Penarikan Contoh Acak Sederhana (Simple Random Sampling)

Penarikan Contoh Acak
Sederhana
(Simple Random Sampling)
Definisi
Jika sebuah contoh berukuran n diambil dari suatu
populasi sedemikian rupa sehingga setiap contoh
berukuran n yang mungkin memiliki peluang sama
untuk terambil, maka prosedur itu dinamakan
penarikan contoh acak sederhana.
Contoh
tersebut dinamakan contoh acak sederhana.
Definisi di atas berimplikasi bahwa setiap objek
memiliki peluang yang sama untuk terambil.
Namun konsekuensi ini bukan definisi dari
penarikan contoh acak sederhana.
Cara Mengambil Contoh
Pengambilan contoh acak sederhana pada ukuran
populasi yang sedikit dapat saja dilakukan seperti
pengundian „lotere‟ atau „arisan‟.
Yaitu
menuliskan nomor atau identitas lain dari setiap
anggota populasi di selembar kertas, kemudian
mengambil dengan mata tertutup n buah kertas.
objek sebanyak n dengan identitas sesuai pada
kertas terpilih adalah contoh yang diperoleh.
Untuk populasi yang lebih besar, dapat digunakan
bantuan bilangan acak yang bisa diperoleh dari
tabel bilangan acak atau komputer.
Penggunaan Bilangan Acak
Beri nomor setiap objek: 1, 2, …, N
Ambil bilangan acak dari tabel atau bangkitkan
menggunakan komputer.
Sekat-sekat bilangan acak sesuai dengan
banyaknya digit N, dan buat aturan sehingga
setiap objek diwakili oleh bilangan yang sama
banyak.
Tentukan nomor objek yang terpilih
Penggunaan Bilangan Acak
Misalkan populasi memiliki 4000 anggota, dan
ingin diambil contoh berukuran 10. Bilangan 4
digit digunakan untuk menentukan objek yang
terpilih.
0001  objek nomor 1
0002  objek nomor 2
…
4000  objek nomor 4000
4001  objek nomor 1
4002  objek nomor 2
…
8000  objek nomor 4000
8001, 8002, …, 0000 tidak digunakan
Penggunaan Bilangan Acak
Misalkan dari tabel bilangan acak (baris 26 kolom 2,
Scheaffer et al) diperoleh:
72295048399642324878826516656614778767971478013
30087074796669572529676
7229
3996
4878
1665
7787
1478
3229
3996
878
1665
3787
1478
5048
4232
8265
6614
6797
1048
232
----2614
2797
Pendugaan Rataan Populasi ()
n
Penduga bagi  adalah
E( y)  
y
 yi
i 1
n
V ( y) 
 2  N  n
n  N  1 
Tugas : BUKTIKAN dua persamaan di atas
Pendugaan Rataan Populasi ()
N
2
karena E ( s ) 
N 1
2
2
s
maka Vˆ ( y ) 
n
n
2
dengan s 
2
(
y

y
)
 i
i 1
n 1
2
s
jika N >>> n, maka Vˆ ( y ) 
n
 N  n
 N 


Selang Kepercayaan Bagi 
y  t Vˆ ( y )
2
bound on the
error estimation
Teladan 1
Contoh acak sebanyak n=9 catatan rekening pasien yang dimiliki Rumah
Sakit AAA diambil untuk menduga rata-rata jumlah uang dari N=484
rekening yang ada. Contoh-contoh yang terambil ada pada tabel berikut:
Objek
Jumlah Uang
Y1
33.5
Y2
32.0
Y3
52.0
Y4
43.0
Y5
40.0
Y6
41.0
Y7
45.0
Y8
42.5
Y9
39.0
Dugalah
μ, rata-rata
jumlah uang dan hitung
bound of error pada
penduga tersebut
Jawab
Dugaan μ
9
y
y
i 1
i
9
368

 40.89
9
Untuk mencari bound of error dari penduganya, kita terlebih dahulu
harus menghitung s2
2
2 



y

y
y

y
 i
 i  i1 i 
9
s 
2
9
i 1
n 1

9
i 1
8
2
9

1
368
 15.332,50 
8
9
bound of error pada penduga μ
2
s
35,67  484  9 
 N n
ˆ
2 V y  2

 2

  3.94
n N 
9  484 
2

  35,67

Pendugaan Total Populasi ()
 = N
n
ˆ  Ny  N
 yi
i 1
n
2
s
N n
2
ˆ
V (ˆ)  V ( Ny )  N
n N
Teladan 2
Suatu perusahaan industri ingin mengetahui tentang berapa lama jam kerja
non efektif yang dihabiskan para pegawai dalam satu minggu. Diambil
contoh acak sebanyak n=50 pegawai, dan diperoleh rata-rata menghabiskan
waktu kerja mereka secara tidak efektif selama 10.31 jam dengan s2=2.25.
Perusahaan tersebut memiliki N=750 pegawai. Dugalah berapa total jam
kerja yang tidak efektif dalam satu minggu dan hitung bound of errornya.
Jawab:
 = N=750(10.31)=7732,5
Jadi total jam kerja yang tidak efektif dalam satu minggu sebanyak
7732.5 jam
2
s
N n
2  2.25  750  50 
2 Vˆ (ˆ)  2 V ( Ny )  2 N
 2 750 

  307.4 jam
n N
 50  750 
2
Kesalahan pendugaan kurang dari 307,4 jam
Penentuan Ukuran Contoh
Tentukan dulu nilai bound on the error
estimation, misalkan sebesar B
z Vˆ ( y )  B
2
N 2
n
B2
( N  1) 2   2
z
2
Nilai  ditentukan berdasarkan
informasi awal, atau melakukan
survei pendahuluan terlebih dahulu
Teladan 3
Analog teladan 1, rata-rata jumlah uang μ pada rekening pasien di rumah
sakit AAA dapat diduga. Walaupun tidak ada data prior yang dapat
digunakan untuk menduga ragam populasinya, dari mayoritas rekening
diperoleh range sebesar 100 dimana ada sebanyak N=1000 rekening pasien.
Hitung jumlah sampel yang dibutuhkan untuk menduga μ dengan boun of
error dari penduganya sebesar B=3.
Jawab:
Sebelumnya kita harus menduga ragam populasi (σ2) terlebih dahulu
  range 4  100 4  25
dan  2  25  625
N 2
1000(625)
n

 217,56
2
2
B
3
( N  1) 2   2 (999) 2  625
z
2
2
Jadi kita perlu mengambil sampel sebanyak 218 rekening.
Pendugaan Proporsi Populasi
banyaknya yang menjawab " Ya"
pˆ 
ukuran contoh
Jika “Ya” dilambangkan 1, dan “tidak” dengan 0, maka
pˆ  y
pˆ (1  pˆ ) N  n
ˆ
V ( pˆ ) 
n 1
N
Teladan 4
Contoh acak sebanyak n=100 dari mahasiswa tingkat akhir diambil dari
N=300 mahasiswa untuk menduga berapa proporsi mahasiswa yang
berencana melanjutkan studi ke jenjang pascasarjana. Nilai yi=1 berarti
mahasiswa tersebut berencana untuk melanjutkan studi. Dugalah proporsi
mahasiswa tingkat akhir yang berencana melanjutkan studi dan hitung
bound of errornya.
proporsi mahasiswa tingkat akhir
yang berencana melanjutkan studi
Jawab:
Mahasiswa
y
1
1
2
0
.
pˆ  y 
15
 0,15
100
bound of error
pˆ (1  pˆ ) N  n
2 Vˆ ( pˆ )  2
n 1
N
.
.
100
1
Total
15
2
0,15(0,85) 300  100
 0.059
99
300