Kelompok 7

LIMIT
Pengertian limit
LIMIT
Perhitungan limit
Limit fungsi aljabar
tak hingga
Limit Fungsi
Trigonometri
Fungsi Kontinu
Bilangan alam
1. Pengertian Limit
Limit menggambarkan seberapa jauh sebuah fungsi akan berkembang
apabila variabel di dalam fungsi yang bersangkutan terus menerus
berkembang mendekati suatu nilai tertentu.
Jika fungsi f(x) mendekati L manakala variabel x mendekati a (a dan L
keduanya konstanta), maka L disebut limit fungsi f(x) untuk x mendekati
a. Hubungan ini dilambangkan dengan notasi:
Notasi tersebut dibaca “limit fungsi f(x) untuk x mendekati a adalah L”.
Artinya jika variabel x berkembang secara terus menerus hinggga
m,endekati bilangan tertentu a, maka nilai fungsi f(x) pun akan
berkembang pula hingga mendekati L. Atau sebaliknya, fungsi f(x) dapat
dibuat mendewkati nilai tertentu yang diinginkan L dengan
mengembangkan variabel x sedemikian rupa hingga mendekati a.
Dua hal perlu diperhatikan dalam notasi atau pernyataan limit di atas.
Pertama, x →a harus dibaca serta ditafsirkan sebagai x mendekati a, dan
bukan berarti x=a.
Kedua, lim f(x)=L harus dibaca serta ditafsirkan bahwa L adalah limit
fungsi f(x), dan bukan berarti L adalah nilai fungi f(x).atau bukan berarti
2. Perhitungan limit
CONTOH
3. Limit fungsi aljabar tak hingga
1
lim ( ) =?
𝑥→∞ 𝑥
Limit diatas berarti ketika x mendekati tak terhingga, limit 1/x akan
mendekati berapa? Limit diatas berbentuk pecahan dnegan pembilang
pecahan adalah 1, sedangkan penyebutnya adalah (x) yang mendekati
tak hingga. Karena penyebut dari 1/x sangat besar, maka 1/x akan
1
sangat kecil yaitu menuju 0. Jadi, lim ( ) = 0.
𝑥
𝑥→∞
Secara umum,
1
lim (𝑎𝑥 𝑛 ) = 0, dengan n > 0 .
𝑥→∞
Ada dua bentuk tak tentu dalam limit tak hingga jika langsung
mensubsitusi x = ∞, yaitu :
Jadi, untuk menyelesaikan bentuk limit tak hingga cukup kita perhatikan
pangkat tertinggi pembilang dan penyebut. Jika pangkat tertinggi
pembilang lebih kecil daripada pangkat tertinggi penyebut, berarti
hasilnya ∞. Sedangkan jika pangkat tertinggi pembilang dan penyebut
sama, hasilnya pembagian koefisien pangkat tertinggi penyebut
Secara sistematis, penyelesaian limit berbentuk ∞/∞ adalah membagi
pembilang dan penyebut pecahan dengan peubah berpangkat paling
tinggi diantara pangkat tertinggi dari pembilang dan penyebut.
Untuk memahami bagaimana menyelesaikan limit yang berbentuk limit
𝑥 → [𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)] = ∞ − ∞.
Penyelesaian soal dengan tipe seperti diatas secara umum dapat
diselesaikan dengan cara berikut :
Contoh soal dan pembahasan :
4. Limit fungsi trigonometri
Contoh Soal
Tentukan hasil dari soal limit berikut
dentitas trigonometri berikut diperlukan
5. Fungsi Kontinu
Kadang-kadang nilai lim 𝑓(𝑥) sama dengan 𝑓(𝑐), kadang pula tidak
𝑥→𝑐
sama. Pada kenyataannya, meskipun 𝑓(𝑐) tidak terdefinisikan akan tetapi
lim 𝑓(𝑥) mungkin ada. Apabila lim 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑐) maka dikatakan fungsi 𝑓
𝑥→𝑐
𝑥→𝑐
kontinu di c.
Definisi Fungsi 𝑓 dikatakan kontinu di 𝑎 ∈ 𝐷𝑓 jika lim 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎).
𝑥→𝑎
Definisi di atas secara implisit mensyaratkan tiga hal agar fungsi 𝑓 kontinu di 𝑎,
yaitu:
(i). 𝑓(𝑎) ada atau terdefinisikan,
(ii). lim 𝑓(𝑥) ada, dan
𝑥→𝑎
(iii). lim 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎)
𝑥→𝑎
Pada gambar di atas, 𝑓 kontinu di 𝑥1 dan setiap titil di dalam (𝑎, 𝑏)
kecuali di titik-titik 𝑥2, , 𝑥3 , dan 𝑥4 . Fungsi 𝑓 diskontinu di 𝑥2 karena lim 𝑓(𝑥)
𝑥→2
tidak ada, diskontinu di 𝑥3 karena nilai lim 𝑓(𝑥) tidak sama dengan nilai fungsi
𝑥→3
di 𝑥3 (mesksipun keduanya ada), dan diskontinu di 𝑥4 karena nilai fungsi di titik
ini tidak ada.
Contoh
(a). Fungsi 𝑓 dengan rumus 𝑓(𝑥) =
𝑥 2 −1
𝑥−1
diskontinu di 𝑥 = 1 karena 𝑓(1) tidak
terdefinisi.
(b). Fungsi 𝐻𝑒𝑎𝑣𝑦𝑠𝑖𝑑𝑒 𝐻 yang didefinisikan oleh
0 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑥 < 0
𝐻(𝑥) = {
1 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑥 ≥ 0
Diskontinu di 𝑥 = 0 sebab lim 𝐻(𝑥) tidak ada.
𝑥→0
(c). Fungsi 𝑔 dengan definisi:
𝑥 2 −4
𝑔(𝑥) {
𝑥−2
1
𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑥 = 2
𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑥 ≠ 2
Diskontinu di 𝑥 = 2 sebab 𝑔(2) = 3 sedangkan lim 𝑔(𝑥) =
𝑥→2
lim (𝑥 + 2) = 4. Namun demikian fungsi 𝑔 kontinu di 𝑥 = 1 sebab lim 𝑔(𝑥) =
𝑥→2
𝑥→1
3 = 𝑔(1).
Berikut sifat-sifat dasar fungsi kontinu
Jika fungsi 𝑓 dan 𝑔 kontinu di 𝑎, dan 𝑘 sebarang konstanta real, maka
𝑓
𝑓 + 𝑔, 𝑓 − 𝑔, 𝑘𝑓, dan 𝑓𝑔 kontinu di a. demikian pula, kontinu di 𝑎 asalkan
𝑔
𝑔(𝑎) ≠ 0,
Seperti halnya pada hitung limit, dalam kekontinuan juga dikenal istilah
kontinu satu sisi. Hal itu dinerikan pada definisi berikut ini
(i). Fungsi 𝑓 dikatakan kontinu dari kiri di 𝑎 jika lim− = 𝑓(𝑎)
𝑥→𝑎
(ii). Fungsi 𝑓 dikatakan kontinu dari kanan di 𝑐 jika lim+ = 𝑓(𝑐)
𝑥→𝑐
Contoh
Diberikan 𝑓(𝑥) = √1 − 𝑥 2 . Selidikilah kekontinuan fungsi 𝑓.
Penyelesaian:
Jelas 𝑓 tidak kontinu pada (−∞, −1) dan pada (1, ∞) sebab 𝑓 tidak terdefinisi
pada interval tersebut. Untuk nilai-nilai 𝑎 dengan −1 < 𝑎 < 1 diperoleh:
lim 𝑓(𝑥) = lim √1 − 𝑥 2 = √ lim (1 − 𝑥 2 ) = √1 − 𝑎2 = 𝑓(𝑎)
𝑥→𝑎
𝑥→𝑎
𝑥→𝑎
Jadi, 𝑓 kontinu dari kanan di 𝑥 = −1 dan kontinu dari kiri di 𝑥 = 1. Jadi, 𝑓
kontinu pada [−1,1].
Fungsi polinomial, fungsi rasional, fungsi akar, fungsi logaritma, fungsi
eksponen, dan fungsi trigonometri kontinu pada domainnya masing-masing.
Contoh:
(a). 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 − 𝑥 + 1 kontinu pada 𝑅
(b). 𝑓(𝑥) =
𝑥 3 −5𝑥
𝑥 2 −1
kontinu pada {𝑥 ∈ 𝑅; 𝑥 ≠ 1, 𝑥 ≠ −1}
(c). 𝑓(𝑥) = √𝑥 − 1 kontinu pada [1, ∞)
Hubungan antara fungsi kontinu dan hitung limit dinyatakan dalam
teorema berikut
Jika 𝑓 kontinu di 𝑏 dan lim 𝑔(𝑥) = 𝑏, maka lim 𝑓(𝑔(𝑥)) = 𝑓(𝑏).
𝑥→𝑎
𝑥→𝑎
Dengan kata lain lim 𝑓(𝑔(𝑥)) = 𝑓 (lim 𝑔(𝑥))
𝑥→𝑎
𝑥→𝑎
Contoh:
Hitung lim ln(1 + 𝑥)
𝑥→1
Penyelesaian:
Namakan 𝑓(𝑥) = ln 𝑥 𝑑𝑎𝑛 𝑔(𝑥) = 1 + 𝑥. Karena lim 𝑔(𝑥) = 2 dan 𝑓 kontinu
𝑥→1
di 𝑥 = 2 maka lim ln(1 + 𝑥) = lim 𝑓(𝑔(𝑥)) = 𝑓 (lim 𝑔(𝑥)) =
𝑥→1
𝑥→1
𝑥→1
ln (lim 𝑔(𝑥)) = ln 2
𝑥→1
6. Bilangan Alam
Konstanta matematika e adalah basis dari logaritma natural.
Terkadang disebut juga bilangan Euler sebagai penghargaan atas ahli
matematika Swiss, Leonhard Euler, atau juga konstanta
Napier sebagai penghargaan atas ahli matematika Skotlandia, John
Napier yang merumuskan konsep logaritma untuk pertama kali.
Bilangan ini adalah salah satu bilangan yang terpenting dalam
matematika, sama pentingnya dengan 0, 1, i, dan π.
Cara Menemukan Konstanta Bilangan Alam E
Menurut Slamet HW dan Rita P. Khotimah (2010: 37) dalam bukunya
yang berjudul “Kalkulus 1”, bilangan alam (Natural Number) termasuk
bilangan irasional dan harganya 2,7182818284……. Dan dirumuskan:
1 𝑥
1
𝑒 = lim (1 + ) atau 𝑒 = lim(1 + 𝑥)𝑥
𝑥
𝑥→∞
𝑥→0
Nah sekarang bagaimana caranya supaya bisa
1
−1
1 𝑥
1 −𝑥
𝑒 = lim (1 + ) = lim (1 + 𝑥)𝑥 = lim (1 − ) = lim (1 − 𝑥) 𝑥
𝑥→∞
𝑥→0
𝑥→∞
𝑥→0
𝑥
𝑥
= 2,7182818184 … ?
1
Caranya adalah dengan mengexpansiskan (1+ )x dengan Binomial
𝑥
Newton, kemudian dicari nilai limitnya.
Binomial Newton dirumuskan sebagai berikut:
𝑛
𝑛
(𝑎 + 𝑏)𝑛 = ∑ ( ) 𝑎𝑘 𝑏 𝑛−𝑘
𝑘
𝑘=0
1
Untuk (1+ )x
1
𝑥
jika 𝑎 = , 𝑏 = 1 dan 𝑛 = 𝑥, maka dengan rumus Binomial Newton di
𝑥
atas dapat dijabarkan sebagai berikut:
Sesuai definisi di atas maka,
Jadi e = 2,7182818284…….
Contoh Suatu Soal Limit
Hitunglah:
𝑎 𝑥
a. lim (1 + )
𝑥
𝑥→∞
b. lim (
𝑥→0
𝑥 2 +3𝑥+6
𝑥
)
𝑥 2 +5𝑥+7
Jawab:
𝑎 𝑥
1
a. lim (1 + ) = lim (1 + 𝑥 )
𝑥
𝑥→∞
𝑥→∞
=
(
=
1
lim (1 + 𝑥 )
𝑥→∞
𝑎
𝑎
lim 𝑥×
𝑥
𝑥→∞
𝑒
𝑎
𝑥×
𝑥
𝑎
)
𝑎
𝑥
𝑥
lim 𝑎
= 𝑒 𝑥→∞
= 𝑒𝑎
𝑥 2 +3𝑥+6
𝑥
𝑥 2 +5𝑥+7−2𝑥−1
b. lim (
𝑥→0
) = lim (
𝑥 2 +5𝑥+7
= lim (1 −
𝑥→0
2𝑥 + 1
)
𝑥 2 + 5𝑥 + 7
= (lim (1 −
𝑥→0
=
=
=
𝑥 2 +5𝑥+7
𝑥
𝑥→0
2𝑥 + 1
𝑥 2 + 5𝑥 + 7
𝑥
)
2𝑥+1
𝑥×− 2
1
𝑥
+5𝑥+7
− 2𝑥+1
) 𝑥 2+5𝑥+7 )
2𝑥+1
lim 𝑥×− 2
𝑥
+5𝑥+7
𝑒
𝑥→0
2𝑥 2 +𝑥
lim − 2
𝑒 𝑥→0 𝑥 +5𝑥+7
1
2+
𝑥
−
𝑒 1+5/𝑥+7/𝑥 2
2
= 𝑒1
= 𝑒2
Maka dari kedua soal di atas dapat ditarik kesimpulan bahwa:
lim 𝑓(𝑥)×𝑔(𝑥)
lim (1 + 𝑓(𝑥))𝑔(𝑥) = 𝑒 𝑥→∞
𝑥→∞
Bukti:
lim (1 + 𝑓(𝑥))
𝑥→∞
𝑔(𝑥)
= ( lim (1 +
𝑥→∞
𝑓(𝑥)×𝑔(𝑥)
1
𝑓(𝑥))𝑓(𝑥) )
lim 𝑓(𝑥)×𝑔(𝑥)
= 𝑒 𝑥→∞
Contoh di atas:
lim 𝑎
= 𝑒 𝑥→∞
= 𝑒𝑎
𝑎
𝑎 𝑥
lim ×𝑥
lim (1 + ) = 𝑒 𝑥→∞𝑥
𝑥→∞
𝑥