1 FUNGSI TRIGONOMETRI, FUNGSI EKSPONEN

FUNGSI TRIGONOMETRI, FUNGSI EKSPONEN, FUNGSI LOGARITMA
Makalah Ini Disusun Guna Memenuhi Tugas Mata Kuliah Kalkulus 1
Dosen Pengampu : Muhammad Istiqlal, M.Pd.
Disusun Oleh:
1. Mukhammad Rif’an Alwi
(23070160022)
2. Duvan Guramzig
(23070160027)
3. Arnindia Hani Safitri
(23070160063)
4. Afifah Khoirun Nida
(23070160078)
TADRIS MATEMATIKA
FAKULTAS TARBIYAH DAN KEGURUAN
INSTITUT AGAMA ISLAM NEGERI SALATIGA
2017
1
DAFTAR ISI
A. Fungsi Trigonometri ........................................................................................ 3
1. Definisi ..................................................................................................... 3
2. Fungsi Trigonometri ........................................................................... 3
3. Rumus Sinus dan Cosinus .................................................................. 4
4. Luas Segitiga ........................................................................................... 4
5. Rumus Dua Sudut ................................................................................. 4
B. Fungsi Eksponen ................................................................................................ 6
1. Definisi ..................................................................................................... 6
2. Grafik Fungsi Eksponen ..................................................................... 6
C. Fungsi Logaritma ............................................................................................. 10
1. Definisi ................................................................................................... 10
Daftar Pustaka .......................................................................................................... 13
2
PEMBAHASAN
A. Fungsi Trigonometri
1. Definisi
Arti trigonometri adalah ilmu ukur segitiga atau pengukuran segitiga.
Trigonometri mempelajari sudut dan fungsinya. Aplikasi matematika
dalam bidang keteknikan banyak menggunakan hubungan antara
sudut-sudut dan sisi segitiga. Hubungan tersebut disebut fungsi
trigonometri.
2. Fungsi Trigonometri
r
y
∝
x
Sin ∝ =
y
de
=
r
mi
Cot ∝ =
x sa
=
y de
Cos ∝ =
x
sa
=
r
mi
Sec ∝ =
r mi
=
x sa
Tan ∝ =
y
de
=
x
sa
Cosec ∝ =
Fungsi trigonomeri sudut-sudut istimewa.
Sin ∝
0
1
30°
2
1
2
45°
2
1
3
60°
2
90°
1
(Elyas H.,2016:1-2)
∝
0°
Cos ∝
1
1
3
2
1
2
2
1
2
0
Tan ∝
0
1
3
2
1
3
∞
3
r mi
=
y de
3. Rumus Sinus dan Cosinus
Dalam segitiga lancip berlaku rumus sinus dan cosinus sebagai
berikut
α
b
a
γ
β
c
Rumus Sinus
a
b
c
=
=
sin α sin β sin γ
Rumus Cosinus
a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos α
b 2 = a 2 + c 2 − 2ac cos β
c 2 = a 2 + c 2 − 2ab cos γ
4. Luas Segitiga
Apabila diketahui dua sudut segitiga yang diapit, maka
luassegitia dapat dihitung dengan rumus sebagai berikut:
1
Luas segitiga = ab sin α , atau
2
1
Luas segitiga = ab sin β , atau
2
1
Luas segitiga = ab sin γ .
2
Apabila yang diketahui hanya ketiga siinya, maka luas segitiga
dihitung dengan rumus:
Luas segitiga =
1
s ( s − a)( s − b)( s − c) , dengan s = (a + b + c) .
2
5. Rumus Dua Sudut
Untuk dua sudut dalam pada segitiga berlaku persamaan atau
umus dua sudut sebagai berikut:
Jumlah dua sudut
sin(α + β ) = sin α cos β + cos α sin β
cos(α + β ) = cos α cos β − sin α sin β
4
tan(α + β ) =
tan α − tan β
1 − tan α tan β
Selisih dua sudut
sin(α − β ) = sin α cos β − cos α sin β
cos(α − β ) = cos α cos β + sin α sin β
tan(α − β ) =
tan α − tan β
1 + tan α tan β
Apabila α = β , maka α + β = 2α , sehingga:
sin 2α = 2sin α cos α
cos 2α = cos 2 α − sin 2 α = 1 − sin 2 α = 2 cos 2 α − 1
tan 2α =
2 tan α
1 − tan 2 α
(Sunar Rochmadi,3-4)
CONTOH SOAL DAN PEMBAHASANNYA
1. Buktikan
1
1
( 2 − 1) = 1
2
tan x cos x
Jawab:
1
1
(
− 1)
2
tan x cos 2 x
1
= cos 2 x (
− 1)
cos 2 x
cos 2 x 1 − cos 2 x
=
(
)
sin 2 x
cos 2 x
cos 2 x sin 2 x
=
×
sin 2 x cos 2 x
=1
5
B. Fungsi Eksponen
Perhatikan dua buah fungsi elementer dalam bentuk seperti berikut ini:
y = f ( x) = x3
x
dany = f ( x) = 3
Dalam fungsi y = x 3 dengan pangkat variabel adalah konstanta, sehingga
fungsi ini termasuk ke dalam salah satu contoh fungsi aljabar. Sedangkan pada
contoh yang kedua, yaitu y = 3x merupakan contoh sebuah fungsi yang bukan
fungsi aljabar melainkan contoh fungsi eksponen.
Seatu fungsi yang memuat variabel sebagai pangkat atau eksponen kita
namakan fungsi eksponen. Secara lengkapnya, fungsi eksponen didefinisikan
sebagai berikut:
1. Definisi
Fungsi eksponen adalah fungsi yang mempunyai bentuk umum f ( x) = ka x
dengan k dan a adalah konstanta, a >0, dan a ≠ 1 .
2. Grafik Fungsi Eksponen
Sebagaimana telah kita ketahui bahwa fungsi eksponen adalah fungsi
dengan variabelnya (variabel bebasnya) merupakan pangkat dari suatu
bilangan tertentu, sehingga secara singkat dapat kita tulis dalam bentuk:
y = f ( x) = a x dengan a > 0 dan a ≠ 1
Untuk mempermudah menggambarkan grafik fungsi eksponen ini, kita
tinjau nilai konstanta atau bilangan tertentunya, yaitu kemungkinankemungkinan dari nilai a . Berdasarkan pengertian fungsi eksponen y = a x
dengan a > 0 dan a ≠ 1 , maka kita dapat membagi grafik fungsi eksponen
menjadi dua bagian besar, yaitu:
1. y = a x dengan a > 1
Dari sini kita dapat melihat, bahwa untuk x semakin besar, maka harga y
tentunya akan semakin besar pula. Sedangkan jika x semakin kecil, maka
tentunya y akan semakin kecil pula.
x menuju ~ → y akan menuju ~
6
x menuju − ~ → y akan menuju 0
2. y = a x dengan 0 < a < 1
Untuk a yang lebih kecil dari satu dan lebih besar dari nol, maka jika x
semakin besar tentunya y semakin kecil, dan jika x semakin kecil tentunya y
semakin besar.
x menuju ~ → y akan menuju 0
x menuju − ~ → y akan menuju ~
Untuk lebih jelasnya lagi tentang grafik fungsi eksponen ini kita lihat
beberapa contoh berikut ini.
Contoh 1.6
Gambarlah fungsi eksponen f ( x) = 2 x
Penyelesaian:
1) Titik-titik pada grafik
Untuk mempermudah menggambarnya, terlebih dahulu kita pilih
beberapa titik yang terletak pada grafik tersebut dengan tabel seperti
berikut ini.
x
− ~←
...
y = f ( x)
0←
. ..
Titik
potong
dengan
-2
1
4
-1
1
2
0
1
2
...
→−~
1
2
4
...
→~
sumbu
4,5
y : f (0) = 2 = 1 . Grafik memotong
4
sumbu y di titik (0,1). Selanjutnya
3,5
dengan mengambil beberapa harga
3
x di sebelah kiri dan sebelah kanan
2,5
x = 0 . Kita dapatkan beberapa titik
2
yang terletak pada grafik. Ternyata
1,5
0
untuk x → ~ maka
y → ~ , dan
1
untuk x → − ~ ternyata y → 0
0,5
0
-4
7
-2
0
2
4
Contoh 1.7
1
Gambarkan grafik fungsi f ( x) = ( ) x
2
Penyelesaian:
x
− ~←
...
-3
-2
-1
0
y = f ( x)
0←
. ..
8
4
2
1
2
1
4
...
→−~
...
→~
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
-4
-2
0
2
4
Dengan memperhatikan kedua contoh terakhir diatas, kita dapat melihat
bahwa grafik fungsi eksponen f ( x) = a x dengan a > 1 selalu naik untuk setiap
bertambah, dengan kata lain f ( x) = a x dengan a > 1 merupakan fungsi naik.
Sedangkan grafik fungsi eksponen f ( x) = a x dengan 0 < a < 1 selalu turun
untuk setiap bertambah, dengan kata lain fungsi f ( x) = a x dengan 0 < a < 1
merupakan fungsi turun. (Karso,2012:5-10)
8
9
C. Fungsi Logaritma Alami
1. Definisi
Fungsi logaritma alami dinyatakan oleh ln, didefinisikan sebagai
x1
ln x = ∫ dt , x > 0
1 t
Daerah asalnya adalah himpunan bilangan real positif (Edwin J.
Purcell,1987:372-376)
Jika x > 1, ln (x) = luas dari R
Turunan fungsi logaritma alami adalah
x1
1
Dx ∫ dt = Dx ln x = , x > 0
1 t
x
Selanjutnya
1
∫ u du = ln u + C , u ≠ 0
Ini melengkapkan rumus pengintregalan (Edwin J. Purcell, 1987)
Contoh 4
5
Tentukan
∫ 2 x + 7dx
Penyelesaian
Andaikan u = 2x + 7. Jadi du= 2dx. Sehingga
10
5
5
1
5 1
∫ 2 x + 7dx = 2 ∫ 2 x + 7 2dx = 2 ∫ u du
5
5
= ln u + C = ln 2 x + 7 + C
2
2
Teorema A
Apabila a dan b5bilangan-bilangan positif dan r sebuah bilang rasional,
= 2
maka
1)
Bukti
i.
In 1= 0
ii.
In ab= In a + In b;
iii.
In
iv.
In ar = r In a
1
a
= In a – In b;
b
1
∫ t dt = 0
(i)
In 1=
(ii)
Oleh karena untuk x > 0,
1
1
1
.a =
ax
x
1
Dx ln x = ,
x
DX ln ax =
(iii)
dan
menurut ( Teorema 4.8B) kita peroleh
In ax = In x + c
Untuk menghitung C, ambil x=1, maka In a= C, sehingga
In ax = In x + In a
Kemudian ambil x = b
Dalam (ii), ambilah a = 1/b, maka
1
1
In + Inb = In( .b) = In1 = 0
b
b
Jadi
1
In = − Inb
b
Dengan menggunakan (ii), kita peroleh
a
1
1
ln = ln(a. ) = ln a + ln = ln a − ln b
b
b
b
11
(iv)
Untuk x > 0 berlaku
ln x r = r ln x
Dan
1 r
Dx (r ln x) = r. =
x x
Ini bearti menurut theorema yang kita gunakan diatas dalam (ii) bahwa
ln x r = r ln x + C
Misalkan x=1 maka, memberikan C = 0. Ini bearti bahwa
ln x r = r ln x
Contoh soal:
1
2
Tentukan dy/dx untuk Dx ln x = , y = ln ( x − 1) / x , x > 1
x
Penyelesaian untuk mencari turunan tersebut, kita tulis y sebagai berikut
x − 1 1/3 1 x − 1
) = ln( 2 )
x2
3
x
1
1
=  ln( x − 1) − ln x 2  = [ ln( x − 1) − 2 ln x ]
3
3
y = ln(
Sehingga
dy 1  1
2
2− x
= 
− = 2
dx 3  x − 1 x  3 x − 3 x
12
DAFTAR PUSTAKA
Handayani,Elyas. 2016. Kupas Tuntas UN. Sukoharjo:CV Sindunata
Karso. 2012. Modul 7: Fungsi Eksponen dan Fungsi Logaritma Beserta Beberapa
Aplikasinya. (online) 195509091980021-KARSO, ( http://www.file.upi.edu/
Direktori/FPMIPA/JUR._PEND._MATEMATIKA/195509091980021KARSO/Modul_7_S1_PGSD.pdf, Diakses pada 27 Februari 2017).
Rocmadi,
Sunar.
Matematika
trigonometri.
(staff.uny.ac.id/sites/default/files/pendidikan/dr-ir-sunarrochmadi-mes/matematika-trigonometri.pdf, Diakses pada Sabtu, 4
Maret 2017.
Purcell, Edwin J, et.al. 1987. Calculus With Analitic Geometry. Prentice-Hall.
Inc:New York.
13