Turunan Fungsi Parameter

SISTEM BILANGAN REAL
Pada himpunan bilangan
real berlaku sifat
trikotomi, sehingga tiap
dua bilangan real
senantiasa dapat
dibandingkan.
Operasi pada himpunan
bilangan real
mempertahankan sifat
urutan.
Warning:
Jika a<b dan c<d maka
tidak benar bahwa ac<b-d
Jika x adalah anggota himpuan
bilangan real, maka |x| 0.
Perkalian mempertahankan sifat nil;ai
mutlak.
Pada nilai mutlak berlaku sifat
ketaksamaan segitiga.
Jika a adalah bilangan real positif,
maka
|x|<a jika dan hanya jika
-a<x<a
|x|>a jika dan hanya jika
x<-a atau x>a.
Pada notasi
|x-a| <  |f(x)-L|<,
nilai =() adalah nilai delta terbesar
yang diperbolehkan agar implikasi itu
menjadi benar.
Jika x dan y adalah bilangan real
maka
|x| <|y| jika dan hanya jika x2<y2.
GRAFIK FUNGSI
Grafik suatu persamaan
adalah himpunan titik yang
pasangan koordinatnya
mengakibatkan persamaan
kurva itu menjadi kesamaan.
Jika dua grafik mempunyai
titik sekutu maka kedua grafik
itu dikatakan berpotongan.
Jika suatu persamaan
memuat hanya satu peubah
maka grafik persamaan itu
berupa titik. Jika suatu
persamaan memuat lebih
dari satu persamaan, maka
grafik persamaan itu berupa
kurva atau permukaan.
Fungi f dari A ke B adalah relasi khusus
yang memasangkan tiap-tiap anggota A
dengan tepat satu anggota B. Himpunan A
selajutnya disebut sebagai daerah asal
dan himpunan B disebut daerah kawan.
Himpunan semua anggota B yang
merupakan peta atau bayangan dari
unsur A disebut himpunan nilai fungsi f
dan disebut jelajah fungsi f.
Jika fungsi f memetakan sebagian saja
anggota A ke himpunan B maka daerah
asal dari f dikatakan daerah asal alamiah.
Pada notasi y=f(x), x dikatakan peubah
bebas dan y dikatakan peubah terikat.
Jika pasangan koordinat (x,f(x)) digambar
pada bidang XY maka kita peroleh grafik
fungsi y=f(x).
Ciri khas dari suatu grafik fungsi y=f(x)
adalah, jika kita menggambar garis sejajar
sumbu Y dan garis itu memotong grafik
fungsi y=f(x) maka titik potongnya tunggal.
FUNGSI TRIGONOMETRI
DAERAH ASAL FUNGSI
Pada pengoperasian suatu
fungsi, yang dioperasikan
adalah nilai-nilai fungsi di
titik yang sama. Oleh
karena itu jika h=f*g, maka
daerah asal h adalah irisan
dari daerah asak f dan g.
Jika fungsi f memetakan x
ke f(x) kemudian fungsi g
memetakan f(x) ke g(f(x))
maka terbentuk fungsi baru
h yang disebut komposisi g
dengan f dan ditulis gf.
Jadi h(x)= (gf)(x)=g(f(x)).
Daerah asal dari gf adalah
himpunan {xDf| f(x) Dg}.
Pada suatu lingkaran satuan, jika
P(x,y) adalah titik pada lingkaran
yang ditentukan oleh sudut t, maka
y=sin t dan x=cos t. Fungsi-fungsi ini
disebut fungsi trigonometri.
Sifat dasar Fungsi Trigonometri:
-1sin t 1 dan -1cos t 1 untuk
semua bilangan real t
Fungsi trigonometri bersifat periodik.
Pada suatu lingkaran yang berjarijari r, panjang busur yang
menghadap sudut t radian adalah
s=rt.
PENGERTIAN LIMIT
Secara intuisi notasi
limxcf(x)=L mempunyai
arti bahwa jika x cukup
dekat ke c tetapi berbeda
dengan c maka f(x) sangat
dekat ke L.
Secara serupa, notasi
limxc- f(x)=L mempunyai
arti bahwa jika x dekat ke c
dari kiri c maka f(x) dekat ke
L. Limit ini dikatakan
sebagai limit kiri dari f di c.
Fungsi f mempunyai limit di
c jika dan hanya jika limit
kiri dan limit kanannya di c
sama.
Limit fungsi f di titik c ditulis
limxcf(x)=L, mempunyai arti jika
diberikan >0 berapapaun kecilnya,
senantiasa ditemukan >0 yang
memenuhi
0<|x-c|<  |f(x)-L|<.
Notasi 0<|x-c| menegaskan bahwa
tidak dipermasalah nilai fungsi f di x=c,
dan |x-c|< menegaskan bahwa yang
diperhatikan hanya untuk x yang sangat
dekat dengan c.
Dari definisi ini juga dapat ditangkap
bahwa jika ada bilangan  > 0 sedemikian
untuk setiap > 0 ada x sedemikian
0<|x-c|<
tetapi |f(x)-L|   maka dikatakan L bukan
limit dari f di x=c.
Jika fungsi f mempunyai
limit di x=c maka limitnya
tunggal. Dari pernyataan
ini dapat disimak kembali
bahwa, jika dengan
pendekatan yang berbeda
terhadap c nilai fingsi f
menuju ke dua nilai yang
berbeda, maka fungsi f
dikatakan tidak
mempunyai limit di c.
Jika nilai fungsi f menuju
L jika x menuju c dari
kanan c maka dikatakan
L adalah limit kanan dari f
di c. Secara persis
dikatakan bahwa
limxc+ f(x)=L jika untuk
setiap  > 0 ada 
sedemikian hingga
0<x-c<   |f(x)-L|<.
Jika f dan g adalah dua fungsi
yang masing-masing
mempunyai limit di c dan 
dan  adalah bilangan real
mak
1. limxc (f(x)+ g(x)=  limxc
f(x) +  limxc g(x).
2. limxcf(x)g(x)= limxcf(x)
limxc g(x).
Fungsi polinom mempunyai limit
di setiap bilangan real c.
Jika h adalah suatu fungsi
sedemikian hingga fhg dan
limxc f(x) = limxc g(x) =L
maka limxc f(x) =L.
Warning:
Ada fungsi f dan g yang masingmasing tidak mempunyai limit
di c tetapi
jumlahnya mempunyai limit di c
hasil kalinya mempunyai limit di c.
TURUNAN
TURUNAN
Konsep turunan banyak digunakan untuk menyelesaikan
masalah geometri, mekanika, ekonomi dan berbagai masalah
nyata lainnya. Secara geometri, konsep ini mempunyai
tafsiran gradien garis singgung kurva di suatu titik.
Sedangkan dalam mekanika, konsep turunan mempunyai
tafsiran sebagai laju perubahan atau kecepatan. Situasi dari
berbagai masalah tentang laju gerak partikel pada suatu saat
dan laju pertumbuhan atau laju peluruhan juga dapat
dijelaskan dengan baik oleh konsep ini. Pada ekonomi
konsep turunan dipergunakan untuk memperhitungkan rugi
atau laba
Turunan Pertama Di Suatu Titik
CONTOH
Suatu partikel bergerak
sepanjang garis lurus
(dikenal dengan gerak
rektilinier). Untuk
mudahnya, kita
misalkan sumbu X
sebagai arah gerak
partikel dan sumbu Y
sebagai posisi pada
saat t satuan waktu
yang ditentukan oleh y
= f (t). Diasumsikan y
kontinu untuk
sebarang t ≥ 0.
Grafik fungsi y dapat
dilihat pada gambar di
disamping:
•Masalahnya, bagaimana
menentukan kecepatan
partikel pada saat t = t0?
Kecepatan rata-rata partikel,
ditulis vrata-rata, pada
selang waktu [t0, t]
ditentukan sebagai laju
perubahan jarak terhadap
perubahan waktu, yaitu
Kecepatan sesaat pada t =
t0? , ditulis v (t0) ,
ditentukan sebagai limit dari
kecepatan rata-ratanya pada
selang waktu sebarang
yang cukup kecil (misalnya
[t0, t]) , yaitu
f t   f t0 
vratarata 
t  t0
•Definisi 1 Misalkan
fungsi f terdefinisi
pada selang buka I
dan a  I. Turunan
pertama f di a, ditulis
f’ (a) , didefinisikan
sebagai
f ' a   lim
x a
f x   f a 
xa
Bila limitnya ada
Jika fungsi f
mempunyai turunan di
a, kita katakan bahwa f
terdeferensial di a.
Situasi dari f’ (a)
diperlihatkan pada
gambar berikut
Dengan menuliskan x
= a + h, atau h = x - a
jika x menuju a maka
h akan menuju 0,
sehingga turunan
pertama f di a, dapat
juga dituliskan sebagai
f ' a   lim
h 0
f a  h   f a 
h
Bila limitnya ada
Secara geometri, f’ (a)
diartikan sebagai gradien
garis singgung kurva di a
yang tidak sejajar dengan
sumbu Y.
TURUNAN SEPIHAK
•Definisi 2 Misalkan fungsi f terdefinisi pada selang (c, a].
Turunan kiri f di a, ditulis f’ (a) , didefinisikan sebagai
f ' _ a   lim
x a
f  x   f a 
f a  h   f a 
 lim
h0
xa
h
asalkan limitnya ada
•Teorema 1 Jika fungsi f terdefinisi pada selang buka I, dan a  I, maka f’ (a) ada
jika dan hanya jika f’_ (a) dan f + (a) keduanya ada dan sama.
Dengan kata lain f’ (a) ada jika dan hanya jika f’_ (a) = f’ + (a) = f’ (a).
2 x  1, x  3
Contoh :Misalkan g (x) = 
 x  8, x  3
Apakah fungsi g terdeferensialkan di
3?
Penyelesaian Perhatikan
g  _ 3  lim
x3
g x   g 3
2x 1  5
2x  3
 lim
 lim
2
x

3
x

3
x 3
x 3
x 3
Hubungan Kekontinuan
Dan Turunan
•Teorema 2 Misalkan fungsi f
terdefinisi pada selang buka I
dan a  I. Jika f’ (a) ada, maka
fungsi f kontinu di a.
Sedangkan g/ + (3) =
lim
x3
g x   g 3
2x 1  5
2x  3
 lim
 lim
2
x

3
x

3
x 3
x 3
x3
Karena g/_ (3) = 2 dan g/ + (3) = -1,
berarti g/_ (3) ≠ g/ + (3) sehingga g/
(3) tidak ada.
Contoh : Perhatikan bahwa fungsi f
(x) = |x| kontinu di 0 (buktikan!).
Tetapi f’ (0) = -1 dan f’ (0) = 1
(buktikan). Karena f’_ (0) ≠ f’ +. (0) ,
maka f’ (0) tidak ada
•Definisi 3 Misalkan fungsi f
didefinisikan pada selang
buka I. Fungsi turunan dari
fungsi f adalah suatu fungsi
yang terdefinisi pada I0  I
dan nilainya ditentukan oleh
f t   f x 
f x  h   f x 
f ' x   lim
 lim
tx
h0
tx
h
Lambang lain untuk menuliskan turunan fungsi f pada
sebarang titik x adalah
dy
Dxf (x) , d dyf (x) , y/, y/ (x) ,
, Dxy
d
dx
dx dx
dx
Lambang d f (x) , dy dikenal sebagai notasi Leibniz
dx
dx
Turunan Pada Suatu Selang
Definisi 4 Fungsi f dikatakan mempunyai turunan pada
selang buka I jika f’ (x) ada untuk semua x  I. Jika I = [a,
b] maka fungsi f mempunyai turunan di I jika f’ (x) ada
untuk semua x  (a,b) dan f / + (a) serta f /_ (b) ada
Contoh 8 Tentukan turunan fungsi f /jika f (x) =
•
Kasus x > 0, f’ (x) =
lim
•
Kasus x = 0, f’ (0) =
lim
tx
x 0
f t   f  x 
 lim
tx
tx
f
 x  f 0 
x0
3x
, x ≥ 0.
3t  3 x
3

tx
2 3x
 lim
x 0
3x 
x
0


•
•
•
Jadi f’ (0) tidak ada.
Dengan demikian fungsi f mempunyai turunan hanya untuk x > 0
3
dengan fungsi turunan adalah f’ (x) =
2 3x
•
•
Sedangkan jika x = 0 maka f’ (0). Dengan notasi matematis pernyataan
3
ini dapat disajikan secara lengkap sebagai f’ (x) =
2 3x
•
, x > 0 jika f (x) = 3x.
Fungsi Turunan Pertama
Pada Suatu Selang
Definisi 5 Misalkann fungsi f
terdefinisi pada selang buka I.
Fungsi turunan pertama
dari f adalah suatu fungsi yang
terdefinisi pada Io C I dan
nilainya ditentukan oleh
f x  h   f x 
f '  x   lim
h 0
h
jika limitnya ada
Fungsi Turunan Pada
Suatu Selang
•Definisi 6 Fungsi f
dikatakan mempunyai
turunan pada selang buka
I, jika f’ (x) ada, untuk
semua x  I. Dalam hal I
= (a, b], f’ (a) berarti f +
(a) dan f’ (b) diartikan
sebagai f’_ (b).
Aturan Pencarian Turunan
• Teorema 3
– Dx (sinx) = cosx
– Dx (cos x) = -sin x
– Dx (tan x) = sec x
– Dx (cot x) = - csc x ,
– Dx (sec x) = sec xtan x
– Dx (csc x) = - csc x cot x
• Teorema 4
Jika f (x) = k, dengan k
suatu konstanta, maka
untuk semua bilangan
real x, berlaku f’ (x) = 0.
Teorema 5
Jika f (x) = x, maka f’ (x) = 1.
Teorema 6
Jika f (x) = axn, n bilanganbilangan bulat positif, maka
f’ (x) = anxn-1.
Teorema 7
Jika k: suatu konstanta dan f
suatu fungsi yang dapat
dideferensialkan, maka (k f) '
(x) = k. f’ (x).
• Teorema 8
• Jika f dan g fungsi-fungsi yang
dapat didiferensialkan, maka
(a f + βg) ' (x) = a f’ (x) + βg'
(x).
• Teorema 9
• Jika f dan g fungsi-fungsi yang
dapat didiferensialkan, maka
(f – g) ' (x) = f’ (x) – g' (x).
• Teorema 10
• Jika f dan g fungsi-fungsi yang
dapat didiferensialkan, maka
(f.g) ' (x) = f (x).g' (x) + g (x).f’ (x).
• Teorema 11
• Jika f dan g fungsi-fungsi yang
terdeferensialkan dan g (x) ≠ 0,
maka
f
g x . f ' x   f x .g ' x 
  x  
2
x 
g
g
 
/
Teorema 12
Jika f (x) = sin x dan g (x) = cos
x, maka f’ (x) = cos x dan g ‘(x)
= - sin x.
Aturan Rantai dalam Notasi Leibniz
• Aturan Rantai dalam notasi
Leibniz, adalah sebagai berikut
dy
dy du

dx
du dx
Jika y = f (u) , u = g (v) , v = h
(w) dan w = p (x) , maka
notasi Leibniz dari Aturan
Rantai ini adalah:
dy
dy du dv dw

dx
du dw dw dx
Turunan Fungsi invers
• Teorema 14 Misalkan fungsi
f : I → f (I)  R, y = f (x)
kontinu dam monoton naik
(turun) pada selang I dan
inversnya adalah fungsi f -1 :
f (1) → 1, x = f -1 (y). Jika y'
= f (x) ada pada selang I dan
f (x) ≠ 0, maka fungsi f -1
mempunyai turunan pada f
(I) yang juga kontinu dan
monoton naik (turun) pada f
(I) dengan
1
-1
(f (y)) =
atau
f ' x 
dx
1

dy
dy
dx
Aturan Rantai dalam Notasi Leibniz
Turunan Fungsi Parameter
Andaikan bahwa y = f (u) dan u =
g (x). Aturan Rantai dalam notasi
Leibniz, adalah sebagai berikut
Aturan Rantai dalam notasi
Leibniz, adalah sebagai berikut
dy
dy du

dx
du dx
Jika y = f (u) , u = g (v) , v = h (w)
dan w = p (x) , maka notasi Leibniz
dari Aturan Rantai ini adalah:
dy
dy du dv dw

dx
du dw dw dx
 x  f t 
Teorema 16 Misalkan 
,t  D  R


 y  g t 
menyatakan y sebagai fungsi implisit
dari x.
Jika fungsi x = f (t) dan y = g (t)
mempunyai turunan terhadap t, maka
fungsi y mempunyai turunan terhadap
x dengan
dy
dy
dx ≠ 0, t  D
y' 
 dt ,
dx dt
dx
dt
Turunan Fungsi
Transenden
Turunan Fungsi LOgaritma
d x
(e ) = ex
dx
d
ln x   1
dx
x
d a
1 1
log x 
dx
ln a x

Turunan
Tingkat
Tinggi

d x
(a ) = axln a
dx
secara umum, fungsi turunan ke-n dari fungsi f ditulis dengan
lambang f (n) dan didefinisikan sebagai fungsi turunan f (n-1) ,
dan untuk n = 1, f (o) = f.
Lambang lain untuk nilai f (n) (x) adalah
dny
dn
n
D y, n , Dx f x atau n f x 
dx
dx
x
n
PENGUNAAN TURUNAN
Maksimum
dan
Minimum
Definisi 7 Jika A daerah asal f yang memuat c, maka:
1. f (c) merupakan nilai maksimum f pada A jika f (c) ≥ f (:e)
untuk semua x  A.
2. f (c) merupakan nilai minimum f pada A jika f (c) < f (x)
untuk semua x  A.
3. f (c) merupakan nilai ekstrim f pada A jika f (c) merupakan
nilai maksimum atau merupakan nilai minimum.
Jika f (c) merupakan nilai ekstrim f, maka dikatakan f mencapai
ekstrim di x = c.
Definisi 8 Misalkan f terdefinisi pada selang I yang memuat c.
jika f ' (c) = 0, (c, f (c)) disebut titik stasioner,
jika f ' (c) tidak ada, (c, f (c)) disebut titik singular.
Kemungkinan Letak Nilai Ekstrim
Nilai ekstrim mungkin terjadi pada titik
stasioner (Gambar (a)) atau pada titik
singular (Gambar (b)) atau pada titik
ujung (Gambar (c)).
Teorema 18 (teorema titik
kritis). Misalkan f terdefinisi
pada selang I yang memuat
c. Jika f (c) nilai ekstrim,
maka (c, f (c)) titik kritis,
yaitu (c, f (c)) merupakan
1. titik stationer f atau
2. titik singular f atau
Definisi 9 Titik-titik pada domain
fungsi f yang merupakan titik
stasiorler, titik singular atau titik
ujung f, disebut titik kritis f.
3. titik ujung I.
Definisi 10 Misalkan f ngsi f terdefinisi pada selang I.
Fungsi f disebut naik pada I jika untuk setiap pasang bilangan x1,
x2  I dan x1 < x2 berlaku f (x1) < f (x2).
Fungsi f disebut turun pada I jika untuk setiap pasang bilangan x1,
x2  I dan x1 < x2 berlaku f (x1) > f (x2).
Fungsi f disebut monoton murni pada I jka f naik atau turun pada
1.
Contoh 39 Fungsi f dengan domain D [0, 2] didefinisikan sebagai

x  1
f x   

 x  2
Kemonotonan
dan
Kecekungan
0  x 1
1 x  2
Teorema 19 (Teorema Kemonotonan) Misalkan f kontinu pada
selang [a, b] dan terdeferensialkan pada (a, b).
1. Jika f’ (x) > 0 untuk semua x  (a, b) , maka f
naik pada [a, b].
2. Jika f’ (x) < 0 untuk semua x  (a, b) , maka f
turun pada [a, b].
Definisi 11 Misalkan f diferensiabel pada selang buka I = (a,
b). Fungsi f dikatakan cekung ke atas pada I jika f’ naik pada
I dan dikatakan cekung ke bawah pada I jika f’ turun pada I.
Definisi 13 Misalkan S memuat
titik c, dikatakan bahwa:
1. f (c) nilai maksimum relatif f
pada S jika terdapat selang
(a, b) yang memuat c
sedemikian sehingga f (c)
adalah nilai maksimum f
pada (a, b)  S.
2. f (c) nilai minimum relatif f
pada S jika terdapat selang
(a, b) yang memuat c
sedemikian sehingga f (c)
adalah nilai minimum f
pada (a, b)  S
3. f (c) nilai ekstrim relatif f
pada jika f (c) nilai
maksimum relatif atau
minimum relatif.
Teorema 21 Uji
Turunan Pertama
untuk Ekstrim
Relatif Misalkan f
kontinu pada selang
buka (a, b) dan c 
(a, b) I
1. Jika f’ (x) > 0 untuk
semua x  (a, c) dan
f’ (x) < 0 untuk semua
x  (c, b) maka f (c)
adalah nilai
maksimum relatif f
pada (a, b).
2. Jika f’ (c) < 0 untuk
semua x  (a, c) dan
f’ (x) > 0 untuk semua
x  (c, b) maka f (c)
adalah nilai minimum
relatif f pada (a, b).
3. Jika f (x) bertanda
sama pada kedua
pihak c, maka f (c)
bukan nilai ekstrim
relatif f.
Teorema 20 (Teorema Kecekungan)
Misalkan f terdiferensialkan dua kali pada
(a, b).
1. Jika f" (x) > 0 untuk semua x
E (a, b) , maka f cekung ke
atas pada (a, b).
2. Jika f" (x) < 0 untuk semua x
E (a, b) , maka f cekung ke
bawah pada (a, b).
Maksimum dan Minimum Lokal
Definisi 13
Misalkan S memuat titik c,
dikatakan bahwa:
1. f (c) nilai maksimum
relatif f pada S jika
terdapat selang (a, b)
yang memuat c
sedemikian sehingga f (c)
adalah nilai maksimum f
pada (a, b)  S.
2. f (c) nilai minimum
relatif f pada S jika
terdapat selang (a, b)
yang memuat c
sedemikian sehingga f (c)
adalah nilai minimum f
pada (a, b)  S
3. f (c) nilai ekstrim relatif f
pada jika f (c) nilai
maksimum relatif atau
minimum relatif.
Teorema 21 Uji Turunan
Pertama untuk Ekstrim
Relatif Misalkan f kontinu
pada selang buka (a, b)
dan c  (a, b) I
Jika f’ (x) > 0 untuk semua x 
(a, c) dan f’ (x) < 0 untuk
semua x  (c, b) maka f (c)
adalah nilai maksimum
relatif f pada (a, b).
2. Jika f’ (c) < 0 untuk semua x
 (a, c) dan f’ (x) > 0 untuk
semua x  (c, b) maka f (c)
adalah nilai minimum relatif
f pada (a, b).
3. Jika f (x) bertanda sama
pada kedua pihak c, maka f
(c) bukan nilai ekstrim
relatif f.
Tempat-Tempat Terjadinya Nilai Ekstrim Relatif
Penggambaran Grafik Canggih
Langkah-langkah penggambaran grafik :
1. Buat analisis pendahuluan yang meliputi.
2. Periksa daerah asal dan daerah nilai fungsi untuk
melihat apakah ada daerah di bidang yang
dikecualikan.
3. Periksa keistimewaan terhadap sumbu y dan titik
asal (apakah fungsi ganjil, genap, fungsi periodik
atau keistimewaan lain jika ada).
4. Tentukan titik potong dengan sumbu-sumbu koordinat.
5. Gunakan turunan pertama untuk mencari titik-titik kritis dan untuk
mengetahui tempat-tempat grafik naik dan turun.
6. Uji titik-titik kritis itu untuk menentukan jenisnya (mak/min).
7. Gunakan turunan kedua untuk mengetahui kecekungan grafik
sehingga titik balik dapat dilokalisir.
8. Tentukan garis asimptutnya.
9. Gambarkan semua titik kritis dan titik balik serta
beberapa titik pembantu.
10. Hubungkan semua titik-titik itu sehingga diperoleh
sketsa grafiknya.