masukan = 6 produksi total mencapai maksimum yaitu 108
c. MP mencapai maksimum pada saat MP’ = 0
MP = 18X – 3X2
maka MP’ = 18 – 6X = 0
6X = 18
X=3
MP = 18(3) – 3(3)2
MP = 18(3) – 3(9)
MP = 54 – 27
MP = 27
Jadi MP maksimum pada saat jumlah masukan = 3 dengan produk marginal = 27
d. Grafik
108
54
27
3
6
19
6. Analisis Keuntungan/Laba Maksimum
Laba/Rugi (π) diperoleh dari Penerimaan Total (TR) dikurangi dengan Biaya Total (TC)
Laba/Rugi akan mencapai maksimum jika
π’ = 0
Karena π = TR – TC
maka
π’ = TR’ – TC’ = 0
π’ = MR – MC = 0
Sehingga
MR = MC
Jadi laba/rugi akan mencapai maksumum pada saat Penerimaan Marginal sama dengan Biaya Marginal
Hal ini merupakan syarat perlu agar laba/rugi mencapai maksimum.
Untuk mengetahui π’ mencerminkan keuntungan maksimum atau kerugian maksimum perlu diuji dengan
derivatif kedua dari fungsi π.
π optimum apabila π’ = 0 atau MR = MC
Jika π” < 0
→
π maksimum ≡ keuntungan maksimum
Jika π” > 0
→
π minimum
≡ kerugian maksimum
π” = MR’ – MC’ dan untuk mencapai keuntungan maksimum maka π” < 0 sehingga
MR’ – MC’ < 0 ≡ MR’ < MC’
Dengan demikian, syarat perlu dan cukup agar diperoleh keuntungan maksimum adalah :
π’ = 0
atau MR = MC
(syarat perlu/necessary condition)
π” < 0
atau MR’ < MC’
(syarat cukup/sufficient condition)
Contoh :
Diketahui
fungsi Pendapatan total
TR = –2Q2 + 1000 Q dan
Fungsi Biaya Total
TC = Q3 – 59Q2 + 1315Q + 2000
Tentukan tingkat produksi pada saat keuntungan mencapai maksimum dan tentukan besarnya keuntungan
maksimumnya!
Penyelesaian :
π = TR – TC
π = (–2Q2 + 1000 Q) – (Q3 – 59Q2 + 1315Q + 2000)
π = –2Q2 + 1000 Q – Q3 + 59Q2 – 1315Q – 2000
π = – Q3 + 57Q2 – 315Q – 2000
Syarat perlu agar keuntungan maksimum :
π’ = 0
–3Q2 + 114Q – 315 = 0
–3(Q2 – 18Q + 105) = 0
(Q – 3) (Q – 35) = 0
Q–3=0
atau Q – 35 = 0
Q=3
atau
Q = 35
Syarat cukup agar keuntungan maksimum :
π” < 0
π” = –6Q + 114
Jika Q = 3
maka π” = –6(3) + 114 = –18 + 114 = 96 > 0
Jika Q = 35
maka π” = –6(35) + 114 = –210 + 114 = –96 < 0
Karena π” < 0 untuk Q = 35, maka tingkat produksi yang menghasilkan keuntungan maksimum adalah Q =
35 unit.
Besarnya keuntungan maksimum :
π = – Q3 + 57Q2 – 315Q – 2000
π = –(35)3 + 57(35)2 – 315(35) – 2000
π = –42875 + 57(1225) – 11025 – 2000
π = –42875 + 69825 – 13025
π = 13925
20
Latihan :
1. Perusahaan “ BIORE “ tengah mengembangkan dan memasarkan paket dari produk “ AMWA “. Pada
saat ini bisnis tersebut sangat pesat dan menguntungkan karena mereka menggunakan sistem
pemasaran personal selling. Dari hasil laporan bagian produksi menginformasikan bahwa fungsi
produksi menunjukkan Y = 150X2 – 2X3 , dimana Y adalah jumlah produk yang dihasilkan dan X adalah
jumlah input yang digunakan. Berdasarkan informasi diatas :
a. Berapa produk total jika digunakan 7 unit input.
b. Berapa produk marginal maksimumnya.
2. Sebuah perusahaan sepatu terkenal menghadapi fungsi permintaan 4Q = 100 – P dan TC = 50 + 20Q.
a. Hitunglah produksi yang menghasilkan laba maksimum.
b. Besarnya laba maksimum.
c. Harga jual barangnya perunit.
3. Fungsi permintaan suatu barang ditunjukkan oleh persamaan P = –250Q + 20.000 dengan biaya
variabel VC = 20Q2 – 2.000Q. Biaya tetap yang dikeluarkan perusahaan sebesar 25.000. Tentukanlah
pada tingkat penjualan berapa perusahaan bisa mendapatkan laba maksimum dan berapakah
besarnya laba tersebut?
4. Suatu perusahaan yang menghasilkan suatu komoditas tertentu dengan fungsi biaya total
TC = 1/3 Q3 – 6Q2 + 49 Q + 16, di mana Q adalah jumlah output yang dihasilkan. Permintaan yang
dihadapi perusahaan adalah Q=40 – P. Berdasarkan informasi tersebut :
a. Carilah fungsi penerimaan marjinal (marginal revenue)
b. Carilah fungsi biaya marjinal (marginal cost) !
c. Berapa jumlah output yang dihasilkan supaya keuntungannya maksimum ?
d. Berapa harga jual output pada saat keuntungan maksimum ?
21
BAB III
DIFERENSIAL FUNGSI MAJEMUK
Fungsi majemuk merupakan fungsi yang mengandung lebih dari satu variabel bebas.
Contoh :
y = 2x3 + 3x2z – 6xz2 – 4z3
(variabel bebasnya x dan z)
A. Derivatif Parsial
Sebuah fungsi dengan satu variabel bebas hanya akan mempunyai satu macam turunan. Jika y = f(x) maka
turunannya turunan y terhadap x yaitu y’ = dy . Jika fungsi mempunyai lebih dari satu variabel bebas, maka
dx
turunannya lebih dari satu pula.
Jika y = f(x,z) maka akan terdapat dua macam turunan, yaitu :
o
o
Turunan y terhadap x atau dy
dx
dy
Turunan y terhadap z atau
dz
Sehingga :
Jika y = f(x,z)
maka
y’

f (x , z ) =

 x

f z (x , z ) =


dy
dx
dy
dz
Derivatif/Turunan Parsial
Turunan y terhadap x yaitu dy hanya memperhitungkan suku-suku yang mengandung x. Sedangkan suku yang
dx
lain dianggap sebagai konstanta dan turunannya adalah nol.
Turunan y tehadap z yaitu dy hanya memperhitungkan suku-suku yang mengandung z. Sedangkan suku yang
dz
lain dianggap sebagai konstanta dan turunannya adalah nol.
(dalam ekonomi dikenal istilah asumsi ceteris paribus)
Contoh : Jika y = x3 + 5z2 – 4x2z – 6xz2 + 8z – 7
maka
dy
= .....
dx
dy
= ....
dz
Latihan : Tentukan dy dan dy dari fungsi-fungsi berikut :
dz
dx
1. y = 2x4 – 3x3z2 + z2 – 2x2z3 + 8xz2 + 12
2. y = 3x3 + x2z2 – 2xz3 – 4z4 + 5xz + 2x2z – xz2 – 3
3. y = x3 + 5x2z – 4xz2 + 3z3 + 14
B. Derivatif dari Derivatif Parsial
Fungsi dengan lebih dari satu variabel bebas juga dapat diturunkan lebih dari satu kali.
Contoh : Jika y = x3 + 5z2 – 4x2z – 6xz2 + 8z – 7
maka
dy
= ....
dx
Sehingga :
2
Turunan dy terhadap x : d y2 = ....
dx
dx
d 2y
= ....
Turunan dy terhadap z :
dx
dx dz
dy
= ....
dz
22
d 2y
Turunan dy terhadap x :
= ....
Sehingga :
dz dx
dz
2
Turunan dy terhadap z : d y2 = ....
dz
dz
Soal latihan :
3
3
2
3
2
d 2y
d 2y
,
, d y2 , d y3 , d y 2 , dan d y 2 dari fungsi-fungsi berikut :
Tentukan d y2 ,
dx
4
dx dz
3 2
dz dx
2
dz
dx
dx dz
dz dx
1. y = 2x – 3x z + z – 2x2z3 + 8xz2 + 12
2. y = 3x3 + x2z2 – 2xz3 – 4z4 + 5xz + 2x2z – xz2 – 3
3. y = x3 + 5x2z – 4xz2 + 3z3 + 14
C. Nilai Ekstrim : Maksimum dan Minimum
Untuk y = f(x,z), maka y akan mencapai titik ekstrimnya jika :
dy
= fx = 0
dx
dan dy = fz = 0
(syarat perlu)
dz
Untuk mengetahui apakah titik ekstrim berupa titik maksimum atau minimum, dibutuhkan syarat cukup yaitu :
Maksimum bila
d 2y
<0
dx 2
dan
d 2y
<0
dz 2
Minimum bila
d 2y
>0
dx 2
dan
d 2y
>0
dz 2
Contoh :
Selidiki apakah titik ekstrim dari fungsi majemuk y = –x2 + 12x – z2 + 10z – 45 maksimum atau minimum.
Penyelesaian :
dy
= fx = ...
dx
dy
= fz = ...
dz
=0
x = ...
Sehingga
=0
z = ...
y = –x2 + 12x – z2 + 10z – 45
(substitusikan nilai x dan z)
y=
y=
y=
Untuk menentukan maksimum atau minimum maka ditentukan
d 2y
= ...
dx 2
d 2y
= ...
dz 2
Jadi ....
Latihan :
Selidiki apakah titik ekstrim dari fungsi majemuk p = 3q2 – 18q + r2 – 8r + 50 merupakan titik maksimum
atau minimum dan tentukan nilainya.
23
D. Optimasi Bersyarat
Ada kalanya kita ingin mengoptimalkan suatu fungsi tetapi terkendala oleh fungsi lain yang harus dipenuhi.
Misal kita akan memaksimalkan tingkat kepuasan tetapi terkendala oleh fungsi pendapatan. Atau juga kita akan
memaksimalkan laba tetapi terikat pada fungsi produksi.
Perhitungan ini dapat diselesaikan dengan 2 cara :
1. Pengganda Lagrange
Cara ini dengan membentuk fungsi baru (fungsi Lagrange) yang merupakan jumlah dari fungsi yang akan
dioptimalkan ditambah hasil kali pengganda Lagrange (λ) dengan fungsi kendala.
Pengganda Lagrange λ ini adalah suatu variabel tak-tentu yang hanya bersifat membantu.
Misal akan dioptimumkan fungsi z = f(x,y) dengan syarat harus terpenuhi u = g(x,y)
maka fungsi Lagrangnya :
F(x,y,λ) = f(x,y) + λg(x,y)
Nilai ekstrim dari F(x,y,λ) dapat dicari denga memformulasikan masing-masing turunan parsial pertamanya
sama dengan nol yaitu :
Fx(x,y,λ) = fx + λ gx = 0
Fy(x,y,λ) = fy + λ gy = 0
Syarat di atas hanya merupakan syarat perlu. Sedangkan syarat cukup untuk mengetahui maksimum atau
minimum dilakukan dengan turunan parsial kedua yaitu :
Maksimum bila Fxx < 0 dan
Minimum bila Fxx > 0 dan
Fyy < 0
Fyy > 0
Contoh 1 :
Tentukan nilai ekstrim z dari fungsi z = 2x + 2y dengan syarat x2 + y2 = 8 dan tentukan jenis nilai ekstrimnya.
Penyelesaian :
Fungsi kendala x2 + y2 = 8 diubah dalam bentuk implisit menjadi x2 + y2 – 8 = 0
Fungsi Lagrange :
F = 2x + 2y + λ (x2 + y2 – 8)
F = 2x + 2y + λx2 + λy2 – 8λ
Supaya F mencapai ekstrim maka F’ = 0
Fx = 2 + 2λx = 0
→
Fy = 2 + 2λy = 0
→
Berdasarkan (1) dan (2) diperoleh
2λx = –2
λ = –2/2x
2λy = –2
λ = –2/2y
→
λ = – 1/x
........ (1)
→
λ = – 1/y
........ (2)
–1/x = – 1/y
x=y
x2 + y2 = 8
y2 + y2 = 8
2y2 = 8
y2 = 4
y =±2
Sehingga nilai ekstrim z = 2x + 2y = ± 8
Menurut fungsi kendala :
dan
x=±2
Penyidikan nilai ekstrim :
- Untuk x = 2 dan y = 2, λ = – ½
Fxx = 2λ = 2(– ½) = –1 < 0
Fyy = 2λ = 2(– ½) = –1 < 0
Karena Fxx < 0 dan Fyy < 0 , nilai ekstrim maksimum dengan Zmax = 8
- Untuk x = –2 dan y = –2, λ = ½
Fxx = 2λ = 2(½) = 1 > 0
Fyy = 2λ = 2(½) = 1 > 0
Karena Fxx > 0 dan Fyy > 0 , nilai ekstrim minimum dengan Zmax = –8
24
Contoh 2 :
Optimumkan z = xy dengan syarat x + 2y = 10
Penyelesaian :
Fungsi kendala x + 2y = 10
→
x + 2y – 10 = 0
Fungsi Lagrange :
F = xy + λ( x + 2y – 10)
F = xy + λx + 2λy – 10λ
Syarat perlu agar F optimum, F’ = 0
→
Fx = y + λ = 0
→
Fy = x + 2λ = 0
Sehingga –y = – ½ x
→
λ=–y
λ=–½x
2y = x
Dari fungsi kendala
x + 2y = 10
2y + 2y = 10
4y = 10
y = 2,5
dan
x = 2y = 2(2,5) = 5
Jadi z optimum pada x = 5 dan y = 2,5 sehingga Zopt = xy = 5(2,5) = 12,5
2. Metode Kuhn Tucker
Jika pada metode Lagrange kita optimumkan sebuah fungsi terhadap kendala yang berbentuk persamaan,
pada metode Kuhn-Tucker dioptimumkan sebuah fungsi terhadap kendala yang berbentuk pertidaksamaan.
Bentuk permasalahan dapat berupa :
• Maksimumkan fungsi tujuan f(x,y) terhadap kendala g(x,y) ≤ 0
atau
• Minimumkan fungsi tujuan f(x,y) terhadap kendala g(x,y) ≥ 0
Prosedur penyelesaian dapat ditempuh melalui 2 cara :
a. Metode Lagrange yang dimodifikasi kemudian diuji dengan kondisi kuhn-Tucker
Prosesnya melalui langkah berikut :
- Bentuk fungsi baru Lagrange :
F(x,y,λ) = f(x,y) – λ g(x,y) dengan menganggap fungsi kendala
berupa persamaan.
- Lakukan pengujian terhadap nilai λ
- Jika λ ≤ 0 berarti optimasi fungsi tujuan f(x,y) tanpa menyertakan fungsi kendala g(x,y) sudah dengan
sendirinya memenuhi kendala, sehingga dapat diabaikan
- Jika λ > 0 kendala bersifat mengikat sehingga nilai optimum yang diperoleh merupakan nilai optimum
berdasar fungsi kendala yang berbentuk pertidaksamaan
b. Metode Kuhn-Tucker langsung
- Rumuskan masalah misalkan maksimumkan fungsi f(x,y) thd g(x,y) ≤ 0 atau minimumkan fungsi f(x,y)
thd g(x,y) ≥ 0
- Tetapkan kondisi kuhn-Tucker :
(a) Fx(x,y,λ) = fx – λ gx = 0
(b) Fy(x,y,λ) = fy – λ gy = 0
(c) λ g(x,y) = 0 dimana g(x,y) ≤ 0 atau g(x,y) ≥ 0
- Diuji untuk λ = 0 dan g(x,y) = 0 untuk menentukan mana diantara yang memenuhi persamaan (a) dan
(b) serta pertidaksamaan kendala g(x,y)
- Nilai x dan y yang memenuhi ketiga kondisi ini merupakan nilai-nilai yang mengoptimimkan fungsi
tujuan f(x,y)
25
Contoh 1 :
Maksimumkan f(x,y) = 10xy – 2,5x2 – y2 terhadap kendala x + y ≤ 9
Penyelesaian :
Dengan menganggap x + y = 9 maka
F(x,y,λ) = 10xy – 2,5x2 – y2 – λ(x + y –9)
F(x,y,λ) = 10xy – 2,5x2 – y2 – λx –λy + 9λ
Fx = 0
Fy = 0
→
→
10y – 5x – λ = 0
10x – 2y – λ = 0
→
→
10y – 5x = 10x – 2y
12 y = 15x
y=
15
12
x=
5
4
x
Menurut kendala :
atau
x+y=9
x=
→
λ = 10y – 5x
λ = 10x – 2y
12
15
y=
4
5
4
5
y
y+y=9
9
5
Sehingga x =
4
5
y=
4
5
y=9
y=5
(5) = 4
λ = 10y – 5x = 10(5) – 5(4) = 50 – 20 = 30 > 0
karena λ > 0 berarti x = 4 dan y = 5 yang memaksimumkan f(x,y) terhadap kendala yang dianggap berbentuk
persamaan, berlaku juga terhadap kendala yang berbentuk pertidaksamaan.
Nilai maksimum fungsi :
f(x,y) = 10xy – 2,5x2 – y2 = 10(4)(5) – 2,5(4)2 – (5)2 = 200 – 40 – 25 = 135
Contoh 2 :
Minimumkan fungsi f(x) = x2 – xy + 2y2 terhadap x + y ≥ 8 dengan cara Kuhn-Tucker
Penyelesaian :
F(x,y,λ) = f – λ g = x2 – xy + 2y2 – λ(x + y – 8)
= x2 – xy + 2y2 – λx – λy – 8λ
(a) Fx(x,y,λ) = fx – λ gx = 0
→
2x – y – λ = 0 →
λ = 2x – y
→
–x + 4y – λ = 0 →
λ = –x + 4y
(b) Fy(x,y,λ) = fy – λ gy = 0
→
λ (x + y – 8) = 0
(c) λ g(x,y) = 0
Sehingga
Jika λ = 0, maka :
(a) 2x – y = 0 →
y = 2x
y = 8y
(b) –x + 4y = 0 →
x = 4y
x = 8x
Sehingga agar (a) dan (b) terpenuhi haruslah x = y = 0
Tetapi dengan demikian kendala x + y ≥ 8 tidak terpenuhi
Jika x + y – 8 = 0, dengan kata lain y = 8 – x , maka :
(a) 2x – y – λ
=0
(b)
–x + 4y – λ = 0
2x – (8 –x) – λ = 0
–x + 4(8 – x) – λ = 0
3x – 8 – λ
=0
–5x + 32 – λ = 0
λ = 3x – 8
λ = –5x + 32
Sehingga 3x – 8 = –5x + 32
8x = 40
x =5
dan
y=8–x=8–5=3
Jadi dengan x = 5 dan y = 3, kendala x + y ≥ 8 terpenuhi dan
nilai minimum f(x,y) = x2 – xy + 2y2
= 52 – (5)(3) + 2(3)2
= 25 – 15 + 18
= 28
26
Latihan :
1. Tentukan nilai ekstrim dari fungsi p = –q2 – 3r2 + 6q + 24r – 50, dan selidiki apakah nilai ekstrimnya
maksimum atau minimum.
2. Optimalkan fungsi z = 4x – 2y dengan syarat x2 – 2y2 = 162 dan jelaskan apakah z optimumnya
merupakan z maksimum atau minimum.
3. Optimumkan fungsi f(r,s) = r2 – 10s2 terhadap r – s = 18
4. Maksimumkan f(x,y) = 10xy – 5x2 – 7y2 + 40x jika x + y ≤ 13
E. Penerapan Diferensial Parsial
Pendekatan diferensial parsial sangat bermanfaat untuk diterapkan pada model-model ekonomi yang
mengandung lebih dari satu variabel bebas, dalam hal hendak menelaah secara parsial pengaruh dari salah satu
variabel bebas tadi terhadap variabel terikatnya.
1. Permintaan marginal dan elastisitas permintaan parsial
Apabila dua macam barang mempunyai hubungan dalam penggunaannya, maka permintaan akan masingmasing barang akan fungsional terhadap harga masing-masing barang tersebut, jadi misalnya terdapat dua
macam barang yaitu teh dan gula dan kedua macam barang tersebut mempunyai hubungan penggunaan,
maka:
Qda = f (Pa, Pb) dibaca : permintaan akan barang A dipengaruhi oleh harga barang A dan harga barang B
Qdb = f (Pa, Pb) dibaca : permintaan akan barang B dipengaruhi oleh harga barang B dan harga barang A
Turunan pertama dari Qda dan Qdb adalah fungsi fungsi permintaan marjinalnya dimana :
dQ da
adalah permintaan marjinal akan A berkenaan dengan Pa
dPa
dQ da
adalah permintaan marjinal akan A berkenaan dengan Pb
dPb
dQ db
adalah permintaan marjinal akan B berkenaan dengan Pb
dPb
dQ db
adalah permintaan marjinal akan B berkenaan dengan Pa
dPa
Dengan dapat diturunkannya fungsi permintaan tersebut maka kita dapat mengetahui elastisitas
permintaan dua macam barang yang memiliki hubungan penggunaan dengan rumus sebagai berikut :
ηda =
dQ da Pa
⋅
dibaca : elastisitas permintaan barang A berkenaan dengan perubahan harga barang A
dPa Q da
ηdb =
dQ db Pb
⋅
dibaca : elastisitas permintaan barang B berkenaan dengan perubahan harga barang B
dPb Q db
ηdab =
dQ da Pb
⋅
dibaca : elastisitas permintaan barang A berkenaan dengan perubahan harga barang B
dPb Q da
ηdba =
dQ db Pa
⋅
dibaca ; elastisitas permintaan barang B berkenaan dengan perubahan harga barang A
dPa Q db
jika nilai |ηda| > 1 dan |ηdb| > 1 disebut bersifat elastis,
jika nilai |ηda| = 1 dan |ηdb| = 1 disebut unitary elastis dan
jika nilai |ηda| < 1 dan |ηdb| < 1 disebut inelastis.
Untuk nilai ηdab dan ηdba
jika ηdab dan ηdba < 0 maka kedua barang tersebut bersifat komplementer
jika ηdab dan ηdba > 0 kedua barang tersebut bersifat substitusi.
27
Contoh 1 :
Fungsi permintaan akan barang A dan barang B masing-masing ditunjukkan oleh persamaan
Qda . Pa² . Pb³ - 1 = 0 dan Qdb . Pa³ . Pb - 1 = 0. Berapa elastisitas masing-masing barang dan apa hubungan
kedua barang tersebut ?
Penyelesaian :
Qda . Pa² . Pb³ - 1 = 0
Qda . Pa² . Pb³ = 1
1
Qda =
2
3
dan
dan
Qdb . Pa³ . Pb - 1 = 0
Qdb . Pa³ . Pb = 1
= Pa–2 . Pb–3
Qdb =
Pa ⋅ P b
dQ da
= –2Pa–3 . Pb–3
dPa
1
3
= Pa–3 . Pb–1
Pa ⋅ P b
dQ db
= –Pa–3 . Pb–2
dPb
dQ da
= –3Pa–2 . Pb–4
dPb
dQ db
= –3Pa–4 . Pb–1
dPa
maka :
ηda =
dQ da Pa
P
⋅
= –2Pa–3 . Pb–3 . − 2 a − 3 = –2
dPa Q da
Pa ⋅ Pb
|ηda| = 2
ηdb =
dQ db Pb
P
⋅
= –Pa–3 . Pb–2 . − 3 b −1 = –1
dPb Q db
Pa ⋅ P b
|ηdb| = 1
ηdab =
dQ da Pb
P
⋅
= –3Pa–2 . Pb–4 . − 2 b − 3 = –3
dPb Q da
Pa ⋅ P b
ηdba =
dQ db Pa
P
⋅
= –3Pa–4 . Pb–1 . − 3 a −1 = –3
dPa Q db
Pa ⋅ P b
Analisis :
Karena |ηda| > 1
Karena |ηdb| = 1
Karena ηdab < 0
barang A bersifat elastis dan
barang B bersifat unitary elastis,
hubungan antara barang A dan B adalah bersifat komplementer.
2. Perusahaan dengan dua macam produk dan biaya produksi gabungan
Apabila sebuah perusahaan menghasilkan dua macam output, dan biaya yang dikeluarkan untuk
menghasilkan kedua macam produk tersebut merupakan biaya produksi gabungan (joint production cost),
maka perhitungan keuntungan maksimum dapat dilakukan dengan pendekatan diferensiasi parsial.
Andaikan sebuah perusahaan memproduksi dua macam barang, A dan B dimana fungsi permintaan masingmasing barang dicerminkan oleh Qa serta Qb, serta biaya produksinya C = f(Qa , Qb) maka :
Penerimaan dari memproduksi A : Ra = Qa . Pa = f(Qa)
Penerimaan dari memproduksi B : Rb = Qb . Pb = f(Qb)
Penerimaan Total :
Biaya Total :
Fungsi Keuntungan :
π maksimum jika π’ = 0
R = Ra + Rb = f(Qa) + f(Qb)
C = f(Qa , Qb)
π=R–C
= f(Qa) + f(Qb) – f(Qa , Qb)
= g(Qa , Qb)
(1) π Qa = dπ = 0
dQ a
28
(2) π Qb = dπ = 0
dQ b
Dari (1) dan (2) maka nilai Qa dan Qb dapat diperoleh dan selanjutnya nilai π maksimum dapat dihitung.
Contoh :
Biaya total yang dikeluarkan suatu perusahaan untuk menghasilkan dua macam barang yaitu A dan B
adalah C = Qa² + 3Qb² + Qa . Qb. Harga jual masing-masing produk adalah Pa = 7 dan Pb = 20. Hitunglah
berapa unit masing-masing barang harus dihasilkan agar keuntungan maksimum ?
Penyelesaian 1 :
Ra = Qa . Pa = 7 Qa
R = Ra + Rb = 7 Qa + 20 Qb
Rb = Qb . Pb = 20 Qb
π = R – C = 7 Qa + 20 Qb – (Qa² + 3 Qb² + Qa . Qb)
π = 7 Qa + 20 Qb – Qa² – 3 Qb² – Qa . Qb
agar π maks maka π’ = 0
π’a = 7 – 2 Qa – Qb = 0 ………………(1)
π’b = 20 – 6 Qb – Qa = 0 ……………..(2)
dari persamaan (1) dan (2) maka diperoleh :
7 – 2 Q a – Qb = 0
20 – 6 Qb – Qa = 0
x1
x2
7 – 2 Qa – Qb = 0
40 – 12 Qb – 2 Qa = 0
–33 + 11 Qb
=0
Qb = 3
Dari (1) 7 – 2 Qa – Qb = 0
7 – 2 Qa – 3 = 0 maka Qa = 2
dengan demikian π maks = 7 Qa + 20 Qb – Qa² – 3 Qb² – Qa . Qb
= 7 . 2 + 20 . 3 – 2² – 3 . 2² – 2 . 3 = 37
Jadi agar keuntungan maksimum, perusahaan harus memproduksi 2 unit A dan 3 unit B dengan keuntungan
sebesar 37.
Penyelesaian 2 : Dengan nilai marginal
Penerimaan marginal masing-masing barang sama dengan biaya marginalnya barang yang bersangkutan.
MRa = MCa
dan
MRb = MCb
Karena R = 7 Qa + 20 Qb
dan
C = Qa² + 3Qb² + Qa . Qb
MRa = Ra = 7
dan
MCa = Ca = 2Qa + 1.Qb
MRb = Rb = 20
dan
MCb = Cb = 6Qb + 1.Qa
Sehingga
MCa = MRa
→
2Qa + Qb = 7
→
6Qb + 1.Qa = 20
MCa = MRa
Langkah selanjutnya sama dengan Penyelesaian 1.
29
(1)
(2)
Latihan :
1. Diketahui pasangan fungsi permintaan untuk produk X dan Y Qx = Px–1,5 Py–0,4 dan Qy = Px–0,5Py-0,4
Tentukan hubungan produk X dan Y!
2. Biaya total yang dikeluarkan sebuah perusahaan yang memproduksi dua macam barang ditunjukkan
oleh TC = 2Qa2 + 5Qb2 + QaQb dan harga jual masing-masing barang per unit adalah Pa = 9 dan Pb = 12.
a. Hitunglah berapa unit barang masing-masing yang harus diproduksi agar keuntungan maksimum.
b. Hitunglah besar keuntungan maksimum tersebut.
30
BAB IV
INTEGRAL
Ingat Derivatif/ Turunan fungsi berikut :
1. Jika F(x) = ex
→
2. Jika F(x) = ln x →
F’(x) = ex
F’(x) =
1
x
Integral merupakan invers (kebalikan) dari turunan.
Jika turunan dari F(x) adalah f(x)
maka integral dari f(x) adalah F(x) dan ditulis :
∫f(x) dx = F(x)
(lambang dx berarti pengintegralan berdasar variabel bebas x)
A. INTEGRAL TAKTENTU
Perhatikan ilustrasi berikut :
Jika F(x) = 2x + 4
maka F’(x) = f(x) = 2
Jika F(x) = 2x – 9
maka F’(x) = f(x) = 2
Jika F(x) = 2x + 30 maka F’(x) = f(x) = 2
Jika F(x) = 2x + k
dengan k sembarang konstanta
maka
F’(x) = f(x) = 2
Dengan langkah terbalik diperoleh :
∫ 2 dx = 2x + k
dengan k sebuah konstanta yang nilainya belum dapat ditentukan
Secara umum didapatkan bahwa
∫ f(x) dx = F(x) + k
Ada beberapa Kaidah Integral Taktentu :
1. ∫ a dx = ax + k
(a sembarang konstanta)
Contoh :
a. ∫ 3 dx = 3x + k
b. ∫ –7 dx = –7x + k
c. ∫ 29 dx = 29x + k
2.
∫ ax
n
dx
=
a
x n +1 + k
n +1
Contoh :
a.
∫ x dx
2
=
=
b.
∫ 10x
4
dx
1
x 2 +1 + k
2 +1
1 3
x +k
3
10 4 + 1
=
x
+k
4 +1
= 10 x 5 + k
5
= 2x 5 + k
3.
∫ a . f (x) dx = a ∫ f (x) dx
Contoh :
∫ 10 x
4
dx
∫
= 10 x 4 dx
= 10 .
= 10 .
1
x 4 +1 + k
4 +1
1 5
x +k
5
= 2x 5 + k
31
disebut integral taktentu.
4.
∫ (f (x) ± g(x) ) dx = ∫ f (x) dx ± ∫ g(x) dx
Contoh :
∫ (6x
2
∫
∫
= 6x 2 dx + 8x dx
+ 8 x ) dx
=
2x3
+ 4x2 + k
5. Kaidah Logaritmis
1
∫ x dx = ln x + k
Contoh :
1
3
∫ x dx = 3 ∫ x dx = 3 ln x + k
6. Kaidah Eksponensial
∫e
x
x
dx = e + k
Contoh :
∫ 5e
x
∫
x
dx = 5 e x dx = 5e + k
7. Kaidah Substitusi
∫ f (g(x)) . g' (x) dx
dengan memisalkan g(x) = u diperoleh
du
∫ f (u) dx dx
Contoh :
a.
∫ 12x(3x
2
∫ 12x(3x
2
− 2) dx = ??
Dengan cara biasa :
− 2) dx
Dengan substitusi :
∫
3
= (36x − 24 x) dx
=
Misal
u = 3x2 – 2
du
= 6x
dx
dx = du
6x
36 4 24 2
x −
x +k
4
2
= 9x4 – 12x2 + k
Sehingga
∫ 12x(3x
2
− 2) dx
du
∫ 12x(u) 6x
= ∫ 2 u du
=
= u2 + k
= (3x2 – 2)2 + k
b.
∫ 24(2x + 5)
3
dx =
Dengan substitusi
Misal
u = 2x + 5
du
dx
=2
dx =
du
2
∫ 24(2x + 5)
3
dx
du
∫ 24(u) 2
= ∫ 12 u 3 du
=
=
3
12 4
u +k
4
= 3 u4 + k
= 3 (2x + 5)4 + k
32
Latihan :
1.
∫ 8x(x
2.
∫ (x
3.
∫ 2x x + 4 dx =
2 3
5
∫ 12x (x − 4) dx =
2
4
∫ (2x + 3)(x + 3x - 1) dx =
4.
5.
2
+ 5) 3 dx =
14x
2
− 3)
dx =
8
6.
∫ (3x
7.
∫ (x
6x + 1
2
+ x − 2) 4
8x
2
+ 1)
dx
=
dx =
∫ (4x − 5) dx =
9. ∫ e dx =
10. ∫ 4 x.e dx =
2
3
8.
2x
x2
8. Kaidah Integral Parsial
∫ u dv = u.v − ∫ v du
Contoh :
a.
∫ 3x(2x + 5)
u
Misal
4
dx = ??
dv
dv = (2x+5)4 dx
u = 3x
du = 3 dx
∫ 3x(2x + 5)
4
v=
∫
=
=
=
∫ x . ln x dx =
Misal
∫ x . ln x dx
∫
∫
1
x
dv = x dx
v = ½ x2
dx
∫
= u.v – v du
1
1
1
∫ 2 x . x dx x
.ln x – ∫ 1 x dx
2
= x2 .ln x–
= x2
2
= x2 .ln x – ¼ x2 + k
Latihan :
1.
2.
3.
4.
5.
∫ 6x (6x + 1) dx
∫ 2x (x − 3) dx
∫ x e dx
∫ 2x (3x − 4) dx
∫ x 4 − 2x dx
5
9
x
3
3
2
dx =
1
(2 x + 5) 5
10
1
1
(2 x + 5) 5 ) –
(2 x + 5) 5 . 3 dx
10
10
3x
3
(2 x + 5) 5 –
(2 x + 5) 5 dx
10
10
3x
3 1
(2 x + 5) 5 –
(2 x + 5) 6 dx
10
10 12
3x
3
(2 x + 5) 5 –
(2 x + 5) 6 dx
10
120
u = ln x
du =
4
= u.v – v du
dx
= (3x)(
b.
∫ (2x + 5)
5
2
33
9. Kaidah Integral Fungsi Rasional
Fungsi rasional f(x) berbentuk f(x) =
P( x )
dimana P(x) dan Q(x) merupakan suku banyak.
Q( x )
- Jika pangkat P(x) > pangkat Q(x) maka dilakukan pembagian terlebih dahulu sehingga diperoleh bentuk
f(x) = R(x) +
h( x )
g( x )
dimana R(x) merupakan hasil bagi dan
h( x )
merupakan sisa pembagian dengan
g( x )
pangkat h(x) < pangkat g(x).
- Jika pangkat P(x) < pangkat Q(x) maka penyelesaian tergantung pada faktor-faktor dari Q(x).
Kasus 1
Penyebut berupa faktor Linier tidak berulang
Q(x) = (a1x + b1) (a2x + b2)... (a3x + b3)
Maka
P( x )
A
B
...
=
+
+ ... +
Q( x ) a1x + b1 a2 x + b2
an x + bn
Kasus 2
Penyebut berupa faktor Linier berulang
Q(x) = (a1x + b1)m
Maka
P( x )
A
B
...
=
+
+ ... +
Q( x ) (ax + b) (ax + b)2
(ax + b)m
Kasus 3
Penyebut berupa faktor kuadrat tidak berulang
Q(x) = (a1x2 + b1x + c1) (a1x2 + b1x + c1)... (a1x2 + b1x + c1)
Maka
P( x )
Ax + B
Cx + D
...x + ...
=
+
+ ... +
Q( x ) (a1x 2 + b1x + c1 ) (a2 x 2 + b2 x + c 2 )
(an x 2 + bn x + cn )
Kasus 4
Penyebut berupa faktor kuadrat berulang
Q(x) = (a1x2 + b1x + c1)m
Maka
Contoh :
1.
∫ 4x
1
2
−9
P( x )
Ax + B
Cx + D
...x + ...
=
+
+ ... +
Q( x ) (ax 2 + bx + c) (ax 2 + bx + c)2
(ax 2 + bx + c)m
dx
Penyelesaian :
Penyebut berbentuk
1
4x 2 − 9
=
4x2 – 9 = (2x + 3)(2x – 3)
A
B
+
(2x + 3) (2x - 3)
1
= A(2x – 3) + B(2x + 3)
1
= 2Ax – 3A + 2Bx + 3B
1
= 2Ax + 2Bx – 3A + 3B
1
= (2A + 2B)x + (–3A + 3B)
Diperoleh :
2A + 2B = 0 |x3|
6A + 6B = 0
2A + 2B = 0
2A + 2( 1 ) = 0
–3A + 3B = 1 |x2| –6A + 6B = 2
6
1
2A = –
3
1
A=–
6
12B = 2
B=
2
1
=
12 6
34
Sehingga :
∫ 4x
2.
1
2
−9
dx =
∫
1
1
6 +
6
dx
(2x + 3) (2x - 3)
=
1
6
∫ (2x + 3) + (2x - 3) dx
=
1 1
1

− ln(2 x + 3) + ln(2 x − 3) + k

6 2
2

=
−
5 x 2 + 15 x + 7
∫ (x − 1)(x + 2)
−
−1
1
1
1
ln(2 x + 3) +
ln(2 x − 3) + k
12
12
dx
2
Bentuk penyebut (x – 1)(x + 2)2 sehingga
5 x 2 + 15 x + 7
( x − 1)( x + 2)
=
2
A
B
C
+
+
( x − 1) ( x + 2) ( x + 2) 2
5x2 + 15x + 7
5x2 + 15x + 7
5x2 + 15x + 7
5x2 + 15x + 7
= A(x + 2)2 + B(x – 1)(x + 2) + C(x – 1)
= A(x2 + 4x + 4) + B(x2 + x –2) + Cx – C
= Ax2 + 4Ax + 4A + Bx2 + Bx – 2B + Cx – C
= (A + B)x2 + (4A + B + C)x + (4A – 2B – C)
Diperoleh :
A+B=5
4A + B + C = 15
4A – 2B – C = 7
(i)
(ii)
(iii)
→
A=5–B
(ii) 4(5 – B) + B + C = 15
20 – 4B + B + C = 15
–3B + C = –5 .......(iv)
(iii)
(iv) –3B + C = –5
(v) –6B – C = –13
–9B
= – 18
B
=2
4(5 – B) – 2B – C = 7
20 – 4B – 2B – C = 7
–6B – C = –13......(v)
(iv) –3(2) + C = –5
C=1
(i)
A+2=5
A=3
Sehingga
5 x 2 + 15 x + 7
∫ (x − 1)(x + 2)
2
dx
=
3
2
1
∫ (x − 1) + (x + 2) + (x + 2)
2
dx
= 3.ln |x – 1| + 2.ln |x + 2| –
3.
6 x 2 − 3x + 1
∫ (4 x + 1)(x
2
+ 1)
6 x 2 − 3x + 1
2
(4 x + 1)( x + 1)
=
1
+k
( x + 2)
dx
A
Bx + C
+
(4 x + 1) ( x 2 + 1)
6x2 – 3x + 1
6x2 – 3x + 1
6x2 – 3x + 1
= A(x2 + 1) + (Bx + C)(4x + 1)
= Ax2 + A + 4Bx2 + Bx + 4Cx + C
= (A + 4B)x2 + (B + 4C)x + (A + C)
Didapat :
A + 4B = 6
B + 4C = –3
A+ C =1
......(i)
......(ii)
......(iii)
Diperoleh A = 2; B = 1; C = –1
Buktikan !!!
Sehingga
6 x 2 − 3x + 1
∫ (4 x + 1)(x
2
+ 1)
dx =
2
x −1
∫ (4 x + 1) + (x
2
+ 1)
dx
35
4.
6 x 2 − 15 x + 22
∫ (x + 3)(x
2
dx
+ 2) 2
6 x 2 − 15 x + 22
2
( x + 3)( x + 2)
2
=
A
Bx + C
Dx + E
+
+
( x + 3) ( x 2 + 2) ( x 2 + 2) 2
6x2 – 15x + 22 = A(x2 + 2)2 +(Bx + C)(x + 3)(x2 + 2) + (Dx + E)(x + 3)
6x2 – 15x + 22 = A(x4 + 4x2 + 4) + (Bx + C)(x3 + 3x2 + 2x + 6) + Dx2 + 3Dx + Ex + 3E
6x2 – 15x + 22 = Ax4 + 4Ax2 + 4A + Bx4 + 3Bx3 + 2Bx2 + 6Bx + Cx3 + 3Cx2 + 2Cx + 6C + Dx2 + 3Dx + Ex + 3E
6x2 – 15x + 22 = (A + B)x4 + (3B + C)x3 + (4A + 2B + 3C+ D)x2 + (6B + 2C + 3D + E)x + (4A + 6C + 3E)
Didapat :
A+B=0
3B + C = 0
4A + 2B + 3C+ D = 6
6B + 2C + 3D + E = –15
4A + 6C + 3E = 22
Sehingga
......(i)
......(ii)
......(iii)
......(iv)
......(v)
6 x 2 − 15 x + 22
∫ (x + 3)(x
2
+ 2)
2
dx =
1
Buktikan bahwa
A = 1; B = –1; C = 3; D = –5; dan E = 0
−x + 3
∫ (x + 3) + (x
2
+ 2)
Latihan
Ubahlah bentuk Integral fungsi rasional berikut :
1.
2.
3.
2
∫ x + 2x dx
5x + 3
∫ x − 9 dx
x +1
∫ (x − 3) dx
2
2
2
4.
∫x
5.
∫
6.
5x + 7
2
+ 4x + 4
dx
x 2 + 19 x + 10
2x 4 + 5x 3
dx
2 x 2 − 3x − 36
∫ (2x − 1)(x
2
+ 9)
dx
36
+
−5 x
2
( x + 2) 2
dx
B. APLIKASI INTEGRAL TAKTENTU DALAM BIDANG BISNIS DAN EKONOMI
Pendekatan integral tak tentu dapat diterapkan untuk mencari persamaan fungsi total apabila persamaan
fungsi marjinalnya diketahui. Karena fungsi marjinal merupakan turunan dari fungsi total maka dengan proses
terbalik (integrasi) dapat diperoleh fungsi total jika diketahui fungsi marjinalnya.
1. Fungsi Biaya
Biaya Total TC = f(Q)
→
biaya marjinal MC = TC’ = f’(Q)
Dengan demikian, Biaya Total (TC) merupakan integral dari Biaya Marjinal (MC) yaitu :
∫
∫
TC = MC dQ = f ' (Q ) dQ
Contoh :
Biaya marjinal suatu perusahaan diketahui MC = 3Q2 – 6Q + 4
Jika diketahui biaya tetapnya adalah 4, tentukan :
a. Persamaan biaya total
b. Persamaan biaya rata-rata
c. Besarnya biaya total dan biaya rata-rata jika diproduksi sebanyak 5 unit.
Penyelesaian :
∫
TC = ∫
a. TC = MC dQ
(3Q2 – 6Q + 4) dQ
TC = Q3 – 3Q2 + 4Q + k
Konstanta k tak lain merupakan biaya tetap yang diketahui sebesar 4. Sehingga
TC = Q3 – 3Q2 + 4Q + 4
b. AC =
TC
Q
3
AC = Q
− 3Q 2 + 4Q + 4
Q
2
AC = Q − 3Q + 4 +
4
Q
c. Untuk Q = 5 unit maka
TC = Q3 – 3Q2 + 4Q + 4
AC = Q 2 − 3Q + 4 +
4
Q
= (5)3 – 3(5)2 + 4(5) + 4
= 125 – 75 + 20 + 4
= 74
2
= (5) – 3(5) + 4 +
Jadi biaya total = 74
4
5
= 25 – 15 + 4 + 0,8
= 14,8
Jadi biaya rata-rata = 14,8
2. Fungai Penerimaan
Penerimaan Total TR = f(Q)
→
Penerimaan Marjinal MR = TR’ = f’(Q)
Dengan demikian, Penerimaan Total (TR) merupakan integral dari Penerimaan Marjinal (MR) yaitu :
∫
∫
TR = MR dQ = f ' (Q ) dQ
Dalam penerimaan total tidak ada penerimaan tetap, sebab penerimaan tidak akan ada jika tidak ada
barang yang dihasilkan atau terjual.
Contoh :
Suatu perusahaan mempunyai penerimaan marjinalnya dengan fungsi MR = 16 – 4Q
Tentukan Penerimaan Total dan penerimaan rata-rata jika diproduksi sebanyak 6 unit
37
Penyelesaian :
Penerimaan total
∫
TR = ∫
TR = MR dQ
(16 – 4Q) dQ
TR = 16Q – 2Q2
Untuk Q = 6 maka
TR = 16(6) – 2(6)2 = 96 – 72 = 24
Jadi jika diproduksi sebanyak 6 unit diperoleh Penerimaan total = 24
Penerimaan rata-rata AR = TR
Q
=
16Q − 2Q 2
Q
= 16 − 2Q
Untuk Q = 6 unit maka AR = 16 – 2(6) = 16 – 12 = 4
Jadi jika diproduksi sebanyak 6 unit, penerimaan rata-ratanya = 4
3. Fungsi Utilitas
Utilitas Total TU = f(Q)
→
Utilitas Marjinal = MU = TU’ = f’(Q)
Dengan demikian, Utilitas Total (TU) merupakan integral dari Utilitas Marjinal (MU) yaitu :
∫
∫
TU = MU dQ = f ' (Q ) dQ
Sama halnya dengan Penerimaan total, Fungsi Utilitas Total tidak terdapat Utilitas Tetap karena tidak akan
ada kepuasan atau utilitas yang diperoleh seseorang jika tidak ada barang yang dikonsumsi.
Contoh :
Tentukan persamaan Utilitas Total jika diketahui Utilitas Marjinalnya MU = 90 – 10Q. Tentukan pula Utilitas
total jika diproduksi sebanyak 11 unit.
Penyelesaian :
Utilitas Total
∫
UT = ∫
UT = MU dQ
(90 – 10Q) dQ
UT = 90Q – 5Q2
Untuk Q = 11 unit maka
UT = 90(11) – 5(11)2
UT = 990 – 605 = 385
Jadi jika diproduksi sebanyak 11 unit diperoleh utilitas total = 385
4. Fungsi Produksi
Produksi Total P = f(X)
dimana P = keluaran dan X = masukan
Produk Marjinal MP = P’ = f’(X)
Produk Total merupakan Integral dari Produk Marjinal
∫
∫
P = MP dX = f ' ( X ) dX
Contoh :
Produk Marjinal suatu perusahaan diketahui MP = 18X – 3X2. Tentukan :
a. Persamaan Produk Total
b. Persamaan Produk Rata-rata
Penyelesaian :
Produk Total
∫
P= ∫
P = MP dX
(18X – 3X2) dX
P = 9X2 – X3
(c = 0 sebab tidak akan ada produksi yang dihasilkan jika tidak ada bahan yang diolah)
38
Produk Rata-rata
AP = P
X
AP =
9X
2
−X
X
3
= 9X − X
2
5. Fungsi Konsumsi dan Fungsi Tabungan
Dalam konsep ekonomi, pendapatan (Y) pertama-tama digunakan untuk memenuhi kebutuhan atau
konsumsi (C), dan selebihnya ditabung atau saving (S) sehingga dapat dituliskan Pendapatan = Konsumsi +
Tabungan.
Jadi Y = C + S
a. Fungsi Konsumsi
Pada awalnya bisa jadi pendapatan Y lebih kecil dari konsumsi C. Artinya walaupun belum punya
pendapatan tetapi manusia tetap harus memenuhi kebutuhan sehingga tetap melakukan konsumsi.
Kondisi dimana besarnya konsumsi pada saat pendapatan sama dengan nol (Y=0) disebut konsumsi
otonom.
Dan setiap ada kenaikan pendapatan dapat dipastikan konsumsi juga meningkat.
Perbandingan antara besarnya perubahan konsumsi (ΔC) dengan perubahan Pendapatan (ΔY) yang
mengakibatkan adanya perubahan konsumsi tersebut dinamakan dengan Marginal Properity to
Consume (MPC)
Dari keterangan di atas maka fungsi konsumsi dapat dituliskan sebagai berikut :
C = a + MPC Y
a = konsumsi otonom (autonomous consumption)
MPC (Marginal Properity to Consume) dapat ditentukan dengan
MPC = C’ = dC
dY
Berdasar kaidah integrasi, maka Fungsi Konsumsi (C) merupakan integral dari MPC.
C = ∫ MPC dY + k
k = a (konsumsi otonom/autonomus consumption/konsumsi minimum jika Y = 0)
b. Fungsi Tabungan
Dari fungsi Pendapatan (Y = C + S) dan fungsi konsumsi (C = a + bY) maka :
S=Y–C
S = Y – (a + bY)
S = Y – a – bY
S = –a + Y– bY
S = –a + (1 – b)Y
Hasrat untuk Menabung/Marginal Properity to Save (MPS) merupakan turunan pertama dari fungsi
tabungan S. Sehingga :
MPS = S’ = dS = (1 – b)
dY
Berdasar kaidah integrasi, maka Fungsi Tabungan (S) merupakan integral dari MPS.
S = ∫ MPS dY + k
k = – a (tabungan otonom/autonomus Saving/tabungan negatif[dissaving] jika pendapatan Y = 0)
Catatan :
Autonomus saving = – autonomus consumption
39
Contoh :
1. Jika kecenderungan konsumsi marginal (MPC) = 0,8 dan komsumsi miminum = Rp 15 Milyar pada saat
pendapatan Y=0. Cari fungsi konsumsinya.
Penyelesaian :
C = ∫ MPC dY
C = ∫ 0,8 dY
C = 0,8Y + k
Karena k = 15M maka
C = 0,8 Y + 15 Milyar
2. Diketahui konsumsi minimumnya Rp 30M dan MPC = 0,6. Tentukan
a. Fungsi Konsumsi
b. Fungsi Tabungan
Penyelesaian :
a. MPC = b = 0,6
Konsumsi otonom = a = 30M
Fungsi Konsumsi =
C = ∫ MPC dY
C = ∫ 0,6 dY
C = 0,8Y + 30M
b. MPS = (1 – b) = 1 – 0,6 = 0,4
Tabungan otonom = –a = – 30M
Fungsi Tabungan =
S = ∫ MPS dY
S = ∫ 0,4 dY
S = 0,4Y – 30M
Latihan :
1. Fungsi biaya marginal suatu produk:
MC=f(Q)=500+4Q
Tentukan fungsi biaya total (TC) dan fungsi biaya rata-rata (AC) jika biaya tetap diketahui Rp.3.000,2. Biaya marginal suatu perusahaan ditunjukkan oleh MC=1,50Q2 – 4Q + 12. Cari persamaan biaya total dan biaya
rata-rata jika biaya tetap sebesar 20
3. Jika fungsi penerimaan marginal dari suatu perusahaan adalah MR = f(Q) = 5 – 3Q. Tentukan fungsi penerimaan
total (TR) dan fungsi penerimaan rata-rata (AR)
4. Cari persamaan fungsi penerimaan total dan fungsi penerimaan rata-ta jika penerimaan marginalnya
MR = 900 – 28Q
5. Produk marjinal PT POOH ditunjukkan oleh persamaan 3Q2 + 5. Bentuklah fungsi produk total dan fungsi
produk rata-ratanya ? Berapakah besarnya produk total dan produk rata-rata jika masukan yang digunakan
sebesar 10 unit?
6. Bentuklah persamaan utilitas total dari seorang konsumen jika utilitas marginalnya ditunjukkan oleh persamaan
MU = 120 – 14Q. Berapakah besarnya utilitas total jika Q = 12?
7. Bentuklah fungsi konsumsi dan fungsi tabungan masyarakat suatu negara jika diketahui bahwa MPC = 0,55 dan
konsumsi autonomnya sebesar 34 milyar?
40
C. INTEGRAL TERTENTU
Integral tertentu adalah integral dari suatu fungsi yang nilai-nilai variabel bebasnya memiliki batas-batas
tertentu.
Jika ∫ f ( x ) dx = F( x ) + k maka Integral suatu fungsi f(x) antara x = a dan x = b dimana a < b ditulis dengan
b
= [ F( x ) ]ba
∫ f ( x ) dx
a
= { F(b) + k } – { F(a) + k }
= F(b) – F(a)
b
Notasi ∫ f ( x ) dx dibaca : Integral f(x) untuk x antara a dan b
a
 a disebut batas bawah integasi
 b disebut batas atas integrasi
Integral tertentu digunakan untuk menghitung luas wilayah yang terletak antara kurva y = f(x) dengan sumbu x
pada rentang antara x = a dan x = b. Dapat pula untuk menentukan luas wilayah antara dua kurva f(x) dan g(x).
Untuk menentukan luas wilayah antara kurva y = f(x)
y
Menentukan luas wilayah antara dua kurva y1= f(x)
dan y2 = g(x) pada rentang antara x = a dan x = b
y
y = f(x)
y = f(x)
y = g(x)
a
x
b
a
b
Luas arsiran :
Luas arsiran : ∫ f ( x ) dx
a
b
b
b
a
b
a
∫ f ( x ) dx − ∫ g( x ) dx
= ∫ f ( x ) − g( x ) dx
a
Kaidah-kaidah Integrasi tertentu
1.
b
∫ f ( x ) dx
a
= [ F( x ) ]ba = F(b) – F(a)
Contoh :
[
4
= 3x 2 + 3x
∫ (6 x + 3) dx
1
2.
]
4
1
= {3(4)2 + 3(4)} – {3(1)2 + 3(1)}
= (48 + 12) – (3 + 3)
= 60 – 9
= 51
a
∫ f ( x ) dx = 0
a
Contoh :
2
2
∫ 9x dx
2
[ ]
= 3x 3
2
2
= 3(2)3 – 3(2)3 = 24 – 24 = 0
41
x
3.
b
a
a
b
∫ f ( x ) dx = – ∫ f ( x ) dx
Contoh :
[ ]
= – [3x ]
5
5
= 3x 2 1 = 3(5)2 – 3(1)2 = 75 – 3 = 72
∫ 6 x dx
1
1
2 1
5
– ∫ 6 x dx
5
4.
b
b
a
a
= – {{3(1)2 – 3(5)2 } = – ( 3 – 75 ) = – (–72) = 72
∫ k.f ( x ) dx = k.∫ f ( x ) dx
Contoh :
4
4
= 3 ∫ (2x + 1) dx
∫ 3(2 x + 1) dx
1
1
[
]
4
= 3 x2 +x 1
= 3{ (42 + 4) – (12 + 1)}
= 3( 20 – 2)
= 3(18) = 54
5.
b
b
b
a
a
a
∫ {f ( x ) + g( x )} dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ g( x ) dx
Contoh :
5
2
∫ (3x + 4 x ) dx
3
5
5
3
3
= ∫ 3x 2 dx + ∫ 4 x dx
=
[ ] [2x ]
5
x3 3 +
3
3
2 5
3
= (5 – 3 ) + (2(5)2 – 2(3)2)
= 116 + 32 = 84
c
b
b
a
c
a
6. Untuk a < c < b berlaku ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx
Contoh :
3
5
1
3
∫ 6 x dx + ∫ 6 x dx
[ ] [ ]
3
= 3x 2 1 + 3x 2
5
3
= {3(3)2 – 3(1)2 } + {3(5)2 – 3(3)2 }
= (27 – 3) + (75 – 27)
= 24 + 48
= 72
Latihan
1.
2.
3.
4.
6
2
∫ (6 x + 8x) dx
2
10
dx
dx
0 x +5
∫
4
∫ (2 x + 3) dx
1
20
y
5
y=½x+1
L1
L2
y=–¼x+7
2
∫ 12Q + 10Q dQ
10
5. Tentukan luas daerah L1 dan L2 diarsir berikut :
1
8
42
x
D. APLIKASI INTEGRAL TERTENTU
1. Surplus Konsumen /Consumer’s Surplus (Cs)
Mencerminkan suatu keuntungan lebih (surplus) yang dinikmati konsumen tertentu berkenaan dengan
tingkat harga pasar suatu barang.
y
Jika tingkat harga pasar adalah Pe maka bagi konsumen tertentu
P̂
Surplus
yang sebenarnya mampu dan bersedia membayar denga harga
Konsumen
lebih tinggi dari Pe hal ini merupakan keuntungan baginya, sebab
ia cukup membayar dengan harga Pe.
E = (Qe, Pe)
Pe
Keuntungan inilah yang dinamakan dengan Surplus Konsumen.
P = f(Q)
Q̂
Qe
x
Untuk fungsi permintaan berbentuk P = f(Q) maka Surplus Konsumen merupakan luas daerah yang dibatasi
oleh fungsi P = f(Q) dan garis horisontal Pe dengan 0 sebagai batas bawah dan Qe sebagai batas atas.
Qe
Cs = ∫ f (Q) dQ – Qe.Pe
0
Untuk fungsi permintaan berbentuk Q = f(P) maka Surplus Konsumen dapat dihitung dengan
P̂
Cs = ∫ f (P) dP
Pe
P̂ adalah Nilai P pada saat Q = 0
Contoh :
Fungsi Permintaan suatu barang mempunyai persamaan P = 20 – ½Q. Hitunglah Surplus Konsumen pada
tingkat harga pasar 10.
P = 20 – ½Q
Pe = 10
Q=0
→
→
→
Q = 40 – 2P
Qe = 20
P̂ = 20
Qe
Cara I : Kita gunakan rumus Cs = ∫ f (Q) dQ – Qe.Pe
0
Qe
0
20
=
[
]
Pe
P̂
20
Pe
10
Cs = ∫ f (P) dP = ∫ 40 - 2P dP
= ∫ (20 - 0,5Q) dQ – 20.10
20
20Q − 0,25Q 2 0
P̂
Cs = ∫ f (P) dP
Jika Q = 0 maka 40 – 2P = 0 sehingga P̂ = 20
Cs = ∫ f (Q) dQ – Qe.Pe
0
Cara II : kita gunakan rumus
– 200
= { 20(20) – 0,25(20)2 } – {20(0) – 0,25(0)2} – 200
= (400 – 100) – 0 – 200
= 300 – 200 = 100
Jadi diperoleh Cs = 100
43
[
]
20
= 40P −P 2 10
= { 40(20) – (20)2 } – { 40(10) – (10)2 }
= (800 – 400) – (400 – 100)
= 400 – 300
= 100
Jadi diperoleh Cs = 100
2. Surplus Produsen / Producer’s Surplus (Ps)
Mencerminkan keuntungan lebih (Surplus) yang dinikmati oleh produsen tertentu berkenaan dengan
tingkat harga pasar dari barang yang ditawarkan.
y
P = f(Q)
Surplus
Produsen
Pe
Jika tingkat harga pasar adalah Pe maka bagi produsen tertentu
yang sebenarnya bersedia menjual dengan harga lebih rendah
dari Pe hal ini merupakan keuntungan baginya. Sebab ia dapat
menjualnya dengan harga Pe.
E = (Qe, Pe)
Keuntungan inilah yang disebut dengan Surplus Produsen.
P̂
x
Qe
Dalam hal fungsi Penawaran berbentuk P = f(Q) maka Surplus Produsen dapat dihitung dengan
Qe
Ps = Qe.Pe – ∫ f (Q) dQ
0
Untuk fungsi Penawaran berbentuk Q = f(P) maka Surplus Produsen dapat dihitung dengan
Pe
Ps = ∫ f (P) dP
P̂
P̂ adalah Nilai P pada saat Q = 0
Contoh:
Seorang produsen mempunyai fungsi penawaran P = 0,5Q + 3. Tentukan Surplus Produsen bila tingkat
harga keseimbangan pasar adalah 10 !
P = 0,5Q + 3
Pe = 10
Q=0
→
maka
maka
Q = 2P – 6
Qe = 14
P̂ = 3
Qe
Cara I : menggunakan rumus Ps = Qe.Pe – ∫ f (Q) dQ
0
14
10
Ps = 14.10 – ∫ (0,5Q + 3) dQ
[
0
Pe
Cara II : menggunakan rumus Ps = ∫ f (P) dP
Ps = ∫ (2P - 6) dP =
3
]
14
= 140 – 0,25Q 2 + 3Q 0
= 140 – [{ 0,25(14)2 + 3(14) } – {0,25(0)2 + 3(0)}]
= 140 – [ { 49 + 42 } – 0]
= 140 – 91
= 49
[
]
= { (10)2 – 6(10) } – { (3)2 – 6(3) }
= { (100 – 60) – (9 – 18) }
= 40 – (–9) = 49
Latihan
Fungsi penawaran dan Permintaan akan suatu barang di pasar masing-masing ditunjukkan oleh
Q = –30 + 5P dan Q = 60 – 4P
Hitunglah masing-masing Surplus yang diperoleh Konsumen dan Produsen !
44
P̂
10
P 2 − 6P 3