statmat Semester Awal SOAL-SOAL STATISTIKA MATEMATIKA

statmat
Semester Awal
SOAL-SOAL STATISTIKA MATEMATIKA
JURUSAN MATEMATIKA UNIVERSITAS HASANUDDIN
1. Jika X peubah acak yang mean distribusinya 33 dan variansinya 16, gunakan ketaksamaan Chebyshev untuk memperoleh
(a) Nilai batas bawah untuk P (23 < X < 43).
(b) Nilai batas atas untuk P (|X − 33| ≥ 14).
2. Jika E[X] = 17 dan E(X 2 ] = 298, gunakan ketaksamaan Chebyshev untuk memperoleh
(a) Nilai batas bawah untuk P (10 < X < 24).
(b) Nilai batas atas untuk P (|X − 17| ≥ 16).
3. Misalkan X adalah hasil yang mungkin dari pelantunan sebuah dadu seimbang. Tunjukkan bahwa µ = 7/2 dan σ 2 = 35/12. Catatan bahwa nilai deviasi maksimum X
terhadap µ adalah 5/2. Ekspresikan bahwa deviasi dari jumlah standar deviasi, temukan
k jika kσ = 5/2. Tentukan nilai batas bawah untuk P (|X − 3.5| < 2.5).
4. Misalkan {an } adalah barisan bilangan real dan a suatu bilangan real. Tunjukkan bahwa
p
an → a ekuivalen dengan an → a.
5. Misalkan Yn berdistribusi b(n, π).
(a) Buktikan bahwa Yn /n konvergen dalam peluang ke π.
(b) Buktikan bahwa 1 − Yn /n konvergen dalam peluang ke 1 − π.
(c) Buktikan bahwa (Yn /n)(1 − Yn /n) konvergen dalam peluang ke π(1 − π).
6. Misalkan Wn peubah acak dengan mean µ dan variansi σ 2 = b/nk , di mana k > 0, µ dan
b adalah konstanta (bukan fungsi terhadap n). Buktikab bahwa Wn konvergen dalam
peluang ke µ.
7. Misalkan X1 , X2 , · · · , Xn adalah peubah acak yang saling bebas dan identik dengan fkp:
−(x−θ)
e
x > θ, −∞ < θ < ∞
f (x) =
0
yanglain
Bentuk fkp di atas di sebut distribusi eksponensial geser. Misalkan Y = min {X1 , X2 , · · · , Xn }.
p
(a) Tunjukkan bahwa Yn → θ.
(b) Tentukan nilai mean dari Yn .
(c) Apakah Yn adalah penaksir tak bias untuk θ?
(d) Tentukan penaksir tak bias untuk θ berdasarkan Yn .
8. Misalkan X̄n adalah mean sampel acak berukuran n dari distribusi N (µ, σ 2 ). Tentukan
limit distribusi untuk X̄n .
bank soal
bank soal, Page 2 of 2
semesterawal
9. Misalkan Y1 menyatakan statistik terurut pertama dari sampel acak berukuran n untuk
distribusi dengan fkp f (x) = e−(x−θ) , θ < x < ∞, dan nol; untuk yang lain. Misalkan
Zn = n(Y1 − θ). Selidiki limit distribusi untuk Zn .
10. Misalkan Yn adalah statistik terurut ke−n dari sampel acak yang distribusinya tipe
kontinu dengan fungsi peluang kumulatifnya F (x) dan fungsi kepadatan peluangnya
adalah f (x) = F 0 (x). Tentukan limit distribusidari Zn = n[1 − F (Yn )].
11. Misalkan Y2 adalah statistik terurut kedua dari sampel acak yang distribusinya tipe
kontinu dengan fungsi peluang kumulatifnya F (x) dan fungsi kepadatan peluangnya
f (x) = F 0 (x). Tentukan limit distribusi Wn = nF (Y2 ).