Koordinat Cartesius

Kalkulus
Pertemuan 2 KOORDINAT CARTESIUS
Koordinat Cartesius
1
2
3
Jarak
y
Contoh
Hitunglah jarak dari A(3,-5) ke B(4,2)
Jawab:
A(3,-5) maka x1 = 3 dan y1 = -5
B(4,9) maka x2 = 4 dan y2 = 2
sehingga
2
𝑑(𝐴, 𝐵) = √(𝑥2 − 𝑥1 )2 + (𝑦2 − 𝑦1 )2 = √(4 − 3)2 + (2 − (−5)) = √12 + 72 = √50
1
Koordinat Cartesius
Persamaan Lingkaran
Persamaan lingkaran dengan pusat P(a,b)
dan jari-jari r adalah:
Contoh
Misalkan A(4,-7) dan B(8,5). Tentukan:
1. Persamaan lingkaran dengan pusat B dan jari-jari 5
2. Persamaan lingkaran dengan pusat A dan menyinggung sumbu-y
3. Persamaan lingkaran yang melalui A dan berpusat di B
4. Tentukan titik pusat dan jari-jari dari lingkaran x2+2x+y2-6y-6=0
Jawab:
1. P(a,b) = B(8,5) maka a = 8 dan b = 5
r = 5, sehingga persamaan lingkaran tersebut adalah
𝑟 2 = (𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2 ↔ 52 = (𝑥 − 8)2 + (𝑦 − 5)2
25 = 𝑥 2 − 16𝑥 + 64 + 𝑦 2 − 10𝑦 + 25
𝑥 2 − 16𝑥 + 𝑦 2 − 10𝑦 + 64 = 0
2. P(a,b) = A(4, -7) maka a = 4 dan b = -7
Lingkaran menyinggung sumbu-y maka lingkaran melalui C(0,-7) akibatnya
𝑟 = 𝑑(𝐴, 𝐶) = √(0 − 4)2 + (−7 − (−7))2 = 4
Sehingga persamaan lingkaran tersebut adalah
42 = (𝑥 − 4)2 + (𝑦 − (−7))2
16 = 𝑥 2 − 8𝑥 + 16 + 𝑦 2 + 14𝑦 + 49
𝑥 2 − 8𝑥 + 𝑦 2 + 14𝑦 + 49 = 0
3. P(a,b) = B(8,5). Lingkaran melalui A(4,-7) akibatnya
𝑟 = 𝑑(𝐴, 𝐵) = √(8 − 4)2 + (5 − (−7))2 = √160
Sehingga persamaan lingkaran tersebut adalah
2
√160 = (𝑥 − 8)2 + (𝑦 − 5))2
160 = 𝑥 2 − 16𝑥 + 64 + 𝑦 2 − 10𝑦 + 25
𝑥 2 − 16𝑥 + 𝑦 2 − 10𝑦 − 71 = 0
4. 𝑥 2 + 2𝑥 + 𝑦 2 − 6𝑦 − 10 = 0 ↔ (𝑥 + 1)2 − 1 + (𝑦 − 3)2 − 9 − 6 = 0
(𝑥 + 1)2 + (𝑦 − 3)2 = 16
Jadi lingkaran tersebut berpusat di P(-1,3) dan jari-jari r = 4.
------------------------------------------------ Enjun Junaeti, M.Si. -------------------------------------------
2
Koordinat Cartesius
Titik Tengah
Contoh
1. Tentukan jarak antara titik C(4,5) dengan titik tengah garis AB, dimana A(2,-6) dan B(-4,2)
2. Tentukan persamaan lingkaran yang mempunyai diameter AB, dengan A( 2,-3) dan B(8,5)
Jawab:
1. Misal T titik tengan AB, maka
2 + (−4) −6 + 2
𝑇=(
,
) = (−1, −2)
2
2
Sehingga
𝑑(𝐶, 𝑇) = √(−1 − 4)2 + (−2 − 5))2 = √74
2. Pusat lingkaran P adalah titik tengah AB, sehingga
2 + 8) −3 + 5
𝑇=(
,
) = (5,1)
2
2
1
1
𝑟 = 𝑑(𝐴, 𝐵) = √(8 − 2)2 + (5 − (−3)))2 = 5
Lah titik tengah
2
2
Jadi persamaan lingkaran tersebut adalah
25 = (𝑥 − 5)2 + (𝑦 − 1)2
Kemiringan Garis Lurus
Contoh
Misalkan g adalah sebuah garis yang melalui titik
A(4,3) dan B(-1,0). Tentukan kemiringan garis g!
Jawab:
−1 − 4 5
𝑚𝑔 =
=
0−3
3
------------------------------------------------ Enjun Junaeti, M.Si. -------------------------------------------
3
Koordinat Cartesius
Persamaan Garis Lurus
a. Persamaan garis lurus dengan gradien m dan
melalui B(a,b)
𝑦 − 𝑏 = 𝑚(𝑥 − 𝑎)
b. Persamaan garis lurus dengan gradien m dan
melalui C(0,c)
𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑐
c. Persamaan garis lurus melaui A(x1,y1) dan
B(x2,y2)
𝑦 − 𝑦1
𝑥 − 𝑥1
=
𝑦2 − 𝑦1 𝑥2 − 𝑥1
d. Persamaan garis tegak (sejajar sumbu-y)
𝑥=𝑘
e. Persamaan garis mendatar (sejajar sumbu-x)
𝑦=𝑘
Contoh
1. Carilah persamaan garis yang melalui titik pusat lingkaran 𝑥 2 − 4𝑥 + 𝑦 2 + 6𝑦 = 0
dan gradien m, dimana m = jari-jari lingkaran tersebut!
2. Diketahui A(5,-3) dan B(-4,1). Carilah persamaan garis yang melalui A dan B, kemudian
carilah gradiennya.
Jawab:
1. 𝑥 2 − 4𝑥 + 𝑦 2 + 6𝑦 = 0 ↔ (𝑥 − 2)2 − 4 + (𝑦 + 3)2 − 9 = 0
(𝑥 − 2)2 + (𝑦 + 3)2 = 16
Jadi lingkaran tersebut berpusat di P(2,-3) dan jari-jari r = 4.
Persamaan lingkaran yang dicari adalah persamaan yang melalui P(2, -3) dan m = r = 4,
yaitu
𝑦 − 𝑏 = 𝑚(𝑥 − 𝑎)
𝑦 + 3 = 4(𝑥 − 2)
𝑦 = 4𝑥 − 11
2. Persamaan garis yang melalui A(5,-3) dan B(-4,1) adalah
𝑦 − 𝑦1
𝑥 − 𝑥1
=
𝑦2 − 𝑦1 𝑥2 − 𝑥1
𝑦+3
𝑥−5
𝑦+3 𝑥−5
=
↔
=
1 + 3 −4 − 5
4
−9
↔ −9𝑦 − 27 = 4𝑥 − 20
↔ −9𝑦 = 4𝑥 + 7
4
7
↔ 𝑦=− 𝑥−
9
9
4
Gradien dari persamaan garis tersebut adalah − 9.
------------------------------------------------ Enjun Junaeti, M.Si. -------------------------------------------
4
Koordinat Cartesius
Kedudukan Dua Buah Garis
a. Sejajar (tidak pernah
berpotongan)
𝑚𝑔 = 𝑚ℎ
b. Tegak Lurus (berpotongan
pada satu titik dan membentuk
sudut siku-siku)
1
𝑚𝑔 = −
𝑚ℎ
Contoh
1. Carilah persamaan garis yang melalui A(3,9) dan sejajar dengan garis 3x + 5y = 10.
2. Carilah garis yang tegak lurus dengan garis y = 5x + 2 dan memotong sumbu y di (0, -7)
Jawab:
3
5
3
5
1. 3𝑥 + 5𝑦 = 10 ↔ 𝑦 = − 𝑥 + 2, gradiennya adalah − . Karena sejajar maka
3
gradiennya sama, sehingga persamaan garis yang melalui A(3,9) dan gradient − 5
adalah
3
𝑦 − 9 = − (𝑥 − 3)
5
3
9 45
𝑦=− 𝑥+ +
5
5 5
3
54
𝑦=− 𝑥+
5
5
2. y = 5x + 2, gardiennya adalah 5, karena tegak lurus maka gradien dari persamaan garis
1
yang dicari adalah − 5. Persamaan garisnya adalah
y = mx + c
1
y = − 5x - 7
Latihan 2
Misalkan A(5,-9) dan B(7,2), tentukan:
1. Persamaan lingkaran dengan diameter AB.
2. Persamaan lingkaran yang menyinggung sumbu-x dan melalui B.
3. Persamaan garis yang sejajar dg sumbu x dan melalui A.
4. Persamaan garis yang melalui titik (0,0) dan tegak lurus terhadap garis yang melalui A dan B.
5. Persamaan garis yang sejajar dengan 2x – 3y + 5 = 0 dan melalui titik B.
------------------------------------------------ Enjun Junaeti, M.Si. -------------------------------------------
5
Koordinat Cartesius
Misalkan A(4,-7) dan B(8,5). Tentukan:
1. Persamaan lingkaran dengan pusat B dan jari-jari 5
2. Persamaan lingkaran dengan pusat A dan menyinggung
sumbu-y
3. Persamaan lingkaran yang melalui A dan berpusat di B
4. Tentukan titik pusat dan jari-jari dari lingkaran
x2+2x+y2-6y-6=0
5. Tentukan jarak antara titik C(4,5) dengan titik tengah garis AB,
dimana A(2,-6) dan B(-4,2)
6. Tentukan persamaan lingkaran yang mempunyai diameter AB,
dengan A( 2,-3) dan B(8,5)
Jawab:
1. Carilah persamaan garis yang melalui titik pusat
lingkaran 𝑥 2 − 4𝑥 + 𝑦 2 + 6𝑦 = 3 dan gradien m,
dimana m = jari-jari lingkaran tersebut!
2. Diketahui A(5,-3) dan B(-4,1). Carilah persamaan garis
yang melalui A dan B, kemudian carilah gradiennya.
3. Carilah persamaan garis yang melalui A(3,9)
dan sejajar dengan garis 3x + 5y = 10.
4. Carilah garis yang tegak lurus dengan garis y = 5x + 2
dan memotong sumbu y di (0, -7)
Misalkan A(5,-9) dan B(7,2), tentukan:
1. Persamaan lingkaran dengan diameter AB.
2. Persamaan lingkaran yang menyinggung sumbu-x
dan pusatnya di B.
3. Persamaan garis yang sejajar dg sumbu x dan melalui A.
4. Persamaan garis yang melalui titik (0,0) dan
tegak lurus terhadap garis yang melalui A dan B.
5. Persamaan garis yang sejajar dengan 2x – 3y + 5 = 0
dan melalui titik B.
------------------------------------------------ Enjun Junaeti, M.Si. -------------------------------------------
6
Koordinat Cartesius
------------------------------------------------ Enjun Junaeti, M.Si. -------------------------------------------
7