Operator Differensial Kompleks

Divergensi, Laplacian, Curl, dan
Gradien
Sutoyo,ST.,MT
Teknik Elektro
FST UIN SUSKA RIAU
1. Gradien, Divergensi, Curl, dan Laplacian
 Operator
memungkinkan untuk
mendefinisikan operasi berikut, fungsi f (x)
merupakan suatu fungsi riil yang mempunyai
turunan kontinue.

1. Gradien, Divergensi, Curl, dan Laplacian
 Fungsi A (x,y) = P (x,y) + jQ (x,y)
merupakan fungsi kompleks yang memiliki
turunan kontinue erhadap x dan y (vektor).
1. Gradien, Divergensi, Curl, dan Laplacian (cont..)
Dalam suku – suku koordinat sekawan :
F (x,y) = F
dan A (x,y)=

1.
z  z z  z
 z , 2 j   Gz, z 


B( z, z )
Gradien
Definisi gradien dari suat fungsi riil F (skalar). Secara ilmu ukur
, ini menyatakan suat vektor normal pada kurva F(x,y) = c di
mana c suatu konstanta , dengan cara yang sama gradien suatu
fungsi kompleks A = P + jQ (vektor) didefinisikan sbb :
1. Gradien
1. Grad F =
P
F
G
F 
j
2
x
y
z
Untuk A = P + jQ
Maka Grad A =


A 
 j  ( P  jQ)
x
y
A 
P Q


x y
 P Q 
B
j 

2

z
 y x 
2. Divergensi
 Dengan menggunakan hasil kali titik dari dua
bilangan kompleks yang diperluas pada kasus
operator
 Divergensi adalah suatu fungsi kompleks atau
riil yang senantiasa merupakan fungsi riil
2. Divergensi
 Div A =
= Re (
= Re
= 2Re
 A
)
 A
 

 



j
(
P

Q
)




x

y




 B 
 
 z 
3. Curl
 Dengan menggunakan definisi hasil kali silang
dari dua bilangan kompleks
 Dengan cara yang sama kita
mendefinisikan curl suau fungsi riil
dapat
3. Curl
 Curl A =
xA
= Im (
)
xA
= Im
 

 
  j ( P  Q)
y 
 x

= 2Im
2 2
2
 2 4
2
zz
x y
4. Laplacian
 Operator laplacian merupakan hasil kali del
dengan dirinya sendiri
   
2
=
Re  
=
 
   

Re   j    j 
y  x
y 
 x
=
2 2
2
 2 4
2
zz
x y
Latihan Soal :
1.
a.
Jika A (x,y) =2xy – jx2y3 tentukan
gradien, curl, divergensi, laplacian
2. Jika F = x2y – xy2 tentukan :
a. gardien, curl, laplacian, divergensi
Beberapa Kesamaan Yang Melibatkan
Gradien , Divergensi, dan Curl

Kesamaan berikut ini berlaku jika A1, A2 dan A adalah
fungsi yang memiliki turunan :
1. Grad (A1 + A2) = grad A1 + grad A2
2. Div (A1 + A2) = div A1 + div A2
3. Curl (A1 + A2) = curl A1 + curl A2
4. Grad (A1A2) = (A1) (grad A2) + (grad
A1)(A2)
Beberapa Kesamaan Yang Melibatkan
Gradien , Divergensi, dan Curl
5. Curl Grad A = 0 jika A riil atau lebih
umum lagi Im { A } harmonik
6. Div Grad A = 0 jika A khayal atau lebih
umum lagi jika Re { A } harmonik
To be continued
wassalam