IEEE Paper Template in A4 (V1)

Solusi Persamaan Schrӧdinger Bergantung Waktu Menggunakan Metode
Finite Difference Time Domain Quantum (FDTD-Q)
Williana1, Bansawang BJ2, Eko Juarlin3
1,2,3
Program Studi Fisika Jurusan Fisika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Hasanuddin
Email : [email protected]
Abstrak
Perluasan teknik Finite Difference Time Domain (FDTD) diterapkan untuk menyelesaikan persamaan
Schrӧdinger bergantung waktu 1 dimensi, 2 dimensi untuk partikel bebas dan persamaan Schrӧdinger
bergantung waktu 1 dimensi untuk potensial Coulomb. Teknik FDTD numerik yang menyelesaikan persamaan
Schrӧdinger disebut FDTD-Q. Analisis sistematis dari stabilitas dari teknik ini untuk menyelesaikan persamaan
Schrӧdinger bergantung waktu untuk partikel bebas dilakukan dalam penelitian ini. Program numerik stabil
selama
, program tidak stabil ketika
.
Kata kunci : Persamaan Schrӧdinger Bergantung Waktu, FDTD-Q, Stabilitas.
PENDAHULUAN
Persamaan Schrӧdinger dalam keadaan tertentu
sangat sulit diselesaikan secara analitik, sehingga
dalam beberapa keadaan solusi diperoleh dengan
melakukan menggunakan metode WKB atau teori
pertubasi. Oleh karena kebanyakan keadaan sistem
fisik di alam terlalu rumit untuk diselesaikan secara
analitik sehingga diharapkan bantuan komputer
untuk mencari solusi beberapa sistem fisis dalam
kuantum (J. R. Nagel, 2007).
Salah satu metode yang umum digunakan untuk
menyelesaikan persamaan differensial parsial (PDP)
bergantung waktu secara numerik adalah Finite
difference time domain (FDTD). Ide dasar dari
FDTD adalah mendiskritisasi persamaan differensial
parsial dalam ruang dan waktu kemudian dilakukan
pendekatan derivatif dengan menggunakan beda
hingga. Kelebihan FDTD adalah kesederhanaan
pengerjaan dan secara bertahap variabel waktu
meningkat dalam langkah-langkah diskrit (J. R.
Nagel, 2007).
Metode FDTD yang digunakan dalam
elektromagnetik diperluas kegunaanya dalam
kuantum. Aplikasi teknik FDTD untuk menganalisis
piranti kuantum (FDTD-Q) didasarkan pada FDTD
untuk elektromagnetik, dan perluasan metode ini
digunakan
untuk
menyelesaikan
persamaan
Schrӧdinger (J. Nouguier ,1983). Dengan cara yang
sama,
FDTD-Q
menyelesaikan
persamaan
Schrӧdinger yang terdiskritisasi dalam proses yang
berulang.
Teknik FDTD-Q telah digunakan untuk
menyelesaikan masalah titik kuantum (QD)
(Sullivan, D.M. and D. S. Citrin, 2002) dan
(Sullivan, D.M. and D. S. Citrin, 2001). Namun
beberapa aspek dari FDTD-Q, konvergensi dan
stabilitas skema numerik belum dieksplorasi sampai
sekarang. Dengan demikian dalam penelitian ini
akan dilakukan pengkajian terhadap penyelesaian
persamaan Schrӧdinger dalam 1 dan 2 dimensi
dengan metode FDTD dan pengujian kestabilan
program.
PERSAMAAN SCHRӦDINGER
Schrӧdinger menyatakan bahwa perilaku
elektron, termasuk tingkat-tingkat energi elektron
yang diskrit dalam atom, memenuhi suatu
persamaan diferensial untuk gelombang yang
kemudian dikenal sebagai persamaan Schrӧdinger.
Persamaan Schrӧdinger dalam mekanika kuantum
memiliki peran yang sama dengan Hukum Newton
dalam mekanika klasik. Hukum II Newton adalah
persamaan diferensial yang menjelaskan bagaimana
partikel klasik bergerak, sedangkan persamaan
Schrӧdinger adalah persamaan diferensial parsial
yang menjelaskan bagaimana fungsi gelombang
mewakili pasang surut dan pergerakan partikel
kuantum (A. C. Phillips, 2003).
Untuk setiap besaran konstan dan dapat diamati
dalam fisika ( ), seperti momentum linear, energi,
massa, atau momentum angular, sesuai dengan
sebuah operator ( ) yang bersesuaian dengan suatu
nilai ( ) yang merupakan nilai eigen dari . Hal
tersebut sesuai dengan persamaan:
(1)
Operator untuk momentum linear:
(2.a)
Untuk partikel yang bergerak sepanjang sumbu ,
akan diperoleh:
(2.b)
Persamaan nilai eigen dari operator ini adalah:
(2.c)
Suatu partikel memiliki energi total yang terdiri
dari energi potensial dan energi kinetik. Energi
potensial merupakan fungsi
(dengan referensi
koordinat tertentu) yang biasa ditulis
,
sedangkan energi kinetik dinyatakan dalam
momentum adalah
dengan
adalah massa
elektron dan
adalah momentumnya, dengan
menggunakan operator momentum pada persamaan
(2.b), maka Hamiltonian sistem yang merupakan
operatot energi dapat dituliskan:
(3)
Persamaan nilai eigen untuk operator
adalah:
(4)
Dengan operator energi yang bersesuaian:
(5)
Sehingga untuk persamaan (4) dengan mensubstitusi
operator
dan nilai eigen untuk
diperoleh
persamaan Schrӧdinder bergantung waktu 1 dimensi:
(6)
TEKNIK FDTD-Q
Langkah awal dari teknik FDTD-Q untuk
mendapatkan solusi numerik dari persamaan
Schrӧdinger bergantung waktu adalah memisahkan
fungsi gelombang kompleks menjadi dua fungsi
yaitu bagian real dan bagian imajiner seperti berikut:
(7)
dan persamaan Schrӧdinger bergantung waktu
dimensi dua:
(8)
Dengan memasukkan persamaan (7) ke dalam
persamaan (8) dan memisahkan bagian real untuk
dan bagian imajiner untuk
, maka diperoleh:
(9.a)
Gambar. 1 Revisi diskritisasi FDTD dengan penempatan
berselang
Gambar. 1 menunjukkan diskritisisasi Δx dalam
ruang dan Δt dalam waktu dengan menempatkan
bagian real
berselang dengan bagian imajiner .
Tanda titik hitam mewakili bagian real
sedangkan tanda silang X mewakili bagian imaginer
. Titik-titik diskritisasi tersebut kemudian
didefinisikan sebagai
dan
dimana dan adalah bilangan bulat yang dibatasi
oleh
, dan
(10)
Orde kedua dalam persamaan (9.a) dan (9.b),
didiskritisasi menggunakan diferensial berpusat.
Karena itu perhitungan dari persamaan (9.a) dan
persamaan (9.b) pada posisi
melibatkan poin
,
,
, dan
.
Sebagai contoh, untuk memperbaharui bagian real
dari fungsi gelombang pada titik diskrit
; pada
saat
, diperlukan bagian imaginer dari
fungsi gelombang pada titik-titik
,
,
,
, dan
pada saat
.
Evaluasi melibatkan bagian real dan imaginer
dari fungsi gelombang pada setiap titik. Orde kedua
dihitung pada setiap titik ruang diskrit, kemudian
pada skema numerik bagian real dan bagian
imaginer dari fungsi gelombang berada pada titik
diskritisasi yang sama. Sel unit dalam FDTD-Q
ditunjukkan dalam gambar. 2 (Soriano et al., 2004).
(9.b)
Karena
komputer
memiliki
kapasitas
penyimpanan yang terbatas, langkah selanjutnya
untuk menerapkan FDTD-Q adalah melakukan
diskritisasi yang mana merupakan satu set titik-titik
diskritisasi dalam ruang dan waktu yang akan
menyederhanakan fungsi (Nagel, J. R., 2010).
Gambar. 2 Sel FDTD-Q
Setelah operator differensial diganti dengan
operator diskrit menggunakan diferensial berpusat,
diperoleh
sebagai fungsi dari
dan
.
Nilai Eigen Temporal
Nilai eigen temporal λ pada persamaan
Scrhӧdinger dianalisis dari sisi kiri persamaan (8)
(12)
Dimana kedua bagian real dan imajiner dari fungsi
Ψ dianggap. Melalui operator diskrit yang setara,
diferensiasi numerik didapatkan:
(13)
Faktor penambahan q menentukan perubahan fungsi
gelombang pada setiap iterasi
(14)
(11.a)
dan untuk bagian imaginer:
Akan diperoleh persamaan untuk faktor penambahan
(15)
(11.b)
Persamaan (11.a) dan (11.b) diselesaikan melalui
proses berulang, dengan memerlukan kondisi batas,
dimana waktu meningkat sebesar Δt dalam iterasi
numerik.
STABILITAS
Diskritisasi waktu Δt adalah interval waktu
antara daerah perhitungan yang berurutan dalam
pendekatan numerik yang dijelaskan dalam
persamaan (11.a). Pemilihan Δt sangat penting
dalam simulasi FDTD-Q. Kerumitan program
berkurang seiring dengan meningkatnya Δt, di sisi
lain pertambahan waktu yang lebih panjang akan
menyebabkan simulasi kurang stabil.
Pertambahan waktu harus dipilih sebagai
keseimbangan antara kerumitan komputasi dan
kestabilan. Menetapkan pertambahan waktu
maksimum diperlukan untuk menjaga kestabilan
simulasi.
Untuk mengujian kelayakan stabilitas analitik
numerik, beda hingga dipisahkan menjadi dua nilai
eigen, nilai eigen spasial dan nilai eigen temporal.
Nilai-nilai eigen yang berhubungan dengan
dife/rensial spasial dan nilai-nilai eigen yang
berhubungan dengan operator waktu akan dihitung.
Jika nilai eigen spasial menyertakan nilai eigen
temporal, maka algoritma numerik dikatakan stabil
(E. A. Navarro,1992). Dengan cara ini, stabilitas
numerik dijamin dengan menghindari perubahan tak
terkendali dari kesalahan numerik pada setiap iterasi.
Ketidakstabilan muncul ketika fungsi eigen
terkait dengan λ nilai eigen bertambah pada setiap
iterasi. Stabilitas temporal bergantung pada setiap
mode spasial yang diasumsikan dengan kondisi
. Hal ini diverifikasi jika:
a. Im(λ)=0 kondisi ini menetapkan bahwa
semua nilai eigen harus nyata. Jika
diasumsikan bahwa Hamiltonian adalah
operator hermitian, itu akan selalu benar
karena semua nilai eigen yang berhubungan
dengan operator hermitian adalah nyata.
b. Re(λ)
. Kondisi stabil berasal dari
hubungan ini, melibatkan diskritisasi sapasial
dan temporal.
Nilai Eigen Spasial
Proses untuk nilai eigen temporal, diulang lagi
untuk nilai eigen spasial. Sisi kanan persamaan (8)
dianalisis sebagai nilai eigen spasial
(16)
Dengan solusi umum:
=
(17)
Solusi numerik memerlukan kedua nilai eigen, baik
temporal maupun spasial, dimana bagian spasial dan
temporal dari persamaan Schrӧdinger adalah sama.
Untuk memperoleh
, diperoleh hubungan
berikut:
(18)
0.07
0.06
0.06
0.05
0.05
0.04
0.03
0.03
0.025
Probabilitas
0.02
0.015
0.04
0.03
0.02
0.02
0.01
0.01
0
Satuan yang digunakan untuk besaran panjang
adalah meter, massa adalah kg, waktu adalah detik,
energi adalah eV
.
Beberapa tetapan yang digunakan antara lain massa
elektron
, tetapan Plank
.
Solusi persamaan Schrӧdinger bergantung
waktu 1 dimensi secara numerik menggunakan
metode FDTD-Q dengan mengambil
sebagai batas kiri dan
sebagai batas kanan
yang dibagi dalam 80 segmen, jumlah segmen
sebanyak 50, jumlah iterasi sebanyak 2000 dan
dengan penambahan waktu sebesar
pada
tiap kali iterasi waktu dimana besar
dihitung menggunakan persamaan (19) untuk
partikel bebas diperoleh grafik probabilitas terhadap
posisi seperti pada gambar. 3.
Probabilitas
Probabilitas
Dengan Δt sebagai fungsi dari diskritisasi spasial
dan konstanta yang tersisa, nilai maksimum dari
yang menjamin kestabilan algoritma program[7]:
(19)
0.07
0
200
400
600
800
1000 1200
Iterasi t
1400
1600
1800
0
2000
0
400
600
800
1000 1200
Iterasi t
1400
1600
1800
2000
(a)
(b)
Gambar. 4 Grafik probabilitas pada titik sembarang selama dua
ribu iterasi pertama (a) dengan
(b) dengan
Gambar. 4 menampilkan dua grafik probabilitas
terhadap iterasi t dengan yang berbeda. Gambar.
4(a) dengan
dan gambar. 5(b)
dengan
program stabil karena memiliki
nilai hingga iterasi ke-2000. Program masih stabil
sampai
. Pada awal grafik terdapat garis
horizontal yang terjadi karena pada awal iterasi t
nilai fungsi gelombang imaginer
belum terhitung
pada semua titik diskritisasi. Semakin kecil maka
semakin banyak jumlah iterasi waktu yang
dibutuhkan untuk menghitung seluruh titik
dikritisasi untuk . Selain itu jumlah segmen juga
mempengaruhi panjang garis horizontal, semakin
banyak segmen maka semakin banyak iterasi waktu
dibutuhkan untuk menghitung seluruh titik
diskritisasi untuk
. Perulangan grafik semakin
cepat ketika
semakin besar.
307
307
x 10
x 10
10
0.01
0.005
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
X
0.2
0.4
0.6
0.8
1
-8
x 10
Probabilitas
10
Probabilitas
0
-1
200
5
5
Gambar. 3 Grafik probabilitas terhadap posisi pada iterasi t ke430
Grafik probabilitas terhadap posisi pada gambar
3 merupakan grafik probabilitas untuk semua tingkat
energi. Grafik yang dihasilkan oleh program
numerik ini merupakan grafik simetris hal ini
disebabkan oleh proses numerik dilakukan dengan
pola leap frog di mana pola leap frog yang dipilih
menghasilkan grafik yang simetri, serta potensial
dan lebar sumur bersifat simetri sehingga
menghasilkan grafik probabilitas terhadap posisi
yang simetri.
Stabilitas program dilihat dari grafik
probabilitas terhadap iterasi waktu pada titik
sembarang dengan jumlah segmen sebanyak 80,
dengan jumlah iterasi sebanyak 2000 untuk
dan untuk
digambarkan pada Gambar . 4.
0
0
200
400
600
800
1000 1200
iterasi t
1400
(a)
1600
1800
2000
0
0
200
400
600
800
1000 1200
iterasi t
1400
1600
1800
2000
(b)
Gambar. 5 Grafik probabilitas pada titik sembarang selama dua
ribu iterasi pertama (a) dengan
(b) dengan
Gambar. 5 menampilkan dua grafik probabilitas
terhadap iterasi t dengan
yang berbeda. Gambar.
5(a) dengan
dan Gambar. 5(b)
dengan
program tidak stabil karena
grafik menyimpang, probabilitas memiliki nilai
sangat
besar
(tak
berhingga).
Untuk
grafik mulai menyimpang pada
sekitar
iterasi
ke-1800,
sedangkan
untuk
grafik mulai menyimpang pada
sekitar iterasi ke-1300. Program tidak stabil ketika
, semakin besar
maka grafik lebih
cepat menyimpang (tak berhingga). Sesuai dengan
persamaan (11.a) dan persamaan (11.b),
berbanding lurus dengan fungsi gelombang
dan
dimana
yang besar akan menyebabkan
dan
semakin besar pada iterasi berikutnya
dengan syarat pada persamaan (19) untuk menjaga
kestabilan program karena jika
dihasilkan
dan
yang sangat besar yang
menyebabkan nilai probailitas tak berhingga.
Setelah menyelesaikan persamaan Schrӧdinger
bergantung waktu 1 dimensi untuk partikel bebas,
program
numerik
dikembangkan
untuk
menyelesaikan persamaan Schrӧdinger bergantung
waktu 1 dimensi untuk elektron yang berada di
antara dua inti atom (Potensial Coulomb). Nilai
potensial pada program diganti, dalam kasus ini
terdapat dua inti atom yang memiliki nilai potensial,
yaitu inti atom yang terletak di kiri dan inti atom
yang terletak di kanan. Bentuk grafik probabilitas
terhadap posisi bergantung pada nilai kedua
potensial tersebut.
20
19
4.5
x 10
2.5
x 10
4
2
3.5
3
Potensial
Potensial
1.5
2.5
2
1
1.5
1
menghasilkan grafik probabilitas simetri. Gambar.
7(b) dengan nilai
untuk inti atom di kiri
dan nilai
untuk inti atom di kanan
menghasilkan grafik probabilitas asimetri. Jika
potensial inti atom di kiri dan potensial inti atom di
kanan memiliki nilai yang sama, grafik probabilitas
terhadap posisi yang dihasilkan adalah simetri,
sedangkan jika kedua nilai potensial kedua inti atom
tersebut memiliki nilai yang berbeda, grafik
potensial terhadap posisi yang dihasilkan adalah
asimetri.
Teknik
FDTD-Q
dikembangkan
untuk
menyelesaikan persamaan Schrӧdinger bergantung
waktu 2 dimensi untuk partikel bebas. Beberapa
nilai variabel yang digunakan dalam simulasi
numerik ini antara lain
sebagai batas awal
sumbu x,
sebagai batas akhir sumbu x,
sebagai batas awal sumbu z,
sebagai batas
akhir sumbu z, yang masing-masing dibagi dalam 80
segmen, jumlah iterasi adalah sebanyak 1000 dan
penambahan waktu sebesar 0,2Δtmax pada tiap kali
iterasi waktu dimana besar Δtmax dihitung
menggunakan persamaan (19), diperoleh grafik
probabilitas terhadap posisi.
0.5
0.5
0
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
X
0.2
0.4
0.6
0.8
0
-1
1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
X
-8
x 10
(a)
0.2
0.4
0.6
0.8
1
-8
x 10
(b)
Gambar. 6 Grafik potensial terhadap posisi dengan (a) nilai k dari
kedua inti atom sama, (b) nilai k dari kedua inti atom tidak sama
Gambar. 6 menunjukkan grafik potensial simetri
dan asimetri, Gambar. 6(a) dengan nilai
untuk inti atom di kiri dan di kanan menghasilkan
grafik potensial simetri, Gambar. 6(b) dengan nilai
untuk inti atom di kiri dan nilai
untuk inti atom di kanan
menghasilkan grafik potensial asimetri.
Dengan mengambil
sebagai batas kiri dan
sebagai batas kanan yang dibagi dalam 80 segmen,
jumlah iterasi sebanyak 1000, dengan penambahan
waktu sebesar 0,2Δtmax pada tiap kali iterasi,
diperoleh grafik probabilitas terhadap posisi:
0.08
0.09
0.07
0.08
0.07
0.06
0.06
Probabilitas
0.04
0.05
0.04
0.03
0.03
0.02
0.02
0.01
0.05
0.05
0.04
0.04
0.03
0.03
0.01
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
X
(a)
0.2
0.4
0.6
0.8
1
-8
x 10
0
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
X
0.2
0.4
0.6
0.8
1
-8
x 10
(b)
Gambar . 7 Grafik probabilitas terhadap posisi dengan (a) nilai k
dari kedua inti atom sama, (b) nilai k dari kedua inti atom tidak
sama
Gambar. 7 menunjukkan grafik probabilitas
simetri dan asimetri. Gambar. 7(a) dengan nilai
untuk inti atom di kiri dan di kanan
Probabilitas
0
-1
Gambar. 8 memperlihatkan tampilan grafik
probabilitas tampak dari atas. Tampilan dari atas
diperlukan untuk memperlihatkan keseluruhan
grafik. Grafik bersifat simetri karena selain
menggunakan pola leap frog dalam proses numerik
yang menghasilkan grafik simetris, sistem kuantum
memiliki nilai potensial dan lebar sumur yang
simetri sehingga menghasilkan grafik probabilitas
terhadap posisi yang simetri.
Probabilitas
Probabilitas
0.05
Gambar.8 Grafik kontur probabilitas terhadap posisi pada iterasi
ke-430 tampak dari atas
0.02
0.01
0.02
0.01
0
0
-0.01
-0.01
0
1000
2000
3000
4000
5000
Iterasi t
6000
7000
8000
9000
10000
0
1000
2000
3000
4000
5000
Iterasi t
6000
7000
8000
9000
10000
(a)
(b)
Gambar. 9 Nilai probabilitas hingga iterasi ke-10000 pada titik
sembarang (a) dengan
dan (b) dengan
Gambar. 9 menampilkan kestasbilan program
yang dapat diamati selama
. Grafik
diperoleh dengan jumlah segmen masing-masing
untuk sumbu x dan sumbu z adalah 20. Gambar. 9(a)
dengan
dan Gambar. 9(b) dengan
program stabil karena memiliki nilai
probabilitas hingga iterasi ke-10000. Pada grafik
tampak perulangan yang terjadi dimana perulangan
semakin cepat jika
semakin besar. Pola
perulangan grafik ini sesuai dengan grafik yang
ditampilkan pada penelitian sebelumnya (Soriano et
al., 2004).
307
307
16.1488
x 10
x 10
Probabilitas
Probabilitas
10
8.0744
0
0
200
400
600
800
1000 1200
iterasi t
1400
1600
1800
2000
5
0
0
200
400
600
800
1000 1200
iterasi t
1400
1600
1800
persamaan Schrӧdinger bergantung waktu 2 dimensi
untuk partikel bebas. Program numerik untuk
menyelesaikan persamaan Schrӧdinger bergantung
waktu 1 dimensi dengan metode FDTD-Q untuk
potensial Coulomb menghasilkan grafik probabilitas
terhadap posisi yang simetri jika nilai potensial
kedua initi atom sama dan asimetri jika nilai
potensial kedua inti atom berbeda. Program numerik
untuk menyelesaikan persmaan Schrӧdinger
bergantung waktu 1 dan 2 dimensi dengan metode
FDTD-Q untuk partikel bebas menghasilkan grafik
kontur probabilitas terhadap posisi yang simetri
karena dalam proses numerik digunakan pola leap
frog yang menghasilkan grafik simetris. Telah
dianalisis kestabilan program numerik dengan syarat
kestabilan Courant dimana program stabil ketika
, dan ketika
program
tidak stabil.
2000
(b)
Gambar. 10 Nilai probabilitas hingga iterasi ke-2000 pada titik
sembarang (a) dengan
(b) dengan
Gambar. 10 menampilkan dua grafik
probabilitas terhadap iterasi t dengan
yang
berbeda dengan jumlah segmen 40 untuk masingmasing sumbu x dan sumbu z. Gambar. 10(a)
dengan
dan Gambar. 10(b) dengan
program tidak stabil karena grafik
menyimpang, probabilitas memiliki nilai sangat
besar (tak berhingga).
Untuk
grafik mulai menyimpang pada sekitar iterasi ke1300, sedangkan untuk
grafik
mulai menyimpang pada sekitar iterasi ke-900.
Program tidak stabil ketika
, semakin
besar
maka grafik lebih cepat menyimpang
(blow up). Sesuai dengan persamaan (11.a) dan
persamaan (11.b),
berbanding lurus dengan
fungsi gelombang
dan
dimana
yang
besar akan menyebabkan
dan
semakin besar
pada iterasi berikutnya dengan syarat pada
persamaan (19) untuk menjaga kestabilan program
karena jika
dihasilkan
dan
yang sangat besar yang menyebabkan nilai
probailitas tak berhingga.
KESIMPULAN
Metode FDTD-Q dapat menyelesaikan persamaan
Schrӧdinger bergantung waktu 1 dimensi untuk
partikel bebas dan potensial Coulomb dan
DAFTAR PUSTAKA
A. C. Phillips, 2003, Introduction to Quantum
Mecanics, England: Departement of
Physics and Astronomy Universitas of
Manchester.
E. A. Navarro, 1992, PhD thesis, Universidad de
Valecia.
J. Nouguier, 1983. metodos de calcul Numerique,
Paris.
J. R. Nagel, 2007, The One-Dimensional FiniteDifference
Time-Domain
(FDTD)
Algorithm Applied to the Schrӧdinger
Equation, Salt Lake City: Utah.
Nagel, J. R. , 2010, The Finite-Difference TimeDomain (FDTD) Algorithm. Salt Lake City:
Utah.
Soriano Antonio, Enrique A. Navarro, Jorge A. Porti,
Vicente Such, 2004, ”Analysis Of The
Time Difference Time Domain Technique
To Solve The Schrodinger Equation For
Quantum Devices,” Journal Of Applied
Physics, 95.12:8011-8018.
Sullivan, D.M. and D. S. Citrin, 2002 “TimeDomain Simulation of a Universal
Quantum Gate,” Journal of Applied Physics,
96.5 : 3219-3226.
Sullivan, D.M. and D. S. Citrin, 2001, “TimeDomain Simulation of Two Electrons in A
Quantum Dot,” Journal of Applied Physics,
89.7: 3841-3846.