Sistem Persamaan linier

Sistem
Persamaan
linier
5.1 Sistem Persamaan Linier Dua Peubah (Variabel)
Bentuk Umum:
𝑎1 𝑥 + 𝑏1 𝑦 = 𝑐1
𝑎2 𝑥 + 𝑏2 𝑦 = 𝑐2
Dimana 𝑎1 , 𝑏1 , 𝑐1 , 𝑎2 , 𝑏2 , 𝑐2 ∈ 𝑅.
Himpunan pasangan berurutan (𝑥, 𝑦) yang memenuhi kedua persamaan di atas
disebut Himpunan Penyelesaian (HP). Secara geometri, penyelesaian sistem
persamaan di atas merupakan titik potong dua buah garis lurus.
Ada 4 cara menyelesaikan sistem persamaan linear dua peubah, yaitu :
1. Eliminasi (penghilangan/penghapusan)
2. Substitusi (penggantian)
3. Determinan (Aturan Cramers)
4. Grafik
1. Metode Eliminasi
Yaitu dengan menghilangkan salah satu variabel (peubah) sehingga menjadi
satu persamaan dengan satu peubah. Cara menghilangkannya bisa dikurangi
atau ditambah dengan mengalikan terlebih dahulu kedua persamaan tersebut
dengan suatu bilangan sehingga terdapat koefisien suatu peubah yang sama
atau berlawanan tanda dari kedua persamaan di atas. Jika salah satu peubah
sudah diketahui penyelesaiannya, maka untuk menentukan penyelesaian
peubah yang lain dengan mengganti nilai peubah itu ke salah satu persamaan
di atas sehingga persamaan tersebut dapat diselesaikan.
Matematika Dasar
Page 34
Contoh 5.1
Tentukan HP dari 2𝑥 + 3𝑦 = 1 dan 3𝑥 + 4𝑦 = 1 dengan menggunakan
eliminasi!
Jawaban:
2𝑥 + 3𝑦 = 1 𝑥3
6𝑥 + 9𝑦 = 3
| |⟹
3𝑥 + 4𝑦 = 1 𝑥2
6𝑥 + 8𝑦 = 1
𝑦 = 2 ⇒ 2𝑥 + 3.2 = 1 ⇒ 𝑥 = −
5
2
5
𝐻𝑃: {(− , 2)}
2
Tidak semua sistem persamaan
𝑎1 𝑥 + 𝑏1 𝑦 = 𝑐1
} mempunyai penyelesaian.
𝑎2 𝑥 + 𝑏2 𝑦 = 𝑐2
Untuk perlu diketahui aturannya sebelum kita menyelesaikannya.
Aturan 1:
Jika
𝑎1
𝑎2
𝑏
𝑐
= 𝑏1 = 𝑐1 maka dikatakan kedua persamaan bergantungan.
2
2
Penyelesaiannya tak terhingga banyaknya. Secara geometri berupa dua
garis yang berimpit.
Aturan 2:
Jika
𝑎1
𝑎2
𝑏
𝑐
= 𝑏1 ≠ 𝑐1 maka dikatakan kedua persamaan bertentangan
2
2
(berlawanan). Penyelesaiannya tidak ada. Secara geometri berupa dua
garis yang sejajar.
Aturan 3:
Jika
𝑎1
𝑎2
𝑏
≠ 𝑏1 maka kedua persamaan dikatakan bebas. Penyelesaiannya
2
tunggal, yaitu sepasang (𝑥, 𝑦). Secara geometri berupa dua garis yang
berpotongan.
Latihan 5.1
1. Tentukan HP dengan menggunakan metode eliminasi.
a)
𝑥 + 3𝑦 = 5
}
4𝑥 − 𝑦 = 7
Matematika Dasar
b.
4𝑥 − 𝑦 = 1
}
3𝑥 + 2𝑦 = 9
c.
5𝑥 − 3𝑦 = 13
}
3𝑥 + 4𝑦 = 2
Page 35
2. Tentukan titik potong antara garis 𝑦 = 3𝑥 + 6 dan −2𝑦 = −5𝑥 − 11.
3. Suatu pecahan nilainya
2
. Jika pembilang dikurangi 2 dan penyebut
3
1
ditambah 7, maka nilai pecahan itu menjadi 4. Tentukan pecahan asalnya!
4. Suatu bilangan terdiri atas dua angka. Jumlah angka-angkanya 9. Bilangan
itu 9 kali angka satuannya. Tentukan bilangan itu.
5. Keliling suatu persegi panjang 180 cm. Sedangkan 3 kali panjangnya sama
dengan 7 kali lebarnya. Berapa luasnya?
2. Metode Substitusi
Yaitu mengganti salah satu peubah dari suatu persamaan dengan peubah lain
dari persamaan lainnya. Maka yang tadinya suatu persamaan dengan dua
peubah (heterogen) menjadi suatu persamaan dengan hanya satu peubah
(homogen).
Sehingga
persamaan
itu
mudah
diselesaikannya.
Untuk
menentukan nilai peubah lainnya dengan mengganti salah satu peubah dengan
nilai peubah yang sudah diketahui sebelumnya.
Contoh 5.2
Tentukan HP dari
2𝑥 + 3𝑦 = −4
} dengan menggunakan metode substitusi.
𝑥 − 2𝑦 = 5
Jawaban:
𝑥 − 2𝑦 = 5 ⇒ 𝑥 = 5 + 2𝑦
Substitusi 𝑥 = 5 + 2𝑦 ke 2𝑥 + 3𝑦 = −4
2𝑥 + 3𝑦 = −4
2(5 + 2𝑦) + 3𝑦 = −4
10 + 4𝑦 + 3𝑦 = −4
7𝑦 = −14
𝑦 = −2
Substitusi 𝑦 = −2 ke 𝑥 − 2𝑦 = 5
𝑥 − 2𝑦 = 5
𝑥 − 2(−2) = 5
Matematika Dasar
Page 36
𝑥+4=5
𝑥=1
Jadi 𝐻𝑃: {(1, −2)}
Contoh 5.3
4
3
+𝑦 =1
𝑥
} dengan menggunakan metode substitusi.
2
6
− 𝑥 + 𝑦 = −3
Tentukan HP dari
Jawaban:
1
1
Misal: 𝑥 = 𝑎 dan 𝑦 = 𝑏 maka persamaan di atas menjadi:
4𝑎 + 3𝑏 = 1 ⟺ 𝑏 =
1 − 4𝑎
3
−2𝑎 + 6𝑏 = −3
Substitusi 𝑏 =
1−4𝑎
3
ke −2𝑎 + 6𝑏 = −3
−2𝑎 + 6𝑏 = −3
1 − 4𝑎
) = −3
3
6 − 24𝑎
−2𝑎 +
= −3
3
−6𝑎 6 − 24𝑎
+
= −3
3
3
−6𝑎 + 6 − 24𝑎
= −3
3
−30𝑎 + 6
= −3
3
−2𝑎 + 6 (
−30𝑎 + 6 = −9
𝑎=
1
2
1
𝑎 = 2 sehingga 𝑏 =
𝑎=
1
2
1−4( )
3
⇒𝑏=
1−2
3
1
⟹ 𝑏 = −3
1 1 1
⇒ = ⇒𝑥=2
𝑥 2 𝑥
Matematika Dasar
Page 37
𝑏=
1
1 1
⇒ − = ⇒ 𝑦 = −3
𝑦
3 𝑦
Jadi 𝐻𝑃: {(2, −3)}
Latihan 5.2
1. Tentukan HP dengan menggunakan metode substitusi dari:
a.
𝑥 + 3𝑦 = 5
}
4𝑥 − 𝑦 = 7
b.
4𝑥 − 𝑦 = 1
}
3𝑥 + 2𝑦 = 9
c.
5𝑥 − 3𝑦 = 13
}
3𝑥 + 4𝑦 = 12
2. Tentukan persamaan garis lurus 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑐 yang melalui titik-titik (2,1)
dan (6, 9).
3. Jumlah dua bilangan 49 dan selisihnya 21. Tentukan kedua bilangan itu.
4. Ali membeli sebuah pensil dan 2 buah buku seharga Rp 2.500 sedangkan
Budi membeli 2 pensil dan 5 buku seharga Rp 5.750. Tentukan masingmasing harga sebuah pensil dan sebuah buku.
5. Umur Reza sekarang 7 tahun lebih muda dari Sinta. Tiga tahun yang akan
datang umur mereka berjumlah 33. Berapa umur mereka masing-masing
sekarang ?
3. Metode Determinan (Aturan Cramers)
Untuk menyelesaikan sistem persamaan linier dengan menggunakan metode
determinan caranya sebagai berikut:
𝑐
| 1
𝑎1 𝑥 + 𝑏1 𝑦 = 𝑐1 𝑥𝑏2
𝑐1 𝑏2 − 𝑐2 𝑏1
𝑐
|
|⇒𝑥=
= 2
𝑎1
𝑎2 𝑥 + 𝑏2 𝑦 = 𝑐2 𝑥𝑏1
𝑎1 𝑏2 − 𝑎2 𝑏1
|
𝑎2
𝑎1
𝑎1 𝑥 + 𝑏1 𝑦 = 𝑐1 𝑥𝑎2
𝑎1 𝑐2 − 𝑎2 𝑐1 |𝑎2
|
|⇒𝑦=
=
𝑎
𝑎2 𝑥 + 𝑏2 𝑦 = 𝑐2 𝑥𝑎1
𝑎1 𝑏2 − 𝑎2 𝑏1
| 1
𝑎2
Matematika Dasar
𝑏1
| |𝐷 |
𝑏2
𝑥
=
𝑏1
|𝐷|
|
𝑏2
𝑐1
𝑐2 | |𝐷𝑦 |
=
𝑏1
|𝐷|
|
𝑏2
Page 38
𝐽𝑎𝑑𝑖: 𝑥 =
|𝐷𝑥 |
|𝐷|
𝑑𝑎𝑛 𝑦 =
|𝐷𝑦 |
|𝐷|
𝑠𝑦𝑎𝑟𝑎𝑡 |𝐷| ≠ 0
Dimana:
|𝐷| = |
𝑎1
𝑎2
𝑏1
| = 𝑎1 𝑏2 − 𝑎2 𝑏1
𝑏2
𝑐 𝑏1
|𝐷𝑥 | = | 1
| = 𝑐1 𝑏2 − 𝑐2 𝑏1
𝑐2 𝑏2
𝑎1 𝑐1
|𝐷𝑦 | = |𝑎 𝑐 | = 𝑎1 𝑐2 − 𝑎2 𝑐1
2
2
Contoh 5.4
Tentukan HP dari
4𝑥 + 5𝑦 = 6
} dengan menggunakan metode determinan.
3𝑥 − 4𝑦 = 11
Jawaban:
|𝐷| = |4 5 | = (4. −4) − (3.5) = (−16) − (15) = −31
3 −4
5
|𝐷𝑥 | = | 6
| = (6. −4) − (11.5) = (−24) − (55) = −79
11 −4
4 6
|𝐷𝑦 | = |
| = (4.11) − (3.6) = (44) − (18) = 26
3 11
𝑥=
|𝐷𝑥 |
𝐷
−79
79
= −31 = 31
79
𝑦=
|𝐷𝑦 |
𝐷
26
26
= −31 = − 31
26
Jadi, 𝐻𝑃: {(31 , − 31)}
4. Metode Grafik
Yaitu penyelesaian sistem persamaan dengan menggunakan perpotongan dua
buah garis lurus.
Contoh 5.5
Tentukan HP dari
𝑥−𝑦 =3
} dengan menggunakan metode grafik.
𝑥 + 2𝑦 = 9
Jawaban:
Garis 𝑥 − 𝑦 = 3
Garis 𝑥 + 2𝑦 = 9
𝑥 = 0, maka 𝑦 = −3
𝑥 = 0, maka 𝑦 = 2
𝑦 = 0, maka 𝑥 = 3
𝑦 = 0, maka 𝑥 = 9
Matematika Dasar
9
Page 39
Maka garis 𝑥 − 𝑦 = 3 melalui (0, −3) dan (3, 0),
9
sedangkan garis 𝑥 + 2𝑦 = 9 melalui (0, 2) dan (9, 0)
Gambarnya:
𝑥−𝑦=3
𝑥 + 2𝑦 = 9
(5, 2)
Karena titik potongnya di titik (5, 2), maka 𝐻𝑃: {(5, 2)}
Latihan 5.3
1. Tentukan HP-nya dengan menggunakan metode determinan.
a)
𝑥 + 3𝑦 = 5
}
4𝑥 − 𝑦 = 7
b)
4𝑥 − 𝑦 = 5
}
3𝑥 + 2𝑦 = 9
c)
5𝑥 − 3𝑦 = 13
}
3𝑥 + 4𝑦 = 2
c)
𝑦 = 2𝑥
}
𝑥+𝑦 =6
2. Tentukan HP-nya dengan menggunakan metode grafik.
𝑦=𝑥
a) 𝑦 = 𝑥 + 2}
b)
𝑥+𝑦 =3
}
2𝑥 − 𝑦 = 3
5.2 Sistem Persamaan Linier Tiga Peubah (Variabel)
𝑎1 𝑥 + 𝑏1 𝑦 + 𝑐1 𝑧 = 𝑑1
Bentuk Umum: 𝑎2 𝑥 + 𝑏2 𝑦 + 𝑐2 𝑧 = 𝑑2 }
𝑎3 𝑥 + 𝑏3 𝑦 + 𝑐3 𝑧 = 𝑑3
Penyelesaian dari sistem persamaan linear tiga peubah berupa himpunan pasangan
berurutan (𝑥, 𝑦, 𝑧). Secara geometri berupa titik potong dari tiga buah bidang
datar.
Cara penyelesaiannya ada 3, yaitu:
1. Metode Eliminasi
2. Metode Substitusi
3. Metode Determinan (Aturan Cramers)
Matematika Dasar
Page 40
1. Metode Eliminasi
Cara menyelesaikan sistem persamaan linear tiga peubah dengan eliminasi
yaitu dengan mengeliminasi (menghilangkan) salah satu peubah sehingga yang
tadinya 3 persamaan dengan 2 peubah menjadi 2 persamaan dengan 2 peubah.
Lalu diselesaikan dengan cara menyelesaikan sistem persaman linear 2
peubah. Untuk menentukan nilai peubah yang terakhir, dengan mengganti dua
peubah yang sudah diketahui dari salah satu persamaan.
Contoh 5.6
𝑥 + 2𝑦 − 3𝑧 = 8
Tentukan HP dari 4𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 = 0 } dengan menggunakan metode
3𝑥 + 3𝑦 − 4𝑧 = 13
eliminasi.
Jawaban:
Eliminasi 𝑧 dari:
𝑥 + 2𝑦 − 3𝑧 = 8 𝑥2
2𝑥 + 4𝑦 − 6𝑧 = 16
| |⟹
4𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 = 0 𝑥3
12𝑥 − 3𝑦 + 6𝑧 = 0
14𝑥 + 𝑦 = 16
….(1)
Eliminasi 𝑧 dari:
4𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 = 0 𝑥2
8𝑥 − 2𝑦 + 4𝑧 = 0
| |⟹
3𝑥 + 3𝑦 − 4𝑧 = 13 𝑥1
3𝑥 + 3𝑦 − 4𝑧 = 13
12𝑥 + 𝑦 = 13
….(2)
Dari persamaan (1) dan (2) akan didapat nilai x dan y, yaitu:
14𝑥 + 𝑦 = 16
12𝑥 + 𝑦 = 13
2𝑥 = 3 ⇒ 𝑥 =
3
2
3
Substitusikan 𝑥 = 2 ke persamaan 14𝑥 + 𝑦 = 16, maka didapat:
3
14. ( ) + 𝑦 = 16 ⇒ 21 + 𝑦 = 16 ⇒ 𝑦 = −5
2
3
Untuk menentukan nilai 𝑧, maka 𝑥 = 2 dan 𝑦 = −5 disubstitusikan ke
persamaan 𝑥 + 2𝑦 − 3𝑧 = 8
Matematika Dasar
Page 41
3
3
25
( ) + 2. (−5) − 3𝑧 = 8 ⇒ − 10 − 3𝑧 = 8 ⇒ 𝑧 = −
2
2
6
3
25
Jadi, 𝐻𝑃: {(2 , −5, − 6 )}
Latihan 5.4
1. Tentukan HP dengan menggunakan metode eliminasi.
𝑥 + 3𝑦 + 4𝑧 = 2
a) 2𝑥 − 𝑦 − 5𝑧 = 3 }
3𝑥 + 2𝑦 − 2𝑧 = −1
𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = 2
b) 2𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 3 }
2𝑥 − 4𝑦 + 4𝑧 = 10
2𝑥 − 3𝑦 + 4𝑧 = 8
c) 3𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 = 4 }
𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 = 5
2. Tentukan persamaan parabola 𝑦 = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 yang melalui titik-titik
(1, 2, 3), (3, 7, 5), dan (6, 4, 2).
3. Suatu bilangan terdiri atas tiga angka. Jumlah angka-angkanya 15. Jika
angka ratusan dan puluhan dipertukarkan, maka bilangan yang baru 360
kurangnya dari bilangan asal. Sedangkan jika angka puluhan dan satuan
dipertukarkan tempatnya, maka bilangan baru 198 kurangnya dari bilangan
asal. Tentukan bilangan asal!
2. Metode Substitusi
Menyelesaikan sistem persamaan linear 3 peubah dengan menggunakan
metode substitusi yaitu dengan mengganti salah satu peubah dari dua
persamaan dengan peubah dari persamaan lainnya sehingga yang tadinya 3
persamaan dengan 3 peubah menjadi 2 persamaan dengan 2 peubah. Lalu
selesaikan seperti menyelesaikan sistem persamaan linear dengan 2 peubah.
Untuk menentukan nilai peubah yang ketiga, substitusikan 2 nilai peubah yang
sudah diketahui ke salah satu persamaan yang ada.
Matematika Dasar
Page 42
Contoh 5.7
𝑥 + 2𝑦 − 3𝑧 = 8
Tentukan HP dari 4𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 = 0 } dengan menggunakan metode
3𝑥 + 3𝑦 − 4𝑧 = 13
substitusi!
Jawaban:
𝑥 + 2𝑦 − 3𝑧 = 8 ⇔ 𝑥 = 8 − 2𝑦 + 3𝑧
Substitusikan 𝑥 = 8 − 2𝑦 + 3𝑧 ke persamaan (2) dan (3), maka
4(8 − 2𝑦 + 3𝑧) − 𝑦 + 2𝑧 = 0 ⇔ −9𝑦 + 14𝑧 = −32
…(4)
3(8 − 2𝑦 + 3𝑧) + 3𝑦 − 4𝑧 = 13 ⇔ −3𝑦 + 5𝑧 = −11
…(5)
Dari (4) dan (5) selesaikan dengan substitusi:
−9𝑦 + 14𝑧 = −32 ⇔ 𝑦 =
Substitusikan 𝑦 =
−3 (
32+14𝑧
9
−32 − 14𝑧
32 + 14𝑧
⇔𝑦=
−9
9
ke persamaan (5), maka
32 + 14𝑧
) + 5𝑧 = −11 ⇔ 𝑧 = −1
9
Substitusikan 𝑧 = −1 ke persamaan (4), maka
−9𝑦 + 14(−1) = −32 ⇔ 𝑦 = 2
Substitusikan 𝑦 = 2 dan 𝑧 = −1 ke persamaan (1), maka
𝑥 + 2(2) − 3(−1) = 8 ⇔ 𝑥 = 1
Jadi, 𝐻𝑃: {(1, 2, −1)}
Latihan 5.5
1. Tentukan HP dengan menggunakan metode substitusi!
𝑥 + 3𝑦 + 4𝑧 = 2
a) 2𝑥 − 𝑦 − 5𝑧 = 3 }
3𝑥 + 2𝑦 − 2𝑧 = −1
𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = 2
b) 2𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 3 }
2𝑥 − 4𝑦 + 𝑧 = 10
2𝑥 − 3𝑦 + 4𝑧 = 8
c) 3𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 = 4 }
𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 = 5
2𝑥 − 3𝑦 = −18
d) 4𝑦 + 5𝑧 = 6 }
3𝑥 − 4𝑧 = −1
Matematika Dasar
Page 43
2. Jumlah tiga buah bilangan sama dengan 6. Bilangan pertama ditambah
bilangan kedua sama dengan bilangan ketiga, dan bilangan kedua besarnya
dua kali bilangan pertama. Tentukan masing-masing bilangan tersebut!
3. Skor ujian 3 siswa berjumlah 78, skor siswa pertama 10 lebihnya dari iswa
kedua, sedangkan skor siswa ketiga 4 kurangnya dari siswa pertama.
Berapa skor masing-masing siswa?
3. Metode Determinan
Cara menyelesaikan sistem persamaan linear 3 peubah dengan meggunakan
metode determinan sama seperti yang dua peubah, yaitu :
𝑥=
|𝐷𝑥 |
|𝐷𝑧 |
|𝐷𝑦 |
,𝑦 =
, 𝑑𝑎𝑛 𝑧 =
|𝐷|
|𝐷|
|𝐷|
Bedanya hanya cara menentukan nilai determinannya. Untuk menentukan nilai
determinan matriks 3 x 3 yaitu dengan diagram SARRUS. Caranya :
1. Salin kolom ke-1 dan kolom ke-2 lalu tempatkan di kolom ke-4 dan ke-5
2. Jumlahkan perkalian bilangan-bilangan pada diagonal ke bawah, lalu
kurangkan dengan perkalian bilangan-bilangan pada diagonal ke atas.
Contoh 5.8
1 4 7
Tentukan determinan 𝐴 atau |𝐴| jika 𝐴 = [2 5 8]
3 6 9
Jawaban:
1
|𝐴| = [2
3
4 7 1 4
5 8] 2 5]
6 9 3 6
= (1.5.9) + (4.8.3) + (7.2.6) − (3.5.7) − (6.8.1) − (9.2.4)
= (45) + (96) + (84) − (105) − (48) − (72) = 0
Matematika Dasar
Page 44
Contoh 5.9
𝑥 + 2𝑦 − 3𝑧 = 8
Tentukan HP dari 4𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 = 0 } dengan menggunakan metode
3𝑥 + 3𝑦 − 4𝑧 = 13
determinan!
Jawaban:
1
|𝐷| = [4
3
2 −3 1 2
−1 2 ] 4 −1] = −3
3 −4 3 3
8
2 −3 8
2
|𝐷𝑥 | = [ 0 −1 2 ] 0 −1] = −3
13 3 −4 13 3
1 8 −3 1 8
|𝐷𝑦 | = [4 0
2 ] 4 0 ] = −6
3 13 −4 3 13
1 2
8 1 2
|𝐷𝑧 | = [4 −1 0 ] 4 −1] = 3
3 3 13 3 13
𝑥=
|𝐷𝑥 | −3
=
=1
|𝐷| −3
𝑦=
|𝐷𝑦 | −6
=
=2
|𝐷|
−3
𝑧=
|𝐷𝑧 |
3
=
= −1
|𝐷| −3
Jadi, 𝐻𝑃: {(1, 2, −1)}
Latihan 5.6
1. Tentukan nilai determinan dari matriks berikut!
−1 3 3
a) 𝐴 = [ 0 2 2]
2 0 1
3 −1
b) 𝐵 = [−3 5
0
2
4
0]
1
3 1 2
c) 𝐶 = [ 4 3 0 ]
−1 3 −4
2. Tentukan HP dengan metode determinan dari:
𝑥 + 3𝑦 + 4𝑧 = 2
a) 2𝑥 − 𝑦 − 5𝑧 = 3 }
3𝑥 + 2𝑦 − 2𝑧 = −1
𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = 2
b) 2𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 3 }
2𝑥 − 4𝑦 + 𝑧 = 10
2𝑥 − 3𝑦 + 4𝑧 = 8
c) 3𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 = 4 }
𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 = 5
2𝑥 − 3𝑦 = 18
d) 4𝑦 + 5𝑧 = 6 }
3𝑥 − 4𝑧 = −1
Matematika Dasar
Page 45