Bab IV Vektor di Bidang dan di Ruang

Aljabar Linear Elementer
MA1223
3 SKS
Silabus :
Bab
Bab
Bab
Bab
Bab
Bab
Bab
Bab
I
Matriks dan Operasinya
II Determinan Matriks
III Sistem Persamaan Linear
IV Vektor di Bidang dan di Ruang
V Ruang Vektor
VI Ruang Hasil Kali Dalam
VII Transformasi Linear
VIII Ruang Eigen
07/03/2007 12:16
MA-1223 Aljabar Linear
1
VEKTOR DI BIDANG DAN DI RUANG
Pokok Bahasan :
1. Notasi dan Operasi Vektor
2. Perkalian titik dan Proyeksi Ortogonal
3. Perkalian silang dan Aplikasinya
Beberapa Aplikasi :
• Proses Grafika Komputer
• Kuantisasi pada proses kompresi
• Least Square pada Optimasi
• Dan lain-lain
07/03/2007 12:16
MA-1223 Aljabar Linear
2
Notasi dan Operasi
Vektor Î besaran yang mempunyai arah
Notasi vektor
⎛ c1 ⎞
⎜ ⎟
c = ⎜ c2 ⎟ = c1iˆ + c2 ˆj + c3 kˆ = (c1 , c2 , c3 )
⎜c ⎟
⎝ 3⎠
Notasi panjang vektor
adalah
⎛ c1 ⎞
⎜ ⎟
c = ⎜ c2 ⎟
⎜c ⎟
⎝ 3⎠
c = c1 + c2 + c3
2
2
2
Vektor satuan Î Vektor dengan panjang atau norm
sama dengan satu
07/03/2007 12:16
MA-1223 Aljabar Linear
3
Operasi Vektor meliputi :
1. Penjumlahan antar vektor (pada ruang yang sama)
2. Perkalian vektor
(a) dengan skalar
(b) dengan vektor lain
• Hasil kali titik (Dot Product)
• Hasil kali silang (Cross Product)
07/03/2007 12:16
MA-1223 Aljabar Linear
4
Penjumlahan Vektor
Misalkan u dan v adalah vektor – vektor
yang berada di ruang yang sama, maka vektor
maka u + v didefinisikan
v
u +v
u
{
u
07/03/2007 12:16
MA-1223 Aljabar Linear
5
Perkalian vektor dengan skalar
Perkalian vektor
u dengan skalar k,
(k u )
didefinisikan sebagai vektor yang panjangnya k kali
panjang vektor u dengan arah
Jika k > 0 Æ searah dengan u
Jika k < 0 Æ berlawanan arah dengan
u
2u
u
− 2u
07/03/2007 12:16
MA-1223 Aljabar Linear
6
Scaling
P’
P
07/03/2007 12:16
MA-1223 Aljabar Linear
7
Secara analitis, kedua operasi pada vektor diatas
dapat dijelaskan sebagai berikut :
Misalkan a = (a11 a 2 , a 3 ) dan
b = (b1 , b 2 , b 3 )
adalah vektor-vektor di ruang yang sama
maka
1. a + b = (a1 + b1 , a2 + b2 , a3 + b3 )
2. a − b = (a1 − b1 , a2 − b2 , a3 − b3 )
3. k a = (ka1 , ka2 , ka3 )
07/03/2007 12:16
MA-1223 Aljabar Linear
8
Perkalian antara dua vektor
• Hasil kali titik (dot product)
• Hasil kali silang (cross product)
Hasil kali titik (dot product)
Î Hasil kali titik merupakan operasi
antara dua buah vektor pada ruang yang sama
yang menghasilkan skalar
Hasil kali silang (Cross product)
Î Hasil kali silang merupakan operasi
antara dua buah vektor pada ruang R3
yang menghasilkan vektor
07/03/2007 12:16
MA-1223 Aljabar Linear
9
Dot Product
Misalkan a, b
adalah vektor pada ruang yang sama
maka hasil kali titik antara dua vektor :
a • b = a b cosα
dimana
a
: panjang a
b
: panjang b
α
: sudut keduanya
07/03/2007 12:16
MA-1223 Aljabar Linear
10
Ilustrasi dot product vektor A dan B
A• B = A
07/03/2007 12:16
B cosα
MA-1223 Aljabar Linear
11
Contoh 2 :
Tentukan hasil kali titik dari dua vektor
a = 2iˆ dan b = 2iˆ + 2 ˆj
Jawab :
Karena tan α = 1 , artinya = 450
a • b = a b cosα
1
=2 8
2
=4
07/03/2007 12:16
MA-1223 Aljabar Linear
12
Ingat aturan cosinus
c
α
a
a2 = b2 + c2 – 2 bc cos α
b
Perhatikan
a
b−a
a
α
−b
b
b
b −a
2
07/03/2007 12:16
= a
2
+ b
2
−2 a
b cos α
MA-1223 Aljabar Linear
13
Selanjutnya dapat ditulis
b cos θ =
a
1
2
⎡ a
⎢⎣
2
+ b
2
− b −a
2
⎤
⎥⎦
Ingat bahwa :
1. a • b = a b cosα
2.
3.
4.
a
a • b = a1b1 + a2b2 + ... + anbn
2
= a 1 + a 2 + ... a n
2
= b 1 + b 2 + ... + b n
b
b−a
2
2
2
2
2
2
2
= (b1 − a1 ) + (b2 − a2 ) + ... + (bn − an )
2
2
2
= b1 + b 2 + ... + b n + a 1 + a 2 + ... + a n
2
2
2
2
2
2
− 2 b1 a 1 − 2 b n a n − ... − 2 b n a n
07/03/2007 12:16
MA-1223 Aljabar Linear
14
Perhatikan setiap sukunya, diperoleh hubungan :
a • b = a1b1 + a2b2 + ... + anbn
Tentukan kembali hasil kali titik dari dua vektor pada
contoh sebelumnya
a • b = a1b1 + a 2 b2
= 2 (2) + 0 (2)
=4
Beberapa sifat hasilkali titik :
1. a • b = b • a
(
) ( )
2. a • (b + c ) = a • b + a • c
(
)
3. k a • b = k a • b = a • kb , dimana k ∈ R
07/03/2007 12:16
MA-1223 Aljabar Linear
15
Proyeksi Ortogonal
a
w
terlihat bahwa
b
c =k b
k=
c = proyb a
Karena
a = w +c
a •b
b
2
a • b = (w + c ) • b
= w •b + c •b
= kb • b
=k b
07/03/2007 12:16
MA-1223 Aljabar Linear
16
Jadi,
rumus proyeksi diperoleh :
Pr oyb a =
a •b
b
2
b
Contoh 4 :
Tentukan proyeksi ortogonal
⎛ − 2⎞
⎜ ⎟
vektor u = ⎜ − 4 ⎟
⎜ 3 ⎟
⎝ ⎠
⎛ 1 ⎞
⎜ ⎟
terhadap vektor v = ⎜ 3 ⎟
⎜ − 4⎟
⎝ ⎠
07/03/2007 12:16
MA-1223 Aljabar Linear
17
Jawab :
Pr oy v w =
w •v
v
2
v
⎛ − 2⎞ ⎛ 1 ⎞
⎜
⎟ ⎜
⎟
⎜ − 4⎟ • ⎜ 3 ⎟
⎜ 3 ⎟ ⎜ − 4 ⎟ ⎛⎜ 1 ⎞⎟
⎠ ⎝
⎠
= ⎝
⎜ 3 ⎟
2
2
2
1 + 3 + ( −4) ⎜ − 4 ⎟
⎝
⎠
⎛ 1 ⎞
⎟
− 2 + ( − 12 ) + ( − 12 ) ⎜
=
⎜ 3 ⎟
26
⎜− 4⎟
⎝
⎠
⎛ 1 ⎞
⎟
− 26 ⎜
=
⎜ 3 ⎟
26 ⎜
⎟
⎝− 4⎠
⎛ − 1⎞
⎜
⎟
= ⎜ − 3⎟
⎜ 4 ⎟
⎝
⎠
07/03/2007 12:16
MA-1223 Aljabar Linear
18
Cross Product (hasilkali silang)
Hasil kali silang merupakan hasil kali antara dua vektor
di Ruang (R3) yang menghasilkan vektor yang tegak
lurus terhadap kedua vektor yang dikalikan tersebut.
iˆ
C = A x B = A1
B1
ˆj
B2
B2
A2
A3
B2
B3
=
07/03/2007 12:16
kˆ
A3
B3
iˆ −
A1
A3
B1
B3
ˆj +
MA-1223 Aljabar Linear
A1
B1
A2 ˆ
k
B2
19
Ilustrasi Cross Product (hasilkali silang)
C = A xB
07/03/2007 12:16
MA-1223 Aljabar Linear
20
Contoh :
Tentukan w = u × v ,
dimana u = (1, 2, − 2) v = (3, 0, 1)
Jawab :
ˆj
iˆ
w = u1 u2
v1 v2
kˆ
u3
v3
iˆ ˆj kˆ
= 1 2 −2
3 0 1
= (2.1 − 0( −2) ) iˆ + (3( −2) − 1.1) ĵ + (1.0 − 3.2) k̂
= 2 iˆ − 7 ˆj − 6 kˆ
07/03/2007 12:16
MA-1223 Aljabar Linear
21
Beberapa sifat Cross Product :
a. u • ( u x v ) = 0
b. v • ( u x v ) = 0
c. u × v
2
= u
07/03/2007 12:16
2
v
2
− (u • v )
2
MA-1223 Aljabar Linear
22
Dari sifat ke-3 diperoleh
u ×v
2
= u
2
v
− (u • v )
2
2
= u ⋅ v − ( u ⋅ v ⋅ cos α )
2
2
2
(
= u ⋅ v − u ⋅ v ⋅ cos 2 α
2
2
= u ⋅ v
2
2
2
2
)
(1 − cos α )
2
= u ⋅ v ⋅ sin 2 α
2
2
Jadi, u x v = u ⋅ v ⋅ sin α
07/03/2007 12:16
MA-1223 Aljabar Linear
23
Perhatikan ilustrasi berikut :
v
v sin α
α
u
u
Luas Jajaran Genjang = u x v = u ⋅ v ⋅ sin α
Luas segitiga yang dibentuk oleh kedua vektor tersebut
adalah
1
Luas segitiga = u × v
2
07/03/2007 12:16
MA-1223 Aljabar Linear
24
Contoh :
Diketahui titik-titik diruang ( di R³ ) adalah :
A = (1, –1, –2)
B = (4, 1, 0)
C = (2, 3, 3)
Dengan menggunakan hasilkali silang, tentukan luas
segitiga ABC !
Jawab :
Tulis
AB = B – A= (4, 1, 0) – (1, –1, –2)
= (3, 2, 2)
AC = C – A= (2, 3, 3) – (1, –1, –2)
= (1, 4, 5)
07/03/2007 12:16
MA-1223 Aljabar Linear
25
AB × AC =
iˆ
3
1
kˆ
2
5
ˆj
2
4
= 2iˆ − 13 ˆj + 10kˆ
Luas segitiga ABC yang berimpit di A adalah
1
4 + 169 + 100
Luas =
2
1
=
273
2
07/03/2007 12:16
MA-1223 Aljabar Linear
26
Orientasi pada titik B
BA = a − b = (1,-1,-2) – (4,1,0) = (-3,-2,-2)
BC =
c − b = (2,3,3) – (4,1,0) = (-2,2,3)
BA × BC =
iˆ
ˆj
kˆ
− 3
− 2
− 2
− 2
2
3
= − 2 iˆ + 13 kˆ − 10 ˆj
Sehingga luas segitiga ABC yang berimpit di B adalah :
1
= BA x BC = 1 4 + 169 + 100
2
2
=
07/03/2007 12:16=
1
273
2
MA-1223 Aljabar Linear
27
Latihan Bab 4
1. Tentukan cos sudut yang terbentuk oleh
pasangan vektor berikut :
6
a. u = ⎛⎜⎜ 1 ⎞⎟⎟ dan v = ⎛⎜⎜ ⎞⎟⎟
b.
⎝ 2⎠
⎝ − 8⎠
⎛ 1 ⎞
⎜ ⎟
u = ⎜ − 3⎟
⎜ 7 ⎟
⎝ ⎠
⎛ 8 ⎞
⎜ ⎟
v = ⎜ − 2⎟
⎜ − 2⎟
⎝ ⎠
dan
2. Tentukan proyeksi ortogonal vektor terhadap vektor
dan tentukan panjang vektor proyeksi tersebut:
a. a = ⎛⎜⎜ 2 ⎞⎟⎟ dan b = ⎛⎜ − 3 ⎞⎟
b.
⎝1⎠
⎜ 2 ⎟
⎝ ⎠
⎛ 2⎞
⎜ ⎟
a = ⎜ − 1⎟
⎜ 3⎟
⎝ ⎠
⎛1⎞
⎜ ⎟
b = ⎜ 2⎟
⎜ 2⎟
⎝ ⎠
07/03/2007 12:16
dan
MA-1223 Aljabar Linear
28
3. Tentukan dua buah vektor satuan
yang tegak lurus terhadap
⎛ 3 ⎞
⎟⎟
u = ⎜⎜
⎝ − 2⎠
4. Tentukan vektor yang tegak lurus terhadap vektor
⎛− 7⎞
⎜ ⎟
u =⎜ 3 ⎟
⎜ 1 ⎟
⎝ ⎠
⎛ 2⎞
⎜ ⎟
dan v = ⎜ 0 ⎟
⎜ 4⎟
⎝ ⎠
5. Tentukan luas segitiga yang mempunyai titik
sudut P (2, 0, –3), Q (1, 4, 5), dan R (7, 2, 9)
07/03/2007 12:16
MA-1223 Aljabar Linear
29