1 - eLisa UGM

1. PENDAHULUAN, PROBLEM HIDRAULIKA SEDERHANA UNTUK
APLIKASI METODE ELEMEN HINGGA
1.1. Pengantar
Problem sederhana yang dapat mengantarkan pembaca kepada
pemahaman Metode Elemen Hingga untuk problem hidraulika adalah aliran
air tanah. Untuk itu, perlulah kiranya untuk meninjau teori aliran air tanah
yang relevan. Teori aliran air tanah yang akan disinggung di sini diarahkan
kepada formulasi sederhana aliran air tanah 2 dimensi pada bidang vertikal.
Penyederhanaan formulasi persamaan aliran air tanah ini diharapkan dapat
mempermudah pembaca memahami permasalahan aliran air tanah dan
terutama memudahkan pemahaman aplikasi metoda elemen hingga pada
problem aliran air tanah.
Dalam Metoda Elemen Hingga formulasi persamaan sering diungkapkan
dalam bentuk matriks dan vektor. Hal ini dikarenakan formulasi metoda
elemen hingga lebih bersifat umum dalam konteks dimensi ruang,
dibandingkan dengan metoda numerik lain. Selain itu, formulasi persamaan
nya ditulis dalam bentuk persamaan matriks dan vektor yang ringkas tetapi
padat isinya. Oleh karena itu untuk pemahaman yang mendalam pembaca
dituntut untuk mencoba menguraikan sendiri formulasi tersebut menjadi
persamaan-persamaan yang lebih rinci supaya mendapatkan pengertian
tepat yang sangat diperlukan dalam persiapan penyusunan program
komputer.
Tulisan berikut ini membawa formulasi aliran air tanah dalam bentuk yang
sesuai dengan formulasi yang biasa dipakai dalam diskretisasi Metoda
Elemen Hingga dan berusaha memberikan sedikit penjabaran formulasi
matriks dan vektor ke dalam bentuk yang lebih mudah dipahami.
1
12. Persamaan Dasar Problem Air Tanah 1 Dimensi
Air dalam tanah berpori mengalir melalui ruang-ruang udara di antara butirbutir tanah. Untuk memberikan gambaran kuantitas aliran air tanah dipakai
istilah debit spesifik (“spesific discharge”), v, yaitu debit yang mengalir
melalui satu satuan luas tanah secara tegak lurus arah aliran. Debit spesifik
tersebut sering disebut sebagai kecepatan fiktif aliran air tanah atau
kecepatan Darcy.
Muka air hulu
Tanah
kedap air
H
Kolom danau
lulus air
Muka air hilir
l
Gambar 1. Aliran melalui kolom tanah lulus air
Persamaan Darcy dalam konteks 1 dimensi yang berlaku pada satu ruas
kolom tanah dalam Gambar 1.1. adalah,
dengan H adalah beda tinggi enerji yang tersedia, l adalah panjang ruas
kolom tanah atau panjang lintasan aliran air tanah dan k adalah
permeabilitas tanah. Dan persamaan di atas dapat dipahami bahwa
permeabilitas tanah adalah kemampuan tanah untuk menyalurkan debit
spesifik pada gradien tinggi enerji sama dengan satu.
Contoh problem aliran air tanah permanen satu dimensi adalah rembasan
yang melalul lapisan-lapisan tanah di atas saluran drainasi bawah tanah
seperti tergambar dalam Gambar 1.2.
2
Muka air bebas
H
Muka tanah
t1
K1
t2
K2
t3
K3
Tiga lapis
tanah lulus air
Udara
Muka air bebas
Air
Tanah
kedap air
Drainasi
bawah tanah
Gambar 1.2. Rembesan di atas saluran drainasi bawah tanah
Aliran rembesan disebabkan karena beda tinggi enerji yang ada yaitu antara
enerji tekanan air di bidang permukaan tanah dan enerji tekanan di bidang
dinding atas saluran drainasi, H = H - 0. Tiga lapisan tanah dengan
ketebalan t1, t2 dan t3 mempunyal permeabilitas tanah arah vertikal berturutturut, k1, k2 dan k3.
Hitungan debit spesifik rembasan dapat dilakukan dengan mengganti dua di
antara tiga lapisan tanah tersebut sedemikian hingga mempunyai karakter
hidraulis yang sama dengan satu lapisan yang lain. Dengan penggantian ini
diperoleh satu lapisan tanah homogen yang secara hidraulis ekuivalen
dengan tiga lapisan tanah yang ada. Lapisan tanah yang ekuivalen secara
hidraulis didefinisikan sebagai tanah yang mengalirkan debit spesifik sama
pada selisih tinggi enerji yang sama. Berdasarkan definisi ini hubungan
antara lapisan tanah ekuivalen hidrolis dengan lapisan tanah yang
digantikannya adalah
dengan indeks e dan o berturut-turut menunjukkan lapisan tanah ekuivalen
hidraulis dari lapisan tanah yang digantikannya. Dengan membuat jenis
tanah menjadi homogen, karakter tanah dua lapisan tanah yang diganti
disamakan dengan karakter tanah lapisan tanah yang lain. Hal ini berarti
menyamakan permeabilitas tanah, yaitu ke = kf, dengan indeks f
3
menunjukkan lapisan tanah yang tidak diganti. Substitusi k f ke dalam
Persamaan 1.2 memberikan tebal lapisan tanah ekuivalen
Dalam contoh di atas, seandainya dua lapisan tanah yang di bawah
disamakan dengan lapisan teratas diperoleh tebal ekuivalen tanah homogen
dengan permeabilitas k1
Dengan demikian debit spesifik rembasan adalah
Metode tersebut di atas dapat pula dipakai untuk kasus rembasan melalui
lapisan tanah dan lapisan filter geosintetis. Di sini tebal lapisan filter
geosintetis yang diganti dengan menggunakan prinsip di atas.
1.3. Persamaan Aliran Air Tanah Tak-permanen
Aliran air tanah yang melalui lapisan tanah lulus air yang relatif tipis dapat
dianggap mempunyai distribusi kecepatan vertikal seragam. Pada kasuskasus tertentu seperti rembasan melalui bendung rendah, tanggul saluran,
rembasan memotong badan jalan dan lain-lain, aliran air tanah dapat
dianggap sebagai problem 1 dimensi. Pada keadaan tertentu bisa
diperlukan analisis aliran rembasan tak-permanen.
4
Aliran air tanah tak permanen 1dimensi seperti terlihat pada Gambar 1.3.
mengikuti persamaan kekekalan massa
dengan
n: porositas tanah,
h : tebal aliran air tanah,
q: debit masuk dan luar ( misal : infiltrasi air hujan).
Substitusi Persamaan 1 .1 ke dalam Persamaan 1.6 dan mengganti H/I dengan
h/x memberikan
5
Berdasar persamaan di atas, ketebalan aliran air tanah pada tempat-tempat dan
saat-saat yang diinginkan dapat dicari (dalam bahasa matematika disebut
sebagai: “mencari solusi persamaan diferensial parsial yaitu Persamaan 1.6”). Hal
tersebut baru dapat dilakukan jika keadaan awal ketebalan air tanah pada suatu
saat tertentu (“kondisi awal”) dan ketebalan atau debit aliran di hulu dan hilir
daerah yang ditinjau sepanjang waktu di antara saat keadaan awal dan saat yang
ditinjau (“kondisi batas”) diketahui. Cara pencarian solusi tersebut dapat berupa
metoda pendekatan analitis atau metoda pendekatan numeris. Metoda numeris
beda hingga barangkali merupakan cara yang paling mudah dan sederhana untuk
menyelesaikan secara numeris kasus 1 dimensi ini. Tetapi aplikasinya terbatas
pada problem dengan batas geometri sederhana. Metoda ini tidak akan dibahas.
Aplikasi Metoda Elemen Hingga pada kasus 1 dimensi ini akan dibahas pada babbab berikutnya. Pembahasan dimaksudkan untuk menyampaikan metoda elemen
hingga melalui tahapan yang berawal dan masalah yang paling sederhana
tersebut di atas. Pembaca diharapkan akan dapat lebih cepat memperluas
pemahamannya sampai kepada pemahaman Metoda Elemen Hingga multi
dimensi setelah memahami metoda tersebut dalam kasus 1dimensi.
1.4. Aliran Air Tanah Multi Dimensi
Pembahasan aliran air tanah multi dimensi dibatasi pada masalah aliran
permanen (“steady state”). Hal ini dimaksudkan supaya pembaca dapat lebih
berkonsentrasi pada teknik aplikasi metoda elemen hingga pada dimensi lebih
dan satu.
Aliran air tanah dalam dimensi lebih dari satu tidak cukup untuk ditentukan
kuantitasnya dengan hanya berpedoman hubungan satu dimensi. Seperti pada
aliran permukaan hukum kontinyuitas massa dan fluks momentum dipakai untuk
menentukan kuantitas aliran air tanah.
Hukum kekekalan massa dalam ruang Cartesian memberikan,
 V  q  0
1.8
dengan
  
T
T  
, V  vx v y vz ,
 x y z 

6

atau dalam notasi tensor dapat ditulis,
dengan indeks i = 1 ,2,3 berturut-tunut
menunjuk arah sumbu x,y dan z, atau
yang berarti jumlah gradien debit spesifik harus sama dengan debit yang datang
atau meninggalkan titik tersebut (“source or sink”).
Hukum kekekalan fluks momentum adalah hukum Darcy dalam bentuk
persamaan matriks dan vektor sebagai berikut ini.
dengan H adalah potensial aliran air tanah dan
atau dalam notasi tensor dapat ditulis,
atau
7
Dari hubungan tersebut di atas, dapat dilihat bahwa tensor permeabilitas, K ,
memberikan pengaruh gradien potensial aliran atau gradien tinggi enerji pada
suatu arah kepada debit spesifik pada arah yang lain. Debit spesifik pada arah
tertentu merupakan jumlah pengaruh gradien potensial aliran semua arah (dalam
sumbu koordinat Cartesian).
Potensial aliran air tanah, H, adalah besaran potensial dalam bentuk “head” atau
tinggi enerji yang mempunyal satuan panjang. Besaran potensial ini merupakan
kombinasi dan enerji dan tekanan hidrostatis dan enenji potensial yang ditentukan
oleh letak titik yang ditinjau. Enerji kinetik aliran diabaikan karena kecepatan aliran
air tanah relatif sangat kecil. Di sini, tanah dianggap tidak dapat berubah bentuk
(“non-deformable”) sehingga tidak ada tekanan yang diakibatkan oleh berat tanah
di atas tempat yang ditinjau.
Substitusi Persamaan 1.9 ke dalam Persamaan 1.8 memberikan persamaan
aliran permanen multi dimensi untuk n=3 atau 3 dimensi sebagai berikut ini.
8
atau datam notasi tensor dapat ditulis,
Pada tahap ini, penulisan persamaan dengan cara konvensional menjadi tidak
praktis. Di sinilah dapat dimengerti bahwa mengapa penulisan pensamaan dalam
literatur-literatur atau journal memakal notasi matriks vektor atau tensor. Sekali
lagi pembaca dituntut untuk mencoba menguraikan sendiri untuk mendapatkan
pemahaman yang lebih balk.
Persamaan tersebut di atas dapat diselesaikan jika kondisi batas diketahui atau
dengan kata lain distribusi potensial aliran pada suatu daerah multi dimensi
(dalam bahasa matematis disebut: “domain”) dapat dihitung jika sifat hidraulis
tanahnya dan potensial atiran atau debit aliran pada batas daerah multi dimensi
tersebut dengan daerah luar diketahui (“kondisi batas” diketahui). Dengan
diketahuinya distribusi potensial aliran debit aliran dapat dihitung.
Pada masalah multi dimensi dengan sifat hidraulis tanah yang heterogen dan
geometri domain rumit, metoda numeris khususnya Metoda Elemen Hingga
memberikan pendekatan kuantitatif yang lebih balk dari metoda lain. Metoda
elemen hingga membagi-bagi domain hitungan dalam subdomain (elemen) yang
lebih kecil. Dengan demikian sifat hidraulis tanah yang berbeda-beda dapat
diberikan pada tiap elemen hitungan.
9