analisis real-v2-2 - FMIPA Personal Blogs

BAGIAN KEDUA
Fungsi, Limit dan Kekontinuan, Turunan
51
52
Hendra Gunawan
Pengantar Analisis Real
53
6. FUNGSI
6.1 Fungsi dan Grafiknya
Konsep fungsi telah dipelajari oleh Gottfried Wilhelm von Leibniz sejak akhir
abad ke-17, namun definisi fungsi yang kita kenal sekarang berakar pada rumusan
Leonhard Euler pada 1749, yang disempurnakan kemudian oleh Joseph Fourier pada
1822 dan Lejeune Dirichlet pada 1837.
Sebuah fungsi dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu aturan yang
mengaitkan setiap x ∈ A dengan sebuah elemen tunggal y ∈ B, ditulis
f :A→B
x 7→ y.
Elemen y yang terkait dengan x disebut peta dari x (di bawah f ) dan kita tulis
y = f (x). Bila f (x) mempunyai rumus yang eksplisit, fungsi f sering dinyatakan
sebagai persamaan
y = f (x).
Dalam buku ini, kita membatasi pembahasan kita pada fungsi dari A ⊆ R ke
B ⊆ R, yakni fungsi bernilai real dengan peubah real. Dalam hal ini, kita dapat
menggambar grafik fungsi f : A → B sebagai grafik persamaan y = f (x) pada sistem
koordinat Cartesius (lihat Gambar 6.1). Definisi di atas menjamin bahwa setiap garis
vertikal yang memotong A akan memotong grafik tepat pada satu buah titik (tidak
mungkin lebih).
Jika f adalah sebuah fungsi dari A ke B dan H ⊆ A, maka kita katakan
bahwa f terdefinisi pada H. Himpunan terbesar pada mana f terdefinisi adalah A.
Himpunan A dalam hal ini disebut sebagai daerah asal f . Sebagai contoh, sebuah
barisan merupakan fungsi dengan daerah asal himpunan bilangan asli N.
54
Hendra Gunawan
Gambar 6.1 Grafik sebuah fungsi
Jika f terdefinisi pada H, maka kita definisikan peta dari H di bawah f sebagai
f (H) := {f (x) : x ∈ H}.
Untuk ilustrasi, lihat Gambar 6.2 di bawah ini. Dalam hal H = A, himpunan f (A)
disebut sebagai daerah nilai f . Catat bahwa f (A) tidak harus sama dengan B.
Gambar 6.2 Peta dari H di bawah f
Contoh 1. Persamaan y = x2 mendefinisikan sebuah fungsi dari R ke R. Untuk
tiap x ∈ R terdapat tepat sebuah y ∈ R yang memenuhi aturan y = x2 . Amati
bahwa, dalam Gambar 6.3 pada halaman berikut, setiap garis vertikal memotong
Pengantar Analisis Real
55
grafik y = x2 tepat pada sebuah titik. Daerah asal fungsi ini adalah R dan daerah
nilainya adalah [0, ∞). Peta dari (−0.5, 1], misalnya, adalah [0, 1].
Gambar 6.3 Grafik persamaan y = x2
Contoh 2. Persamaan y 2 = x tidak mendefinisikan fungsi dari [0, ∞) ke R. Untuk
√
tiap x > 0 terdapat dua buah y ∈ R, yakni y = ± x, yang memenuhi aturan y 2 = x.
Dalam Gambar 6.4, amati bahwa setiap garis vertikal yang memotong sumbu-x pada
x0 > 0 akan memotong grafik y 2 = x pada dua buah titik.
Gambar 6.4 Grafik persamaan y 2 = x
Contoh 3. Persamaan y 2 = x, y ≥ 0, mendefinisikan sebuah fungsi dari [0, ∞) ke
√
[0, ∞). Untuk tiap x > 0 terdapat tepat sebuah y ∈ [0, ∞), yakni y = x, yang
56
Hendra Gunawan
memenuhi aturan y 2 = x. Dalam Gambar 5.5, amati bahwa setiap garis vertikal yang
memotong sumbu-x pada x0 ≥ 0 akan memotong grafik y 2 = x, y ≥ 0, tepat pada
sebuah titik.
Gambar 6.5 Grafik persamaan y 2 = x, y ≥ 0
Soal Latihan
1. Gambar grafik himpunan semua titik (x, y) sedemikian sehingga
5 jika x ≥ 1
y=
2 jika x < 1
Jelaskan mengapa grafik tersebut merupakan grafik sebuah fungsi dari R ke
R. Tentukan daerah nilainya. Tentukan pula peta dari [1, 2] di bawah fungsi
tersebut.
2. Apakah persamaan x2 + y 2 = 1 mendefinisikan sebuah fungsi dari [−1, 1] ke
[−1, 1]? Jelaskan.
3. Apakah persamaan x2 +y 2 = 1, y ≥ 0, mendefinisikan sebuah fungsi dari [−1, 1]
ke [0, 1]? Jelaskan.
4. Diketahui f terdefinisi pada H dan A, B ⊆ H. Selidiki apakah f (A ∪ B) =
f (A) ∪ f (B) dan f (A ∩ B) = f (A) ∩ f (B).
Pengantar Analisis Real
57
6.2 Fungsi Polinom dan Fungsi Rasional
Jika a0 , a1 , . . . , an ∈ R, maka persamaan y = a0 +a1 x+· · ·+an xn mendefinisikan
sebuah fungsi dari R ke R. Sembarang nilai x yang disubstitusikan ke ruas kanan
akan memberi kita sebuah nilai y yang berkaitan dengannya. Untuk n ∈ N, fungsi ini
dikenal sebagai polinom berderajat n asalkan an 6= 0. Untuk n = 0, fungsi konstan
y = a0 merupakan polinom berderajat 0.
Misalkan P dan Q adalah fungsi polinom, dan S adalah himpunan semua bilangan x ∈ R dengan Q(x) 6= 0. Maka, persamaan
y=
P (x)
Q(x)
mendefinisikan sebuah fungsi dari S ke R. Fungsi ini dikenal sebagai fungsi rasional.
Contoh 4. Fungsi yang diberikan oleh persamaan
y = x3 − 3x2 + 2x
merupakan polinom berderajat 3 (atau ‘polinom kubik’). Grafik fungsi ini dapat
dilihat dalam Gambar 6.6. Perhatikan bahwa grafik memotong sumbu-x pada tiga
buah titik (yang merupakan akar persamaan kubik x3 − 3x2 + 2x = 0).
Gambar 6.6 Grafik fungsi y = x3 − 3x2 + 2x
Contoh 5. Fungsi yang diberikan oleh persamaan
y=
x2 + 4
x2 − 4
58
Hendra Gunawan
merupakan polinom rasional. Daerah asalnya adalah {x : x 6= ±2}. Grafiknya dapat
dilihat dalam Gambar 6.7.
Gambar 6.7 Grafik fungsi y =
x2 +4
x2 −4
Soal Latihan
1. Tentukan daerah nilai fungsi polinom y = 4x − 4x2 dan sketsalah grafiknya.
2. Tentukan daerah asal fungsi rasional y =
1−x
1+x
dan sketsalah grafiknya.
6.3 Operasi pada Fungsi; Fungsi Invers
Jika H ⊆ R, f, g : H → R, dan λ ∈ R, maka kita definisikan f + g dan λf
sebagai fungsi yang memenuhi aturan
(f + g)(x) := f (x) + g(x),
x ∈ H;
x ∈ H.
(λf )(x) := λf (x),
Selain itu kita definisikan pula f g dan f /g sebagai
(f g)(x) := f (x)g(x),
(f /g)(x) := f (x)/g(x),
x ∈ H;
x ∈ H, g(x) 6= 0.
Sebagai contoh, jika f dan g adalah polinom, maka f /g merupakan fungsi rasional.
Pengantar Analisis Real
59
Misalkan A, B ⊆ R, g : A → B, dan f : B → R. Maka kita definisikan fungsi
komposisi f ◦ g : A → R sebagai
(f ◦ g)(x) := f (g(x)),
x ∈ A.
Perhatikan bahwa untuk tiap x ∈ A
x 7→ g(x) 7→ f (g(x)).
Di sini fungsi g beroperasi terlebih dahulu terhadap x, dan setelah itu fungsi f beroperasi terhadap g(x).
Contoh 6. Misalkan f : R → R didefinisikan sebagai
f (x) =
x2 − 1
,
x2 + 1
x ∈ R,
dan g : R → R didefinisikan sebagai
g(x) = x2 .
Maka f ◦ g : R → R adalah fungsi dengan aturan
(f ◦ g)(x) = f (g(x)) =
{g(x)}2 − 1
x4 − 1
=
.
{g(x)}2 + 1
x4 + 1
Misalkan A dan B adalah himpunan dan f adalah fungsi dari A ke B. Ini berarti
bahwa bahwa setiap anggota a ∈ A mempunyai sebuah peta tunggal b = f (a) ∈ B.
Kita sebut f −1 fungsi invers dari f apabila f −1 merupakan fungsi dari B ke A dengan
sifat
x = f −1 (y) jika dan hanya jika y = f (x).
Tidak semua fungsi mempunyai fungsi invers. Dari definisi di atas jelas bahwa
f : A → B mempunyai fungsi invers f −1 : B → A jika dan hanya jika setiap b ∈ B
merupakan peta dari sebuah anggota tunggal a ∈ A. Fungsi dengan sifat ini disebut
sebagai suatu korespondensi 1 − 1 antara A dan B.
Secara geometris, f : A → B merupakan korespondensi 1 − 1 antara A dan
B jika dan hanya jika setiap garis vertikal yang memotong A juga memotong grafik
f tepat pada sebuah titik dan setiap garis horisontal yang memotong B juga akan
memotong grafik f tepat pada sebuah titik. Kondisi pertama memastikan bahwa
60
Hendra Gunawan
f merupakan fungsi, sementara kondisi kedua memastikan bahwa f −1 merupakan
fungsi. Lihat Gambar 6.8 di bawah ini.
√
Contoh 7. Fungsi f (x) = x merupakan korespondensi 1 − 1 antara [0, ∞) dan
[0, ∞). Fungsi ini mempunyai fungsi invers, yaitu
f −1 (x) = x2 ,
x ≥ 0.
Gambar 6.8 Korespondensi 1 − 1
Soal Latihan
1. Misalkan f : [0, 1] → [0, 1] didefinisikan sebagai
f (x) =
1−x
,
1+x
0 ≤ x ≤ 1,
dan g : [0, 1] → [0, 1] didefinisikan sebagai
g(x) = 4x − 4x2 ,
0 ≤ x ≤ 1.
Tentukan aturan untuk f ◦ g dan g ◦ f . Apakah mereka sama?
2. Untuk fungsi f dan g pada Soal 1, tunjukkan bahwa f −1 ada sedangkan g −1
tidak ada. Tentukan aturan untuk f −1 .
3. Diketahui g : A → B merupakan suatu korespondensi 1 − 1 antara A dan B.
Buktikan bahwa (g −1 ◦ g)(x) = x untuk tiap x ∈ A dan (g ◦ g −1 )(y) = y untuk
tiap y ∈ B.
Pengantar Analisis Real
61
6.4 Fungsi Terbatas
Misalkan f terdefinisi pada H. Kita katakan bahwa f terbatas di atas pada H
oleh suatu batas atas M apabila untuk tiap x ∈ H berlaku
f (x) ≤ M.
Ini setara dengan mengatakan bahwa himpunan
f (H) = {f (x) : x ∈ H}
terbatas di atas oleh M . Jika f terbatas di atas pada H, maka menurut Sifat Kelengkapan f (H) mempunyai supremum. Misalkan
B := sup f (x) = sup f (H).
x∈H
Secara umum, belum tentu terdapat c ∈ H sehingga f (c) = B. Jika terdapat c ∈ H
sehingga f (c) = B, maka B disebut sebagai nilai maksimum f pada H dan nilai
maksimum ini ‘tercapai’ di c. Untuk ilustrasi, lihat Gambar 6.9 di bawah ini.
Gambar 6.9 Fungsi terbatas dan nilai maksimumnya
Definisi fungsi terbatas di bawah dan nilai minimum dapat dirumuskan secara
serupa. Jika f terbatas di atas dan juga di bawah pada himpunan H, maka f
dikatakan terbatas pada H. Menurut Proposisi 2 pada Bab 1, f terbatas pada H
jika dan hanya jika terdapat K > 0 sedemikian sehingga untuk tiap x ∈ H berlaku
|f (x)| ≤ K.
62
Hendra Gunawan
Contoh 8. Misalkan f : (0, ∞) → R didefinisikan sebagai
f (x) =
1
,
x
x > 0.
Fungsi ini terbatas di bawah pada (0, ∞) dan inf f (x) = 0, namun f tidak mempunyai
x>0
nilai minimum. Perhatikan pula bahwa f tidak terbatas di atas pada (0, ∞).
Contoh 9. Misalkan f : [0, 1] → [0, 1] didefinisikan oleh
f (x) = 1 − x.
Fungsi ini terbatas pada [0, 1], mencapai nilai maksimumnya (yaitu 1) di 0, dan juga
mencapai nilai minimumnya (yaitu 0) di 1.
Soal Latihan
1. Selidiki apakah f : [0, 1] → [0, 1] yang didefinisikan sebagai
f (x) =
1−x
,
1+x
0 ≤ x ≤ 1,
terbatas serta mencapai nilai maksimum dan minimumnya.
2. Selidiki apakah g : [0, 1] → [0, 1] yang didefinisikan sebagai
g(x) = 4x − 4x2 ,
0 ≤ x ≤ 1.
terbatas serta mencapai nilai maksimum dan minimumnya.
1
3. Tunjukkan bahwa f (x) = 1+x
Apakah f mencapai nilai
2 terbatas pada R.
maksimum dan minimumnya?
4. Misalkan f dan g terbatas di atas pada H dan a ∈ R. Buktikan bahwa
• sup {a + f (x)} = a + sup f (x).
x∈H
x∈H
• sup {f (x) + g(x)} ≤ sup f (x) + sup g(x).
x∈H
x∈H
x∈H
Beri contoh bahwa kesamaan tidak harus berlaku.
Pengantar Analisis Real
63
7. LIMIT DAN KEKONTINUAN
7.1 Limit Fungsi di Suatu Titik
Diberikan sebuah fungsi f yang terdefinisi pada interval (a, b) kecuali mungkin
di sebuah titik c ∈ (a, b), kita tertarik untuk mengamati nilai f (x) untuk x di sekitar
c. Khususnya, kita bertanya: apakah f (x) menuju suatu bilangan tertentu bila x
menuju c? Berikut ini adalah definisi limit sepihak, yaitu limit kiri dan limit kanan,
di suatu titik.
Misalkan f terdefinisi pada interval (a, c) dan L ∈ R. Kita katakan bahwa f
menuju L bila x menuju c dari kiri, dan kita tulis
f (x) → L bila x → c−
atau
lim f (x) = L,
x→c−
apabila untuk setiap > 0 terdapat δ > 0 sedemikian sehingga
jika c − δ < x < c, maka |f (x) − L| < .
Misalkan f terdefinisi pada interval (c, b) dan M ∈ R. Kita katakan bahwa f
menuju M bila x menuju c dari kanan, dan kita tulis
f (x) → M bila x → c+
atau
lim f (x) = M,
x→c+
apabila untuk setiap > 0 terdapat δ > 0 sedemikian sehingga
jika c < x < c + δ, maka |f (x) − M | < .
64
Hendra Gunawan
Gambar 7.1 Limit Kiri f di c
Bilangan L dan M disebut sebagai limit kiri dan limit kanan dari f di c. Nilai
|f (x) − L| (atau |f (x) − M |) menyatakan jarak antara f (x) dan L (atau jarak antara
f (x) dan M ), yang dapat kita interpretasikan sebagai kesalahan dalam menghampiri
nilai L atau M dengan f (x) (atau sebaliknya menghampiri nilai f (x) dengan L atau
M ). Kesalahan ini dapat dibuat sekecil yang kita kehendaki dengan cara mengambil
x sedekat-dekatnya ke c dari kiri atau kanan.
Contoh 1. Misalkan f : R → R adalah fungsi yang didefinisikan sebagai
1 − x, x ≤ 1;
f (x) =
2x, x > 1.
Maka,
lim f (x) = 0 dan lim f (x) = 2.
x→1−
x→1+
Perhatikan bahwa nilai f (1) terdefinisi, yakni f (1) = 0.
Misalkan f terdefinisi pada interval (a, b) kecuali mungkin di titik c ∈ (a, b),
dan L ∈ R. Kita katakan bahwa f menuju ke L bila x menuju c, dan kita tuliskan
f (x) → L bila x → c
atau
lim f (x) = L,
x→c
65
Pengantar Analisis Real
apabila untuk setiap > 0 terdapat δ > 0 sedemikian sehingga
jika 0 < |x − c| < δ, maka |f (x) − L| < .
Dalam hal ini, bilangan L disebut sebagai limit f di c, dan f dikatakan mempunyai
limit L di c.
Gambar 7.2 Limit f di c
Perhatikan bahwa kondisi 0 < |x − c| < δ setara dengan −δ < x − c < δ, x 6= c.
Jadi, 0 < |x−c| < δ jika dan hanya jika x memenuhi salah satu dari dua pertaksamaan
berikut:
c − δ < x < c atau c < x < c + δ.
Sehubungan dengan itu, kita mempunyai proposisi berikut.
Proposisi 2. lim f (x) = L jika dan hanya jika lim− f (x) = L dan lim+ f (x) = L.
x→c
x→c
x→c
Menurut Proposisi 2, fungsi pada Contoh 1 tidak mempunyai limit di 1 karena
limit kiri dan limit kanannya tidak sama.
2
−1
Contoh 3. Misalkan f (x) = xx−1
. Fungsi ini terdefinisi pada (−∞, 1) dan juga pada
(1, ∞). Bila kita tinjau nilai f (x) untuk x < 1, maka kita dapatkan bahwa
f (x) → 2 bila x → 1− .
Bila kita amati nilai f (x) untuk x > 1, maka kita dapatkan bahwa
f (x) → 2 bila x → 1+ .
66
Hendra Gunawan
Jadi, limit kiri dari f di c sama dengan limit kanannya, yaitu 2. Karena itu
lim f (x) = 2.
x→c
(Perhatikan bahwa pada contoh ini, f tidak terdefinisi di 1.)
Proposisi 4. (i) lim k = k dan (ii) lim x = c.
x→c
x→c
Bukti. (i) Diberikan > 0, pilih δ > 0 sembarang. Jika 0 < |x − c| < δ, maka
|k − k| = 0 < . Ini membuktikan bahwa lim k = k.
x→c
(ii) Diberikan > 0, pilih δ = . Jika 0 < |x − c| < δ, maka |x − c| < δ = . Ini
membuktikan bahwa lim x = c.
x→c
Soal Latihan
1. Misalkan n ∈ N. Buktikan, dengan menggunakan definisi, bahwa lim x1/n = 0.
x→0+
2. Misalkan f : R → R adalah fungsi yang didefinisikan sebagai

2x, x < 1;

1, x = 1
f (x) =

3 − x, x > 1.
Buktikan, dengan menggunakan definisi, bahwa
lim f (x) = 2 dan lim+ f (x) = 2.
x→1−
x→1
Simpulkan bahwa lim f (x) = 2.
x→1
3. Buktikan, dengan menggunakan definisi, bahwa lim (px + q) = pc + q.
x→c
4. Buktikan lim f (x) = 0 jika dan hanya jika lim |f (x)| = 0.
x→c
x→c
5. Buktikan jika f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) untuk x di sekitar c dan lim f (x) = lim h(x) =
x→c
x→c
L, maka lim g(x) = L.
x→c
6. Buktikan jika lim f (x) = L > 0, maka terdapat δ > 0 sehingga f (x) > 0 untuk
x→c
c − δ < x < c + δ, x 6= c.
Pengantar Analisis Real
67
7.2 Kekontinuan di Suatu Titik
Dalam definisi lim f (x), nilai f di c sama sekali tidak diperhatikan. Kita hanya
x→c
tertarik dengan nilai f (x) untuk x menuju c, bukan dengan nilai f di c. Jadi mungkin
saja f mempunyai limit L di c sekalipun f tidak terdefinisi di titik c. Dalam hal f
terdefinisi di c, dapat terjadi f (c) 6= L.
Misalkan f terdefinisi pada (a, b) dan c ∈ (a, b). Kita katakan bahwa f kontinu
di titik c jika dan hanya jika
lim f (x) = f (c).
x→c
Berdasarkan Proposisi 2, f kontinu di c jika dan hanya jika untuk setiap > 0 terdapat
δ > 0 sedemikian sehingga jika |x − c| < δ, maka
|f (x) − f (c)| < .
Secara intuitif, f kontinu di c berarti grafik fungsi f tidak ‘terputus’ di c.
Seperti halnya limit sepihak, kita juga mempunyai definisi kekontinuan sepihak.
Jika f terdefinisi pada (a, c] dan lim− f (x) = f (c), maka kita katakan bahwa f kontinu
x→c
kiri di c. Jika f terdefinisi pada [c, b) dan lim+ f (x) = f (c), maka kita katakan bahwa
x→c
f kontinu kanan di c.
Gambar 7.3 Fungsi Kontinu di Suatu Titik
Contoh 5. (i) Untuk setiap n ∈ N, fungsi f (x) = x1/n kontinu kanan di 0.
(ii) Fungsi f (x) = px + q kontinu di setiap titik.
68
Hendra Gunawan
Teorema 6. Misalkan f terdefinisi pada (a, b) kecuali mungkin di c ∈ (a, b). Maka,
lim f (x) = L jika dan hanya jika, untuk setiap barisan hxn i di (a, b) dengan xn 6=
x→c
c (n ∈ N) dan lim xn = c, berlaku lim f (xn ) = L.
n→∞
n→∞
Catatan. Jika f kontinu di c, maka L = f (c) dan Teorema 6 menyatakan bahwa
lim f (xn ) = f lim xn ;
n→∞
n→∞
yakni, limit dapat ‘bertukar’ dengan f . Hasil serupa berlaku untuk limit kiri dan
limit kanan.
Dengan menggunakan Teorema 6, kekontinuan f (x) = px + q di sebarang titik
c ∈ R dapat dibuktikan sebagai berikut. Misalkan hxn i adalah sebarang barisan yang
konvergen ke c. Maka, menurut Proposisi 5 pada Bab 3,
f (xn ) = pxn + q → pc + q = f (c),
untuk n → ∞.
Menurut akibat dari Teorema 6, f kontinu di c.
Soal Latihan
1. Buktikan Teorema 6.
2. Buktikan bahwa f (x) =
√
x kontinu di setiap c > 0.
3. Buktikan bahwa f (x) = |x| kontinu di setiap titik.
4. Misalkan f (x) = x untuk x rasional dan f (x) = −x untuk x irrasional. Buktikan
bahwa f kontinu hanya di c = 0.
5. Misalkan f terdefinisi pada (a, b) dan kontinu di suatu titik c ∈ (a, b). Buktikan
jika f (c) > 0, maka terdapat δ > 0 sehingga f (x) > 0 untuk x ∈ (c − δ, c + δ).
6. Konstruksi sebuah fungsi f : R → R yang kontinu hanya di sebuah titik.
7.3 Sifat-sifat Limit dan Kekontinuan
Proposisi 7. Misalkan f dan g terdefinisi pada interval (a, b) kecuali mungkin di
c ∈ (a, b). Misalkan lim f (x) = L dan lim g(x) = M , dan λ, µ ∈ R. Maka
x→c
x→c
69
Pengantar Analisis Real
(i) lim [λf (x) + µg(x)] = λL + µM ;
x→c
(ii) lim f (x)g(x) = LM ;
x→c
f (x)
x→c g(x)
(iii) lim
=
L
M,
asalkan M 6= 0.
Akibat 8. Jika f dan g kontinu di c, maka λf + µg, f g, dan
g(c) 6= 0).
f
g
kontinu di c (asalkan
Akibat 9. Fungsi polinom kontinu di setiap titik. Fungsi rasional kontinu di setiap
titik dalam daerah asalnya.
Bukti. Menurut Proposisi 4, f (x) = k dan g(x) = x kontinu di sebarang titik c ∈ R.
Menurut Proposisi 7(ii), h(x) = xi kontinu di sebarang titik c ∈ R, untuk tiap i ∈ N.
Akibatnya, menurut Proposisi 7(i), fungsi polinom
p(x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0
kontinu di setiap titik c ∈ R. Untuk membuktikan kekontinuan fungsi rasional di
setiap titik dalam daerah asalnya, kita perlu menggunakan Proposisi 7(iii).
Teorema 10. Jika g kontinu di c dan f kontinu di g(c), maka f ◦ g kontinu pada c.
Bukti. Ambil > 0 sebarang. Karena f kontinu di b := g(c), maka terdapat δ > 0
sedemikian sehingga
|f (y) − f (b)| < untuk |y − b| < δ. Selanjutnya, karena g kontinu di c, kita dapat memilih γ > 0
sedemikian sehingga
|g(x) − g(c)| < δ
untuk |x − c| < γ. Akibatnya, jika |x − c| < γ, maka |g(x) − b| = |g(x) − g(c)| < δ,
sehingga
|f ◦ g(x) − f ◦ g(c)| = |f (g(x)) − f (b)| < .
Ini berarti bahwa f ◦ g kontinu di c.
Soal Latihan
1. Buktikan Proposisi 7.
70
Hendra Gunawan
2. Berikan contoh fungsi f dan g dengan lim f (x) tidak ada, lim g(x) ada, dan
x→0
x→0
lim f (x)g(x) ada. Apakah ini bertentangan dengan Proposisi 7(ii) atau 7(iii)?
x→0
3. Benar atau salah: Jika lim g(x) = L dan lim f (y) = M , maka lim f (g(x)) =
x→c
x→c
y→L
M?
4. Buktikan jika lim g(x) = L dan f kontinu di L, maka lim f (g(x)) = f (L).
x→c
x→c
5. Kita katakan bahwa lim+ f (x) = +∞ apabila, untuk setiap M > 0 terdapat
x→c
δ > 0 sehingga f (x) > M untuk c < x < c+δ. Buktikan bahwa lim+
x→0
√1
x
= +∞.
Pengantar Analisis Real
71
8. FUNGSI KONTINU PADA INTERVAL
8.1 Kekontinuan pada Interval
Secara geometris, f kontinu di suatu titik berarti bahwa grafiknya tidak terputus
di titik tersebut. Serupa dengan itu, f kontinu pada suatu interval apabila grafiknya
tidak terputus pada interval tersebut. Secara intuitif, f kontinu pada suatu interval
apabila kita dapat menggambar grafik fungsi f pada interval tersebut tanpa harus
mengangkat pena dari kertas.
Secara formal, sebuah fungsi f dikatakan kontinu pada suatu interval buka I
jika dan hanya jika f kontinu di setiap titik pada I. Fungsi f dikatakan kontinu pada
interval tutup I = [a, b] jika dan hanya jika f kontinu di setiap titik c ∈ (a, b), kontinu
kanan di a, dan kontinu kiri di b. (Lihat Gambar 8.1 dan 8.2.)
Gambar 8.1 Grafik fungsi kontinu pada interval buka
Contoh 1. Misalkan f : R → R didefinisikan sebagai
x, x ≤ 1;
f (x) =
3
2, x > 1
72
Hendra Gunawan
Perhatikan bahwa f kontinu di setiap titik kecuali di c = 1. Namun f kontinu kiri di
c = 1, dan karenanya f kontinu pada interval [0, 1]. Karena f tidak kontinu kanan di
c = 1, maka f tidak kontinu pada interval [1, 2].
Gambar 8.2 Grafik fungsi kontinu pada interval tutup
Proposisi 2. Misalkan f terdefinisi pada suatu interval I. Maka, f kontinu pada I
jika dan hanya jika, untuk setiap x ∈ I dan setiap > 0 terdapat δ > 0 sedemikian
sehingga
|f (x) − f (y)| < untuk y ∈ I dengan |x − y| < δ.
Contoh 3. (i) Fungsi f (x) = px + q kontinu pada sebarang interval I.
(ii) Fungsi g(x) = |x| kontinu pada sebarang interval I.
√
(iii) Fungsi h(x) = x kontinu pada sebarang interval I ⊆ [0, ∞).
Soal Latihan
1. Misalkan f : [0, 5] → R didefinisikan sebagai
2x, 0 ≤ x < 1;
f (x) =
1,
1 ≤ x ≤ 5.
Selidiki apakah f kontinu di setiap titik pada interval [0, 5]. Selidiki kekontinuan
f pada interval [0, 1] dan pada interval [1, 5]. Sketsalah grafiknya.
Pengantar Analisis Real
73
2. Buktikan bahwa fungsi f pada Soal 1 terbatas. Tentukan apakah ia mempunyai
nilai maksimum dan nilai minimum.
3. Misalkan K > 0 dan f : I → R adalah fungsi yang memenuhi
|f (x) − f (y)| ≤ K |x − y|
untuk setiap x, y ∈ I. Buktikan bahwa f kontinu pada I.
8.2 Sifat-sifat Fungsi Kontinu pada Interval
Sebagai akibat dari Proposisi 8 dan Teorema 11 yang telah dibahas pada Bab
7, kita mempunyai Proposisi 4 dan Proposisi 6 di bawah ini.
Proposisi 4. Misalkan f dan g kontinu pada suatu interval I dan λ, µ ∈ R. Maka
λf + µg dan f g kontinu pada I. Juga, jika g 6= 0, maka fg kontinu pada I.
Contoh 5. (i) Setiap fungsi polinom kontinu pada sebarang interval.
(ii) Setiap fungsi rasional kontinu pada sebarang interval dalam daerah asalnya. Sebagai contoh, f (x) = x1 kontinu pada (0, ∞).
√
(iii) Fungsi f (x) = x+ x kontinu pada sebarang interval I ⊆ [0, ∞), karena f1 (x) = x
√
dan f2 (x) = x kontinu pada sebarang interval I ⊆ [0, ∞).
Proposisi 6. Misalkan g : I → J kontinu pada interval I dan f : J → R kontinu
pada interval J. Maka f ◦ g kontinu pada I.
Contoh 7. (i) Fungsi h(x) = |1+x| kontinu pada sebarang interval, karena f (x) = |x|
dan g(x) = 1 + x kontinu pada sebarang interval.
(ii) Fungsi h(x) =
√
1−√x
1+ x
kontinu pada sebarang interval I ⊆ [0, ∞).
Soal Latihan
1. Jelaskan mengapa fungsi berikut kontinu pada sebarang interval.
• f (x) =
• g(x) =
1
1+|x| .
√
1 + x2 .
74
Hendra Gunawan
2. Misalkan f kontinu pada suatu interval I dan untuk setiap bilangan rasional
r ∈ I berlaku f (r) = r2 . Buktikan bahwa f (x) = x2 untuk setiap x ∈ I.
3. Misalkan f : [0, 1] → [0, 1] adalah fungsi kontraktif, yakni memenuhi ketaksamaan
|f (x) − f (y)| ≤ C |x − y|,
x, y ∈ [0, 1],
untuk suatu konstanta C dengan 0 < C < 1. Konstruksi barisan hxn i dengan
x1 ∈ I dan xn+1 = f (xn ), n ∈ N. Buktikan bahwa hxn i konvergen ke suatu
L ∈ [0, 1], dan L = f (L).
8.3 Lebih jauh tentang Fungsi Kontinu pada Interval
Sebagaimana telah disinggung dalam Bab 2, interval [a, b] yang tertutup dan
terbatas merupakan himpunan kompak di R. Sekarang kita akan mempelajari keistimewaan yang dimiliki oleh fungsi kontinu pada interval kompak [a, b].
Teorema 8. Misalkan f kontinu pada interval [a, b]. Maka f ([a, b]) juga merupakan
suatu interval kompak.
Teorema ini merupakan konsekuensi dari beberapa teorema berikut.
Teorema 9. Misalkan f kontinu pada suatu interval I. Maka daerah nilainya, yaitu
f (I), juga merupakan suatu interval.
Teorema 10 (Teorema Nilai Antara). Misalkan f kontinu pada suatu interval I
yang memuat a dan b. Jika u terletak di antara f (a) dan f (b), maka terdapat c di
antara a dan b sedemikian sehingga f (c) = u.
Catatan. Teorema 10 setara dengan Teorema 9. Oleh karena itu kita cukup membuktikan salah satu di antara mereka.
Bukti Teorema 10. Tanpa mengurangi keumuman, asumsikan a < b dan f (a) <
u < f (b). Tinjau himpunan H := {x ∈ [a, b] : f (x) < u}. Jelas bahwa H 6= ∅
karena a ∈ H. Karena H juga terbatas, maka H mempunyai supremum, sebutlah
c = sup H. Di sini a < c < b. Selanjutnya tinggal membuktikan bahwa f (c) = u,
dengan menunjukkan bahwa tidak mungkin f (c) < u ataupun f (c) > u.
Pengantar Analisis Real
75
Andaikan f (c) < u. Karena f kontinu di c, maka terdapat δ > 0 sedemikian
sehingga f c + 2δ < u (?). Jadi c + 2δ ∈ H. Ini bertentangan dengan fakta bahwa
c = sup H. Sekarang andaikan f (c) > u. Sekali lagi, karena f kontinu di c, maka
terdapat δ > 0 sedemikian sehingga f (x) > u untuk c − δ < x ≤ c (?). Jadi tidak
ada satu pun anggota H pada interval (c − δ, c]. Ini juga bertentangan dengan fakta
bahwa c = sup H.
Teorema 11. Misalkan f kontinu pada interval [a, b]. Maka f terbatas pada [a, b].
Bukti. Misalkan f tak terbatas pada [a, b]. Maka terdapat suatu barisan hxn i di [a, b]
sedemikian sehingga
|f (xn )| → +∞ untuk n → ∞.
(1)
Karena hxn i terbatas, maka menurut Teorema Bolzano - Weierstrass terdapat suatu
sub-barisan hxnk i yang konvergen ke suatu titik c ∈ [a, b]. Tetapi f kontinu di c,
sehingga f (xnk ) → f (c) untuk k → ∞. Ini bertentangan dengan (1). Jadi mestilah
f terbatas pada [a, b].
Teorema 12. Misalkan f kontinu pada interval [a, b]. Maka f mencapai nilai maksimum dan nilai minimum pada [a, b].
Bukti. Dari Teorema 11 kita tahu bahwa f terbatas pada [a, b]. Misalkan v :=
sup f ([a, b]). Konstruksi barisan hxn i di [a, b] dengan f (xn ) → v untuk n → ∞.
Karena hxn i terbatas, terdapat sub-barisan hxnk i yang konvergen ke suatu titik c ∈
[a, b]. Namun kekontinuan di c mengakibatkan f (xnk ) → f (c) untuk k → ∞. Jadi
mestilah v = f (c), dan ini berarti bahwa v merupakan nilai maksimum. Serupa
dengan itu, f juga mencapai nilai minimumnya.
Contoh 13. Persamaan 10x7 − 13x5 − 1 = 0 mempunyai sebuah akar c ∈ (−1, 0).
Untuk menunjukkannya, misalkan f (x) = 10x7 − 13x5 − 1. Maka, f (−1) = 2 dan
f (0) = −1. Karena f kontinu pada [−1, 0] dan 0 terletak di antara f (−1) dan
f (0), maka menurut Teorema Nilai Antara terdapat c ∈ (−1, 0) sedemikian sehingga
f (c) = 0. Bilangan c dalam hal ini merupakan akar persamaan di atas.
Contoh 14. Misalkan f : [a, b] → [a, b] kontinu pada [a, b]. Maka, terdapat c ∈ [a, b]
sedemikian sehingga f (c) = c. [Bilangan c demikian disebut sebagai titik tetap f .]
Perhatikan bahwa peta dari [a, b] merupakan himpunan bagian dari [a, b], sehingga
f (a) ≥ a dan f (b) ≤ b. Sekarang tinjau g(x) = f (x) − x, x ∈ [a, b]. Karena f
76
Hendra Gunawan
kontinu pada [a, b], maka g juga kontinu pada [a, b]. Namun g(a) = f (a) − a ≥ 0
dan g(b) = f (b) − b ≤ 0. Menurut Teorema Nilai Antara, mestilah terdapat c ∈ [a, b]
sedemikian sehingga g(c) = 0. Akibatnya f (c) = c.
Soal Latihan
1. Lengkapi Bukti Teorema Nilai Antara, khususnya bagian yang diberi tanda
tanya (?).
2. Buktikan bahwa setiap polinom berderajat ganjil mempunyai sedikitnya satu
akar real.
3. Misalkan f kontinu pada suatu interval kompak I. Misalkan untuk setiap x ∈ I
terdapat y ∈ I sedemikian sehingga
|f (y)| ≤
1
|f (x)|.
2
Buktikan bahwa terdapat suatu c ∈ I sedemikian sehingga f (c) = 0.
8.4 Kekontinuan Seragam
Proposisi 2 menyatakan bahwa suatu fungsi f kontinu pada sebuah interval I
jika dan hanya jika untuk setiap x ∈ I dan setiap > 0 terdapat δ > 0 sedemikian
sehingga
|f (x) − f (y)| < untuk y ∈ I dengan |x − y| < δ. Contoh berikut memperlihatkan bahwa secara umum
nilai δ bergantung pada dan x.
Contoh 16. Kita telah mengetahui bahwa f (x) = x1 kontinu pada (0, 1]. Diberikan
2
x ∈ (0, 1] dan > 0 sebarang, kita dapat memilih δ = min x2 , x2
sedemikian
sehingga untuk y ∈ (0, 1] dengan |x − y| < δ berlaku
1
1 x − y 1 1
1 2 x2
= .
− =
= · · |x − y| < · ·
x y
xy
x y
x x 2
Perhatikan bahwa jika x menuju 0, maka δ akan menuju 0.
Pengantar Analisis Real
77
Dalam kasus tertentu, nilai δ hanya bergantung pada , tidak pada x. Hal ini
terjadi pada, misalnya, f (x) = px + q, x ∈ R, dengan p 6= 0. Diberikan > 0, kita
dapat memilih δ = |p|
sedemikian sehingga
|f (x) − f (y)| = |p| · |x − y| < untuk x, y ∈ R dengan |x − y| < δ. Kekontinuan f (x) = px + q dalam hal ini
merupakan kekontinuan ‘seragam’ pada R.
Fungsi f : I → R dikatakan kontinu seragam pada I apabila untuk setiap > 0
terdapat δ > 0 sedemikian sehingga
|f (x) − f (y)| < untuk x, y ∈ I dengan |x − y| < δ. Perhatikan bahwa dalam definisi di atas x dan y
muncul setelah δ, yang mengindikasikan bahwa δ tidak bergantung pada x (dan y).
Teorema 17. Fungsi f : I → R tidak kontinu seragam pada I jika dan hanya jika
terdapat 0 > 0 dan dua barisan hxn i dan hyn i di I sedemikian sehingga |xn −yn | < n1
dan |f (xn ) − f (yn )| ≥ 0 untuk setiap n ∈ N.
Teorema berikut menyatakan bahwa kekontinuan pada interval kompak merupakan kekontinuan seragam.
Teorema 18. Jika f kontinu pada [a, b], maka f kontinu seragam pada [a, b].
Bukti. Andaikan f tidak kontinu seragam pada [a, b]. Maka, menurut Teorema 17,
terdapat 0 > 0 dan dua barisan hxn i dan hyn i di [a, b] sedemikian sehingga |xn −yn | <
1
n dan |f (xn ) − f (yn )| ≥ 0 untuk setiap n ∈ N. Karena hxn i terbatas di [a, b], maka
menurut Teorema Bolzano-Weierstrass terdapat sub-barisan hxnk i yang konvergen,
sebutlah ke c ∈ [a, b]. Karena |xn − yn | < n1 untuk setiap n ∈ N, maka sub-barisan
hynk i akan konvergen ke c juga. Selanjutnya, karena f kontinu di c, maka hf (xnk )i
dan hf (ynk )i konvergen ke f (c). Akibatnya, |f (xnk ) − f (ynk )| → 0 untuk k → ∞. Ini
mustahil karena |f (xn ) − f (yn )| ≥ 0 untuk setiap n ∈ N.
78
Hendra Gunawan
Soal Latihan
1. Contoh 16 memperlihatkan bahwa fungsi f (x) = x1 tampaknya tidak kontinu
seragam pada (0, 1]. Buktikan bahwa ia memang tidak kontinu seragam pada
(0, 1].
2. Selidiki apakah f (x) = x2 kontinu seragam pada [0, ∞).
3. Buktikan jika fungsi f : I → R memenuhi ketaksamaan
|f (x) − f (y)| ≤ K |x − y|,
x, y ∈ I,
untuk suatu K > 0, maka f kontinu seragam pada I.
4. Buktikan bahwa f (x) =
√
x kontinu seragam pada [0, ∞).
Pengantar Analisis Real
79
9. TURUNAN
9.1 Turunan di Suatu Titik
Diberikan sebuah fungsi, kita seringkali perlu mempelajari bagaimana nilai
fungsi itu berubah terhadap peubahnya. Salah satu caranya adalah dengan menghitung turunan dari fungsi itu.
Misalkan f terdefinisi pada suatu interval terbuka I yang memuat titik c. Maka,
f dikatakan mempunyai turunan di titik c apabila limit
f (x) − f (c)
x→c
x−c
lim
ada, dan dalam hal ini nilai limit tersebut disebut turunan dari f di titik c, yang
biasanya dilambangkan dengan f 0 (c) atau Df (c).
Jadi, untuk fungsi f yang mempunyai turunan di c, kita mempunyai
f 0 (c) = lim
x→c
f (x) − f (c)
.
x−c
Dengan mengganti x dengan c + h, kita peroleh
f 0 (c) = lim
h→0
f (c + h) − f (c)
.
h
Catat bahwa f mempunyai turunan di c jika dan hanya jika terdapat suatu
bilangan L = f 0 (c) sedemikian sehingga
f (c + h) − f (c) − Lh = (h)
dengan
(h)
h
→ 0 untuk h → 0.
Secara intuitif, sebuah fungsi f mempunyai turunan di titik c berarti bahwa
grafik fungsi y = f (x) mempunyai garis singgung di titik (c, f (c)) dan gradien garis
80
Hendra Gunawan
singgung tersebut adalah f 0 (c). Untuk ilustrasi, lihat Gambar 9.1. Persamaan garis
singgung pada grafik fungsi y = f (x) di titik (c, f (c)) dalam hal ini adalah
y = f (c) + f 0 (c)(x − c).
Persamaan ini merupakan hampiran linear untuk y = f (x). Jika x berubah dari c ke
c + h, maka y akan bertambah kira-kira sebesar hf 0 (c). Jadi, dengan mengetahui f 0 ,
kita mengetahui bagaimana f berubah (bila x berubah).
Sebagai catatan, masalah menentukan persamaan garis singgung pada kurva
di titik tertentu pertama kali dipelajari oleh Rene Descartes pada 1620-an. Namun,
kalkulus diferensial dan integral yang kita kenal sekarang ini ‘ditemukan’ oleh Isaac
Newton pada 1665 (namun dipublikasikan pada 1704) dan Gottfried Wilhelm von
Leibniz pada 1684.
Gambar 9.1 Grafik fungsi f yang mempunyai turunan di titik c
Contoh 1. Misalkan f (x) = x2 dan c = 1. Untuk memeriksa apakah f mempunyai
turunan di 1, kita hitung
f (x) − f (1)
x2 − 1
= lim
= lim (x + 1) = 2.
x→1
x→1 x − 1
x→1
x−1
lim
Jadi f mempunyai turunan di 1, dengan f 0 (1) = 2.
Secara umum dapat ditunjukkan bahwa f (x) = x2 mempunyai turunan di setiap
titik c ∈ R, dengan f 0 (c) = 2c. Fungsi f 0 : c 7→ 2c disebut sebagai turunan dari f .
Pengantar Analisis Real
81
Contoh 2. Misalkan f (x) = |x| dan c = 0. Perhatikan bahwa
lim
h→0
f (h) − f (0)
|h|
= lim
h→0 h
h
tidak ada (?). Karena itu, f tidak mempunyai turunan di 0.
Proposisi 3. Misalkan f terdefinisi pada suatu interval terbuka I yang memuat titik
c. Jika f mempunyai turunan di c, maka f kontinu di c.
Bukti. Perhatikan bahwa
f (x) − f (c) =
f (x) − f (c)
· (x − c) → f 0 (c) · 0 = 0
x−c
untuk x → c. Jadi f (x) → f (c) untuk x → c.
Dalam prakteknya, kita sering pula menggunakan kontraposisi dari Proposisi 3
yang menyatakan: jika f tidak kontinu di c, maka f tidak akan mempunyai turunan
di c. Sebagai contoh, fungsi f : [0, 2] → R yang didefinisikan sebagai
2x, 0 ≤ x < 1;
f (x) =
1,
1 ≤ x ≤ 2,
tidak mungkin mempunyai turunan di 1 karena f tidak kontinu di titik tersebut.
Catatan. Proposisi 3 menyatakan bahwa kekontinuan f di c merupakan syarat perlu
bagi f untuk mempunyai turunan di c. Namun, Contoh 2 memperlihatkan bahwa
kekontinuan f di c bukan merupakan syarat cukup untuk mempunyai turunan di c.
Soal Latihan
1. Tentukan persamaan garis singgung pada kurva y = x2 di titik (1, 1).
2. Tunjukkan bahwa f (x) = x2 mempunyai turunan di setiap titik c ∈ R, dengan
f 0 (c) = 2c.
3. Diketahui f (x) = x|x|, x ∈ R. Selidiki apakah f mempunyai turunan di 0.
4. Berikan sebuah contoh fungsi f yang kontinu di 0 tetapi tidak mempunyai turunan di sana, selain f (x) = |x|.
5. Konstruksi sebuah fungsi f : R → R yang mempunyai turunan hanya di sebuah
titik.
82
Hendra Gunawan
6. Buktikan jika f mempunyai turunan di c, maka
f (c + h) − f (c − h)
.
h→0
2h
f 0 (c) = lim
Berikan sebuah contoh fungsi yang tidak mempunyai turunan di suatu titik
namun limit di atas ada.
9.2 Sifat-sifat Dasar Turunan
Teorema 4. Misalkan f dan g terdefinisi pada suatu interval terbuka I yang memuat
titik c. Misalkan λ dan µ bilangan real sembarang. Jika f dan g mempunyai turunan
di c, maka λf + µg, f g, dan f /g mempunyai turunan di c, dan
(i) (λf + µg)0 (c) = λf 0 (c) + µf 0 (c);
(ii) (f g)0 (c) = f 0 (c)g(c) + f (c)g 0 (c);
0
0
(c)g 0 (c)
asalkan g(c) 6= 0.
(iii) fg (c) = f (c)g(c)−f
g 2 (c)
Bukti. (i) Perhatikan bahwa
1
hh λf (c + h) +
i µg(ch+ h) − λf (c)
i − µg(c)
(c)
+ µ g(c+h)−g(c)
= λ f (c+h)−f
h
h
→ λf 0 (c) + µg 0 (c)
untuk h → 0.
(ii) Di sini kita mempunyai
1
h f (c +hh)g(c + h) −
i f (c)g(c)
h
(c)
+ f (c)
= g(c + h) f (c+h)−f
h
0
0
→ g(c)f (c) + f (c)g (c),
g(c+h)−g(c)
h
i
untuk h → 0.
(iii) Latihan.
Contoh 5. Misalkan n ∈ N dan f (x) = xn . Maka turunan dari f adalah
f 0 (x) = nxn−1 .
Fakta ini dapat dibuktikan secara induktif. Untuk n = 1 atau f (x) = x, jelas bahwa
f 0 (x) = 1. Sekarang misalkan pernyataan di atas benar untuk n = k, yakni jika
Pengantar Analisis Real
83
f (x) = xk , maka f 0 (x) = kxk−1 . Maka, untuk n = k + 1 atau f (x) = xk+1 , kita
peroleh
f 0 (x) = D(xk .x) = D(xk ).x + xk .D(x) = kxk−1 .x + xk = (k + 1)xk .
Jadi, menurut Prinsip Induksi Matematika, pernyataan benar untuk setiap n ∈ N.
Teorema 6 (Aturan Rantai). Misalkan g mempunyai turunan di c dan f mempunyai turunan di y = g(c). Maka, f ◦ g mempunyai turunan di c dan
(f ◦ g)0 (c) = f 0 (g(c))g 0 (c).
Bukti. Berdasarkan definisi turunan,
(f ◦ g)0 (c) = lim
x→c
(f ◦ g)(x) − (f ◦ g)(c)
f (g(x)) − f (g(c))
= lim
.
x→c
x−c
x−c
Bila g(x) − g(c) 6= 0 pada suatu interval terbuka (c − δ, c + δ), maka
(f ◦ g)0 (c) = lim
x→c
f (g(x)) − f (g(c)) g(x) − g(c)
·
= f 0 (g(c)) · g 0 (c).
g(x) − g(c)
x−c
Namun, bila g konstan (misalnya), maka argumentasi di atas gugur. Untuk mengatasinya, definisikan
(
f (y)−f (g(c))
, y 6= g(c),
y−g(c)
h(y) :=
0
f (g(c)),
y = g(c).
Perhatikan bahwa h kontinu di g(c). Mengingat g kontinu di c, maka menurut Teorema 10 pada Bab 7, h ◦ g kontinu di c. Akibatnya
(f ◦ g)0 (c) = lim
x→c
g(x) − g(c)
f (g(x)) − f (g(c))
= lim h(g(x)) ·
= f 0 (g(c)) · g 0 (c),
x→c
x−c
x−c
sebagaimana yang kita harapkan.
Soal Latihan
1. Buktikan Teorema 4 bagian (iii).
2. Misalkan n ∈ N dan f (x) = xn . Buktikan dengan menggunakan definisi bahwa
f 0 (x) = nxn−1 .
84
Hendra Gunawan
3. Misalkan n ∈ N. Buktikan
• jika f (x) = x−n (x 6= 0), maka f 0 (x) = −nx−n−1 .
• jika f (x) = x1/n (x > 0), maka f 0 (x) =
1 1/n−1
.
nx
4. Buktikan bahwa untuk bilangan rasional r sembarang berlaku
D(xr ) = rxr−1
asalkan x > 0.
5. Misalkan f : R → R mempunyai turunan di x. Buktikan jika f mempunyai
invers f −1 : R → R dan f −1 mempunyai turunan di y = f (x), maka
Df −1 (y) =
1
.
Df (x)
9.3 Turunan Tingkat Tinggi
Jika f mempunyai turunan di setiap titik dalam suatu interval terbuka I, maka
kita katakan f mempunyai turunan pada I. Dalam hal ini turunan dari f , yaitu f 0 ,
merupakan fungsi yang juga terdefinisi pada I.
Selanjutnya kita dapat mendefinisikan turunan kedua dari f sebagai turunan
dari f 0 , yang nilainya di c adalah
f 0 (x) − f 0 (c)
,
x→c
x−c
f 00 (c) = lim
asalkan limit ini ada. Dapat diperiksa bahwa bila f mempunyai turunan kedua di c,
maka
h2
f (c + h) − f (c) − hf 0 (c) − f 00 (c) = (h),
2
dengan
(h)
h2
→ 0 untuk h → 0.
Turunan kedua dari f berkaitan dengan kecekungan grafik fungsi f . Jika f 00
bernilai positif pada suatu interval, maka grafik fungsi f cekung ke atas pada interval
tersebut. Sementara itu, jika f 00 bernilai negatif pada suatu interval, maka grafik
fungsi f cekung ke bawah pada interval tersebut. Dengan mengetahui f 00 , kita juga
mengetahui bagaimana f 0 berubah.
Pengantar Analisis Real
85
Setelah menghitung turunan pertama dan kedua dari f , turunan ketiga dan
seterusnya dapat didefinisikan secara serupa. Secara umum, f (n) (x) menyatakan turunan ke-n, n ∈ N, dari f .
Contoh 7. Jika f (x) = x1 , maka
f 0 (x) = −
1
;
x2
2
;
x3
6
f 000 (x) = − 4 ;
x
f 00 (x) =
dan seterusnya. (Dapatkah anda menentukan rumus umum f (n) (x) untuk n ∈ N?)
Bila f mempunyai turunan ke-n pada suatu interval yang memuat titik c, maka
f dapat dihampiri oleh suatu polinom berderajat n − 1 dan kesalahannya dapat
ditaksir dengan turunan ke-n. Lihat Teorema Taylor pada bab berikutnya.
Soal Latihan
1. Buktikan bila f mempunyai turunan kedua di c, maka
f (c + h) − f (c) − hf 0 (c) −
dengan
(h)
h2
h2 00
f (c) = (h),
2
→ 0 untuk h → 0.
2. Tentukan pada interval mana grafik fungsi f (x) = x3 cekung ke atas dan pada
interval mana ia cekung ke bawah.
3. Tentukan rumus umum turunan ke-n dari f (x) = x1 .
√
4. Diketahui f (x) = x. Tentukan f 0 (x), f 00 (x), dan f 000 (x). Tentukan rumus
umum f (n) (x) untuk n ∈ N.
5. Misalkan p(x) adalah polinom berderajat n. Buktikan bahwa p(m) (x) = 0 untuk
m > n.
6. Berikan sebuah contoh fungsi yang mempunyai turunan pertama tetapi tidak
mempunyai turunan kedua di 0.
86
Hendra Gunawan
10. TEOREMA NILAI RATA-RATA
10.1 Maksimum dan Minimum Lokal
Misalkan f terdefinisi pada suatu interval terbuka (a, b) dan c ∈ (a, b). Kita
katakan bahwa f mencapai nilai maksimum lokal di c apabila
f (x) ≤ f (c)
untuk setiap x dalam suatu interval terbuka I yang memuat c. Titik c dalam hal ini
disebut sebagai titik maksimum lokal.
Nilai dan titik minimum lokal didefinisikan secara analog.
Gambar 10.1 f mencapai nilai maksimum lokal di c
Secara intuitif, f mencapai nilai maksimum lokal di c apabila grafiknya mempunyai sebuah ‘puncak’ di atas titik c. Serupa dengan itu, f mencapai nilai minimum
lokal di c apabila grafiknya mempunyai sebuah ‘lembah’ di atas titik c.
Pengantar Analisis Real
87
Jika f (c) merupakan nilai maksimum f pada seluruh interval (a, b), maka tentunya f mencapai nilai maksimum lokal di c. Namun sebaliknya belum tentu benar,
nilai maksimum lokal belum tentu merupakan nilai maksimum f .
Contoh 1. Misalkan f : R → R adalah fungsi yang didefinsikan sebagai
x + 2, x < −1,
f (x) =
|x|,
x ≥ −1.
Maka, f mencapai nilai maksimum lokal di −1, namun f (−1) = 1 bukan merupakan
nilai maksimum f pada R. Demikian pula f mencapai nilai minimum lokal di 0,
namun f (0) = 0 bukan merupakan nilai minimum f pada R.
Teorema 2. Misalkan f mempunyai turunan pada (a, b) dan c ∈ (a, b). Jika f
mencapai nilai maksimum atau minimum lokal di c, maka f 0 (c) = 0.
Bukti. Menurut definisi turunan,
f (x) − f (c)
→ f 0 (c)
x−c
untuk x → c. Misalkan f 0 (c) > 0. Menurut Soal Latihan 7.1 No. 4, terdapat suatu
δ > 0 sedemikian sehingga
f (x) − f (c)
>0
(2)
x−c
untuk x ∈ (c − δ, c + δ), x 6= c. Sekarang misalkan x ∈ (c, c + δ) sembarang. Maka,
x−c > 0 dan (1) memberikan f (x)−f (c) > 0 atau f (x) > f (c). Jadi f tidak mungkin
mencapai nilai maksimum lokal di c. Selanjutnya misalkan x ∈ (c − δ, c) sembarang.
Maka, x − c < 0 dan (1) memberikan f (x) − f (c) < 0 atau f (x) < f (c). Jadi f juga
tidak mungkin mencapai nilai minimum lokal di c.
Hal serupa terjadi ketika f 0 (c) < 0. Jadi, jika f 0 (c) 6= 0, maka f tidak akan
mencapai nilai maksimum atau minimum lokal di c.
Catatan. Kebalikan dari Teorema 2 tidak berlaku: jika f 0 (c) = 0, belum tentu f
mencapai nilai maksimum atau minimum lokal di c.
Soal Latihan
1. Berikan sebuah contoh fungsi f yang terdefinisi pada (−2, 2) dan mencapai nilai
maksimum lokal di 1 tetapi f (1) bukan merupakan nilai maksimum f pada
(−2, 2).
88
Hendra Gunawan
2. Berikan sebuah contoh fungsi f yang mempunyai turunan nol di suatu titik
tetapi f tidak mencapai nilai maksimum atau minimum lokal di titik tersebut.
10.2 Titik Stasioner
Titik c dengan f 0 (c) = 0 disebut titik stasioner f . Sebagaimana telah dicatat
sebelumnya, tidak semua titik stasioner merupakan titik maksimum atau minimum
lokal. Sebagai contoh, jika f (x) = x3 , maka f 0 (x) = 3x2 , sehingga 0 merupakan
titik stasioner. Namun, 0 bukan merupakan titik maksimum maupun minimum f .
(Titik 0 dalam hal ini merupakan titik infleksi f , yaitu titik terjadinya perubahan
kecekungan grafik fungsi f .) Situasi yang lebih parah dapat terjadi. Sebagai contoh,
fungsi f (x) = x2 sin x1 untuk x 6= 0 dan f (0) = 0 mempunyai turunan f 0 (0) = 0 tetapi
0 bukan merupakan titik maksimum atau minimum lokal, ataupun titik infleksi.
Gambar 10.2 Grafik fungsi f (x) = x3
Teorema 3 (Teorema Rolle). Misalkan f kontinu pada [a, b] dan mempunyai
turunan pada (a, b). Jika f (a) = f (b), maka f 0 (c) = 0 untuk suatu c ∈ (a, b).
Bukti. Karena f kontinu pada interval kompak [a, b], maka menurut sifat kekontinuan
f mencapai nilai maksimum M di suatu titik c1 ∈ [a, b] dan juga mencapai nilai
minimum m di suatu titik c2 ∈ [a, b].
Pengantar Analisis Real
89
Misalkan c1 dan c2 adalah titik-titik ujung [a, b]. Karena f (a) = f (b), maka
m = M dan dengan demikian f konstan pada [a, b]. Akibatnya f 0 (c) = 0 untuk
setiap c ∈ (a, b). Jika c1 bukan titik ujung [a, b], maka c1 ∈ (a, b) dan f mencapai
nilai maksimum lokal di c1 . Menurut Teorema 2, f 0 (c1 ) = 0. Hal serupa terjadi bila
c2 bukan titik ujung [a, b].
Soal Latihan
1. Diketahui f (x) = x|x|, x ∈ R. Tunjukkan bahwa 0 merupakan titik stasioner.
Selidiki apakah f mencapai nilai maksimum atau minimum lokal di 0.
2. Beri contoh sebuah fungsi f yang terdefinisi pada [a, b], mempunyai turunan
pada (a, b), dan f (a) = f (b), namun tidak ada c ∈ (a, b) dengan f 0 (c) = 0.
10.3 Teorema Nilai Rata-rata dan Teorema Taylor
Sebagai perumuman dari Teorema Rolle, kita mempunyai teorema berikut.
Teorema 4 (Teorema Nilai Rata-rata). Misalkan f kontinu pada [a, b] dan mempunyai turunan pada (a, b). Maka
f 0 (c) =
f (b) − f (a)
b−a
untuk suatu c ∈ (a, b).
(a)
Catatan. Nilai f (b)−f
disebut nilai rata-rata f pada [a, b]. Nilai ini sama dengan
b−a
gradien ruas garis singgung yang menghubungkan titik (a, f (a)) dan (b, f (b)). Teorema Nilai Rata-rata menyatakan bahwa pada kurva y = f (x) terdapat suatu titik
(c, f (c)) dengan gradien garis singgung sama dengan nilai rata-rata f pada [a, b].
Bukti Teorema 4. Misalkan F didefinisikan pada [a, b] sebagai
F (x) = f (x) − hx
dengan h konstanta. Maka F kontinu pada [a, b] dan mempunyai turunan pada (a, b).
Kita pilih konstanta h sedemikian sehingga F (a) = F (b), yakni
h=
f (b) − f (a)
.
b−a
90
Hendra Gunawan
Karena F memenuhi hipotesis Teorema Rolle, maka F 0 (c) = 0 untuk suatu c ∈ (a, b).
Namun
F 0 (c) = f 0 (c) − h = 0,
sehingga teorema pun terbukti.
Jika f mempunyai turunan di c, maka persamaan garis singgung pada kurva
y = f (x) di titik (c, f (c)) adalah
y = f (c) + (x − c)f 0 (c).
Untuk x dekat c, nilai f (c) + (x − c)f 0 (c) merupakan hampiran yang ’baik’ untuk
f (x). Namun seberapa besar kesalahan dalam penghampiran ini?
Lebih jauh, misalkan f mempunyai turunan ke-(n − 1) di c. Maka polinom
P (x) = f (c) + (x − c)f 0 (c) +
(x − c)2 00
(x − c)n−1 (n−1)
f (c) + · · · +
f
(c)
2!
(n − 1)!
mempunyai turunan ke-k, k = 0, 1, . . . , n − 1, yang sama dengan turunan ke-k dari
f . Karena itu masuk akal untuk menghampiri f (x) dengan P (x) untuk x di sekitar
c. Namun, sekali lagi, seberapa besar kesalahan dalam penghampiran ini. Teorema
Taylor di bawah ini menjawab pertanyaan tersebut.
Teorema 5 (Teorema Taylor). Misalkan f mempunyai turunan ke-n pada interval
terbuka I yang memuat titik c. Maka, untuk setiap x ∈ I, berlaku
f (x) = f (c) + (x − c)f 0 (c) +
dengan En =
1
n! (x
(x − c)n−1 (n−1)
(x − c)2 00
f (c) + · · · +
f
(c) + En
2!
(n − 1)!
− c)n f (n) (ξ) untuk suatu ξ di antara x dan c.
Proof. Untuk t di antara x dan c, definisikan
F (t) = f (x) − f (t) − (x − t)f 0 (t) − · · · −
Perhatikan bahwa
F 0 (t) = −
(x − t)n−1 (n−1)
f
(t).
(n − 1)!
(x − t)n−1 (n)
f (t).
(n − 1)!
Sekarang definisikan
G(t) = F (t) −
x − t n
x−c
F (c).
91
Pengantar Analisis Real
Maka, G(x) = G(c) = 0, sehingga menurut Teorema Rolle, terdapat ξ di antara x
dan c sedemikian sehingga
0 = G0 (ξ) = F 0 (ξ) +
(x − ξ)n−1 (n)
n(x − ξ)n−1
n(x − ξ)n−1
F
(c)
=
−
F (c).
f
(ξ)
+
(x − c)n
(n − 1)!
(x − c)n
Dari sini kita peroleh
F (c) =
(x − c)n (n)
f (ξ)
n!
dan teorema pun terbukti.
Soal Latihan
√
1. Diketahui f (x) = x. Tentukan nilai rata-rata f pada [0, 4]. Tentukan c ∈ (0, 4)
sedemikian sehingga f 0 (c) sama dengan nilai rata-rata tersebut.
2. Misalkan f kontinu pada [a, b] dan mempunyai turunan pada (a, b). Buktikan
jika f 0 (x) = 0 untuk setiap x ∈ (a, b), maka f konstan pada [a, b].
3. Misalkan f : R → R mempunyai turunan di setiap titik dan f 0 (x) = x2 untuk
setiap x ∈ R. Buktikan bahwa f (x) = 13 x3 + C, dengan C suatu konstanta.
4. Diketahui f : R → R memenuhi ketaksamaan
|f (x) − f (y)| ≤ C|x − y|p ,
x, y ∈ R,
untuk suatu C > 0 dan p > 1. Buktikan bahwa f konstan.
5. Buktikan jika f mempunyai turunan kedua di c, maka
f 00 (c) = lim
h→0
f (c + h) − 2f (c) + f (c − h)
.
h2
Berikan sebuah contoh fungsi yang tidak mempunyai turunan kedua di suatu
titik namun limit di atas ada.
6. Misalkan c ∈ R dan n ∈ N. Buktikan dengan menggunakan Teorema Taylor
bahwa
n(n − 1) 2
(1 + c)n = 1 + nc +
c + · · · + cn .
2!
(Petunjuk. Tinjau f (x) = xn .)
92
Hendra Gunawan
11. FUNGSI MONOTON (DAN FUNGSI
KONVEKS)
11.1 Definisi dan Limit Fungsi Monoton
Misalkan f terdefinisi pada suatu himpunan H. Kita katakan bahwa f naik
pada H apabila untuk setiap x, y ∈ H dengan x < y berlaku
f (x) ≤ f (y).
Jika ketaksamaan < berlaku, maka kita katakan bahwa f naik sejati pada H.
Definisi serupa dapat dirumuskan untuk fungsi turun dan turun sejati pada H.
Fungsi naik atau turun disebut fungsi monoton. Fungsi yang naik dan turun sekaligus
pada H mestilah konstan pada H.
Contoh 1. (i) Fungsi f : R → R yang didefinisikan sebagai f (x) = x3 merupakan
fungsi naik sejati pada R.
(ii) Fungsi g : (0, ∞) → R yang didefinisikan sebagai g(x) =
turun sejati pada (0, ∞).
1
x
merupakan fungsi
Proposisi 2. Jika f naik pada [a, b], maka f mencapai nilai minimum di a dan nilai
maksimum di b.
Bukti. Misalkan a < x < b. Maka menurut definisi kita mempunyai
f (a) ≤ f (x) ≤ f (b).
Jadi f mencapai nilai minimum di a dan nilai maksimum di b.
Sekarang kita akan membahas limit fungsi monoton. Untuk itu, kita perkenalkan notasi
f (c−) = lim f (x)
x→c−
Pengantar Analisis Real
Gambar 11.1(i) Grafik fungsi f (x) = x3
Gambar 11.1(ii) Grafik fungsi g(x) =
1
x
dan
f (c+) = lim+ f (x),
x→c
asalkan kedua limit ini ada.
Contoh 3. Misalkan f : R → R didefinisikan sebagai
x, x ≤ 1;
f (x) =
3
2, x > 1
93
94
Hendra Gunawan
Maka, f (1−) = 1 = f (1), sedangkan f (1+) = 32 .
Teorema 4. (i) Jika f naik dan terbatas di atas pada (a, b), maka
f (b−) = sup f (x).
x∈(a,b)
(ii) Jika f naik dan terbatas di bawah pada (a, b), maka
f (a+) = inf f (x).
x∈(a,b)
Bukti. (i) Misalkan M = sup f (x). Diberikan > 0 sembarang, kita harus mencari
x∈(a,b)
suatu δ > 0 sedemikian sehingga jika b − δ < x < b, maka |f (x) − M | < atau
M − < f (x) < M + .
Ketaksamaan f (x) < M + selalu terpenuhi karena M merupakan batas atas
untuk f pada (a, b). Selanjutnya, karena M − bukan merupakan batas atas untuk
f pada (a, b), maka terdapat suatu y ∈ (a, b) sedemikian sehingga M − < f (y).
Namun f naik pada (a, b), sehingga untuk setiap x yang memenuhi y < x < b berlaku
M − < f (y) ≤ f (x).
Jadi, pilihlah δ = b − y.
(ii) Serupa dengan (i).
Akibat 5. Misalkan f naik pada (a, b). Jika c ∈ (a, b), maka f (c−) dan f (c+) ada,
dan
f (x) ≤ f (c−) ≤ f (c) ≤ f (c+) ≤ f (y)
untuk a < x < c < y < b.
Soal Latihan
1. Buktikan Teorema 4 bagian (ii). Mulai dengan memisalkan m = inf f (x).
x∈(a,b)
2. Buktikan jika f turun dan terbatas di bawah pada (a, b), maka
f (b−) = inf f (x).
x∈(a,b)
95
Pengantar Analisis Real
Gambar 11.2 Kasus f (c−) < f (c) < f (c+)
3. Buktikan jika f dan g naik (sejati) pada H, maka f + g naik (sejati) pada H.
4. Diketahui f (x) > 0 untuk setiap x ∈ H, dan g :=
(sejati) pada H, maka g turun (sejati) pada H.
1
f.
Buktikan jika f naik
5. Diketahui f naik sejati pada A. Buktikan bahwa f merupakan korespondensi
1-1 antara A dan B := f (A), sehingga f −1 ada. Buktikan bahwa f −1 naik sejati
pada B.
11.2 Fungsi Monoton yang Mempunyai Turunan
Pada bagian ini kita akan membahas bagaimana kita dapat menyelidiki kemonotonan suatu fungsi melalui turunannya, bila fungsi tersebut mempunyai turunan.
Persisnya, kita mempunyai teorema berikut.
Teorema 6. Misalkan f kontinu pada [a, b] dan mempunyai turunan pada (a, b).
(i) Jika f 0 (x) ≥ 0 untuk tiap x ∈ (a, b), maka f naik pada [a, b]. Jika f 0 (x) > 0 untuk
tiap x ∈ (a, b), maka f naik sejati pada [a, b].
(ii) Jika f 0 (x) ≤ 0 untuk tiap x ∈ (a, b), maka f turun pada [a, b]. Jika f 0 (x) < 0
untuk tiap x ∈ (a, b), maka f turun sejati pada [a, b].
96
Hendra Gunawan
Bukti. (i) Misalkan x dan y bilangan sembarang di [a, b] dengan x < y. Maka f
memenuhi hipotesis Teorema Nilai Rata-rata pada [x, y] dan karenanya
f 0 (c) =
f (y) − f (x)
y−x
untuk suatu c ∈ (x, y). Jika f 0 (t) ≥ 0 untuk tiap t ∈ (a, b), maka f 0 (c) ≥ 0 dan
karenanya f (x) ≤ f (y). Jadi f naik pada [a, b].
Jika f 0 (t) > 0 untuk tiap t ∈ (a, b), maka f 0 (c) > 0 dan karenanya f (x) < f (y).
Jadi f naik sejati pada [a, b].
(ii) Serupa dengan (i).
Contoh 7. Misalkan f : R → R didefinisikan sebagai f (x) = x(1 − x). Turunannya
adalah
f 0 (x) = 1 − 2x.
Jadi f 0 (x) ≥ 0 untuk x ≤ 21 dan f 0 (x) ≤ 0 untuk x ≥
pada (−∞, 12 ] dan turun pada [ 12 , ∞).
1
2.
Dengan demikian f naik
Soal Latihan
1. Misalkan n ∈ N. Buktikan bahwa fungsi f : [0, ∞) → R yang didefinisikan
sebagai
f (x) = (x + 1)1/n − x1/n
merupakan fungsi turun pada [0, ∞).
2. Misalkan f mempunyai turunan dan naik pada suatu interval terbuka I. Buktikan bahwa f 0 (x) ≥ 0 untuk tiap x ∈ I. Jika f naik sejati pada I, apakah
dapat disimpulkan bahwa f 0 (x) > 0 untuk tiap x ∈ I? Jelaskan.
11.3 Invers Fungsi Monoton
Menurut Soal 11.1 No. 5, fungsi f yang naik sejati pada A mendefinisikan suatu
korespondensi 1-1 antara A dan B := f (A). Dalam hal ini f akan mempunyai invers
f −1 . Lebih jauh, f −1 naik sejati pada B.
Pengantar Analisis Real
97
Dalam kasus di mana f kontinu dan daerah asal f merupakan interval, sebutlah
I, maka daerah nilainya juga merupakan suatu interval, sebutlah J = f (I) (Teorema
10 pada Bab 8). Lebih jauh, kita mempunyai teorema berikut.
Teorema 8. Misalkan f : I → J dengan I interval dan J = f (I). Jika f naik sejati
dan kontinu pada I, maka f −1 : J → I kontinu pada J.
Bukti. Andaikan f −1 tidak kontinu di suatu titik d ∈ J. Asumsikan bahwa d bukan
titik ujung J. Maka, mengingat f −1 naik sejati pada J, f −1 (d−) dan f −1 (d+) ada,
dan f −1 (d−) < f −1 (d+). Sekarang misalkan c ∈ I sedemikian sehingga
f −1 (d−) < c < f −1 (d+) dan c 6= f −1 (d).
Karena itu f (c) tidak terdefinisi (buatlah ilustrasinya!), dan ini bertentangan dengan
hipotesis bahwa f terdefinisi pada I.
Teorema 9. Misalkan I dan J interval, I ◦ dan J ◦ interval terbuka yang mempunyai
titik ujung sama dengan titik ujung I dan J. Misalkan f : I → J kontinu dan
J = f (I). Jika f mempunyai turunan pada I ◦ dan f 0 (x) > 0 untuk tiap x ∈ I ◦ , maka
f −1 : J → I ada dan kontinu pada J. Lebih jauh, f −1 mempunyai turunan pada J ◦
dan
1
(f −1 )0 (y) = 0
f (x)
untuk tiap y ∈ J ◦ dan x = f −1 (y).
Catatan. Bukti Teorema 9 dapat dilihat di [2].
Soal Latihan
1. Misalkan f : R → R didefinisikan sebagai f (x) = 1 + x + x3 . Tunjukkan bahwa
f mempunyai invers dan hitunglah nilai (f −1 )0 (−1).
2. Berikan sebuah contoh fungsi f : A → R yang naik sejati dan kontinu pada A,
tetapi f −1 tidak kontinu pada B = f (A). (Petunjuk. Himpunan A tentunya
bukan suatu interval.)
98
Hendra Gunawan
11.4 Fungsi Konveks*
Misalkan I ⊆ R suatu interval. Fungsi f : I → R dikatakan konveks pada I
apabila untuk setiap t ∈ [0, 1] dan x1 , x2 ∈ I berlaku
f ((1 − t)x1 + tx2 ) ≤ (1 − t)f (x1 ) + tf (x2 ).
Catat bahwa untuk x1 < x − 2, titik (1 − t)x1 + tx2 bergerak dari x1 ke x2 ketika t
bergerak dari 0 ke 1. Jadi jika f konveks pada I dan x1 , x2 ∈ I, maka ruas garis yang
menghubungkan titik (x1 , f (x1 )) dan (x2 , f (x2 )) berada di atas grafik fungsi f (lihat
Gambar 11.3).
Gambar 11.3 Grafik fungsi konveks
Sebuah fungsi konveks tidak harus mempunyai turunan di setiap titik. Sebagai
contoh, f (x) = |x| merupakan fungsi konveks pada R tetapi tidak mempunyai turunan di 0. Namun, dapat ditunjukkan jika f konveks pada interval terbuka I, maka
f mempunyai ‘turunan kiri’ dan ‘turunan kanan’ di setiap titik dalam I. Sebagai
akibatnya, setiap fungsi konveks pada interval terbuka merupakan fungsi kontinu.
Teorema berikut memperlihatkan kaitan antara fungsi konveks dan turunan
keduanya, bila fungsi tersebut mempunyai turunan kedua. Istilah konveks dalam hal
ini setara dengan istilah ‘cekung ke atas’ yang telah kita bahas pada Bab 9.
Teorema 10. Misalkan I interval terbuka dan f : I → R mempunyai turunan kedua
pada I. Maka, f konveks pada I jika dan hanya jika f 00 (x) ≥ 0 untuk tiap x ∈ I.
Pengantar Analisis Real
99
Bukti. Misalkan f konveks pada I. Untuk tiap c ∈ I, kita mempunyai
f (c + h) − 2f (c) + f (c − h)
.
h→0
h2
f 00 (c) = lim
Kita pilih h cukup kecil sedemikian sehingga c − h dan c + h ada di I. Maka, c =
1
2 [(c + h) + (c − h)], sehingga
f (c) = f
1
1
1
1
(c + h) + (c − h) ≤ f (c + h) + f (c − h).
2
2
2
2
Akibatnya, f (c + h) − 2f (c) + f (c − h) ≥ 0. Karena h2 > 0 untuk tiap h 6= 0, kita
simpulkan bahwa f 00 (c) ≥ 0.
Sebaliknya, misalkan f 00 (x) ≥ 0 untuk tiap x ∈ I. Untuk membuktikan bahwa
f konveks pada I, ambil x1 , x2 ∈ I dan 0 < t < 1, dan misalkan x0 = (1 − t)x1 + tx2 .
Berdasarkan Teorema Taylor, terdapat ξ1 di antara x0 dan x1 sedemikian sehingga
f (x1 ) = f (x0 ) + (x1 − x0 )f 0 (x0 ) +
(x1 − x0 )2 00
f (ξ1 )
2
dan juga terdapat ξ2 di antara x0 dan x2 sedemikian sehingga
f (x2 ) = f (x0 ) + (x2 − x0 )f 0 (x0 ) +
(x2 − x0 )2 00
f (ξ2 ).
2
Perhatikan bahwa (1 − t)(x1 − x0 ) + t(x2 − x0 ) = (1 − t)x1 + tx2 − x0 = 0 dan
2
2
0)
0)
E := (1 − t) (x1 −x
f 00 (ξ1 ) + t (x2 −x
f 00 (ξ2 ) ≥ 0. Akibatnya,
2
2
(1 − t)f (x1 ) + tf (x2 ) = f (x0 ) + E ≥ f (x0 ) = f ((1 − t)x1 + tx2 ),
sebagaimana yang kita harapkan.
Soal Latihan
1. Buktikan f konveks pada interval I jika dan hanya jika untuk setiap x1 , x2 , x3 ∈
I dengan x1 < x2 < x3 berlaku
f (x2 ) − f (x1 )
f (x3 ) − f (x2 )
≤
.
x2 − x1
x3 − x2
Berikan interpretasi geometrisnya beserta ilustrasinya.
100
Hendra Gunawan
2. Buktikan f konveks pada interval I jika dan hanya jika untuk setiap x1 , x2 , x3 ∈
I dengan x1 < x2 < x3 berlaku
f (x3 ) − f (x1 )
f (x2 ) − f (x1 )
≤
.
x2 − x1
x3 − x1
Berikan interpretasi geometrisnya beserta ilustrasinya.
3. Buktikan jika f konveks pada interval terbuka I, maka
lim
h→0−
f (c + h) − f (c)
dan
h
lim
h→0+
f (c + h) − f (c)
h
ada untuk setiap c ∈ I, dan sebagai akibatnya f kontinu pada I.
4. Misalkan f mempunyai turunan pada interval terbuka I. Buktikan f konveks
jika dan hanya jika f 0 naik pada I.
5. Misalkan I interval terbuka, f : I → R naik sejati, konveks, dan mempunyai
turunan pada I. Misalkan c ∈ I sedemikian sehingga f (c) = 0. Konstruksi
barisan hxn i dengan x1 > c dan
xn+1 = xn −
f (xn )
,
f 0 (xn )
n = 1, 2, 3, . . . .
Buktikan bahwa xn → c untuk n → ∞. (Metode penghampiran ‘akar’ f ini
dikenal sebagai Metode Newton-Raphson. Untuk f (x) = x2 − a, metode ini
menghasilkan barisan hxn i yang dibahas pada Bab 3, Contoh 13.)