x p(x)

KUANTOR DAN TEORI KUANTIFIKASI
 TERM DAN VARIABEL
• Variabel/peubah adalah pemegang tempat sementara dalam suatu
ungkapan, untuk kemudian diganti dengan nilai yang pasti
• Variabel ditulis dengan hurup kecil : x, y, z atau p, q , r
• Kumpulan variabel membentuk suatu term : x + y
 PREDIKAT
• Pandang kalimat : Semua mahasiswa Udinus adalah lulusan SMA
• Untuk setiap x, jika x mahasiswa Udinus maka x lulusan SMA
• Ada dua predikat untuk x : x mahasiswa Udinus dan x lulusan SMA
• Predikat ditulis dengan hurup besar :
• Mx : x mahasiswa Udinus
Lx : x lulusan SMA
• Kalimat diatas ditulis : Untuk setiap x, Mx  Lx
 KUANTOR
• Kuantor Universal dimana terdapat ungkapan seperti :
- Untuk setiap, untuk tiap-tiap, untuk semua
• Kuantor Ekstensial dimana terdapat ungkapan seperti :
terdapat, ada, sekurang-kurangnya ada satu
 Kuantor -Universal
• Ditulis dengan lambang 
• Pandang kalimat : Semua orang Indonesia adalah orang Asia
• Diterjemahkan menjadi : Untuk semua x, jika Lx maka Ax
Lx : x orang Indonesia
Ax : x orang Asia
• Dalam kalimat logika ditulis : (x) [Lx  Ax]
• Bentuk ini disebut Afirmatif umum
• Pandang kalimat : Semua orang Indonesia bukan orang Eskimo
• Ditulis (x) [Lx  ~ Ax]
• Bentuk ini disebut Negatip umum
 Kuantor Ekstensial
• Ditulis dengan lambang 
• Pandang kalimat : Ada orang Indonesia yang makan nasi
Ada beberapa orang Indonesia yang makan nasi
• Diterjemahkan menjadi :
Ada x yang memenuhi sifat: x orang Indonesia dan x makan nasi
Ada x sehingga x orang Indonesia dan x makan nasi
Lx : x orang Indonesia
N x : x makan nasi
• Dalam kalimat logika ditulis : (x) [Lx  Nx]
•Bentuk ini disebut Afirmatif khusus
•
•Pandang kalimat :
Ada x sehingga jika x orang Indonesia maka x makan nasi
• Ditulis (x) [Lx  Nx]
• Pandang kalimat :
Beberapa ikan paus tidak termasuk hewan menyusui
• Diterjemahkan : Ada paling sedikit satu x, sehingga jika x ikan paus
maka x bukan hewan menyusui
• Ditulis (x) [Hx  ~ Mx]
• Bentuk ini disebut Negatip khusus
 Variabel terikat dan variabel bebas
• Sebuah variabel dalam suatu formula dikatakan variabel terikat jika
dan hanya jika muncul dalam cakupan kuantor yang mengandung
variabel tersebut :
( x ) [Mx  Nx]
• Variabel bebas tidak mempunyai kuantor
(x) [x>y]
y variabel bebas
• Dalam kalimat : (x) [Mx]  Px
X yang pertama variabel terikat sedangkan x yang kedua variabel
bebas
 NEGASI KALIMAT BERKUANTOR
• Negasi dari kuantor universal sebuah fungsi proposisi ekivalen logis
dengan kuantor ekstensial dari negasi fungsi proposisinya
• Negasi dari kuantor ekstensial sebuah fungsi proposisi ekivalen
logis dengan kuantor universal dari negasi fungsi proposisinya
Pernyataan Arti kalimat
(kalimat)
Negasi dari pernyataan
Arti dari kalimat
negasi
(x) [Mx]
Mx benar untuk setiap x
~ (x) [Mx]  (x) [~Mx]
Ada suatu x sehingga
Mx tidak benar
(x) [Mx]
Ada atau terdapat suatu
x sehingga Mx benar
~ (x) [Mx]  (x) [~Mx]
Untuk setiap x, Mx
tidak benar
No. Kalimat berkuantor
Negasi kalimat berkuantor
1
Semua mahasiswa tidak suka
menganggur
Ada paling sedikit satu mahasiswa yang tidak
suka menganggur
2
Tidak ada guru yang senang
jaipongan
Beberapa guru ada yang senang jaipongan
3
(x) [(x+1)2  x2 + 2x + 1]
(x) [(x+1)2 = x2 + 2x + 1]
4
(x) [(cos2 x +sin2 x  1]
(x) [(cos2 x +sin2 x = 1]
 CAKUPAN KUANTOR [Nested Quantifier)
• Cakupan kuantor ini biasanya muncul pada matematika dan
computer science
No. Pernyataan (kalimat ) dengan
cakupan kuantor
Arti kalimat
1
xy (x+y=y+x)
Untuk semua bilangan nyata x dan y berlaku x+y=y+x
( Hukum komotatif bilangan nyata)
2
xy (x+y=0)
Untuk setiap bilangan nyata x ada/terdapat bilangan
nyata y sehingga x + y = 0
3
xy  z [x+(y+z)=(x+y)+z]
Untuk setiap bilangan nyata x,y dan z berlaku
x+(y+z)=(x+y)+z (Hukum asosiatif bilangan nyata)
4
xy [(x > 0  y < 0)  (xy<0)]
Untuk semua bilangan nyata x dan y, jika x positip
dan y negatip, maka hasil kali keduanya negatip
5
x [C(x)  y (Cy  Fxy)]
Cx : x mempunyai komputer
Fxy: x dan y berteman
Untuk setiap orang x di itenas, x mempunyai
komputer atau ada orang y di itenas sehingga y
mempunyai komputer dan berteman dengan x
Setiap mahasiswa di itenas mempunyai komputer
atau mempunyai teman yang mempunyai komputer
6
xyz [(Fxy  Fxz  (y z)) 
~ Fyz]
Ada seseorang x di itenas, yang teman-temannya
tidak saling berteman
 NEGASI DARI CAKUPAN KUANTOR
KUANTIFIKASI DARI DUA VARIABEL (QUANTIFICATION OF TWO VARIABEL)
Pernyataan
(kalimat)
Arti kalimat
Negasi dari pernyataan
Arti lalimat negasi
x y Pxy
y x Pxy
Pxy benar untuk
setiap pasangan x
dan y
~(x y Pxy)  xy (~ Pxy)
Ada suatu pasangan
(x,y) sehingga Pxy
salah
xy Pxy
Untuk setiap x, ada
suatu y, sehingga
Pxy benar
~ (xy Pxy)  xy (~ Pxy)
Ada suatu x,
sehingga Pxy salah
untuk setiap y
xy Pxy
Ada suatu x
sehingga Pxy benar
untuk setiap y
~ (xy Pxy)  xy (~Pxy)
Untuk setiap x, ada
suatu y sehingga Pxy
salah
xy Pxy
yy Pxy
Ada suatu pasangan
(x,y) sehingga Pxy
benar
~(xy Pxy)  xy (~Pxy)
Untuk setiap
pasangan (x,y) Pxy
salah
 URUTAN KUANTOR (The Order of Quantifier)
• Banyak pernyataan dalam matematika yang terdiri dari banyak
kuantifikasi dari fungsi proposisi yang terdiri dari lebih dari satu
variabel
Contoh 1 :
Misalkan Pxy : x + y = y + x
Apakah nilai kebenaran dari kuantifikasi (x)(y ) Pxy ?
Jawab :
(x)(y) Pxy artinya untuk semua bilangan nyata x dan untuk semua
bilangan nyata y berlaku x+y=y+x. Pxy benar untuk setiap x dan y
Jadi xy Pxy benar
Contoh 2 :
Misalkan Qxy : x + y = 0
Apakah nilai kebenaran dari kuantifikasi
a). (x)(y ) Qxy ?
b). (x ) (y)Qxy ?
Jawab :
a). (x)(y) Qxy artinya :untuk semua bilangan nyata x ada suatu
bilangan nyata y sehingga x +y = 0. Misalkan kita mengambil
sembarang nilai x, maka selalu ada (y=-x) sehingga (x )(y)Qxy
benar
b). (x )(y)Qxy artinya : ada suatu bilangan nyata x sehingga untuk
semua bilangan nyata y berlaku x+y =0, padahal hanya y=-x saja yang
memenuhi x+y=0. Jadi (x )(y) Qxy salah
Contoh 2 memperlihatkan bahwa keduanya tidak ekivalen logis
 BAGAIMANA MENTERJEMAHKAN KALIMAT BERKUANTOR
• Qx : bilangan irasional
• Rx : bilangan nyata
NO
FORMULA
SARAN TERJEMAHAN
1
xAx
Semua (obyek) memenuhi sifat A
2
x Ax
Ada (obyek) yang memenuhi sifat A
3
x Ax
Tidak ada (obyek) yang memenuhi sifat A
4
x Ax
Ada (obyek) yang tidak memenuhi sifat A
5
x (Qx Rx)
Afirmatif umum
Setiap bilangan rasional adalah bilangan nyata
6
x(Qx  Rx)
Negatif umum
Setiap bilangan rasional bukan bilangan nyata
7
x (Qx  Rx)
Afirmatif khusus
Ada bilangan rasional yang bilangan nyata
8
x (Qx   Rx)
Negatif khusus
Ada bilangan rasional yang bukan bilangan nyata
NO
FORMULA
SARAN TERJEMAHAN
1
x[Px (Qx  Rx)]
Semua P adalah Q atau R
2
x[(Px  Qx) (Rx  Sx)]
Semua P dan Q adalah R atau S
3
Rab
a ber-relasi dengan b
4
Rba
B ber-relasi dengan a
5
x (Px Rax)
a ber-relasi dengan semua P
6
xy[(Px  Qy)  Ryx)]
Semua P ber-relasi dengan semua Q
7
x (Px  Rxa)
Semua P ber-relasi dengan a
8
x y(Px  Qy  Rxy)
Beberapa P ber-relasi dengan beberapa Q
9
x[Px y(Qy Rxy)]
atau
y[Qy  x(Px Rxy)]
Semua P ber-relasi dengan beberapa Q
10
x[Px  y(Qy Rxy)]
atau
x[Qx  y(Py  Rxy)]
Beberapa P ber-relasi dengan semua Q
Latihan Soal 1
Lambangkan pernyataan-pernyataan dalam tabel dimana :
Bx : x adalah seorang bintang film
Mx : x mempesona
Tx : x terlatih dengan baik
No. SOAL
1
Beberapa bintang film mempesona
dan terlatih dengan baik
2
3
4
Beberapa bintang film mempesona
hanya jika terlatih dengan baik
Tidak ada bintang film yang
mempesona kecuali jika mereka
terlatih dengan baik
Beberapa bintang film terlatih dengan
baik jika mereka mempesona
JAWABAN
Latihan Soal 2
Terjemahkan lambang-lambang dalam tabel dimana :
Px : x adalah bilangan prima
Ex : x adalah bilangan genap
Ax : x adalah bilangan ganjil
Bxy: x habis membagi y
No. SOAL
JAWABAN
1
(x)(B2x  Ex)
2
(x) (Ex  Bx6)
3
x [Px  (y)(Ey  Bxy)]
4
x [Ax (y)(Py)  ~Bxy) ]
Latihan Soal 3
Tentukan nilai kebenaran dari kuantor dalan tabel dimana x dan y adalah
bilangan real
No. SOAL
JAWABAN dan alasannya
1
xy (x2 = y)
2
x y (xy=0)
3
xy[(x+y=2 )(2x-y=1)]
4
x y[(x+2y=2 )(2x+4y=5)]
 MENENTUKAN VALIDITAS KALIMAT BERKUANTOR
• Universal kuantifikasi
x : X  p(x)  p(x1) p(x1) p(x1) ………..p(xn)
x1 ,x2, …….. xn adalah semua variabel yang ada pada himpunan X
Contoh :
Himpunan H terdiri dari 5 orang yaitu Adam, Eve, Rosalyn, Pele dan Mario
Prpoasisi bi bawah ini benar : male (Adam), greedy (Adam); kind(Mario), male (Mario);
male (Pele), greedy(Pele); kind (Eve);
Predikat yang tidak muncul dianggap salah
Apakah formula dibawah ini benar untuk kondisi yang diberikan di atas ?
x :H male(x)  greedy(x)  kind(x)
Jawab: buat tabel kebenaran
x
Male(x) Greedy(x) Kind(x)
Greedy(x)  kind(x)
Male(x)
Greedy(x)  kind(x)
Adam
T
T
F
T
T
Eve
F
F
T
T
T
Rosalyn
F
F
F
F
T
Pele
T
T
F
T
T
Mario
T
F
T
T
T
• Ekstensial kuantifikasi
x : X  p(x)  p(x1) p(x1) p(x1) ………..p(xn)
x1 ,x2, …….. xn adalah semua variabel yang ada pada himpunan X
Contoh :
Himpunan H terdiri dari 5 orang yaitu Adam, Eve, Rosalyn, Pele dan Mario
Prpoasisi bi bawah ini benar : male (Adam), greedy (Adam); kind(Mario), male (Mario);
male (Pele), greedy(Pele); kind (Eve);
Predikat yang tidak muncul dianggap salah
Apakah formula dibawah ini benar untuk kondisi yang diberikan di atas ?
x :H male(x)  ( greedy(x)  kind(x))
Jawab: buat tabel kebenaran
x
Male(
x)
Greedy( Kind(x)  Greedy(x) Greedy(x)
x)
kind(x)
Male(x) 
(Greedy(x)  kind(x))
Adam
T
T
F
F
T
T
Eve
F
F
T
T
T
F
Rosaly
n
F
F
F
T
F
F
Pele
T
T
F
F
T
T
Mario
T
F
T
T
T
T
 TEOREMA-TEOREMA PADA LOGIKA PREDIKAT
1 x  p(x)  q(x )

[x p(x)] [x  q(x)]
2 x  [p(x)  q(x )]

[x  p(x)]  [x  q(x)]
3  x  p(x)

x   p(x)
4  x  p(x)

x   p(x)
5 [x  p(x)]  [x  q(x)]

x  p(x)  q(x )
6 x  p(x)  q(x )

[x  p(x)]  [x  q(x)]
7 x  p(y)  q(x )

p(y)  [x  q(x)]
8 x,y  p(x,y)

y,x  p(x,y)
Pernyataan yang salah :
1 x  [p(x)  q(x)]

[x  p(x)]  [x  q(x)]
2 x  [p(x)  q(x )]

[x p(x)] [x  q(x)]