BAB V Matematika II

BAB V
TURUNAN
1. Menentukan Laju Perubahan Nilai Fungsi
2. Menggunakan Aturan Turunan Fungsi Aljabar
3. Menggunakan Rumus Turunan Fungsi Aljabar
4. Menentukan Persamaan Garis Singgung Kurva
5. Fungsi Naik dan Fungsi Turun
6. Turunan kedua suatu fungsi
7. Menentukan Titik Stationer dan Jenisnya
8. Menggambar Grafik Fungsi
137
LEMBAR KERJA SISWA 1
Mata Pelajaran
: Matematika
Uraian Materi Pokok
: Menentukan Laju Perubahan Nilai Fungsi
Standar kompetensi
: Menggunakan Konsep Limit Fungsi Dan Turunan
Dalam Pemecahan Masalah
Kelas / Semester
: XI IPS / II
Waktu
: 2 x 45 menit
RINGKASAN MATERI
Laju perubahan nilai fungsi pada titik x = a adalah f’(a)
f a  h   f a 
h
f ' a   lim
h 0
Laju perubahan nilai fungsi terhadap variabel bebasnya adalah f’(x)
f x  h   f x 
h
f '  x   lim
h 0
Contoh-contoh
1. Tentukan laju perubahan nilai fungsi f (x) = x2 + 3 pada x = 2
Jawab :
f ' 2  lim
h 0
 lim
h 0
 lim
h 0
 lim
h 0
 lim
h 0
f 2  h   f 2
h
2  h 2  3  2 2  3
h
2
4  4h  h  3  4  3
h
2
4h  h
h
4h

 

f ' 2  4
2. Tentukan laju perubahan nilai fungsi f (x) = 4x + 5 pada x = 5.
Jawab :
138
f 5  h   f 5
h
45  h   5  4.5  5
 lim
h 0
h
f ' 5  lim
h 0
20  4h  5  25
h
4h
 lim
h 0 h
f ' 5  4
 lim
h 0
3. Tentukan laju perubahan fungsi f (x) = 4x2 + 2
Jawab :
f ' x   lim
h 0
 lim
h 0
 lim
h 0
 lim
h 0
 lim
h 0
f x  h   f x 
h
2
4 x  h   2  4 x  2
h
2
4 x  8hx  4h 2  2  4 x 2  2
h
2
8hx  4h
h
8x  h


f ' x   8 x
Latihan 1
1. Tentukan laju perubahan nilai limit pada x = a. jika diketahui fungsinya :
a. f (x) = 3x
,pada x = 3
b. f (x) = 5x – 3 ,pada x = 5
c. f (x) = 4 – 2x ,pada x = 5
d. f (x) = 4x2
,pada x = 3
139
Jawab :
a. f (x) = 3x
f 3  h   f 3
h 0
h
33  h   .........
 lim
h 0
h
9  .........  .........
 lim
h 0
h
.........
 lim
h 0
h
f ' 3  .........
f ' 3  lim
b. f (x) = 5x – 3
f ' 5  lim ..................
h 0




c. f (x) = 4 - 2x
f ' 5  lim ...............
h 0




d. f (x) = 4x2
f ' 3  lim ..................
h 0




140
2. Tentukan turunan dari fungsi f (x) berikut ini dengan menggunakan aturan
f x  h   f x 
h
f '  x   lim
h 0
a. f (x) = x
b. f (x) = 5x
c. f (x) = x2 – 5
d. f (x) = 4x2 – 3
Jawab :
a. f (x) = x
f ' x   lim ..................
h 0




b. f (x) = 5x
f ' x   lim ..................
h 0




c. f (x) = x2 – 5
f ' x   lim ..................
h 0




d. f (x) = 4x2 – 3
f ' x   lim ..................
h 0




141
LEMBAR KERJA SISWA 2
Mata Pelajaran
: Matematika
Uraian Materi Pokok : Menggunakan Aturan Turunan Fungsi Aljabar
Standar kompetensi : Menggunakan konsep limit fungsi dan turunan dalam
pemecahan masalah
Kelas / Semester
: XI IPS / II
Waktu
: 2 x 45 menit
RINGKASAN MATERI
I. Dengan menggunakan aturan turunan fungsi f yaitu f '  x   lim
h 0
f x  h   f x 
h
didapat rumus-rumus/aturan.
Turunan fungsi aljabar :
1. f (x) = k
maka f’(x) = 0
2. f (x) = ak
maka f’(x) = a
3. f (x) = xn
maka f’(x) = nxn-1
4. f (x) = axn
maka f’(x) = anxn-1
5. f (x) = (f + g) (x)
maka f’(x) = f’(x) + g’(x)
6. f (x) = (f – g) (x)
maka f’(x) = f’(x) – g’(x)
7. f (x) = k f (x)
maka f’(x) = k f’(x)
II. Dengan menggunakan aturan turunan fungsi f yaitu f '  x   lim
h 0
Jika f(x) adalah fungsi trigonometri maka diperoleh rumus :
1. f(x) = sin x
maka f ‘(x) = cos x
2. f(x) = cos x
maka f ‘(x) = - sin x
Contoh :
Tentukan turunan dari fungsi-fungsi berikut ini :
1. f (x) = 12
2. f (x) = x
3. f (x) = 7x
4. f (x) = x5
142
f x  h   f x 
h
5. f (x) = 10x2
6. f (x) = 10x + 12x2
7. f (x) = 5 (x2 + 7x)
8. f(x) = - sin x
9. f(x) = - cos x
10. f(x) = sin x – cos x
Jawab :
1. f’(x) = 0
2. f’(x) = 1
3. f’(x) = 7x1-1 = 7x0 = 7
4. f’(x) = 5x5-1 = 5x4
5. f’(x) = 10.2x2-1 = 20x
6. f’(x) = 10x1-1 + 12.2x2-1
= 10x0 + 24x
= 10 + 24x
7. f’(x) = 5 (2x + 7)
= 10x + 35
8. f ‘(x) = - cos x
9. f ‘(x) = - (-sinx) = sin x
10. f ‘(x) = cos x – (-sin x) = cosx + sin x
Latihan 2
Tentukan turunan fungsi berikut :
1. f (x) = x3 – 3x2 + 10
2. f (x) = 5 – 12x + 15x2 – 6x3
3. f (x) = (12x5 + 14x) + (4x5 – 16x3)
4. f (x) = 10 (x4 – 15)
5. f (x) = 2 (x3 + 10x – 2)
6. f(x) = 2 sin x
7. f(x) = 3 sin x – 2 cos x
8. f(x) = 6x2+ 4x – sin x
143
LEMBAR KERJA SISWA 3
Mata Pelajaran
: Matematika
Uraian Materi Pokok
: Menggunakan rumus turunan fungsi aljabar dan
trigonometri
Standar kompetensi
: Menggunakan konsep limit fungsi lanjutan
dan dan turunan dalam pemecahan masalah
Kelas / Semester
: XI IPS / II
Waktu
: 2 x 45 menit
RINGKASAN MATERI
1. Turunan Perkalian Dua Fungsi :
y = U . V maka y’ = U V’ + V U’
2. Turunan Pembagian Dua Fungsi :
y
U
VU 'UV '
maka y ' 
V
V2
3. Turunan Perpangkatan Fungsi :
Y = Un maka y’ = nUn-1 . U’
Contoh :
Tentukan turunan fungsi aljabar dan fungsi trigonometri berikut ini :
1. f (x) = (3x + 5) (7x – 2)
f’(x) = (3x + 5) (7) + (7x – 2) (3)
= 21x + 35 + 21x – 6
= 42x + 29
2.
f x  
5x  2
7x  3
7 x  35  5 x  27 
7 x  32
35 x  15  35 x  14

7 x  32
f ' x  

29
7 x  32
144
3.
f x  
10 x  5
x 2  6x
x
f ' x  


2

 6 x 10   10 x  52 x  6 
x
2
 6x

x

2
10 x 2  60 x  20 x 2  60 x  10 x  30
2
 6x

2
 10 x 2  10 x  30
x
2
 6x

2
4. f (x) = (4x – 5)3
f’(x) = 3 (4x – 5)2 (4)
= 12 (4x – 5)2
5.
f x   5.x 3 x  f x   5 x
f ' x   5.3 12 x
 17 12 x
3 12
2 12
2 12
 17 12 x 2 x
6. f(x) = cos x .sin x
misal u = cos x
v = sin x
u’ = …..
v ‘ = …..
f ‘(x) = u’ v + v ‘u
= …………..
= ………….
7. f(x) = tan x
tan x = sin x / cos x
misal u = sin x
u ‘ = …….
V = cos x
v ‘ = …….
f(x) 
U
VU'  UV'
maka f ' (x) 
V
V2
f ‘(x) = ………..
145

Latihan 3
Tentukan turunan dari fungsi-fungsi berikut :
1. f (x) = (2x + 3) (3x2 – 4)
2. f (x) = (x3 + 2x2 – 3) (x2 + 5)
3. f' x  
x 2  3x
2x  7
x 2  3x
4. f' x  
3x  2
5. f (x) = (2x – 3)4
6. f (x) = (6 – 5x – 3x2)4
7. f(x) = sin3 x
8. f(x) = sin 2x
9. f(x) = cos 2x
10. f x  
1  cos x
1  cos x
Jawab :
1. f (x) = (2x + 3) (3x2 – 4)
f’(x) = (2x + 3) (6x) + (3x2 – 4) (2)
= …………
= …………
= …………
2. f (x) = (x3 + 2x2 – 3) (x2 + 5)
f’(x) = …………
= …………
= …………
= …………
3.
f x  
5x  3
2x  7
f’(x) = …………
= …………
= …………
= …………
146
4.
f x  
x 2  3x
3x  2
f’(x) = …………
= …………
= …………
= …………
5. f (x) = (2x – 3)4
f’(x) = …………
= …………
= …………
= …………
6. f (x) = (6 – 5x – 3x2)4
f’(x) = …………
= …………
= …………
= …………
7. f(x) = sin3 x
f ‘(x) = ……..
= …….
8. f(x) = sin 2x = ……..
( rumus sudut rangkap)
u = ……..
u ‘ = ……..
v = ……...
v ‘ = ……..
f ‘(x) = u ‘v + v ‘ u
= ………………
9. f(x) = cos 2x = ………..
( rumus sudut rangkap )
u = ……..
u ‘ = ……..
v = ……...
v ‘ = ……..
f ‘(x) = u ‘v + v ‘ u
= ………………
147
10. f x  
1  cos x
1  cos x
u = ……..
u ‘ = ……..
v = ……...
v ‘ = ……..
f(x) 
U
VU'  UV'
maka f ' (x) 
V
V2
f ‘(x) = ……………
= ………………
148
LEMBAR KERJA SISWA 4
Mata Pelajaran
: Matematika
Uraian Materi Pokok : Menentukan Persamaan Garis Singgung Kurva
Standar kompetensi : Menggunakan konsep limit fungsi dan turunan dalam
pemecahan masalah
Kelas / Semester
: XI IPS / II
Waktu
: 2 x 45 menit
RINGKASAN MATERI
Gradien garis singgung kurva y = f (x) di titik x = a, adalah m = f’(x).
Persamaan garis singgung kurva di titik A (a,b) adalah :
y – b = m (x – a)
m = f’(x) = gradien garis singgung di x = a
a = absis titik singgung
b = ordinat titik singgung
Contoh-contoh
1. Tentukan persamaan garis singgung kurva y = 2x2 + 3x – 2 di x = 1.
Jawab :
> menentukan titik singgung kurva untuk x = 1
y = 2.12 + 3.1 – 2 = 3
> menentukan gradien garis singgung kurva di x = 1
f(x) = y = 2x2 + 3x – 2
f ‘(x) = 4x + 3
untuk x = 1 maka f ‘(1) = 4.1 + 3 = 7
Persamaan garis singgung kurva di (1,3)
y–b
= m (x – a)
y–3
= 7 (x – 1)
y–3
= 7x – 7
y
= 7x – 4
149
2. Tentukan persamaan garis singgung kurva y = x2 + 4x di titik yang berabsis 4
Jawab :
> menentukan titik singgung kurva berabsis 4 , maka x = 4
y = 42 + 4.4 = 32
> menentukan gradien garis singgung di x = 4
y = f(x) = x2 + 4x
f ‘(x) = 2x + 4
untuk x = 4 , maka f ‘(4) = 2.4 + 4 = 12
Persamaan garis singgung kurva di (4,32)
y – b = m (x – a)
y – 32 = 12 (x – 4)
y = 12x - 16
Latihan 4
1. Suatu kurva y = x2 – 2x + 4. Jika titik A (2,4) terletak pada kurva, tentukan
persamaan garis singgung kurva melalui titik A.
Jawab :
> gradien garis singgung di titik A (2,4)
f ‘(x) = ………………..
m = f ‘(2) = …………………
> persamaan garis singgung di titik A(2,4) adalah
y – b = m (x – a)
…… = …………
2. Tentukan persamaan garis singgung kurva y = x2 + 4x + 6 sehingga garis
singgung kurva di titik itu mempunyai gradien 12.
Jawab :
Gradien garis singgung kurva adalah f ‘(x) = 12
f ‘(x) = ……………
12
= ……………
x = ……..
titik singgung kurva untuk x = …..
150
maka y = x2 + 4x + 6
y = (…)2 + 4 (…) + 6
y= …….
Persamaan garis singgung di titik ( …,…) adalah
y – b = m (x – a)
= ………
= ……….
3. Tentukan persamaan garis singgung kurva
y = 3x2 – 7x + 2 yang sejajar
garis y = 2x
Jawab :
Garis singgung sejajar dengan garis y = 2x maka mempunyai gradien yang
sama yaitu m = 2
m = f ‘(x) = 6x – 7
2
= ……..
x = …….
Titik singgung kurva untuk x = …..
y = 3 (…)2 – 7(…) + 2
y = ……
persamaan garis singgung di titik (…,…) adalah
y–b
= m (x – a)
…… = …………
y = ……..
151
LEMBAR KERJA SISWA 5
Mata Pelajaran
: Matematika
Uraian Materi Pokok : Fungsi Naik dan Fungsi Turun
Standar kompetensi : Menggunakan konsep limit fungsi dan turunan dalam
pemecahan masalah
Kelas / Semester
: XI IPS / II
Waktu
: 2 x 45 menit
RINGKASAN MATERI
Fungsi f adalah fungsi yang kontinu dan terdeferensialkan pada interval a<x<b
1. Jika f’(x) = 0 untuk setiap interval a < x < b, maka f konstan.
2. Jika f’(x) > 0 untuk setiap interval a < x < b, maka f naik.
3. Jika f’(x) < 0 untuk setiap interval a < x < b, maka f turun
4. Jika f’(x)  0 untuk setiap interval a < x < b, maka f tidak turun.
5. Jika f’(x)  0 untuk setiap interval a < x < b, maka f tidak naik
Contoh-contoh
1. Fungsi f ditentukan oleh f (x) = x3 – 6x2 – 15x + 2.
Carilah interval dimana fungsi naik.
Jawab :
f (x) = x3 - 6x2 – 15x + 2
f’(x) = 3x2 - 12x – 15
Syarat agar fungsi naik adalah f’(x) > 0.
3x2 – 12x – 15 > 0
3(x2 – 4x – 5) > 0
(x + 1) (x – 5) > 0
++++
-----1
++++
5
Jadi, f naik pada interval x < -1 atau x > 5
152
2. Fungsi f ditentukan oleh f (x) = x3 – 9x2 + 15x. Carilah interval dimana fungsi
tidak naik.
Jawab :
f(x) = x3 – 9x2 + 15x
f’(x) = 3x2 – 18x + 15
Syarat fungsi tidak naik adalah f’(x)  0
3x2 – 18x + 15  0
3 (x2 – 6x + 5)  0
3 (x – 1) (x – 5)  0
Harga nol fungsi :
x = 1 atau x = 5
Garis bilangan :
++++
----1
++++
5
Jadi fungsi tidak naik pada interval 1  x  5
Latihan 5
Carilah interval fungsi berikut ini, dengan syarat yang diterangkan atau
ditunjukkan :
1. f (x) = 2x5 – 5x4 – 10x3 + 12 untuk fungsi naik
2. f (x) = x4 – 8x2 – 9
3. f (x) =
1
10
x5 -
1
3
x2
untuk fungsi tidak turun
untuk fungsi turun
Jawab :
1. f (x) = 2x5 – 5x4 – 10x3 + 12
f’(x) = ……… - ……… - ………
Syarat fungsi naik, f’(x) ………
…………
…………
…………
Jadi fungsi naik pada interval ………
153
2. f (x) = x4 – 8x2 – 9
f’(x) = ……… - ……… - ………
Syarat fungsi naik, f’(x) ………
…………
…………
…………
Jadi fungsi naik pada interval ………
3. f (x) =
1
10
x5 -
1
3
x2
f’(x) = ……… - ……… - ………
Syarat fungsi naik, f’(x) ………
…………
…………
…………
Jadi fungsi naik pada interval ………
154
LEMBAR KERJA SISWA 6
Mata Pelajaran
: Matematika
Uraian Materi Pokok
: Menentukan turunan kedua suatu fungsi
Standar kompetensi
: Menggunakan konsep limit fungsi dan turunan dalam
pemecahan masalah
Kelas / Semester
: XI IPS / II
Waktu
: 2 x 45 menit
RINGKASAN MATERI
Telah dipelajari sebelumnya:
> Turunan pertama fungsi dinotasikan dengan f ‘ (x) atau y ‘.
> Fungsi turunan dari turunan pertama dinamakan turunan kedua yang
dinotasikan dengan f ‘’(x) atau y ‘’ .
> Notasi lain dari turunan dapat dituliskan sebagai berikut:
dy df

 f ' ( x) 
 turunan pertama
dx dx
d2y d2f
 2  f '' ( x ) 
 turunan kedua
2
dx
dx
Contoh :
Tentukan turunan kedua fungsi berikut :
1. f(x) = x2
Jawab :
f(x)
= x2
f ‘(x) = 2x
f ‘’(x) = 2
2. f(x) = √x
Jawab :
f(x) = √x = x1/2
f ‘(x) = ½ . x -1/2
f ‘’(x) = ½ . – ½ . x -3/2 = - ¼ . x -3/2
155
3. f(x) = 6x3 – 2x2 + x + 5
Jawab :
f(x)
= 6x3 – 2x2 + x + 5
f ‘(x) = 18 x2 – 4x +1
f ‘’(x) = 36 x - 4
Latihan 6
I. Tentukan turunan kedua fungsi berikut :
1. f (x) = 2x2 - x6 – 3x
2. f (x) =
4
8x  3
3. f (x) = ( 3x2 – 1 ) 5
4. f (x) = x 2 
1
x
5. f (x) = cos x
II. Tentukan nilai x yang memenuhi f ‘’(x) = 0 pada fungsi berikut :
6. f (x) = 3 (1 + 2x) 4
7. f(x) = x3 + 6x2 - 3x
8. f (x) = x4 – 8x2 + 50
9 . f (x) = sin2 x
III. Hitung nilai turunan kedua dari setiap fungsi berikut untuk nilai x yang
diberikan.
10. f (x) = x 
11. f (x) =
12. f (x ) =
2
x3
untuk x = -2
x 2  9 untuk x = 4
5
untuk x = - ¼
3  4x
156
LEMBAR KERJA SISWA 7
Mata Pelajaran
: Matematika
Uraian Materi Pokok
: Menentukan Titik Stationer dan Jenisnya
Standar kompetensi
: Menggunakan konsep limit fungsi dan turunan dalam
pemecahan masalah
Kelas / Semester
: XI IPS / II
Waktu
: 2 x 45 menit
Ringkasan Materi
Syarat fungsi stationer apabila y’ = f’(x) = 0, dan pada fungsi stationer diperoleh
titik stationer.
Ada 3 jenis titik stationer, yaitu :
1. Titik stationer nilai maksimum atau titik balik maksimum.
f ’(a) = 0 dan f ”(a) < 0
y
a
x
2. Titik stationer nilai minimum atau titik balik minimum.
f ’(a) = 0 dan f ”(a) > 0
y
a
x
157
3. Titik stationer sebagai titik belok (sadle point)
f ’(a) tidak harus sama dengan nol.
f ”(a) = 0
atau ditulis :
y ’ = 0 dan y ” = 0 atau
y ’  0 dan y ” = 0
Contoh titik belok :
y
y
a
x
a
Contoh-contoh
1. Tentukan nilai stationer serta jenisnya.
a. f (x) = x (x – 2)2
b. f (x) = x4 – 4x3 + 6
Jawab :
a. f (x) = x (x – 2)2 = x (x2 – 4x + 4) = x3 – 4x2 + 4x
f (x) = x3 – 4x2 + 4x
f ’(x) = 3x2 – 8x + 4
f ‘’(x) = 6x -8
Nilai stationer dicapai apabila f ’(x) = 0
3x2 – 8x + 4 = 0
(3x – 2) (x – 2) = 0
3x – 2 = 0
atau
x = 2/3 atau
x–2=0
x=2
Nilai stationer adalah f (a)
> Untuk x =
2
3
 f (x) = x (x – 2 )2
f  23  

2 2
3 3
 2 
158
2
32
27
 1 275
x
jenis stasioner diperoleh dengan menggunakan uji turunan kedua
f ”(x) = 6x – 8
f ”( 23 ) = 6 .
2
3
-8=-4
f ”( 23 ) < 0 maka A ( 23 , 1 275 ) titik balik maksimum
nilai balik maksimum.
> Untuk x = 2  f (x) = x (x – 2)2
f (2) = 2 (2 – 2)2 = 0
jenis stasioner diperoleh dengan menggunakan uji turunan kedua
f ”(x) = 6x – 8
f”(2) = 6 . 2 – 8 = 4
f”(2) > 0 maka B (2,0) titik balik minimum
nilai balik minimum.
b. f (x) = x4 – 4x3 + 6
f ’(x) = 4x3 – 12x2
f ‘’(x) = 12x2 – 24x
Nilai stationer didapat bila f’(x) = 0
4x3 – 12x2 = 0
4x2 (x – 3) = 0
4x2 = 0
atau
x–3=0
x=0
x= 3
I. Untuk x = 0  f (x) = x4 – 4x3 + 6
f (10) = 6
jenis stasioner menggunakan uji turunan kedua
f ”(x) = 12x2 – 24x
f ”(0) = 0
Titik stationer A (0,6) adalah titik belok
II. Untuk x = 3  f (x) = x4 – 4x3 + 6
f (x) = 34 – 4(33) + 6 = -21
159
jenis stasioner menggunakan uji turunan kedua
f ”(x) = 12x2 – 24x
f ”(3) = 12 . 32 – 24 . 3 = +36
f ”(3) > 0
 Titik stationer B (3,-21) adalah titi balik minimum.
2. Tentukan nilai maksimum dan minimum fungsi f (x) = x4 – 2x2 + 5 pada
selang –2  x  3.
Jawab :
Nilai maksimum dan nilai minimum dicapai pada nilai batas selang atau
pada nilai stationer.
I.
Menentukan nilai batas
x = -2 maka f (x) = x4 – 2x2 + 5
f (-2) = (-2)4 – 2 (-2)2 + 5 = 13
x = 3 maka
f (3) = 34 – 2 (3)2 + 5 = 68
II. Menentukan nilai stationer
f (x) = x4 – 2x2 + 5
f ’(x) = 4x3 – 4x
syarat stasioner f ’(x) = 0
4x3 – 4x = 0
4x (x2 – 1) = 0
4x (x + 1) (x – 1) = 0
x = 0 atau x = -1 atau x = 1
f (x) = x4 – 2x2 + 5
x = 0  f (0) = 5
x = -1  f (-1) = (-1)4 – 2 (-1)2 + 5 = 4
x = 1  f (1) = 14 – 2 (1)2 + 5 = 4
Kesimpulan :
Nilai maksimum fungsi = 68
Nilai minimum fungsi = 4
160
Latihan :
1. Tentukan nilai stationer dan jenisnya dari fungsi f (x) = 4x3 – 18x2 + 15x – 20
Jawab :
f (x) = 4x3 – 18x2 + 15x – 20
f ’(x) = …………………
f ”(x) = …………………
Syarat fungsi mencapai nilai stationer …………………
12x2 - ……… + ……… = 0
4x2 - ……… + ……… = 0
(…… - ……) (…… - ……) = 0
x = ……… atau x = ………
Jenis nilai stationer
Untuk x = ………
f ”(x)
= ……… negatif / positif
 f (x) = …………
Nilai stationer f adalah …………
Untuk x = …………………
f ”(x) = ………………… negatif / positif
 Nilai stationer f adalah …………………
2. Tentukan nilai stationer dan jenisnya dari fungsi f (x) =
1
4
x4 -
1
3
x2
Jawab : (lakukan seperti langkah-langkah no. 1)
3. Tentukan nilai maksimum dari f (x) = x3 – 6x2 pada interval –1  x  2
Jawab :
Nilai batas
x = -1 maka f (x) = 13 – 6 . 12 = ………
x = 2 maka f (2) = 23 – 6 . 22 = ………
Nilai stationer, syarat f ’(x) = 0
161
f ‘(x) = ………………
= …………….
x = ……..
atau x = ……..
f(….) = …… atau f(….) = ……
maka nilai maksimum adalah …….
4. Tentukan nilai maksimum f (x) = 2x2 – 6x4 pada interval – ½  x  ½
Jawab :
f (x) = 2x2 – 6x4
f’(x) = …………………
Nilai batas :
x = - ½ maka f( - ½ ) = …………………
x=½
maka f( ½)
=…………
nilai stasioner syarat f ‘(x) = 0
……………….. = 0
……………….. = 0
x = …… atau x = ……
untuk x = ……
x = ……
maka f(….) = ……
maka f(…) = …..
nilai maksimum adalah……..
162
LEMBAR KERJA SISWA 8
Mata Pelajaran
: Matematika
Uraian Materi Pokok : Menggambar grafik fungsi
Standar kompetensi : Menggunakan konsep limit fungsi dan turunan dalam
pemecahan masalah
Kelas / Semester
: XI IPS / II
Waktu
: 2 x 45 menit
RINGKASAN MATERI
Langkah-langkah menggambar grafik fungsi :
1. Menentukan titik potong fungsi dengan sumbu koordinat x dan y
2. Menentukan titik stationer dan jenisnya
3. Menentukan nilai fungsi untuk x = - ~ dan x = + ~ (nilai besar negatif dan
nilai besar positif)
4. Membuat grafik
Contoh
Gambarlah grafik fungsi y = x3 – 3x2
Langkah-langkah :
1. Menentukan titik potong dengan sumbu x, jika y = 0
x3 – 3x2 = 0
x2 ( x – 3 ) = 0
x = 0 atau x = 3
Titik potong A (0,0) dan B (3,0)
Menentukan titik potong dengan sumbu y, jika x = 0
y = 03 – 6 . 0 = 0
C (0 , 0)
163
2. Menentukan titik stationer dan jenisnya
Syarat stasioner f ’(x) = 0
f ‘(x) = y ‘ = 3x2 – 6x
3x2 – 6x = 0
3x ( x – 2 ) = 0
x = 0 atau x = 2
titik stasioner x = 0 maka y = 03 – 3.02 = 0 , titik (0,0)
x = 2 maka y = 23 – 3.22 = 8 – 12 = -4
, titik (2,-4)
Jenis stasioner menggunakan uji turunan kedua
y = x3 – 3x2
y ‘ = 3x2 – 6x
y ‘’ = 6x – 6
untuk x = 0 , y ‘’ = 6.0 – 6 = -6 < 0 , titik (0,0) titik balik maksimum
untuk x = 2 , y ‘’ = 6.2 – 6 = 6 > 0 , titik (2,-4) titik balik minimum
3. Nilai besar negatif dan nilai besar positif
x = - ~ maka y = - ~
x = + ~ maka y = + ~
4. Grafik
y = x3 – 3x2
(0,0)
(3,0)
164
(-4,0)
(2,-4)
165
Latihan :
1. Gambarlah grafik kurva y = -x4 + 2x2
Jawab :
a. Grafik memotong sumbu x, maka y = 0
-x4 + 2x2 = 0
-x2 ( …… - ……) = 0
x2 (x… ……) (x… ……) = 0
x = ……… atau x = ……… atau x = ………
Jadi titik potong grafik dengan sumbu x adalah ………
A (…… , ……) , B (…… , ……) dan C (…… , ……)
b. Grafik memotong sumbu y, maka ………
y = …………
Jadi titik potong grafik dengan sumbu y adalah ………
c. Titik stationer, syarat f’(x) = 0
y = x4 – 2x2
y’ = ……… - ………
Syarat stationer ……… - ……… = 0
…… (…………) = 0
…… (…… ……) (…… …… ……) = 0
x = ……… atau x = ……… atau x = ………
titik stasioner dan jenisnya
Untuk x = ………… y = ………… y” = …………
= …………
D (…… , ……) Jenis nilai stationer adalah …………
Untuk x = ………… y = ………… y” = …………
= …………
E (…… , ……) Jenis nilai stationer adalah …………
Untuk x = ………… y = ………… y” = …………
= …………
F (…… , ……) Jenis nilai stationer adalah …………
d. x  - ~ maka y = …… ~
x  + ~ maka y = …… ~
166
e. Grafik
2. Dengan langkah yang sama seperti soal no. 1
Buatlah grafik fungsi y = 4x3 – x4.
167
SOAL-SOAL PILIHAN GANDA
Pilihlah satu jawaban yang paling tepat dari 5 kemungkinan jawaban yang
tersedia pada soal berikut ini.
1. Persamaan garis singgung pada y=x2 + 5 yang sejajar dengan 2y – 8x +3=0
adalah ……………..
a). y = 4x + 1
b). y = 8x + 1
c). y – 9 = -4 (x + 2)
d). y + 9 = 4 (x + 2
e). 2y – 8x – 1 = 0
2. Persamaan garis singgung fungsi parabola f (x) =ax2 – 5x + 3 melalui P(2, 1)
pada parabola akan sejajar dengan garis y = 3x – 7 maka harga a adalah …
a). 2
b). –2
c). 3
d). 3
e). –3
3. Suatu benda bergerak sepanjang lintasan yang ditentukan dengan rumus
s=3 – 6z – 2t3 dimana s dalam meter dan t dalam detik, t  0. Kecepatan
benda pada saat percepatannya nol adalah …
a). 6 m/det
b). 12 m/det
c). –6 m/det
d). –12 m/det
e). 0 m/det
4. Gradien garis singgung kurva y = px2 + q pada titik (-1 , 2) adalah 6, maka
nilai p dan q berturut-turut adalah …
a). 3 dan –1
168
b). 3 dan –5
c). –3 dan 5
d). –3 dan –1
e). 3 dan 1
5. Persamaan garis singgung kurva y = x2 – 4x + 1 yang tegak lurus dengan
garis 2x – 4y + 1 = 0 adalah …
a). y + 2x – 4 = 0
b). y + 2x + 4 = 0
c). x + 2y – 4 = 0
d). x + 2y + 4 = 0
e). y + 2x = 0
6. Grafik fungsi f (x) = x3 + 9x2 + 24x + 8 mempunyai kriteria …
a). Nilai maksimum dicapai pada titik (-2 , -12)
b). Nilai maksimum dicapai pada titik (-8 , -4)
c). Nilai minimum dicapai pada titik (-4 , -8)
d). Nilai minimum dicapai pada titik (-2 , -12)
7. Titik belok dari grafik fungsi y = x3 + 9x2 + 24x + 8 ialah titik s. Maka
koordinat s adalah …
a). (-2 , -12)
b). (-3 , -10)
c). (-4 , -8)
d). (-10 , -3)
e). (10 , 3)
8. Salah satu titik stationer y = x3 – 3x2 + nx + 2 adalah (-3 , p) maka harga n
dan p berturut-turut adalah …
a). 9 dan –43
b). –8 dan –25
c). 9 dan -49
d). –45 dan 83
e). 45 dan –187
169
9. Grafik f (x) = x3 + 3x2 + 5 naik untuk nilai-nilai …
a). x < -2 atau x > 0
b). x ≤ -2 atau x ≥ 0
c). –2 < x < 0
d). -2 ≤ x ≤ 0
e). x < 0 atau x > 2
10. Diketahui fungsi f (x) = x2 sin x. Turunan pertama f (x) terhadap x adalah …
a). 2x sin x – x2 cos x
b). x2 cos x + x2 sin x
c). 2x cos x + x2 cos x
d). 2x sin x + x2 cos x
e). 2x sin x
11. Bila f (x) = 5 cos 2x -
2 sin x, maka f ’(/4) sama dengan …
a). 11
b). –11
c). –4
d). 4
e). -6
12. Suatu persegi panjang, dengan panjang dan lebar berturut-turut x dan y
yang memenuhi x + y = 2a. maka luas maksimal persegi panjang itu adalah
a). x =
a
2
b). y =
a
2
c). y =
2a
3
d). x = y = a
e). x =
y
=a
2
170
13. Turunan pertama f (x) = x3 – ax2 + ax – 2 pada x = -1 adalah 9, maka
f”(2) = …
a). 6
b). 8
c). 10
d). –4
e). –2
14. Turunan pertama dari y = 2 cos2 3x adalah …
a). –2 sin 6x
b). 2 sin 6x
c). 4 cos 3x
d). 12 cos 3x
e). –12 cos 3x . sin 3x
15. Jika f(x) = tan x maka turunan kedua fungsi f (x) adalah …..
1
a).
cos 2 x
b). sin x . cos x
c). 2 tan x . sec2 x
d).
2 sin x. cos x
cos 2 x
e).
sin x
sec 2 x
171