sistem bilangan real

http://danangmursita.staff.telkomuniversity.ac.id/
Sistem bilangan
N : bilangan
asli
Z : bilangan bulat
Q : bilangan rasional
N:
1,2,3,….
Z:
…,-2,-1,0,1,2,..
Q:
a
q  , a, b  Z , b  0
b
R  Q  Irasional
Contoh Bil Irasional
R : bilangan real
http://danangmursita.staff.telkomuniversity.ac.id/
2 , 3, 
Garis bilangan
Setiap bilangan real mempunyai posisi pada suatu garis yang disebut
dengan garis bilangan(real)
2
-3
0 1

Selang
Himpunan bagian dari garis bilangan disebut selang
http://danangmursita.staff.telkomuniversity.ac.id/
Selang
Jenis-jenis selang
Himpunan
{x x < a}
{x x  a}
{x a < x < b}
{x a  x  b}
{x x > b}
{x x  b}
{x x  }
selang
(- , a )
Grafik
(- , a]
a
(a, b)
a
[a, b]
(b, )
[b, )
(, )
http://danangmursita.staff.telkomuniversity.ac.id/
a
b
a
b
b
b
Sifat–sifat bilangan real
• Sifat-sifat urutan :
Trikotomi
Jika x dan y adalah suatu bilangan, maka pasti berlaku salah satu
dari x < y atau x > y atau x = y
Ketransitifan
Jika x < y dan y < z maka x < z
Perkalian
Misalkan z bilangan positif dan x < y maka xz < yz, sedangkan bila z
bilangan negatif, maka xz > yz
http://danangmursita.staff.telkomuniversity.ac.id/
Pertidaksamaan
• Pertidaksamaan satu variabel adalah suatu
bentuk aljabar dengan satu variabel yang
dihubungkan dengan relasi urutan.
• Bentuk umum pertidaksamaan :
A( x ) D( x )
<
B(x ) E (x )
• dengan A(x), B(x), D(x), E(x) adalah suku banyak
(polinom) dan B(x) ≠ 0, E(x) ≠ 0
http://danangmursita.staff.telkomuniversity.ac.id/
Pertidaksamaan
•
Menyelesaikan suatu pertidaksamaan adalah mencari
semua himpunan bilangan real yang membuat
pertidaksamaan berlaku. Himpunan bilangan real ini
disebut juga Himpunan Penyelesaian (HP)
•
Cara menentukan HP :
1. Bentuk pertidaksamaan diubah menjadi :
, dengan cara :
P( x)
<0
Q( x)
http://danangmursita.staff.telkomuniversity.ac.id/
Pertidaksamaan
 Ruas kiri atau ruas kanan dinolkan
 Menyamakan penyebut dan menyederhanakan bentuk
pembilangnya
2. Dicari titik-titik pemecah dari pembilang dan penyebut
dengan cara P(x) dan Q(x) diuraikan menjadi faktorfaktor linier dan/ atau kuadrat
3. Gambarkan titik-titik pemecah tersebut pada garis
bilangan, kemudian tentukan tanda (+, -)
pertidaksamaan di setiap selang bagian yang muncul
http://danangmursita.staff.telkomuniversity.ac.id/
Contoh :
Tentukan Himpunan Penyelesaian
1
13  2x - 3  5
13  3  2x  5  3
16  2x  8
8 x4
4 x 8
Hp = [4,8]
4
8
http://danangmursita.staff.telkomuniversity.ac.id/
Contoh :
Tentukan Himpunan Penyelesaian
2
- 2 < 6 - 4x  8
- 8 < -4x  2
8 > 4x  -2
- 2  4x < 8
1
- x<2
2
 1 
Hp   - ,2 
 2 
- 12
2
http://danangmursita.staff.telkomuniversity.ac.id/
Contoh :
Tentukan Himpunan Penyelesaian
3
2 x - 5x - 3 < 0
2
(2x 1)(x - 3) < 0
1
Titik Pemecah (TP) : x  2
++
--
-
1
dan
++
3
2
 1 
Hp =  - ,3 
 2 
http://danangmursita.staff.telkomuniversity.ac.id/
x3
Contoh :
Tentukan Himpunan Penyelesaian
4 2x - 4  6 - 7 x  3x  6
2x - 4  6 - 7 x
2x  7 x  6  4
9 x  10
10
x
9
10
x
9
dan
dan
6 - 7 x  3x  6
- 7 x - 3x  -6  6
dan
- 10x  0
dan
10x  0
dan
x0
http://danangmursita.staff.telkomuniversity.ac.id/
10 

Hp =  - ,   [0,  )
9

0
10
9
Dari gambar tersebut dapat disimpulkan :
 10 
Hp = 0, 
 9
http://danangmursita.staff.telkomuniversity.ac.id/
Contoh :
Tentukan Himpunan Penyelesaian
1
2
<
5.
x  1 3x - 1
1
2
<0
x  1 3x - 1
(3x - 1) - (2 x  2) < 0
(x  1)(3x - 1)
--
++
-1
-1
--
++
3
3
 1 
Hp = (- ,-1)   - ,3 
 3 
x -3
<0
(x  1)(3x - 1)
1
,3
TP : -1, 3
http://danangmursita.staff.telkomuniversity.ac.id/
Contoh :
Tentukan Himpunan Penyelesaian
6.
x 1
x

2- x 3 x
x 1
x
0
2- x 3 x
(x  1)(3  x ) - x(2 - x )  0
(2 - x )(3  x )
2x2  2x  3
0
(2 - x )(x  3)
http://danangmursita.staff.telkomuniversity.ac.id/
Untuk pembilang 2 x 2  2 x  3 mempunyai nilai
Diskriminan (D) < 0, sehingga nilainya selalu
positif, Jadi TP : 2,-3
Pembilang tidak menghasilkan titik pemecah.
--
++
-3
Hp =
-2
(,-3)  (2, )
http://danangmursita.staff.telkomuniversity.ac.id/
Pertidaksamaan nilai mutlak
• Nilai mutlak x (|x|) didefinisikan sebagai jarak
x dari titik pusat pada garis bilangan, sehingga
jarak selalu bernilai positif.
• Definisi nilai mutlak :
 x ,x  0
x 
- x , x < 0
http://danangmursita.staff.telkomuniversity.ac.id/
Pertidaksamaan nilai mutlak
• Sifat-sifat nilai mutlak:
1
2
x  x2
4
x  y
5
x
x

y
y
x  a, a  0  - a  x  a
x  -a
3 x  a, a  0  x atau
a
 x2  y 2
6. Ketaksamaan segitiga
x y  x  y
x- y  x - y
http://danangmursita.staff.telkomuniversity.ac.id/
Contoh : Menentukan Himpunan
Penyelesaian
Contoh :
1. 2 x - 5 < 3
Kita bisa menggunakan sifat ke-2.
 -3 < 2x - 5 < 3
 5 - 3 < 2x < 3  5
 2 < 2x < 8
1 < x < 4
Hp = (1,4)
1
4
http://danangmursita.staff.telkomuniversity.ac.id/
Contoh : Menentukan Himpunan
Penyelesaian
2.
2x - 5 < 3
Kita bisa juga menggunakan sifat ke-4,
karena ruas kiri maupun kanan keduanya positif.
 (2 x - 5) < 9
 4 x 2 - 20 x  16 < 0
2
 4 x 2 - 20 x  25 < 9
2
 2 x - 10 x  8 < 0
 (2x - 2)(x - 4) < 0
++
-1
Hp = (1,4)
TP : 1, 4
http://danangmursita.staff.telkomuniversity.ac.id/
++
4
Contoh : Menentukan Himpunan
Penyelesaian pake definisi
3. 2 x  3  4 x  5
Kita bisa menggunakan sifat 4
 (2 x  3)  (4 x  5)
2
2
 4 x 2  12 x  9  16 x 2  40 x  25
 -12 x 2 - 28 x - 16  0
2
 3x  7 x  4  0
TP :
4 , -1
3
http://danangmursita.staff.telkomuniversity.ac.id/
Contoh : Menentukan Himpunan
Penyelesaian
Jika digambar pada garis bilangan :
++
--4
3
++
-1
4
Hp = - ,    (- ,-1]
 3 
http://danangmursita.staff.telkomuniversity.ac.id/
Contoh : Menentukan Himpunan
Penyelesaian
4.
x
7  2
2
x
 7 2
2
x
  -5
2
 x  -10
atau
atau
atau
x
 7  -2
2
x
 -9
2
x  -18
Hp = [-10, )  (- ,-18]
-18
-10
http://danangmursita.staff.telkomuniversity.ac.id/
Contoh : Menentukan Himpunan
Penyelesaian
5. 3 x - 2 - x  1  -2
Kita definisikan dahulu :
 x  1 x  -1
x 1  
- x - 1 x < -1
x - 2 x  2
x-2  
2 - x x < 2
Jadi kita mempunyai 3 interval :
I
(- ,-1)
II
III
[- 1,2)
-1
[2, )
2
http://danangmursita.staff.telkomuniversity.ac.id/
Contoh : Menentukan Himpunan
Penyelesaian
(- ,-1)
3 x - 2 - x  1  -2
I. Untuk interval x < -1
atau
 3(2 - x) - (- x - 1)  -2
 6 - 3x  x  1  -2
 7 - 2x  -2
 -2x  -9
 2x  9
9
x
2
atau
9

 - , 
2

http://danangmursita.staff.telkomuniversity.ac.id/
Contoh : Menentukan Himpunan
Penyelesaian
9
Jadi Hp1 =  - ,   (- ,-1)
2

-1
9
2
Dari gambar garis bilangan tersebut dapat disimpulkan
bahwa hasil irisan kedua interval tersebut adalah (- ,-1)
sehingga Hp1 = (- ,-1)
http://danangmursita.staff.telkomuniversity.ac.id/
Contoh : Menentukan Himpunan
Penyelesaian
II. Untuk interval - 1  x < 2 atau
[- 1,2)
3 x - 2 - x  1  -2
 3(2 - x) - (x  1)  -2
 6 - 3x - x - 1  -2
 5 - 4x  -2
 -4x  -7
 4x  7
7
 x
4
7

atau  - , 
4

http://danangmursita.staff.telkomuniversity.ac.id/
Contoh : Menentukan Himpunan
Penyelesaian
7
Jadi Hp2 =  - ,   [- 1,2)


-1
4
7
4
2
Dari gambar garis bilangan tersebut dapat disimpulkan
7
bahwa hasil irisan dua interval tersebut adalah 
7

sehingga Hp2 = - 1, 
4

http://danangmursita.staff.telkomuniversity.ac.id/
- 1, 4 
Contoh : Menentukan Himpunan
Penyelesaian
III. Untuk interval
x  2 atau [2, )
3 x - 2 - x  1  -2
 3(x - 2) - (x  1)  -2
 3x - 6 - x - 1  -2
 2x - 7  -2
 2x  5
5
x
2
atau
5 
 2 ,  
http://danangmursita.staff.telkomuniversity.ac.id/
Contoh : Menentukan Himpunan
Penyelesaian
Jadi Hp3 =  5 ,    [2,  )

2

2
5
2
Dari gambar garis bilangan tersebut dapat disimpulkan
bahwa hasil irisan dua interval tersebut adalah  5 
sehingga
 2 ,  
5 
Hp3 =  ,  
2

http://danangmursita.staff.telkomuniversity.ac.id/
Contoh : Menentukan Himpunan
Penyelesaian
-1
7
4
5
2
5
-1
7
-1
7
4
4
5
2
2
7 5 

Jadi Hp = - ,    ,  
4 2 

http://danangmursita.staff.telkomuniversity.ac.id/
Contoh : Menentukan Himpunan
Penyelesaian
Hp = Hp1  Hp 2  Hp3
7 5 

Hp  (- ,-1)  - 1,    ,  
4 2 

Untuk lebih mempermudah, masing-masing interval
digambarkan dalam sebuah garis bilangan
http://danangmursita.staff.telkomuniversity.ac.id/
Soal Latihan
Cari himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan
1 x  2  1- x
4 - 2x
x - 2 x 1

2
2
x
x3
3 2 - x  3 - 2x  3
4 x 12  2 x  2  2
5 2x  3  4x  5
6 x  3x  2
http://danangmursita.staff.telkomuniversity.ac.id/
http://danangmursita.staff.telkomuniversity.ac.id/