fungsi dan operasi fungsi

08/11/2015
Anita T. Kurniawati
y
disebut fungsi dari x jika dpt ditentukan suatu
hubungan antara y dan x SDH untuk setiap nilai
x menentukan secara tunggal nilai y.
 Hubungan antara y dan x biasanya ditulis :
y  f (x)
 Contoh
1: f ( x)  x  1
2
Mendefinisikan fungsi f yang mengawankan bilangan x
dengan bilangan x
f (3)  x  1  3  1  10 f mengawankan 10 dengan 3
2
2
2
1
D
E
F
I
N
I
S
I
1
08/11/2015
 Contoh
2:
1
Jika  ( x)  x  1 maka
3
 (3 7 ) 
1
1

(3 7 )  1 16
3
1
1
6
 (5 ) 
1
6
(5 )  1
f ( x)  x 2  1
3

1
5 1
D
E
F
I
N
I
S
I
2
08/11/2015
 Diberikan
f ( x)  2 x  3 , dapatkan
2
a) f (2) b) f ( 3) c) f (a  1)
d) f (3t )
 Dapatkan domain dan range dari fungsi berikut :
a) f ( x)  x  2
b) f ( x)  1
f ( x) 

x 4
x2
2
2 x
c)
Buatlah sketsa grafik
 x  3, x  3
 ( x)  
x3
7,
OPERASI-OPERASI ARITMATIK PADA FUNGSI
Fungsi-fungsi dapat dijumlahkan, dikurangkan,
digandakan dan dibagi. Sebagai contoh, jika
f(x) = x dan g(x) = x2, maka
f(x) + g(x) = x + x2
Rumus ini mendefinisikan suatu fungsi baru yang
disebut jumlah dari f dan g dan dituliskan dengan
f + g. Jadi
(f + g)(x) = f(x) + g(x) = x + x2
3
08/11/2015
 Jumlah
(f + g)(x) = f(x) + g(x)
 Selisih
(f – g)(x) = f(x) – g(x)
 Hasil Kali (f.g)(x) = f(x).g(x)
 Hasil Bagi (f/g)(x) = f(x)/g(x)
Contoh
Misalkan f(x) = 2x dan g(x) = x-2
Dapatkan (f + g)(x),(f - g)(x),(f.g)(x), (f/g)(x)
 Diketahui
fungsi-fungsi f dan g, maka komposisi f
dengan g, ditulis f o g adalah funsi yang
didefinisikan dengan
f  g (x) = f(g(x))
artinya g(x) disubtitusikan pada x dalam rumus f
Contoh
2
Misal f ( x)  x  1
f  g (x) = f(g(x)) =
dan
g ( x)  x  2
f ( x)  ( x  2) 2  1  x 2  4 x  5
4
08/11/2015
 Latihan
Dapatkan rumus dari fungsi-fungsi dan
tetapkan domain untuk masing-masing soal :
1.(f+g)(x) , 2. (f.g)(x),
3. (fog)(x)
a. f ( x)  2 x, g ( x)  x  1
2
x
1
b. f ( x)  1  x , g ( x)  x
2
Grafik suatu fungsi f pada bidang-xy didefinisikan sebagai
grafik dari persamaan y = f(x)
Contoh :
1. Buatlah sketsa grafik f(x) = x + 3
Penyelesaian :
Berdasarkan definisi grafik f dlm bidang-xy adalah grafik
persamaan y = x + 3
y
G
R
A
F
I
K
3
-3
y
5
08/11/2015
2. Buatlah sketsa grafk
Penyelesaiannya :
x2
1,
g ( x)  
 x  2, x  2
y
o
1
2
x
Grafik fungsi f ( x)  a ( x  p )  q2 dapat diperoleh dengan
mentranslasikan grafik f ( x )  ax oleh vektor (p,q), yaitu
kekiri/kanan sejauh  p dan ke atas /bawah sejauh  q
2
Contoh :
gambarkan grafik fungsi berikut ini ;
a. y = x2 + 2
b. y = x2 – 2
c. y = (x+2)2
d. y = ( x – 2)2
6
08/11/2015
y
y
x
x
y = x2
y = -x2
y
y
x
x = y2
x
x = -y2
y
y
x
y = √x
x
y = -√x
y
y
x
y = x3
x
y =
y
3
√x
y
x
y = 1/x
x
y = -1/x
7
08/11/2015

Fungsi Aljabar :
 Fungsi
Polinomial
 Fungsi Rasional
 Fungsi Pangkat

Fungsi Transenden :
Fungsi Trigonometri dan Inversnya
 Fungsi Eksponensial dan Logaritma
 Fungsi Hiperbolik dan Inversnya

Fungsi yang paling sederhana disebut fungsi
konstan. Contohnya ; f(x) = 3 maka
f(-1) = 3, f(0) = 3, f(√2) = 3, f(9) = 3
Fungsi dengan bentuk cxn, dimana c adalah suatu
konstanta dan n adalah bilangan bulat tak
negatif, disebut monomial dalam x.
contoh
2x3, πx7, 4x0(= 4), -6x, x17
Fungsi-fungsi 4x1/2 dan x-3 bukan monomial sebab
pangkat dari x bukan bilangan bulat tak negatip.
8
08/11/2015
Contoh :
x3 + 4x + 7, 3 – 2x3 + x17, 9, 17 – 2 x, x5
3
Rumus untuk polinomial dalam x adalah
f(x) = a0 + a1 x + a2 x2 +…+ an xn
atau
f(x) = an xn + an-1 xn-1 + an-2 xn-2 +…+a0
DESKRIPSI
RUMUS UMUM
Polinomial linier
a0 + a1 x (a1 ≠ 0)
Polinomial kuadratik a0 + a1 x + a2 x2 (a2 ≠ 0)
Polinomial kubik
a0 + a1x + a2 x2 + a3 x3 (a3 ≠ 0)
9
08/11/2015
Adalah suatu fungsi yang dapat dinyatakan sebagai rasio dua
polinomial.
Contoh :
X5 – 2x2 + 1
X2 - 4
x
x+1
a  a x  a x  ...  a x
f ( x) 
b  b x  b x  ...  b x
2
0
1
2
0
1
2
n
n
2
n
n
FUNGSI PANGKAT
Contoh :
( x  3) x
f(x) = x2/3 = (√ x) 2 dan g(x) =
x5  x2  1
Fungsi Transenden

Fungsi Trigonometri dan Inversnya
Hubungan antara ukuran sudut dan radian
o
o
360 180

2

Dan satu derajat ekivalen dengan

o
180
rad. nilai  3,14
y  sin( x  T )  sin x
Periode fungsiadalah 2
10
08/11/2015
sin x
cos x
cos x
y  cot x 
sin x
y  tan x 
Untuk nilai cos x=0, maka nilai tan x
tidak terdefinisi
Untuk nilai sin x=0, maka nilai cot x
tidak terdefinisi
11
08/11/2015

Fungsi Eksponensial dan Logaritma
Jika y  log x , maka y merupakan pangkat untuk a yang
a
y
harus menghasilkan x, jadi x  a kebalikannya, jika y  log x
sehingga
a
y  log x dan x  a
a
y
adalah ekivalen
12
08/11/2015
Fungsi Hiperbolik dan Inversnya
f x 

Jika x  a (baca x mendekati a dari kanan) dan lim f x  ada,
maka bentuk lim f x  disebut limit kanan.
jika x  a (baca x mendekati a dari kiri) dan lim f x  ada,
maka bentuk lim f x  disebut limit kiri.
Jika limit kanan dan limit kiri ada dan nilainya sama, maka
dikatakan bahwa lim f x  ada.

x a 
x a 


x a 
x a


x a
Contoh :
Diberikan f(x) = x+1 , ditanyakan lim f  x 
x2
x
x
1,80
1,90
1,97
1,99
1,99999
2,80
2,90
2,97
2,99
2,99999
2,20
3,20
2,15
3,15
2,05
3,05
2,01
3,01
2,00001
3,00001
13
08/11/2015
SIFAT-SIFAT LIMIT FUNGSI
 Misalkan diketahui dua fungsi f(x) dan g(x)
g  x   M dan c
memenuhi lim f x   L dan lim
x a
xa
adalah bilangan real, maka
lim [ f x   g ( x)]  lim f x   lim g  x   L  M
x a
x a
x a
lim cf  x   c lim f  x   cL
xa
xa
lim [ f x g ( x)]  lim f x . lim g x   L.M
x a
lim[
x a
xa
xa
f  x  lim f ( x) L
]
 , dan lim g ( x)  0
g ( x) lim g ( x) M
x a
x a
x a
lim
x a
f ( x)  lim f ( x)  L
x a
14
08/11/2015
Definisi ;
Suatu fungsi f dikatakan kontinu di titik c, jika
syarat-syarat berikut dipenuhi ;
1. f(c) terdefinisi
2. lim f ( x ) ada
x c
3. lim f ( x)  f ( x)
x c
jika salah satu tidak terpenuhi, maka fungsi
disebut diskontinu dititik c
y = f(x)
y = f(x)
c
c
Pada gambar diatas terjadi lubang pada titik c
Karena fs f tidak terdifinisi di ttk tsb
(a)
Pada gb diatas terjadi patahan pd grafiknya, fs f
terdifinisi di c, tapi lim f(x) tdk ada
x
c
(b)
y = f(x)
y = f(x)
c
Sama seperti gambar (b)
c
Pada gambar diatas, fs f terdifinisi di c dan lim f(x)
ada, tetapi ada patahan pd ttk c, lim f(x) ≠f(c)
15