MATA KULIAH KALKULUS (4 sks) Dosen : Ir - Bina Darma e

MATA KULIAH
KALKULUS I (4 sks)
Dosen : Ir. RENILAILI, MT
Pertemuan ke 1
sistem bilangan
Sistem bilangan
• Bilangan merupakan angka mulai dari 0
sampai 10 , tetapi bisa juga bilangan itu
berupa pernyataan , seperti bilangan
biner , bilangan decimal, bilangan
ekponen , bilangan irrasional,bilangan
imaginer dll.
Bilangan dasar 10
• 2763 = 2.10
• 2783 = 2.10 3 +7.10 2+ 8.10 1+3.10 0
•
•
3896,475 = 3.10 3 +8.10 2 + 9.10.1
+6.10 0 + 4. 10 -1 + 7.10
+ 5.10 -3
-2
Pertemuan ke dua
latihan soal-soal
Latihan soal soal
• Latihan untuk merubah ke bilangan biner
• Soal-soal:
2789 =
4789 =
9765 =
7569 =
6754 =
Pertemuan ketiga
merubah basis
Merubah basis
• Cara merubah basis dapat dilakukan
dengan jalan membagi bilangan tersebut
secara terus menerus sampai bilangan
tersebut menghsilkan bilangan 0
• Contoh
• 524 = 1014 8
• 897 = 629 12
• 0,526 = 0,4152 8
Pertemuan ke empat
limit
LIMIT
Difinisi :
f (x) dikatakan mempunyai limit L untuk x
→ x0, bila untuk setiap bilangan positif h
yang diberikan, dapat ditunjuk bilangan
positif δ sedemikian hingga untuk semua
harga x yang memenuhi
TEOREMA LIMIT
Teorema Limit
•
•
•
•
•
Jika K suatu konstanta, f dan g adalah fungsi – fungsi yang
mempunyai limit untuk x → a, a ε R.
f (x) = k → lim f (x) = k
x→a
f (x) = k → lim f (x) = a
x→a
Lim [ f(x) + g (x) ] = lim f(x) + lim g (x)
x→a
x→a
x→a
Lim [ f(x) – g (x)] = lim f(x) – lim g (x)
x→a
x→a
x→a
Lim k f(x) = K. lim f(x)
x→a
x→a
1. Lim [ f(x) . g (x) = lim f(x) . lim g (x)
x→a
x→a x→a
Lim x  a f ( x)
f ( x)
=
g ( x)
Lim x  a g ( x)
x→a
2. Lim
3. Lim [ f(x) ]n = [lim f(x)]n , n bilangan bulat
x→a
x→a
4. Lim
n
f ( x) =
x→a
n
lim f ( x) , n bilangan asli n ≥ 2
x→a
5. Lim [ f(x)]m/n =
x→a
n
lim f ( x)] m
x→a
=

n

m
Lim f ( x) , m bilangan bulat lim f(x) ε R
x→a
Contoh-contoh penyelesaian limit




2. lim x 2  1 x  3  lim x 2  1  lim x  3
x2
x2
x2
 4  12  3
 3
35 3
x
3x  5 x  7
x7
3
7. lim
 lim

3
2
10  11
10
10 x  11x  5 x
x
x5
2
x
x  5x  5  lim x  5
x 2  25
3. lim
 lim
 x  5
x5
x5
x5
 5  5  10
2
x
lim
4)
x4
12. lim
lim
x4
x 2
=
x4
=
lim
x4
( x  2)( x  2)
x 2


x  2  4 24
10. lim x 2  2 x  5  lim x 2  2 lim x  lim 5
x3
x3
x3
 3  2 3  5  10
2
x  2x  2  2  2  4
x2  4
 lim
x  2
x2
x2
x2
Pertemuan ke lima
latihan soal-soal limit
Soal-soal latihan
Lanjutan soal
Pertemuan ke enam
differensial
DIFFERENSIAL
Fungsi Aljabar
f (x) difefenisikan sebagai fungsi x, dapat ditulis
dengan singkat sebagai y dan f’ (x) merupakan
turunan dari f (x) juga dalam hal ini dapat ditulis
dengan dy/dx, tetapi ada fungsi-fungsi lainnya yang
dalam buku ini ditulis sebagai u dan v yang
digunakan untuk memperpendek cara penulisan.
RUMUS-RUMUS DASAR
1. f (x) = xn
f’ (x) = n. xn-1
Contoh
f (x) = x5
f’ (x) = 5. x4
f (x) = 2x3
f’ (x) = 6x2
2. f (x) = u - v
f’ (x) = u’ – v’
Contoh 1 :
f(x) = (2x + 5) – (3x2 + 10)
f’(x) = (2) – (6x)
Contoh 2 :
f(x) = (2x3 + 5x) – (3x2 +
4)
f'(x) = (6x2 + 5) – (6x + 4)
f’(x) = 6x2 – 6x + 1
3. f (x) = u + v
f’ (x) = u’ + v’
Contoh 1 :
f(x)
f’(x)
= (3x3 + 10) + (5x2 + 6)
= (9x2) + (10x)
Contoh 2 :
f(x)
f’(x)
= (2x5 + 6x) + (3x2 + 10x)
= (10x4 + 6) + (6x + 10) = 10x4 + 6x + 16
4.
f (x) = u . v
f’ (x) = u’v + v’u
Contoh 1 :
f(x) = (2x5 + 3) . (3x2 + 1)
f’x) = (10x4) (3x2 + 1) + (6x) (2x5 + 3)
= (30x6 + 10x4) + (12x6 + 18x)
= 42x6 + 10x4 + 18x
Pertemuan ke tujuh
latihan soal -soal
diff fungsi aljabar
LATIHAN SOAL
1.f(x) = (x3+3) – (x4+4x2)
2.f(x) = (x3+3x2) + (x3+5x)
3.f(x) = (x3+4x2+5x+10)
4.f(x) = (x5+3x) . (x2+2x)
5.f(x) = (x3 + 2x) 1/2
x 
u
v
u 1v  u 1v
1
f x  
v2
5. f

Contoh 1 :
3x  5
f x  
2 x  1
2
f
1
x  
6 x 2 x  1  23x 2
2 x  12

12 x

6 x

2
2
 
5
 6 x  6 x 2  10
2 x  12
 6 x  10
2 x  12



6. f (x) = un
f’x) = n.un-1.u’
Contoh :
f(x) = (3x2 + 4)3
f’(x) = 3(3x2 + 4)3-1(6x)
= 18x (3x2 + 4)2
u
 
v
7. f  x 
n
u
f 1  x   n 
v
n 1
 u 1 v  v 1u 


2
v


Contoh 1 :
f x 
 x 

1  x 



5
 x   11  x   1 x  
1


f  x   5
2
1  x 
 

1  x 

 

4
 x 
 5
1  x 




5x 4
1  x 6
4
1  x  x 


 1  x 2 


Pertemuan ke lapan
Quisioner
QUISIONER
f(x) = (x3 + 5) (2x + 1)
x  1
f x  
2 x  5
2
f(x) = (x2 – 1) + (3x2 +3x+7)
f(x) = (4x5 + 10) – (3x3 + 2x)
f(x) = (2x3+3x)5


 
 
 x2  1
f  x    2
 x 3
5
  x  8 
f x   
  x  1 



1
2
Pertemuan ke sembilan
diff fungsi implisit
Fungsi Implisit
Differensial secara implisit, caranya differensialkan variabel x
seperti biasa, kemudian differensialkan variabel y seperti variabel x, tetapi
harus dikalikan dengan dy/dx
yx  x 2 y  x 3  2  0
dy
2 dy
x
 y  2 xy  x
 3x 2  0  0
dx
dx
2 dy
xx
  y  2 xy  3x 2
dx
 y  2 xy  3x 2
dy

dx
x  x2








Pertemuan ke sepuluh
latihan soal-soal
diff fungsi implisit
Latihan soal-soal
untuk fungsi implisit
selesaikanlah differensial fungsi implisit
berikut ini :
a. x y  xy  2 x  y  5  0
3
2
2
b. x y  xy  5 x  10  0
2
2
Pertemuan ke sebelas
diff fungsi trigonometri
Fungsi Trigonometri
Tabel 1.
Koefisien Differensial Baku
dy
 f 1 x 
dx
N
o
y = f(x)
1
sin x
cos x
2
cos x
-sin x
3
tg x
sec2 x
4
ctg x
-cosec2 x
5
sec x
sec x tg x
6
Cosec x
-cosec x tg x
Pertemuan ke duabelas
diff fungsi eksponen
FUNGSI EKSPONEN DAN LOGARIMA
Pertemuan ke tigabelas
latihan soal-soal
diff fungsi exponen dan
logaritma
CONTOH PENYELESAIAN SOAL-SOAL
1
. y = ex
2.
3.
4.
y=
2e3x
y = ln x
y=
ax
5.
log a x
6.
y = e(3-x)
dy
 e x 1  e x
dx
dy
 2e 3 x 3  6e 3 x
dx
dy
dx

1
x
dy
 a x ln a
dx
dy
1

dx
x ln a
dy
 e ( 3 x )  1   e ( 3 x )
dx
Pertemuan ke empatbelas
mid test
MID TEST
SELESAIKANLAH DIFFERENSIAL FUNGSI-FUNGSI BERIKUT
INI DENGAN WAKTU 60 MENIT.
1.
f(x) = ( 2x4 + 3x2 + 5x + 55 )
2.
f(x) = ( 3x2 + 5x3 ) + ( 4x3 - 2x3 )
3.
f(x) = ( 3x4 + 5x2 ) 7
4.
f(x) = ( 3x 3_ 4x2 ) . ( 2x4 + 5x )
5.
f(x) = sin 2x3 + 3tg 2x
6.
f(x) = ( cos 3x + 5 ) . ( sin 3x2 )
7.
f(x) = ( e 3x + 5x2 ) + ( sin 3x2 + 5 )
Pertemuan ke limabelas
penerapan differensial
PENERAPAN DIFFERENSIAL
• Garis Singgung dan Garis Normal
suatu kurva disebuah titik tertentu.
Kemiringan kurva y = f(x) disebuah titik P pada kurva
ditentukan oleh kemiringan garis singgungnya dititik P.
Kemiringan ini juga diberikan oleh harga dititik P. Yang
dapat dihitung bila persamaan kurvanya diketahui. Jadi
kita dapat menghitung kemiringan garis singgung suatu
kurva dititik P. Kita tahu bahwa garis singgung tersebut
melalui titik P, yaitu bila x = x1 dan y = y1.
• Persamaan garis untuk menghitung kemiringan adalah:
y-y1 = m (x-x1)
JARI-JARI KELENGKUNGAN
Pertemuan ke enambelas
latihan soal
penerapan differensial
Latihan soal
1. Tentukanlah jari-jari kelengkungan kurva
11  4 x 
y 
dititik (2,3)
3  x 
2. Tentukanlah persamaan garis singgung
dari garis normal kurva
y = x3 – 2x2 + 3x – 1 dititik (2,5).
Pertemuan ke tujubelas
Integral
INTEGRAL
Pengertian
Integral boleh disebut sebagai “anti turunan” atau
kebalikan dari differensial, kalau dalam differensial
pangkat dari variabel x berkurang satu, sebaliknya
dalam integral pangkat dari variabel x bertambah satu.
Dalam operasi matematika ada dua macam operasi
yang saling berlawanan, operasi yang demikian
merupakan operasi balikan (inversi).
Dalam operasi balikan itu misalnya pengurangan dan
penambahan, perkalian dan pembagian, pemangkatan
dan penarikan akar serta penarikan logaritma dan
perhitungan logaritma.
MACAM –MACAM INTEGRAL
Dalam menyelesaikan suatu fungsi integral, maka
perlu kita ketahui bahwa ada beberapa macam
fungsi yang dapat dikelompokkan sebagai
beriktu :
• Integral tak tentu
• Integral parsiil
• Integral fungsi rasional
• Integral fungsi trigonometri
• Integral logaritma dan exponen
• Integral denan substitusi
RUMUS-RUMUS DASAR
1
1.  x dx 
X n 1  C
n 1
n
dx
2. 
 ln x  C
x
3.  e x dx  e x  C
1 kx
4.  e dx  e  C
k
x
a
x
5.  a dx 
C
ln a
kx
6.  sin x dx   cos x  C
7.  cos x dx   sin x  C
8.  tg x dx   ln cos x  C
9. ctg x dx  ln sin x  C
10.  sec x dx  ln sec x  tg x  C
11.  cos ec x dx  ln cos ec x  ctg x  C
12.  sec 2 x dx  tg x  C
13.  cos ec 2 x dx   ctg x  C
14. 
dx
1 x
2
 arcsin x  C
Pertemuan ke delapanbelas
Integral tak tentu
INTEGRAL TAK TENTU
1
n 1
x
dx

X

C

n 1
n
INTEGRAL TAK TENTU
Contoh-contoh
3. 
xdx 
4. 
dx
3
X
2

1
2
 x dx 
X
5.   x  2  dx 
2
6.  1  x 
1
2
3
1
1
2
X
1
31
1
X
dx 
2
1
3
 x
xdx 
2
2
C  X
3
2
3 1

 4 x  4 dx 

1
1
1
2
1
2
 x dx 
1
2
dx 
3
1
2
X

X
3
1
1
1
2
2
5
3
2
2
 X2  X2 C
5
3
2
2
 X X  X2 X 
5
3

C 
 C  3X
 x
x  x x 
3
2
1
3
2
X
3
 C  33 X  C
 4 x dx 
x
3
3
X C
dx
C
 4dx 
4
1 3
x  x 2  4x  C
2
3
Pertemuan ke sembilanbelas
Integral dengan substitusi
INTEGRAL DENGAN SUBSTITUSI

x

3

2
 2 .3x dx
2
Misalnya : x3 + 2 = u
3x2dx = du
2
u
 du 
1
u 2 1  C
2 1
1 3

u  C
3
1

x3  2
3


3
 C
 

1
 1
3
2
x  2 .x dx   u  du    u 2 du
3
 3
1
2
1
1
1
2
1
1
 
u
C
3 1 1
2
1
1 2 2
  u C
3 3
3
2 2

x 2 2 C
9


Pertemuan ke duapuluh
latihan soal-soal
integral tak tentu dan
integral dg substitusi
Latihan soal
1.
 x dx 
4
3.
4.
dx

2
x

2.

3

x 2 dx 
dx
5
x
3

5.
6.
7.
8.

4 x

2 x
dx 
x
2
dx
 2  3x  
x dx

2
x 1



x 2 dx
3
x
3
5

2

Pertemuan ke duapuluhsatu
Integral parsiil
INTEGRAL PARSIIL
Suatu bentuk integral yang sering timbul, ialah suatu integral
yang integralnya merupakan hasil ganda dari suatu fungsi x dengan
differensial dari fungsi x yang lain. Andaikan u dan v adalah fungsi
dari x, maka dicari hasil dari bentuk :
udv

u
.
v


vdu

Agar kita dapat menggunakan rumus ini, bentuk dari integral dari
integral yang kita ketahui harus dibuat menjadi dua bagaian satu
bagain sesuai dengan u dan bagian yang lain bersama-sama dengan
dx sesuai dv. Untuk lebih jelasnya kita ambil beberapa
Contoh Integral parsiil
x
2
. ln x dx 
Misa ln ya : u  ln x
1
dx
x
dv  x 2 dx
du 
v
x
2
ln x dx  u  v 

x 2 .dx 
1 3
x C
3
 vdu
1 3 1
1 x 
 ln x 
x 
x 
dx
3
x
3

1 3
1

x ln x 
x 2 dx

3
3
1 3
1 3

x ln x 
x C
3
9
Pertemuan ke duapuluhdua
latihan soal-soal
Integral parsiil
Latihan soal

x 2 e 3 x dx 

x 3 ln x dx 
x
cos 2 x dx
Pertemuan ke duapuluhtiga
Integral fungsi rasional
Integral fungsi rasional
Dalam menyelesaikan integral fungsi rasional
ada cara yang dapat digunakan agar
penyelesaian tersebut dapat dengan mudah kita
selesaikan.
Caranya adalah sebagai berikut : Bagian kiri
identik dengan bagian kanan, berarti koefisienkoefisien dari x yang berpangkat sama dari
kedua bagian tersebut harus sama.
CONTOH INTEGRAL FUNGSI RASIONAL

2x  1
dx 
3
x  7x  6
dalam hal ini x3 – 7x + 6 kita uraikan
dalam bentuk faktor :
x 3  7 x  6   x  1  x  2   x  3

2x  1
A
B
C
dx 


3
x  1 x  2 x  30
x  7x  6
 A  x  2 x  3  B  x  1 x  3  C  x  1 x  2
Maka persamaan menjadi :
2x  1
A
B
C
 x 3  7 x  6 dx   x  1 dx   x  2 dx   x  3 dx
3
1
1
4

dx  
dx   4 dx
x  1
x  2
x  3
3
dx
dx
1
dx

 1
 

x  2 4 x  3
4 x  1

3
1
ln x  1  ln x  2  ln  x  3  C
4
4
Pertemuan ke duapuluhempat
latihan soal-soal
Integral fungsi rasional
LATIHAN SOAL FUNGSI RASIONAL
 x
 x
2 x  5 dx
3
 6 x  11x  6
2


5 x  10 dx
3
 12 x  47 x  60
2


Pertemuan ke duapuluhlima
latihan soal-soal
campuran
Slatihan soal-soal campuran
1.f(x) = (x3 + 5) (2x + 1)
2. f(x) = (x2 – 1) + (3x2 +3x+7)
3. f(x) = (4x5 + 10) – (3x3 + 2x)
4. f(x) = (2x3+3x)5
Pertemuan ke duapuluenam
latihan soal-soal
campuran
Slatihan soal-soal campuran
1.f(x) = (x3 + 5) (2x + 1)
2. f(x) = (x2 – 1) + (3x2 +3x+7)
3. f(x) = (4x5 + 10) – (3x3 + 2x)
4. f(x) = (2x3+3x)5
Pertemuan ke duapuluhtujuh
latihan soal-soal campuran
Soal campuran
Pertemuan keduapuluhdelapan
ujian semester