NOTASI SIGMA, BARISAN DAN DERET

BARISAN
DAN
DERET
Oleh :
Haryono
Fajar
STANDAR KOMPETENSI
 MENGGUNAKAN KONSEP
BARISAN DAN DERET DALAM
PEMECAHAN MASALAH
KOMPETENSI DASAR

MENENTUKAN SUKU KE – n BARISAN DAN JUMLAH n SUKU
DERET ARITMATIKA DAN GEOMETRI

MENGGUNAKAN NOTASI SIGMA DALAM DERET DAN INDUKSI
MATEMATIKA DALAM PEMBUKTIAN

MERANCANG MODEL MATEMATIKA DARI MASALAH YANG
BERKAITAN DENGAN DERET

MENYELESAIKAN MODEL MATEMATIKA YANG BERKAITAN
DENGAN DERET DAN PENAFSIRANNYA
MATERI POKOK / URAIAN
MATERI



POLA BILANGAN
BARISAN BILANGAN
BARISAN DAN DERET ARITMATIKA DAN GEOMETRI

BARISAN DAN DERET ARITMATIKA





BARISAN DAN DERET GEOMETRI









SUKU KE n BARISAN DAN DERET ARITMATIKA
SISIPAN
SUKU TENGAH
JUMLAH n SUKU DERET ARITMATIKA
SUKU KE n BARISAN DAN DERET GEOMETRI
SISIPAN
SUKU TENGAH
JUMLAH n SUKU DERET GEOMETRI
DERET GEOMETRI TA HINGGA
NOTASI SIGMA
INDUKSI MATEMATIKA
MODEL MATEMATIKA DARI MASALAH
SOLUSI DARI MASALAH MATEMATIKA
PENGERTIAN
BARISAN
 BARISAN ADALAH SUSUNAN
BILANGAN YANG MEMILIKI ATURAN
TERTENTU
 CONTOH :
 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, ….( suku berikutnya
ditambah 2 dari suku sebelumnya )
 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, … ( suku berikutnya
dikali 2 dari suku sebelumnya )
 9, 3, 1/3, 1/9, 1/27, … ( suku berikutnya
merupakan kelipatan 1/3 dari suku sebelumnya
)
BARISAN DAN
DERET
ARITMATIKA
 BARISAN ARITMATIKA : Barisan
yang memiliki selisih antara dua suku
yang berurutan selalu tetap
 Contoh
1, 3, 5, 7, 9, … .
selisihnya : 3 – 1 = 5 – 3 = 7 – 5 = 2
10, 8, 6, 4, 2,… .
selisihnya : 8 – 10 = 6 – 8 = 4 – 2 = - 2
Secara umum jika dapat dibuat :
U1’ U2, U3, U4,…. Un
Jika U1 = a dan selisih antara suku yang
berurutan (beda ) = b maka
a, a + b, a + 2b, a + 3b, a + 4b, …. . a + ( n –
1)b
Jika suku pertama disebut a dan selisih suku yang
berurutan b maka :
U1, U2, U3, U4, U5, U6, ……
Un-1,
Un
Un-2,
a, a+b, a+2b, a+3b, a+4b, a+5b, …… , a+(n-3)b, a+(n-2)b, a+(n-1)b
SUKU
KE - n
 Un = a + ( n – 1 ) b
Un
a
b
)
n
= Suku ke – n
= suku pertama
= beda ( selisih suku berurutan
= banyak suku
CONTOH
 DIKETAHUI BARISAN ARITMATIKA
3, 9, 15, 21, …... TENTUKA SUKU KE –
20
jwb :
U20 = a + ( n – 1 ) b
= 3 + ( 20 – 1 ) 6
= 3 + 19. 6
= 3 + 114
= 117
SUKU
TENGAH
1.
U1, U2, U3
2.
SUKU TENGAHNYA ADALAH U2
U2 = a + b
= ½ ( 2a + 2b )
= ½ ( a + a + 2b )
= ½ ( U1 + U3 )
U1, U2, U3, U4, U5
3.
4.
SUKU TENGAHNYA ADALAH U3
U2 = a + 2b
= ½ ( 2a + 4b )
= ½ ( a + a + 4b )
= ½ ( U1 + U5 )
Dan seterusnya …
U1, U2, U3, U4, U5 …. . Un.
Ut = ½ ( U1 + Un )
dengan n = ganjil
SISIPAN
 Jika diketahui 2 bilangan X dan Y akan
disisipkan sebanyak k bilanga sehingga
terbentuk barisan aritmatika :
x, x + bs, x + 2bs, x + 3bs, ….. x + kbs, y
sehingga beda sisipannya adalah … .
bs = y – ( x + kbs )
bs + kbs = y – x
bs = ( y – x )/(1 + k)
bs
y
x
k
= beda sisipan
= bilangan kedua
= bilangan pertama
= banyak sisipan
CONTOH SOAL SISIPAN

Diantara 7 dan 107
disisipkan 19 bilangan
sehingga terbentuk
barisan aritmatika.
Tentukan
1.
beda barisan
yang terbentuk
2.
Suku ke – 10
barisan yang
terbentuk
3.
Suku tengah jika
ada
Jawab :
1. Beda barisan
Diketahui x = 7 dan
y = 107
bs = ( y – x )/(k + 1)
= (107 – 7
)/(19+1)
= ( 100 ) / 20
= 100/20 = 5
2. Suku ke – 10
U10 = a + ( n – 1 ) bs
= 7 + ( 10 – 1 ) 5
= 7 + 9.5
= 7 + 45
= 52
3. Un = 107
107 = 7 + ( n – 1 ) 5
100 = 5n – 5
105 = 5n
n = 105 / 5
n = 21
Jadi
Utengah = ½ ( U1 + U21 )
= ½ ( 7 + 107 )
= ½ ( 114 )
= 57
Jadi suku tengahnya
adalah 57
DERET
ARITMATIKA
 JIKA U1, U2,, U3, …. .Un MAKA
 DERETNYA ADALAH U1 + U2, + U3 + ….
+ Un
 JUMLAH DERET ARITMATIKA :
 Sn = U1 + U2, + U3 + U4 + …. + Un-3 + Un-2 +
Un-1 + Un
Sn = a + a+b + a+2b + … + a+(n–4)b + a+(n–3)b + a+(n–2)b +
a+(n–1)b
Sn =a+(n–1)b + a+(n–2)b + a+(n–3)b +… + a+3b
+ a+2b + a+b
2Sn = a +Un+ a +Un+ a +Un+ ….+ a +Un+ a +Un+ a +Un+ a +Un
2Sn = n (a +Un )
+
sn= ½ n ( a + Un )
a
CONTOH SOAL
1. Tentukan jumlah 20 bilangan dari deret
3 + 7 + 11 + 15 + … .
2. Tentukan jumlah dari deret bilangan
1 + 1 ½ + 2 + 2 ½ + … + 98 ½
3. Diketahui deret aritmatika dengan U1 =
4 dan U8 = 49. tentukan jumlah 40
bilangan
4. Diketahui jumlah suku kedua dan ke
empat adalah 20 dan jumlah suku ke
tiga dengan ke lima adalah 38. tentukan
rumus jumlah n suku
BARISAN GEOMETRI
 Pengertian
 Barisan Geometri adalah barisan bilanga
yang memiliki rasio konstan
 U1, U2, U3, U4, U5, … Un,
Un
U2 U3 U4
r


 ... 
U1 U 2 U 3
U n 1
Lanjutan …
 U1, U2, U3, U4, U5,
… Un,
 Jika U1 = a 
 U1 = a
 U2 = ar
 U3 = ar2
 U4 = ar3
 ….
 Un = ar n-1
• Diketahui barisan 2, 4,
8, …
Tentukan U7
jawab :
U7 = ar7-1
U7 = 2.26
U7 = 2. 64
U7 = 128
Latihan soal
 Diketahui suku pertama barisan geometri
adalah 3 dan rasionya adalah 1/3.
tentukan suku ke 81
16
 Dikethui suku ke – 2 suatu barisan
geometri adalah 4 dan suku ke – 6
adalah
Suku tengah
 Suku tengah barisn geometri dapat
dilihat berikut ini :
 U1, U2, U3, maka suku tengahnya U2,
2 2
 U2 =a r
a.ar
2
U1.U 3
Lanjutan :
• U1, U2, U3, U4, U5, maka suku tengahnya U3,
• U3 =
2 4
a r
a.ar
4
U1.U 5
Lanjutan :
• Dengan cara yang sama jika U1, U2, U3, U4, … Uk
• Dengan k adalah ganjil maka suku tengahnya
• Ut = U .U
dengan k = ganjil
1
k
Ut = suku tengah
Uk = suku ke – k ( terakhir )
DERET GEOMETRI
a (1  r )
Sn 
1 r
atau
n
a ( r  1)

r 1
n
Sn
Contoh soal deret
geometri
 Tentukan jumlah 10 suku pertama deret
geometri 2, 4, 8, ….
jawab :
a2
4
r 2
2
a ( r n  1)
Sn 
r 1
2( 210  1) 2(1024  1)
S10 

 2(1023)  2046
2 1
1
DERET GEOMETRI TAK
HINGGA
a
Sn 
1 r