Artikel Flaviana Stefani - Hword
advertisement
PEMBUKTIAN IDENTITAS SEGITIGA SIKU-SIKU DENGAN GAMBAR Flaviana Siwi Kusumastuti1), Stefani Geima Sunarman2) Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan, Universitas Sanata Dharma email: [email protected] 2 Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan, Universitas Sanata Dharma email: [email protected] 1 Abstract Identitas dari segitiiga siku-siku mengacu pada ciri khas dari suatu segitiga siku-siku. Ada banyak ciri khas dari segitiga siku-siku yang telah diketahui sebelumnya seperti salah satu sudutnya sikusiku dan berlakunya rumus Phytagoras. Namun, dalam perkembangan jaman, ternyata terdapat banyak ciri khas lain dari segitiga siku-siku yang belum pernah diketahui sebelumnya. Penelitian ini bertujuan untuk mendapatkan identitas atau ciri khas lain dari sebuah segitiga siku-siku. Penelitian ini akan membuktikan bahwa terdapat ciri khas mengenai luas segitiga siku-siku yang berkaitan dengan jari-jari lingkaran luar dan jari-jari lingkaran dalam. Metode penelitiannya adalah kajian pustaka dan disertai dengan menggunakan gambar dimana terdapat lingkaran di dalam dan di luar segitiga siku-siku. Hasil penelitian didapatkan ciri khas baru segitiga siku-siku yang berkaitan dengan jari-jari lingkaran luar dan jari-jari lingkaran dalam yaitu luas segitiga siku-siku = r(2R) + r2, dengan r adalah jari-jari lingkaran dalam segitiga, dan R adalah jari-jari lingkaran luar segitiga. Keywords: Identitas Segitiga Siku-siku, Jari-jari lingkaran dalam, Jari-jari lingkaran luar, Luas, Segitiga. 1. PENDAHULUAN Segitiga siku-siku memiliki banyak ciri khas, atau identitas yang telah diketahui sebelumnya. Seperti salah satu sudutnya 90Λ, dan berlakunya teorema Phytagoras. Namun, seiring dengan perkembangan zaman, masih ada ciri khas atau identitas dari segitiga siku-siku yang belum begitu dikenal dan diketahui oleh masyarakat luas. Ciri khas lain dari segitiga siku-siku akan dibahas dalam artikel berikut ini. Tujuan dari artikel ini adalah untuk menemukan dan membuktikan bahwa terdapat ciri khas lain yang berkaitan dengan luas segitiga siku-siku dengan menggunakan jari-jari lingkaran luar dan jari-jari lingkaran dalam. Untuk membuktikan luas segitiga siku-siku tersebut, akan dilakukan dengan membagi segitiga sikusiku menjadi beberapa bagian menjadi bentuk persegi dan persegi panjang. yang diapit dua sisi tersebut sama besar maka dua segitiga tersebut kongruen. Mengacu pada artikel kajian tersebut yang berbicara tentang menentukan setengah keliling segitiga dari segitiga siku-siku dengan menggunakan jari-jari lingkaran dalam dan jarijari lingkaran luar, maka diasumsikan bahwa terdapat identitas lain yang berkaitan dengan luas segitiga siku-siku menggunakan jari-jari lingkaran luar dan jari-jari lingkaran dalam. Kekongruenan segitiga ini digunakan dalam pembuktian yang akan dilakukan. 3. METODE PENELITIAN Metode penelitian yang digunakan adalah kajian pustaka dan disertai dengan menggunakan gambar. Mengacu pada artikel sebelumnya, akan dibuktikan identitas baru segitiga siku-siku, yaitu luas segitiga siku-siku dengan menggunakan gambar untuk membagi suatu segitiga siku-siku menjadi beberapa bagian. 2. KAJIAN PUSTAKA Dalam metode ini juga akan dibuktikan Nelsen (2016) mengemukakan bahwa setengah keliling segitiga siku-siku (s) dapat dicari dengan bahwa terdapat 2 pasang segitiga yang kongruen. rumus s = r + 2R, dengan r adalah jari-jari Pembuktiannya akan mengacu pada teori lingkaran dalam dan R adalah jari-jari lingkaran kekongruenan segitiga. luar. Smith dan Ulrich (1956) menyatakan bahwa jika dua buah segitiga yang dua sisi dan sudut Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika 2017 4. HASIL DAN PEMBAHASAN Dengan geogebra, dapat dibuat sebuah segitiga siku-siku. Kemudian tentukan titik pusat lingkaran dalam segitiga, yang didapatkan dari perpotongan garis bagi sudut pada setiap titik sudut segitiga siku-siku. Dari titik pusat tersebut, dapat digambarkan lingkaran dalam segitiga hingga lingkaran tersebut menyinggung ketiga sisi dari segitiga siku-siku. Jari-jari lingkaran dalam segitiga merupakan jarak terdekat dari titik pusat lingkaran sampai masing-masing sisi pada segitiga siku-siku. Hal ini terjadi karena lingkaran dalam segitiga siku-siku menyinggung ketiga sisi segitiga siku-siku maka jari-jari lingkaran dalam segitiga merupakan jarak terdekat dari titik pusat sampai masing-masing sisi pada segitiga sikusiku. Jari-jari lingkaran dalam segitiga siku-siku dapat digambarkan dengan menarik garis dari titik pusat yang tegak lurus dengan setiap sisi segitiga siku-siku. Jari-jari lingkaran luar segitiga siku-siku merupakan setengah dari sisi miring segitiga sikusiku. Oleh karena itu titik pusat dari lingkaran luar segitiga siku-siku adalah titik tengah dari sisi miring segitiga siku-siku. Lukis lingkaran luar segitiga siku-siku hingga ketiga titik sudut pada segitiga siku-siku menyinggung lingkaran tersebut. pasang segitiga siku-siku yang mana setiap pasang dari segitiga siku-siku tersebut adalah segitiga yang kongruen dengan salah satu sisi tegaknya adalah jari-jari lingkaran dalam segitiga siku-siku. Setiap pasang dari segitiga yang kongruen tersebut sisi miring pada segitiga dihimpitkan sehingga membentuk sebuah persegi panjang. Penjelasan di atas, memperlihatkan bahwa terdapat sebuah persegi, dan dua buah persegi panjang yang merupakan representasi lain dari segitga siku-siku. Representasi lain tersebut, yang akan digunakan untuk membuktikan identitas segitiga siku-siku yang berkaitan dengan luas segitiga siku-siku. Nelson (2016) dalam artikelnya membuktikan jika s, r, R menunjukkan masing-masing setengah keliling lingkaran, jari-jari lingkaran dalam, dan jari-jari lingkaran luar dari suatu segitiga. Untuk segitiga siku-siku π = π + 2π . Sedangkan untuk segitiga lancip π > π + 2π , dan untuk segitiga tumpul π < π + 2π . Dari kajian ini, diperoleh gagasan untuk membuktikan adanya ciri khas lain dari segitiga siku-siku yang berkaitan jari-jari lingkaran dalam dan jari-jari lingkaran luar. y y 2 1 r r 3 r r r 5 x 4 x Gambar (2) bangun-bangun yang membentuk segitiga siku-siku Gambar (1) lingkaran dalam pada segitiga siku-siku Berdasarkan penjelasan dan gambar (1) dapat dilihat bahwa di dalam segitiga siku-siku terbentuk beberapa bangun datar. Bangun datar yang terbentuk adalah sebuah persegi dengan panjang sisinya merupakan jari-jari lingkaran dalam, dan Dari gambar (2), terlihat bahwa segitiga sikusiku terbentuk dari 2 pasang segitiga yang masingmasing pasangnya kongruen, yaitu segitiga 1 dan 2, segitiga 4 dan 5. Selain itu, terdapat juga satu persegi. Segitiga-segitiga tersebut memiliki salah satu sisi tegak yaitu π (jari-jari lingkaran dalam), dan sisi tegak lainnya dimisalkan π₯ untuk segitiga 4 dan 5, dan π¦ untuk segitiga 1 dan 2. Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika 2017 Dari gambar (2) terlihat bahwa sisi miring segitiga besar dibentuk dari π₯ + π¦, sedangkan sisi miring segitiga besar sendiri merupakan 2π (2 kali jari-jari lingkaran luar segitiga). Bangun-bangun pada gambar (2) kemudian dipisahkan sesuai dengan pasangannya dan dibentuk menjadi persegi panjang dan persegi. Sehingga didapatkan bangun sebagai berikut : Bangun ketiga yang terbentuk adalah persegi, dengan panjang sisinya adalah π (jari-jari lingkaran dalam). Dari gambar (5) dapat diketahui bahwa luas persegi, yaitu: πΏπ’ππ ππππ πππ = π 2 Tiga bangun yang sudah dijelaskan di atas merupakan bentuk lain dari segitiga siku-siku. Maka dari itu dapat teemukan luas segitiga sikusiku tersebut dengan menjumlah seluruh bangun yang membentuk segitiga siku-siku. πΏπ’ππ π ππππ‘πππ = πΏπ’ππ ππππ πππ πππππππ π΄ + ππ’ππ ππππ πππ πππππππ π΅ + ππ’ππ ππππ πππ = π₯π + π¦π + π 2 = π(π₯ + π¦) + π 2 = π(2π ) + π 2 a. Bangun 4 dan 5 x r Gambar(3) persegi panjang A Sepasang segitiga siku-siku 4 dan 5, seperti gambar (3), dihimpitkan sisi miringnya sehingga membentuk sebuah 5. KESIMPULAN persegi panjang A. Persegi panjang A Hasil penelitian yang dilakukan dengan memiliki lebar π (jari-jari lingkaran menggunakan kajian pustaka dan disertai dengan dalam) dan panjang dimisalkan π₯. gambar,didapatkan ciri khas lain dari segitiga Dari gambar (3), didapatkan luas siku-siku yaitu luas segitiga siku-siku = π(2π ) + dari persegi panjang A, yaitu : π2 πΏπ’ππ ππππ πππ πππππππ π΄ = π₯π b. Bangun 1 dan 2 y r Gambar (4) persegi panjang B Bangun kedua yang terbentuk adalah persegi panjang B, yang terbentuk dari segitiga 1 dan 2 yang dihimpitkan sisi miringnya. Persegi panjang B memiliki lebar π (jari-jari lingkaran dalam) dan panjang dimisalkan π¦. Dari gambar (4), dapat diketahui luas persegi panjang B, yaitu: πΏπ’ππ ππππ πππ πππππππ π΅ = π¦π c. Bangun 3 r 6. REFERENSI J. E. Thompson.1946. Geometry for The Practical Man. New York: D. Van Nostrand Company, Inc. Roger B. Nelson. 2016. Proof Without Words: A Right Triangle Identity.The College Mathematics Journal, Vol. 47, No. 5, p. 355. Mathematical Association of America. Roger B Nelson. 2007. Proof Without Words: The Area of a Right Triangle. Mathematics Magazine, Vol. 80, No. 1, p. 45. Mathematical Association of America. Roland R. Smith, dan James F Ulrich. 1956. Plane Geometry. New York: Harcourt, Brace & World, Inc. Walter Prenowitz dan Meyer Jordan. 1965. Basic Concepts of Geometry. New York: Ardsley House Publishers, Inc. r Gambar (5) persegi Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika 2017
