Upaya Meningkatkan Hasil Belajar Matematika Melalui

47
49
RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN
Nama Sekolah
: SMK PGRI 2 Salatiga
Program keahlian
: Akuntansi
Mata Pelajaran
: Matematika
Kelas/ Semester
: XI/ 3
Materi Pokok
: Barisan dan Deret
Alokasi Waktu
: 4 x 45 menit (2 x pertemuan)
A. Standar Kompetensi
7. Menerapkan konsep barisan dan deret dalam pemecahan masalah.
B. Kompetensi Dasar
7.1 Mengidentifikasi pola, barisan dan deret bilangan.
C. Indikator
7.1.1 Pola bilangan, barisan dan deret diidentifikasi berdasarkan ciri–
cirinya.
7.1.2 Notasi sigma digunakan untuk menyederhanakan suatu deret.
D. Tujuan Pembelajaran
1. Siswa dapat mengidentifikasi pola bilangan, barisan dan deret
berdasarkan ciri-cirinya.
2. Siswa dapat menggunakan notasi sigma untuk menyederhanakan suatu
deret.
E. Materi
a.
Pola Bilangan
Pernahkah kamu memperhatikan dadu? Pada umumnya, dadu
memiliki bilangan-bilangan yang digambarkan dalam bentuk bulatan.
Bulatan-bulatan kecil (disebut noktah atau titik) di setiap sisinya.
Noktah-noktah tersebut mewakili bilangan-bilangan yang ditentukan.
Satu noktah mewakili bilangan 1, dua noktah mewakili bilangan 2,
dan begitu seterusnya hingga enam noktah yang mewakili bilangan 6.
Penggunaan noktah untuk mewakili suatu bilangan tertentu
sebenarnya telah digunakan manusia pada zaman dahulu.Uniknya,
penulisan noktah-noktah tersebut ternyata mengikuti pola yang
didasarkan pada bentuk bangun datar atau bangun ruang.
50
1. Pola Garis Lurus
Penulisan bilangan yang mengikuti pola garis lurus merupakan
pola bilangan yang paling sederhana. Suatu bilangan hanya
digambarkan dengan noktah yang mengikuti pola garis lurus.
Misalnya:
a.
mewakili bilangan 2.
b.
mewakili bilangan 3.
c.
mewakili bilangan 4.
d.
mewakili bilangan 5.
2. Pola Persegipanjang
Pada umumnya, penulisan bilangan yang didasarkan pada pola
persegipanjang hanya digunakan oleh bilangan bukan prima.
Pada pola ini, noktah-noktah disusun menyerupa ibentuk
persegipanjang. Misalnya:
a.
b.
c.
mewakili bilangan 6, yaitu 2 x 3 = 6.
mewakili bilangan 8, yaitu 2 x 4 = 8.
mewakili bilangan 6, yaitu 3 x 2 = 6.
3. Pola Persegi
Persegi merupakan bangun datar yang semua sisinya memiliki
ukuran yang sama panjang. Begitu pula dengan penulisan pola
bilangan yang mengikuti pola persegi. Semua noktah
digambarkan dengan jumlah yang sama. Perhatikan uraian
berikut.
a.
mewakili bilangan 1, yaitu 1 x 1 = 1.
b.
mewakili bilangan 4, yaitu 2 × 2 = 4.
4. Pola Segitiga
Selain mengikuti pola persegipanjang dan persegi, bilangan pun
dapat digambarkan melalui noktah yang mengikuti pola segitiga.
Untuk lebih jelasnya, coba kamu perhatikan perhatikan lima
bilangan yang mengikuti pola segitiga berikut ini.
a.
mewakili bilangan 1.
b.
mewakili bilangan 3.
51
c.
mewakili bilangan 6.
5. Pola Bilangan Ganjil dan Genap
Bilangan yang memiliki pola bilangan ganjil atau genap biasanya
memiliki selisih dua angka antara bilangan yang satu dengan
bilangan sebelumnya. Untuk lebih jelasnya, perhatikan uraian
berikut.
a. Pola Bilangan Ganjil
Pola bilangan ganjil memiliki aturan sebagai berikut.
1) Bilangan 1 sebagai bilangan awal.
2) Bilangan selanjutnya memiliki selisih 2 dengan bilangan
sebelumnya.
Perhatikan pola bilangan ganjil berikut ini.
1
3
5
7
9
11
13
+2
+2
+2
+2
+2
+2
b. Pola Bilangan Genap
Pola bilangan genap memiliki aturan sebagai berikut.
1) Bilangan 2 sebagai bilangan awal.
2) Bilangan selanjutnya memiliki selisih 2 dengan bilangan
sebelumnya.
Perhatikan pola bilangan genap berikut ini.
2
4
6
8
10
12
14
+2
+2
+2
+2
+2
+2
6. Pola Segitiga Pascal
Bilangan-bilangan yang disusun menggunakan pola segitiga
Pascal memiliki pola yang unik. Hal ini disebabkan karena
bilangan yang berpola segitiga Pascal selalu diawali dan diakhiri
oleh angka 1. Selain itu, di dalam susunannya selalu ada angka
yang diulang. Adapun aturan-aturan untuk membuat pola
segitiga Pascal adalah sebagai berikut.
a. Angka 1 merupakan angka awal yang terdapat di puncak.
b. Simpan dua bilangan di bawahnya. Oleh karena angka awal
dan akhir selalu angka 1, kedua bilangan tersebut adalah 1.
c. Selanjutnya, jumlahkan bilangan yang berdampingan.
Kemudian, simpan hasilnya di bagian tengah bawah kedua
bilangan tersebut.
d. Proses ini dilakukan terus sampai batas susunan bilangan
yang diminta.
52
Untuk lebih jelasnya, perhatikan pola segitiga Pascal berikut.
1
1
1
1
1
2
3
1
3
4
4
1
4
dan seterusnya
b.
Barisan Bilangan
Perhatikan pola bilangan-bilangan berikut.
a. 2, 4, 6, 8, …
b. 1, 3, 5, 7, …
c. 3, 6, 9, 12, 15, …
Jika kamu perhatikan, bilangan-bilangan pada (a), (b), dan (c) disusun
mengikuti pola tertentu. Bilangan-bilangan tersebut disebut barisan
bilangan . Barisan bilangan adalah urutan bilangan yang memiliki
aturan atau pola tertentu. Adapun setiap bilangan dalam barisan
bilangan disebut suku barisan . Suku ke-n suatu barisan bilangan
dilambangkan dengan Un.
Pada barisan bilangan 2, 4, 6, 8, … diperoleh
U1 = suku ke-1 = 2
U2 = suku ke-2 = 4
U3 = suku ke-3 = 6
U4 = suku ke-4 = 8
Jadi, barisan bilangan 2, 4, 6, 8, … memiliki 4 buah suku.
c.
Deret Bilangan
Jika suku-suku suatu barisan dijumlahkan maka akan terbentuk
sebuah deret.
Misalkan:
Barisan bilangan asli : 1, 2, 3, 4, . . . deret bilangan asli : 1 + 2 + 3 + 4 +
...
Barisan bilangan ganjil : 1, 3, 5, 7, . . . deret bilangan ganjil : 1 + 3 + 5 +
...
Untuk menyatakan jumlah dari suatu deret biasanya dilambangkan
dengan huruf S,
misalkan:
Jumlah satu suku (dari ) yang pertama dilambangkan dengan S1
Jumlah dua suku yang pertama dilambangkan dengan S2.
Jumlah tiga suku yang pertama dilambangkan dengan S3,
Jumlah n suku yang pertama dilambangkan dengan Sn
53
Contoh:
Dari deret: 1 + 5 + 9 + 13 + 17 + 21 + . . . Tentukan jumlah 1 suku yang
pertama, jumlah 2 suku yang pertama dan suku ke-2
Jawab:
Jumlah 1 suku yang pertama: S1 = 1, Jumlah 2 suku yang pertama: S2
= 1 + 5 = 6, suku ke-2: U2 = 5 diperoleh hubungan U2 = S2 – S1
Dari jawaban contoh diatas dapat diambil kesimpulan bahwa: suku
ke-n = selisih antara jumlah n suku yang pertama dengan jumlah (n –
1) suku yang pertama.
Un = Sn – S(n – 1) dengan syarat n > 1
d.
Notasi Sigma
Matematika merupakan salah satu ilmu yang banyak menggunakan
simbol atau lambang untuk menyatakan suatu pernyataan atau
ungkapan yang panjang. Misalkan notasi faktorial dengan lambang !
digunakan untuk menyatakan perkalian berurutan mulai dari 1, notasi
sigma dengan lambang ∑ digunakan untuk menyatakan suatu
penjumlahan yang berurutan, dan masih banyak lambang-lambang
lainnya. Notasi Sigma adalah suatu Notasi yang dipakai untuk
menuliskan secara singkat penjumlahan n suku. Simbol ini diambil
dari huruf kapital Yunani yang berarti Sum atau penjumlahan dan
pertama kali dikenalkan oleh Leonhard Euler pada abad ke-18. Secara
umum notasi sigma didefinisikan dengan:
∑
= U1 + U2 + U3 + U4 + . . . + Un
o k = 1 disebut batas bawah penjumlahan. Untuk menyatakan
batas bawah penjumlahan, bukan hanya dimulai dari 1, dapat
juga dimulai dari angka bulat berapa saja dan huruf k dapat
diganti huruf apa saja, yang sama dengan notasi didepannya.
o Uk merupakan suatu polinom dalam variabel k. Jika Ux maka
polinomnya bervariabel x dan seterusnya. Polinom dapat berupa
konstanta, berderajat 1, berderajat 2 dan lainnya.
o n merupakan bilangan bulat dan disebut batas atas benjumlahan.
n ≥ batas bawah penjumlahan.
Berikut ini sifat – sifat notasi sigma yang perlu diperhatikan.
n
1.

ak = a1 + a2 + a3 + … + an
k 1
n
2.

n
(ak + bk) =
k m
n
3.

k m

k m
n
ak +

k m
n
cak = c

ak
k m
54
bk
n p
n
4.


ak =
ak – p
k m  p
k m
n
5.

c = (n – m + 1)c
k m
p 1
6.

k m
n
ak +

n
ak =
k p

ak
k m
m 1
7.

ak = 0
k m
n
8.

k m
n
(ak + bk)2 =

k m
n
ak2 + 2

k m
n
ak bk +

bk2
k m
F. Media
Media yang digunakan : lembar kegiatan siswa dan gambar pola susunan
buah dan pola susunan bola biliar
G. Model Pembelajaran
Model Pembelajaran : Pembelajaran Matematika Realistik
H. Kegiatan Pembelajaran
PERTEMUAN PERTAMA
 Pendahuluan
1. Guru menjelaskan tentang pembelajaran matematika realistik
2. Guru menjelaskan tentang tujuan pembelajaran
3. Guru mengingatkan kembali tentang bilangan
4. Guru memberikan motivasi kepada siswa yaitu guru menjelaskan
tentang manfaat mempelajari pola bilangan
 Kegiatan Inti
1. Guru menjelaskan tentang bilangan-bilangan penyusun barisan
bilangan
2. Guru membagi siswa kedalam beberapa kelompok yang setiap
kelompok terdiri dari 4-5 siswa yang telah dipilih sebelumnya
3. Guru memberikan modul untuk diskusi, setiap kelompok 1 lembar
(lampiran 1)
4. Guru meminta siswa untuk mendiskusikan soal yang telah diberikan
sampai semua anggota kelompok mengerti tentang apa yang
didiskusikan
5. Guru bersama siswa menbahas soal/ lembar diskusi
6. Guru meminta siswa untuk mengerjakan soal latihan (lampiran 2)
55
 Penutup
1. Guru bersama siswa membuat rangkuman/ kesimpulan tentang materi
yang telah diberikan
2. Guru memberi tau tentang materi yang akan di bahas pada pertemuan
selanjutnya (deret dan notasi sigma)
PERTEMUAN KEDUA
 Pendahuluan
1. Guru menjelaskan tentang tujuan pembelajaran
2. Guru sedikit mengingatkan kembali tentang materi pada pertemuan
pertama
3. Guru memberikan motivasi kepada siswa yaitu guru menjelaskan
tentang manfaat mempelajari deret bilangan
 Kegiatan Inti
1. Guru menjelaskan tentang deret dan notasi sigma
2. Guru membagi siswa kedalam beberapa kelompok yang setiap
kelompok terdiri dari 4-5 siswa yang telah dipilih sebelumnya pada
pertemuan pertama
3. Guru memberikan modul untuk diskusi, setiap kelompok 1 lembar
(lampiran 3)
4. Guru meminta siswa untuk mendiskusikan soal yang telah diberikan
sampai semua anggota kelompok mengerti tentang apa yang
didiskusikan
5. Guru bersama siswa menbahas soal/ lembar diskusi
6. Guru meminta siswa untuk mengerjakan soal latihan (lampiran 4)
 Penutup
1. Guru bersama siswa membuat rangkuman/ kesimpulan tentang materi
yang telah diberikan
I.
Penilaian
Jenis Soal Essay : dipentingkan/ dititikberatkan tentang :
1) Pemilihan/ penerapan rumus-rumus yang sesuai dengan permintaan
oleh soal
2) Proses/perhitungan sesuai dengan kaidah mekanisme kerja
3) Teliti dan kecermatan dalam menghitung
Teknik : Tes tertulis
Bentuk instrumen : Tes Uraian
Contoh Instrumen :
LATIHAN SOAL PERTEMUAN PERTAMA
1. Tentukan rumus suku ke-n dari barisan bilangan berikut : 8, 6, 4, 2, ...
2. Tentukan lima suku pertama dari rumus barisan bilangan : Un = 4n - 1
3. Tentukan rumus suku ke-n dari barisan bilangan berikut : 1, 4, 7, 10, ...
4. Tentukan lima suku pertama dari rumus barisan bilangan : Un = 2n + 3
56
PENILAIAN dan KUNCI JAWABAN
NO
JAWABAN
1. 8, 6, 4, 2, ...
U1 = 8 = - 2(1) + 10
U2 = 6 = - 2(2) + 10
U3 = 4 = - 2(3) + 10
U4 = 2 = - 2(4) + 10
.
.
.
Un = - 2(n) + 10
2. Un = 4n – 1
U1 = 4(1) – 1 = 3
U2 = 4(2) – 1 = 7
U3 = 4(3) – 1 = 11
U4 = 4(4) – 1 = 15
U5 = 4(5) – 1 = 19
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
TOTAL SKOR
3.
4.
SKOR
50
1, 4, 7, 10, ...
U1 = 1 = 3(1) - 2
U2 = 4 = 3(2) - 2
U3 = 7 = 3(3) - 2
U4 = 10 = 3(4) - 2
.
.
.
Un = 3(n) – 2
5
5
5
5
5
Un = 2n + 3
U1 = 2(1) + 3 = 5
U2 = 2(2) + 3 = 7
U3 = 2(3) + 3 = 9
U4 = 2(4) + 3 = 11
U5 = 2(5) + 3 = 13
5
5
5
5
5
TOTAL SKOR
50
LATIHAN SOAL PERTEMUAN KEDUA
1. - Tulislah deretnya jika barisannya : 3, 7, 11, 15, 19,...
- Tentukan jumlah 4 suku pertamanya
2. Tentukan jumlah 5 suku yang pertama, jika diketahui rumus suku
ke- n berikut ini : Un = 2n + 1
57
3. Tulislah barisan bilangan berikut ini dalam bentuk notasi sigma :
1 + 5 + 9 + 13 + 17 + 21 + 25
4. Hitunglah hasil notasi sigma berikut ini.
(5 − 3)
PENILAIAN dan KUNCI JAWABAN
NO
JAWABAN
1. - 3 + 7 + 11 + 15 + 19 + ...
- S4 = 3 + 7 + 11 + 15 = 36
JUMLAH
2. Un = 2n + 1
U1 = 2(1) + 1 = 3
U2 = 2(2) + 1 = 5
U3 = 2(3) + 1 = 7
U4 = 2(4) + 1 = 9
U5 = 2(5) + 1 = 11
S5 = U1 + U2 + U3 + U4 + U5
= 3 + 5 + 7 + 9 + 11
= 35
JUMLAH
3. 1 + 5 + 9 + 13 + 17 + 21 + 25
U1 = 1 = 4(1) – 3
U2 = 5 = 4(2) – 3
U3 = 9 = 4(3) – 3
.
.
.
Un = 4n – 3
1 + 5 + 9 + 13 + 17 = ∑ 4 − 3
SKOR
5
10
15
6
6
6
6
6
15
45
5
5
5
5
5
25
JUMLAH
4.
(5 − 3) = (5.1 − 3) + (5.2 − 3) + (5.3 − 3)
5
+ (5.4 − 3) + (5.5 − 3)
= 2 + 7 + 12 + 17 + 22
= 60
JUMLAH
TOTAL SKOR
58
5
5
15
100
J.
Sumber
Buku paket matematika untuk SMK kelas XI oleh To’ali Penerbit Pusat
Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional Tahun 2008
59
60
RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN
Nama Sekolah
: SMK PGRI 2 Salatiga
Program keahlian
: Akuntansi
Mata Pelajaran
: Matematika
Kelas/ Semester
: XI/ 3
Materi Pokok
: Barisan dan Deret
Alokasi Waktu
: 4 x 45 menit (2 x pertemuan)
A. Standar Kompetensi
7. Menerapkan konsep barisan dan deret dalam pemecahan masalah.
B. Kompetensi Dasar
7.2 Menerapkan konsep barisan dan deret aritmatika.
C. Indikator
7.2.1 Nilai suku ke–n suatu barisan aritmatika ditentukan menggunakan
rumus.
7.2.2 Jumlah n suku suatu deret aritmatika ditentukan dengan rumus.
D. Tujuan Pembelajaran
1. Siswa dapat menentukan nilai suku ke-n suatu barisan aritmatika
dengan menggunakan rumus.
2. Siswa dapat menentukan jumlah n suku suatu deret aritmatika
dengan menggunakan rumus.
E. Materi
a. Barisan Aritmatika
Pola : barisan bilangan yang disusun menurut aturan tertentu
Beda : Selisih antara dua suku yang berurutan
Diberikan barisan bilangan:
1,
4,
7,
10, ...
Suku ke-1 Suku ke-2 Suku ke-3 Suku ke-4
Sekarang Coba pikirkan!
61
Bilangan-bilangan penyusun dari barisan bilangan disebut suku dan
dilambangkan dengan Un untuk suku ke-n. Nah sekarang Perhatikan
barisan bilangan berikut.
1, 4, 7, 10,...
Berapakah nilai U2 – U1, U3 – U2, U4 – U3?
Apakah nilainya sama?
Apa yang terbesit dalam pikiranmu tentang selisih dua bilangan
berurutan tersebut?
Terlihat bahwa selisih antara dua suku berurutan adalah tetap. Barisan
yang memenuhi kriteria tersebut dinamakan barisan aritmatika. Suatu
barisan bilangan U1, U2, U3, . . .,Un dinamakan barisan aritmatika jika
diantara dua suku yang berurutan mempunyai beda yang tetap.



Dari barisan bilangan diatas tentukan suku kesepuluh = U10 dan suku
keseratus = U100. Untuk mencari U10, dengan mudah kalian dapat
mendaftar bilangan-bilangan selanjutnya. Bagaimana dengan nilai
U100? Apakah kalian juga akan mendaftarnya?
Nilai U100 dapat ditentukan dengan rumus dari pola bilangan yang
menyusun barisan tersebut. Sehingga tidak perlu mendaftar semua
bilangan sampai suku keseratus. Bagaimana merumuskanya?
Diberikan suatu barisan aritmatika
U1, U2, U3, . . ., Un-1, Un
Jika suku pertama dari barisan tersebut adalah U1 = a dan selisih dua
suku berurutan adalah b, maka rumus untuk mencari suku ke-n dapat
ditentukan.
Terlihat bahwa:
U2
= U1 + b
U3
= U2 + b = U1 + b + b = U1 +2b
U4
= U3 + b = U1 + 2b +b = U1 + 3b
.
.
Un-1
= Un-2 + b = U1 + ( n – 3 ) b + b = U1 + ( n – 2 ) b
Un
= Un-1 + b = U1 + ( n – 2 ) b + b = U1 + ( n – 1 ) b
62
Rumus terakhir inilah yang merupakan rumus suku ke-n barisan
aritmatika. Sedangkan beda (b) dirumuskan sebagai berikut.
b = U2 – U1 = U3 – U2 = U4 – U3 = . . . = Un – Un-1
Kesimpulan:
Diberikan barisan aritmatika: U1, U2, U3, . . ., Un. Jika suku
pertamanya U1 = a dan bedanya b, maka rumus suku ke-n ( Un )
adalah:
Un = a + ( n – 1 ) b
, dengan b = Un – Un-1
b. Deret Aritmatika
Jika jumlah dari n suku pertama deret aritmatika dilambangkan dengan
Sn, maka:
Sn = U1 + U2 + U3 + ...+ Un
Bila U1 = a
U2 = a + b
U3 = a + 2b
.
.
Un-1 = a + (n - 2)b
Un = a + (n - 1)b
Persamaan diatas menjadi:
Sn = a + (a + b) + (a + 2b) + ... + a + (n - 2)b + a + (n – 1)b
 Menentukan rumus jumlah n suku pertama (Sn)
Sn = a
+ (a + b)
+ ... + a
+ (n - 2)b + (a + (n – 1)b)
Sn = (a + (n - 1)b) + ( a + (n – 2)b) + ... + (a + b) + a
2Sn = 2a + (n - 1)b + 2a + (n - 1)b + ... + 2a + (n - 1)b + 2a + (n - 1)b
n suku
2Sn = n (2a + (n – 1)b)
63
+
Sn = n/2 (2a + (n – 1)b) atau Sn = n/2 (a + Un)
F. Media
Media yang digunakan : lembar kegiatan siswa dan gambar pola susunan
bola biliar.
G. Model Pembelajaran
Model Pembelajaran : Pembelajaran Matematika Realistik
H. Kegiatan Pembelajaran
PERTEMUAN PERTAMA
 Pendahuluan
1. Guru menjelaskan tujuan pembelajaran
2. Apersepsi
Mengingatkan kembali tentang materi sebelumnya
3. Motiasi
Pernahkah kalian bermain atau melihat permainan Biliar ( bola
sodok ) ?
Pada permulaan permainan 15 bola disusun menjadi 5 baris. Baris
pertama 1 bola, baris kedua 2 bola, baris ketiga 3 bola, baris
keempat 4 bola, dan baris kelima 5 bola. Setelah bola disusun,
kemudian pemain menyodoknya sehingga kelimabelas bola tersebut
menggelinding kesegala arah
Perhatikan barisan bola sewaktu pertama kali disusun
Baris kelima 5 bola
Baris keempat 4 bola
Baris ketiga 3 bola
Baris kedua 2 bola
Baris pertama 1 bola
Bilangan 1, 2, 3, 4, dan 5 mengikuti pola bilangan tertentu yaitu
bertambah satu dari bilangan sebelumnya. Dengan pola diatas jika
dikehendaki bola dapat disusun sampai baris yang lebih banyak
 Kegiatan Inti
1. Guru menjelaskan bilangan-bilangan penyusun barisan bilangan
2. Guru membagi siswa menjadi beberapa kelompok, setiap kelompok
terdiri dari 5 orang (jumlah siswa 37 orang)
3. Guru memberikan soal permasalahan ke setiap kelompok untuk
menjadi bahan diskusi (lampiran 1)
4. Guru membimbing jalannya diskusi
5. Guru meminta salah satu kelompok untuk mempresentasikan hasil
diskusinya
64
6. Kelompok yang mempresentasikan hasil diskusinya membuka sesi
pertanyaan dari kelompok lain apabila ada yang belum paham atau
dimengerti
7. Siswa menarik kesimpulan (siswa dibimbing guru)
 Penutup
1. Guru memberikan soal latihan kepada siswa (lampiran 2)
2. Guru memberi tahu tentang materi yang akan dibahas pada
pertemuan selanjutnya (deret aritmatika)
PERTEMUAN KEDUA
 Pendahuluan
1. Guru menjelaskan tujuan pembelajaran
2. Apersepsi
Mengingatkan kembali tentang materi sebelumnya
 Kegiatan Inti
1. Guru membagi siswa menjadi beberapa kelompok, setiap kelompok
terdiri dari 5 orang (jumlah siswa 37 orang)
2. Guru memberikan soal permasalahan ke setiap kelompok untuk
menjadi bahan diskusi (lampiran 3)
3. Guru membimbing jalannya diskusi
4. Guru meminta salah satu kelompok untuk mempresentasikan hasil
diskusinya
5. Kelompok yang mempresentasikan hasil diskusinya membuka sesi
pertanyaan dari kelompok lain apabila ada yang belum paham atau
dimengerti
6. Siswa menarik kesimpulan (siswa dibimbing guru)
 Penutup
1. Guru memberikan soal latihan kepada siswa (lampiran 4)
I.
Penilaian
Jenis Soal Essay : dipentingkan/ dititikberatkan tentang :
1) Pemilihan/ penerapan rumus-rumus yang sesuai dengan permintaan
oleh soal
2) Proses/perhitungan sesuai dengan kaidah mekanisme kerja
3) Teliti dan kecermatan dalam menghitung
Teknik : Tes tertulis
Bentuk instrumen : Tes Uraian
Contoh Instrumen :
LATIHAN SOAL PERTEMUAN PERTAMA
1. Diketahui barisan bilangan 2, 6, 10, . . . . Tentukan:
a. Suku awal b. Beda c. Rumus suku ke-n d. Suku ke-20
2. Diketahui barisan bilangan 20, 15, 10, . . . . Tentukan:
a. Suku awal b. Beda
c. Rumus suku ke-n
d. Suku ke-4
65
3. Suku ke-9 dan suku ke-16 suatu barisan aritmatika adalah 79 dan 135,
tentukan:
a. Suku pertama dan bedanya
b. Rumus suku ke-n
c. Suku ke-150
4. Tentukan suku tengah dan suku keberapa dari suku tengah tersebut
jika ada, dari barisan aritmatika di bawah ini!
a. 4, 8, 12, ...., 48
b. 5, 8, 11, ..., 53
PENILAIAN dan KUNCI JAWABAN
NO
1.
2.
3.
JAWABAN
Diketahui barisan bilangan 2, 6, 10, . . . . Tentukan:
a. Suku awal ( a ) = 2
b. Beda ( b ) = U1- U2 = 6 - 2 = 4
c. Rumus suku ke-n
Un = a + ( n – 1 ) b
=2+(n–1)4
= 2 + 4n – 4
= 4n – 2
Suku ke-20
U20 = 4n – 2
= 4.20 – 2
= 72
JUMLAH
Diketahui barisan bilangan 20, 15, 10, . . . .
Tentukan:
Suku awal ( a ) = 20
Beda ( b ) = U1- U2 = 15 – 20 = - 5
Rumus suku ke-n
Un = a + ( n – 1 ) b
= 20 + ( n – 1 ) ( -5 )
= 20 – 5n + 5
= 25 – 5n
Suku ke-4
U4 = 25 – 5n
= 25 – 5.4
=5
JUMLAH
a. Suku ke-n barisan aritmatika:
Un = a + (n – 1)b
U9 = a + (9 – 1)b 79 = a + 8b . . . 1)
U16 = a + (16 – 1)b 135 = a + 15b . . . 2)
Dari eleminasi a atau b persamaan 1) dan 2)
diperoleh a = 15 dan b = 8
66
SKOR
1
2
3
2
2
1
2
1
14
1
2
3
2
2
1
2
1
14
3
4
4
10
4.
b. Rumus suku ke-n:
Un = a+ (n – 1)b
Un = 15+ (n – 1)8 = 8n + 7
c. Suku ke-150: U150 = 8 (150) + 7 = 1207
JUMLAH
a. 4, 8, 12, ...., 48
Un = a + (n - 1)b
48 = 4 + (n – 1)(4)
48 = 4+ 4n – 4
48 = 4n
n = 12
karena banyaknya suku genap yaitu 12 maka
tidak terdapat suku tengah
b. 5, 8, 11, ..., 53
Un = a + (n - 1)b
53 = 5 + (n - 1)3
53 = 5 + 3n-3
53 = 3n + 2
3n = 51
n = 17
karena banyaknya suku ganjil yaitu 17 maka
terdapat suku tengah suku tengah yaitu suku
ke –t dimana 2t - 1 = 17, jadi t = 9
Suku tengah :
Ut = a + (t – 1)b
Ut = 5 + (9 – 1)3 = 29 atau
)=
−
Suku tengah : = (
(5 + 53) = 29
JUMLAH
3
5
5
34
3
2
2
2
2
4
3
2
2
2
2
2
10
38
100
TOTAL SKOR
LATIHAN SOAL PERTEMUAN KEDUA
1. Tentukan nilai dari deret aritmatika di bawah ini :
a. 2 + 8 + 14 + 20 + . . . (sampai 25 suku)
b. 3 + 10 + 17 + 24 + 31 + . . . + 262
2. Jumlah n suku pertama suatu barisan aritmatika ditentukan oleh
rumus :
= 3 −2
Tentukan lima suku yang pertama!
3. Produksi barang suatu pabrik bertambah setiap minggu dengan
jumlah yang sama. Bila jumlah produksi sampai minggu ke-6 adalah
1425 unit dan jumlah produksi sampai minggu ke-10 adalah 2875
unit. Tentukan jumlah produksi sampai minggu ke-52 !
67
PENILAIAN dan KUNCI JAWABAN
NO
1.
JAWABAN
a. Dik : Suku pertama (a) = 2
beda (b) = 6
banyaknya suku (n) = 25
Dit : S25 = ?
Jawab :
= (2 + ( − 1) )
=
(2.2 + (25 − 1)6)
=
(4 + (24)6)
=
(4 + 144)
=
(148)
SKOR
10
10
10
5
5
10
= 1850
JUMLAH
50
b.Dik : Suku pertama (a) = 3\
beda (b) = 7
suku terakhir (Un) = 262
Jawab :
Un = a + (n - 1)b
262 = 3 + (n – 1)7
262 = 3 + 7n – 7
262 = 7n – 4
266 = 7n
n = 38
= (2 + ( − 1) )
=
(2.3 + (38 − 1)7)
=
(6 + (37)7)
=
(6 + 259)
= (265)
= 5035
5
2
3
2
3
5
5
5
5
5
5
5
50
JUMLAH
TOTAL NILAI
100
68
2.
3.
=3 −2
= = 3 − 2 = 3(1) − 2(1) = 3 − 2 = 1
= − = 3(2) − 2(2) − [3(1) − 2(1)] = 8 −
1=7
= − = 3(3) − 2(3) − [3(2) − 2(2)] = 21 −
8 = 13
= − = 3(4) − 2(4) − [3(3) − 2(3)] = 40 −
21 = 19
= − = 3(5) − 2(5) − [3(4) − 2(4)] = 65 −
40 = 25
JUMLAH
TOTAL NILAI
Dik : S6 = 1425
S10 = 2875
Dit : S52
= (2 + ( − 1) )
20
= (2 + (6 − 1) )
1425 = 3(2 + 5 )
2a + 5b = 475
…1)
5
5
5
= (2 + ( − 1) )
5
5
5
5
= (2 + (10 − 1) )
2875 = 5 (2a + 9b)
2a + 9b = 575 ….2)
20
20
20
20
100
100
5
Eliminasi persamaan 1) dan 2)
2a + 5b = 475
2a + 9b = 575
- 4b = - 100
b = 25
10
subtitusikan b = 25 ke 1)
2a + 5b = 475
2a + 5(25) = 475
2a + 125 = 475
2a = 350
a = 175
Jumlah produksi sampai minggu ke- 52 adalah :
= (2 + ( − 1) )
= (2(175) + (52 − 1)25)
= 26(350 + (51)25)
69
10
10
5
5
= 26(350 + 1275)
= 26(1625)
= 42250
JUMLAH
TOTAL NILAI
J.
5
5
10
100
100
Sumber
Buku paket matematika untuk SMK kelas XI oleh To’ali Penerbit Pusat
Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional Tahun 2008
70
71
RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN
Nama Sekolah
: SMK PGRI 2 Salatiga
Program keahlian
: Akuntansi
Mata Pelajaran
: Matematika
Kelas/ Semester
: XI/ 3
Materi Pokok
: Barisan dan Deret
Alokasi Waktu
: 4 x 45 menit (2 x pertemuan)
A. Standar Kompetensi
7. Menerapkan konsep barisan dan deret dalam pemecahan masalah.
B. Kompetensi Dasar
7.3 Menerapkan konsep barisan dan deret geometri.
C. Indikator
7.2.3 Nilai suku ke–n suatu barisan geometri ditentukan menggunakan
rumus.
7.2.4 Jumlah n suku suatu deret geometri ditentukan dengan rumus.
D. Tujuan Pembelajaran
1) Siswa dapat menentukan nilai suku ke-n suatu barisan geometri
dengan menggunakan rumus.
2) Siswa dapat menentukan jumlah n suku suatu deret geometri
dengan menggunakan rumus.
E. Materi
a. Barisan Geometri
Melipat kertas


Aktivitas siswa : perkelompok
Bahan
: selembar kertas berbentuk persegi
(Luas kertas 1 satuan luas)
72

Urutan kegiatan :
Kegiatan
Luas hasil lipatan
1.
Lipat keempat sudutnya ke tengahtengah
1
satuan luas
2
2.
Lipat lagi keempat sudutnya ke
tengah-tengah
1
satuan luas
4
3.
Ulangi lagi proses diatas
1
satuan luas
8
4.
Ulangi lagi proses diatas
1
satuan luas
16
Sebelum dilipat
1 satuan luas
Sesudah dilipat
Lipatan 1
Lipatan 2
1
satuan luas
2
1
satuan luas
4
Jika
Lipatan 3
1
satuan luas
8
Lipatan 4
1
satuan luas
16
1 1 1 1
, , , adalah empat suku pertama suatu barisan geometri
2 4 8 16
73
Secara umum dapat dikatakan bahwa barisan : U1, U2, U3, U4, ... ,Un
merupakan barisan geometri
jika:
U
U2 U3 U4


 ...  n = konstanta
U1 U 2 U 3
U n1
Konstanta tersebut dinamakan rasio ( r ) dan Rumus umum suku ke-n
barisan geometri dengan suku pertama ( U1 ) a dan rasio ( r ) dapat
ditentukan sebagai berikut ini.
U1 = a
U2 = ar
U3 = ar2
:
:
U n  ar n 1
b. Deret Geometri
Seperti halnya pada deret aritmatika, jika kita memiliki suatu barisan
geometri maka dapat dibentuk suatu deret yang merupakan
penjumlahan berurut dari suku-suku barisan tersebut, yang disebut
deret geometri. Secara umum dapat dinyatakan bahwa:
Jika U1, U2, U3, ... Un merupakan suku-suku dari suatu barisan
geometri maka:
U1 + U2 + U3 + ... + Un disebut deret geometri, dengan U n  ar n 1
Jika Sn merupakan jumlah n suku pertama dari deret geometri, maka
rumus untuk Sn dapat ditentukan dengan langkah-langkah sebagai
berikut:
Sn = U1 + U2 + U3 + U4 + ... + Un, maka:
Sn =
+
+
+ ... +
+
Kalikan Sn dengan r
74
rSn =
+
+
+... +
+
+
Kurangkan Sn dengan rSn
Sn
=
rSn
=
Sn – rSn =
+
+
+ ... +
+
+
+ ... +
+
-
−
Sn (1 - r) = (1 −
Sn 
+

a 1 rn
1  r 
)

F. Media
Media yang digunakan : lembar kegiatan siswa dan gambar pola susunan
bola biliar.
G. Model Pembelajaran
Model Pembelajaran : Pembelajaran Matematika Realistik
H. Kegiatan Pembelajaran
PERTEMUAN PERTAMA
 Pendahuluan
o Apersepsi:
Mengingatkan kembali tentang materi sebelumnya ( barisan dan
deret aritmatika )
o Motivasi:
Pernahkah kalian melipat kertas?
Bentuk apa saja yang bisa kalian buat dari lipatan kertas tersebut?
Apakah kalian dalam melipat kertas menggunakan aturan pola
tertentu?
 Kegiatan Inti
o
o
o
o
o
Guru membagi siswa menjadi beberapa kelompok, setiap kelompok
terdiri dari 5 orang ( jumlah siswa 37 orang )
Guru membagikan kertas lipat kepada setiap siswa ( 1 siswa 1
lembar )
Guru memberikan soal permasalahan ke setiap kelompok untuk
menjadi bahan diskusi ( Lampiran 1 )
Guru membimbing jalannya diskusi
Guru meminta salah satu kelompok untuk mempresentasikan hasil
diskusinya
75
Kelompok yang mempresentasikan hasil diskusinya membuka sesi
pertanyaan dari kelompok lain apabila ada yang belum paham atau
dimengerti
o Siswa menarik kesimpulan ( siswa dibimbing guru )
 Penutup
o Guru memberikan soal latihan kepada siswa (lampiran 2)
o Guru memberi tahu tentang materi yang akan dibahas pada
pertemuan selanjutnya (deret geometri)
o
PERTEMUAN KEDUA
 Pendahuluan
1. Guru menjelaskan tujuan pembelajaran
2. Apersepsi
Mengingatkan kembali tentang materi sebelumnya
 Kegiatan Inti
1. Guru membagi siswa menjadi beberapa kelompok, setiap
kelompok terdiri dari 5 orang (jumlah siswa 37 orang)
2. Guru memberikan soal permasalahan ke setiap kelompok untuk
menjadi bahan diskusi (lampiran 3)
3. Guru membimbing jalannya diskusi
4. Guru meminta salah satu kelompok untuk mempresentasikan hasil
diskusinya
5. Kelompok yang mempresentasikan hasil diskusinya membuka sesi
pertanyaan dari kelompok lain apabila ada yang belum paham atau
dimengerti
6. Siswa menarik kesimpulan (siswa dibimbing guru)
 Penutup
1. Guru memberikan soal latihan kepada siswa (lampiran 4)
I.
Penilaian
Jenis Soal Essay : dipentingkan/ dititikberatkan tentang :
4) Pemilihan/ penerapan rumus-rumus yang sesuai dengan permintaan
oleh soal
5) Proses/perhitungan sesuai dengan kaidah mekanisme kerja
6) Teliti dan kecermatan dalam menghitung
Teknik : Tes tertulis
Bentuk instrumen : Tes Uraian
Contoh Instrumen :
76
LATIHAN SOAL PERTEMUAN PERTAMA
Membuat Barisan Geometri
Langkah – Langkah:
1. Susunlah sebuah deret geometri sampai 4 suku yang pertama,
menggunakan angka-angka yang telah disediakan
2. Tempel pada kertas yang telah disediakan
3. Jawablah pertanyaan berikut: a. Tentukan nilai a ?
b. Carilah rasio ( r ) ?
c. Tentukan ?
1
3
9
16
27
4
2
64
4
8
256
PENILAIAN DAN KUNCI JAWABAN
No
a
b
KUNCI JAWABAN
SKOR
Misalkan barisan geometri tersebut adalah 2 4 8
16
Nilai a = U1 = 2
10
3
3
=
=
2
2
2
2
2
2
30
=
=2
c
2
= .
= 2. 2
= 2. 2
= 2. 64
= 128
Jumlah skor nilai
LATIHAN SOAL PERTEMUAN KEDUA
1) Tentukan rasio, suku ke 13 dan jumlah 13 suku pertama barisan
geometri berikut 1 + 2 + 4 + 8 + …
77
2) Sebuah bola dijatuhkan di atas lantai dengan ketinggian 120 m. setiap
kali memantul ke lantai mencapai ketinggian kali tinggi sebelumnya .
Tentukan jarak saat bola dijatuhkan hingga bola berhenti ?
PENILAIAN DAN KUNCI JAWABAN
No
1.
Jawaban
Skor
1+2+4+8+…
a=1
2
2
=2
1
= .
= .
= 1. 2
= 4096
( − 1)
=
( − 1)
( 2 − 1)
=1
( 2 − 1)
( 2 − 1)
=
( 2 − 1)
=2 −1
=
2
2
2
2
2
= 8192 – 1
= 8191
1
1
1
2
2.
+
Saat naik: 80 +
Maka a = 80;
=
=
=
5
+…
=
=
4
1−
80
2
2
1−3
=
78
2
= 80
3
= 240
1
saat turun: 120 + 80 +
maka a = 120;
=
+…
=
1
=
1−
120
=
2
1−3
120
=
1
3
= 120 3
= 360
2
5
4
Jarak saat bola dijatuhkan hingga bola
berhenti adalah 240 m + 360m = 600m
JUMLAH
2
1
1
1
2
50
J.
Sumber
Buku paket matematika untuk SMK kelas XI oleh To’ali Penerbit Pusat
Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional Tahun 2008
79
80
Ulangan Harian 1
Pola, Barisan dan Deret Bilangan
Jawablah soal-soal berikut dengan jelas dan benar!
1. Tentukan rumus umum dari dari barisan bilangan berikut!
a. 5, 8, 11, 14, . . .
b. 3, 7, 11, 15, 19, . . .
c. 17, 12, 7, 2, . . .
2. Diketahui rumus barisan bilangan Un = 3n – 7. Tentukan:
a. Lima suku pertamanya !
b. Suku ke-25 nya !
3. Diketahui rumus jumlah n suku pertama deret aritmatika
= 3 −2 ,
tentukan :
a. Jumlah 5 suku yang pertama
b. U1, U2, U3, U4, U5
4. Tentukan jumlah lima suku yang pertama, jika diketahui rumus suku ke n
berikut ini.
a.
=2 + 1
b.
=
5. Uraikan dalam bentuk penjumlahan notasi sigma di bawah ini, dan tentukan
nilainya:
.
(
+ )
.
(
− )
.
6. Pada tahun pertama seorang karyawan mendapat gaji pokok Rp.100.000,00
sebulan. Jika setiap bulan gaji pokoknya dinaikkan sebesar Rp. 5.000,00
maka jumlah gaji pokok karyawan tersebut selama 6 bulan pertama adalah . .
.
81
PENILAIAN dan KUNCI JAWABAN
NO
2.
2.
3.
JAWABAN
a. 5, 8, 11, 14, . . .
U1 = 5 = 3(1) + 2
U2 = 8 = 3(2) + 2
U3 = 11 = 3(3) + 2
U4 = 14 = 3(4) + 2
.
.
.
Un = 3(n) + 2
b. 3, 7, 11, 15, . . .
U1 = 3 = 4(1) - 1
U2 = 7 = 4(2) - 1
U3 = 11 = 4(3) - 1
U4 = 15 = 4(4) - 1
.
.
.
Un = 4(n) - 1
c. 17, 12, 7, 2, . . .
U1 = 17 = - 5(1) + 22
U2 = 12 = - 5(2) + 22
U3 = 7 = -5(3) + 22
U4 = 2 = -5(4) + 22
.
.
.
Un = -5(n) + 22
JUMLAH
a. Un = 3n – 7
U1 = 3(1) – 7 = -4
U2 = 3(2) – 7 = -1
U3 = 3(3) – 7 = 2
U4 = 3(4) – 7 = 5
U5 = 3(5) – 7 = 8
b. U25 = 3(25) – 7 = 68
SKOR
JUMLAH
8
=3 −2
= 3(5) − 2(5)
= 75 − 10
= 65
b. U = S = 3. 1 − 2.1 = 3 − 2 = 1
U = S − S = (3. 2 − 2.2) − (3. 1 − 2.1) = 8 − 1 =
7
U = S − S = (3. 3 − 2.3) − (3. 2 − 2.2) = 21 −
3
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
30
1
1
1
1
1
3
.
82
3
3
4.
8 = 13
U = S − S = (3. 4 − 2.4) − (3. 3 − 2.3) = 40 −
21 = 19
U = S − S = (3. 5 − 2.5) − (3. 4 − 2.4) = 65 −
40 = 25
3
JUMLAH
18
3
2
a.
b.
=2 + 1
=
+ + + +
= (2. 1 + 1) + (2. 2 + 1) + (2. 3 + 1) +
(2. 4 1) +
(2. 5 + 1)
= (2 + 1) + (8 + 1) + (18 + 1) + (32 + 1) +
(50 + 1)
= 3 + 9 + 19 + 33 + 51
= 115
=
=
+ + + +
1 +1 2 +1 3 +1 4 +1 5 +1
=
+
+
+
+
3
3
3
3
3
2 5 10 17 26
= + +
+
+
3 3 3
3
3
60
=
3
= 20
JUMLAH
3
3
2
2
1
3
3
2
1
1
20
5.
.
(3 + 1)
= (3.1 + 1) + (3.2 + 1) + (3.3 + 1) + (3.4 + 1)
+ (3.5 + 1)
= 4 + 7 + 10 + 13 + 16
= 50
.
(
− 1)
4
3
= (1 − 1) + (2 − 1) + (3 − 1) + (4 − 1)
= 0 + 3 + 8 + 15
= 26
.
3
2
= 10.3
= 30
JUMLAH
9
83
6.
= 100.000
= 100.000 + 5.000 = 105.000
= 105.000 + 5.000 = 110.000
= 110.000 + 5.000 = 115.000
= 115.000 + 5.000 = 120.000
= 120.000 + 5.000 = 125.000
=
+
+ + +
+
= 105.000 + 110.000 + 115.000 + 120.000 +125.000
= 575.000
JUMLAH
TOTAL SKOR
84
11
4
15
100
85
Ulangan Harian 2
Barisan dan Deret Aritmatika
Jawablah soal-soal berikut dengan jelas dan benar !
1. Dari barisan di bawah ini, manakah yang termasuk barisan aritmatika.
a. 1 , 6, 11, 16, 21, . . .
b. 40, 37, 34, 31, 29, . . .
c. 3, 6, 12, 24, 48, . . .
2. Diketahui barisan bilangan 1, 3, 5, 7, …Tentukan :
3.
4.
5.
1. Suku awal
2. Beda
3. Rumus suku ke – n
4. Suku ke-10
Suku ke-9 dan suku ke-16 suatu barisan aritmatika adalah 79 dan 135,
tentukan :
a. Suku pertama dan bedanya
b. Rumus suku ke – n
c. Suku ke -5
Tentukan suku tengah (jika ada) dari barisan aritmatika di bawah ini!
a. 8, 14, 20, 26, …, 224
b. 4, 8, 12,…,48
Pada tahun pertama seorang karyawan mendapat gaji pokok Rp.
300.000,00. Jika setiap tahun gaji pokoknya dinaikkan seesar Rp.
25.000,00 maka jumlah gaji pokok karyawan tersebut selama 10 tahun
pertama adalah…
86
PENILAIAN dan KUNCI JAWABAN
No
Jawaban
Skor
1.
a. 1, 6, 11, 16, 21, . . . merupakan barisan aritmatika sebab beda
antara suku-suku yang berurutannya tetap, yaitu beda(b) = 6 – 1
= 11 – 6 = . . . = 5
4
b. 40, 37, 34, 31, 29, . . . merupakan barisan aritmatika sebab beda
antara suku-suku yang berurutannya tetap, yaitu beda(b) = 37 –
40 = 34 – 37 = . . . = -3
c. 3, 6, 12, 24, 48, . . .bukan merupakan barisan aritmatika sebab
beda antara suku-suku yang berurutan tidak tetap, yaitu 6 – 3 ≠
12 – 6 ≠ 24 – 12 ≠ . . .
JUMLAH
2. Diketahui barisan bilangan 1, 3, 5, 7, . . ., Tentukan :
a. Suku awal ( a ) = 1
b. Beda ( b ) = U2- U1 = 3 - 1 = 2
c. Rumus suku ke-n
Un = a + ( n – 1 ) b
=1 + ( n – 1 ) 2
= 1 + 2n – 2
= 2n - 1
d. Suku ke-20
U20 = 2n – 2
= 2.20 – 2
= 38
JUMLAH
87
4
4
12
2
2
5
3
12
3.
a.
Suku ke-n barisan aritmatika:
Un = a + (n – 1)b
U9 = a + (9 – 1)b = a + 8b = 79
U16 = a + (16 – 1)b = a + 15b = 135
2
2
2
-
- 7b = - 56
=
b = 8
b = 8 , sehingga U9 = a + 8b
79 = a + 8.8
79 = a + 64
15 = a
b. Rumus suku ke-n:
Un = a+ (n – 1)b
Un = 15+ (n – 1)8
= 8n + 7
c. Suku ke-5: U5 = 8 (5) + 7 = 47
JUMLAH
4. Tentukan suku tengah (jika ada) dari barisan aritmatika di bawah
ini!
a. 8, 14, 20, 26, …, 224
Beda b = 6, suku pertama a = 8 dan suku terakhir 224
Un = a + (n - 1)b
224 = 8 + (n - 1)6
224 = 6n + 2
222 = 6n
n = 37
karena banyaknya suku ganjil yaitu 37 maka terdapat
suku tengah suku tengah yaitu suku ke –t dimana,
2t - 1 = 37, jadi t = 19
Suku tengah :
Ut = a + (t – 1)b
Ut = 8 + (19 – 1)6 = 116 atau
) = (8 +
Suku tengah :
= (
−
224) = 116
b. 4, 8, 12,…,48
Un = a + (n - 1)b
48 = 4 + (n – 1)(4)
48 = 4+ 4n - 4
48 = 4n
n = 12
karena banyaknya suku genap yaitu 12 maka tidak
terdapat suku tengah
3
5
2
2
2
2
22
2
2
2
2
2
4
2
2
4
2
2
2
2
4
34
JUMLAH
88
5.
U1 = Rp. 300.000,00
U2 = Rp. 300.000,00 + Rp. 25.000,00 = Rp. 325.000,00
U3 = Rp. 325.000,00 + Rp. 25.000,00 = Rp. 350.000,00
dst
= (2 + ( − 1) )
= (2(300.000) + (10 − 1)25.000)
= 5(600.000 + (9)25.000)
= 5(600.000 + 225.000)
= 5(825.000)
= 4.125.000
2
2
2
4
2
2
2
2
2
20
JUMLAH
TOTAL NILAI = 100
89
90
TES 3
Materi Barisan dan Deret Geometri
1. Tentukan rumus suku ke-n dan suku ke-10 dari barisan di bawah ini:
a. 1, 4, 16, 64, . . .
b. 5, 10, 20, 40, 80,. . .
c. 9, 27, 81, 243, . . .
2. Tentukan rasio dan suku pertama barisan geometri di bawah ini:
a. Suku ke-4 = 81 dan suku ke-6 = 729
b. Suku ke-2 = 6 dan suku ke-5 = 162
c. Suku ke-3 = 10 dan suku ke-6 = 1,25
3. Selesaikan soal barisan geometri di bawah ini:
a. Suku ke-4 = 27 dan suku ke-6 = 243, tentukan suku ke-8
b. Suku ke-2 = 100 dan suku ke-6 = 10-2, tentukan suku ke-9
c. Suku ke-2 = 2√2 dan suku ke-5 = 8, tentukan suku ke-10
4. Tentukan jumlah dari deret geometri di bawah ini:
a. 1 + 2 + 4 + 8 + . . . (sampai 10 suku)
b. 54 + 18 + 6 + 2 + . . . (sampai 9 suku)
c. 5 – 15 + 45 – 135 + . (sampai 8 suku)
d. 3 – 6 + 12 – 24 + . . . (sampai 10 suku)
5. Tentukan nilai x dari deret geometri : 2 + 4 + 8 + . . . + 2x = 2.046
91
92
LAMPIRAN 1
Pola bilangan
Untuk mendalami pola bilangan lakukan kegiatan berikut ini.
Bahan : Satu lembar kertas.
1. Lipatlah satu lembar kertas (berbentuk persegi) sehingga menjadi 2 bagian
yang sama. Guntinglah menurut lipatan tersebut. Ada berapa banyak
potongan kertas?
2. Susunlah semua potongan kertas tersebut sehingga saling menutup.
Lipatlah susunan kertas tersebut menjadi 2 bagian yang sama, kemudian
guntinglah menurut lipatan tersebut.
Ada berapa banyak potongan kertas sekarang? Catatlah banyaknya
potongan kertas yang terjadi pada tabel di bawah.
3. Lakukan kegiatan tersebut sampai 6 kali.
Banyaknya lipatan kertas
Banyaknya potongan kertas
1
2
2
4
3
8
4
…
5
…
6
…
Diskusi 1
Diskusikan untuk menjawab pertanyaan berikut ini.
a. Apakah banyaknya lembaran kertas yang terjadi mempunyai keteraturan?
Jika ya, jelaskan keteraturannya!
b. Apakah dapat ditentukan banyaknya lembaran kertas yang terjadi, jika
dilipat sebanyak 8 kali seperti cara di atas?
Berapakah banyaknya lembar kertas itu?
Banyaknya lembaran kertas yang terjadi, jika dilipat dengan cara di atas
membentuk pola. 2, 4, 8, ... merupakan salah satu contoh pola bilangan.
Isilah tiga bilangan berikutnya dan tanda titik tiga
Diskusi 2
1. Perhatikan tiga rangkaian pola berikut.
a. Gambarlah rangkaian keempat dan kelima.
b. Berapakah banyaknya persegi pada rangkaian keempat dan kelima?
c. Bayangkan rangkaian keenam. Jelaskan rancangan itu menurut
kalimatmu.
Kamu dapat membentuk pola bilangan dari gambar di atas, yaitu 1, 5, 9, . . .
93
1 merupakan suku pertama,
5 merupakan suku kedua,
9 merupakan suku ketiga, dan seterusnya.
Uuntuk menentukan bilangan pada suku tertentu harus diketahui dahulu
aturan yang digunakan untuk mendapatkan bilangan pada suku berikutnya.
2. Perhatikan pola bilangan 2, 4, 6, 8, . . .
Tentukan bilangan-bilangan pada ketiga suku berikutnya!
Bagaimana aturan untuk mendapatkan suku berikutnya?
Barisan
Pada setiap hari Senin pagi, sekolah-sekolah tingkat SD, SMP maupun SMA
selalu mengadakan upacara bendera. Siswa-siswa kelas VII, VIII, dan IX secara
teratur membentuk barisan tersendiri. Pernahkah kalian mengatur barisan saat
upacara bendera?
Carilah lima temanmu yang mempunyai tinggi badan berbeda-beda. Bagaimana
kamu mengatur kelima temanmu itu dalam satu barisan?
1. Siapakah yang terletak pada urutan pertama, kedua, ketiga, keempat dan
kelima?
2. Mengapa urutannya kamu buat demikian?
3. Apakah aturan pengurutan tersebut?
4. Bila bilangan-bilangan yang menunjukkan tinggi dari kelima temanmu kamu
urutkan maka akan membentuk barisan bilangan. Bilangan-bilangan itu
berkorespodensi satu-satu dengan kelima temanmu yang kamu susun
menjadi satu barisan.
Tulislah urutan tinggi temanmu.
Tinggi : ........... , ........... , ............, .............., .............
Nama : ..........., ............., ............, ............., ..............
Apakah urutan bilangan-bilangan di atas membentuk pola? Bila ya, apakah
aturannya? Ingatkah kamu bahwa bilangan-bilangan yang diurutkan dengan
pola (aturan) tertentu membentuk suatu barisan bilangan. Contohnya adalah
barisan bilangan ganjil dan barisan bilangan genap.
94
Barisan bilangan sembarang
Bila kamu menjumpai lima temanmu (misalkan namanya diwakili oleh hurufhuruf A, B, C, D, dan E) yang tingginya masing-masing 125 cm, 130 cm, 140 cm,
100 cm dan 170 cm. Apakah bilangan-bilangan yang menunjukkan tinggi kelima
temanmu tadi membentuk suatu barisan bilangan? Jelaskan.
Tinggi : 125 , 130 , 140 , 100 , 170
Nama : ….A....., …..B...., ........C...., ......D...., .....E.......
Apakah tingginya membentuk pola?
Barisan bilangan yang dibentuk dari bilangan-bilangan yang tidak diurutkan
dengan pola (aturan) tertentu disebut barisan bilangan sembarang.
95
LAMPIRAN 3
Deret
Setiap minggu Dira selalu memberikan hadiah berupa kartu bergambar kepada
adiknya, yaitu
Reni. Minggu pertama Dira memberi Reni 3 kartu bergambar, minggu kedua
Dira memberi 6 kartu bergambar kepada Reni. Minggu ketiga Dira memberi 9
kartu bergambar pada Reni.
a. Berapakah banyaknya kartu bergambar yang harus diberikan Dira kepada
adiknya pada minggu ke-4?
b. Berapakah banyaknya kartu bergambar yang harus diberikan Dira kepada
adiknya pada minggu ke-5?
c. Berapakah banyaknya kartu bergambar yang harus diberikan Dira kepada
adiknya pada minggu ke - n?
d. Berapakah banyaknya seluruh kartu yang telah diterima Reni selama 3
minggu?
e. Bagaimanakah caramu menentukan hasil pada (d)? Jelaskan!
f. Berapakah banyaknya seluruh kartu yang telah diterima Reni selama 4
minggu?
g. Bagaimanakah caramu menentukan hasi pada (f)?Jelaskan!
h. Nyatakan (f) dengan melibatkan (d).
i. Berapakah banyaknya seluruh kartu yang telah diterima Reni selama 5
minggu?
j. Bagaimanakah caramu menentukan (i)? Sebutkan!
k. Nyatakan (j) dengan melibatkan (g).
l. Berapakah banyaknya seluruh kartu yang telah diterima Reni selama n
minggu?
m. Bagaimanakah caramu menentukan (l)? Sebutkan!
Deret arimetika dinyatakan dengan menjumlahkan suku-suku pada barisan
aritamatika. Untuk menyatakan jumlah n suku yang pertama pada barisan
aritmatika digunakan simbol Sn.
Notasi sigma
Matematika merupakan salah satu ilmu yang banyak menggunakan simbol atau
lambang untuk menyatakan suatu pernyataan atau ungkapan yang panjang.
Misalkan notasi faktorial dengan lambang ! digunakan untuk menyatakan
perkalian berurutan mulai dari 1, notasi sigma dengan lambang ∑ digunakan
untuk menyatakan suatu penjumlahan yang berurutan, dan masih banyak
lambang-lambang lainnya. Notasi Sigma adalah suatu Notasi yang dipakai untuk
menuliskan secara singkat penjumlahan n suku. Simbol ini diambil dari huruf
kapital Yunani yang berarti Sum atau penjumlahan dan pertama kali dikenalkan
oleh Leonhard Euler pada abad ke-18. Secara umum notasi sigma didefinisikan
dengan:
∑
= U1 + U2 + U3 + U4 + . . . + Un
96
k = 1 disebut batas bawah penjumlahan. Untuk menyatakan batas bawah
penjumlahan, bukan hanya dimulai dari 1, dapat juga dimulai dari angka
bulat berapa saja dan huruf k dapat diganti huruf apa saja, yang sama
dengan notasi didepannya.
o Uk merupakan suatu polinom dalam variabel k. Jika Ux maka polinomnya
bervariabel x dan seterusnya. Polinom dapat berupa konstanta,
berderajat 1, berderajat 2 dan lainnya.
o n merupakan bilangan bulat dan disebut batas atas benjumlahan. n ≥
batas bawah penjumlahan.
Berikut ini sifat – sifat notasi sigma yang perlu diperhatikan.
o
n
1.

ak = a1 + a2 + a3 + … + an

(ak + bk) =

cak = c
k 1
n
2.
n
k m
n
3.

bk
k m
n

ak
k m
n p
n


k m
k m
4.
n
ak +

ak =
ak – p
k m p
k m
n
5.

c = (n – m + 1)c
k m
p 1
6.

k m
n
ak +

n
ak =
kp

ak
k m
m 1
7.

ak = 0

(ak + bk)2 =
k m
n
8.
k m
n
n

k m
ak2 + 2

n
ak bk +
k m

k m
97
bk2
98
Modul Pertemuan Pertama
Standar Kompetensi
pemecahan masalah.
: 7. Menerapkan konsep barisan dan deret dalam
Kompetensi Dasar
: 7.1 Mengidentifikasi pola, barisan dan deret bilangan.
Nama Kelompok
: ..........................
Anggota kelompok
:
1.
2.
3.
4.
5.
...................
...................
...................
...................
...................
99
LAMPIRAN 1
Kegiatan Pertemuan Pertama
Bahan : foto pola susunan bola biliar dan alat tulis
Gambarlah pola susunan bola biliar di atas ke kertas yang telah disediakan!
100
Dari gambar susunan bola biliar di atas didapat:
... ,
... ,
... ,
... ,
...
suku ke-1 suku ke-2 suku ke-3 suku ke-4 suku ke-5
Sekarang Coba pikirkan!
Bilangan-bilangan penyusun dari barisan bilangan disebut suku dan
dilambangkan dengan Un untuk suku ke-n. Nah sekarang Perhatikan barisan
bilangan di atas.



Berapakah nilai U2 – U1, U3 – U2, U4 – U3?
Apakah nilainya sama?
Apa yang terbesit dalam pikiranmu tentang selisih dua bilangan berurutan
tersebut?
Dari barisan bilangan diatas tentukan suku kesepuluh = U10 dan suku keseratus
= U100. Untuk mencari U10, dengan mudah kalian dapat mendaftar bilanganbilangan selanjutnya. Bagaimana dengan nilai U100? Apakah kalian juga akan
mendaftarnya?
Nilai U100 dapat ditentukan dengan rumus dari pola bilangan yang menyusun
barisan tersebut. Sehingga tidak perlu mendaftar semua bilangan sampai suku
keseratus. Bagaimana merumuskanya?
Diberikan suatu barisan aritmatika:
U1, U2, U3, . . ., Un-1, Un
Jika suku pertama dari barisan tersebut adalah U1 = a dan selisih dua suku
berurutan adalah b (beda), maka rumus untuk mencari suku ke-n dapat
ditentukan.
Terlihat bahwa:
U2
= U1 + b
U3
= ...
U4
= ...
101
:
:
Un-1
= ...
Un
= ...
Rumus terakhir inilah yang merupakan rumus suku ke-n barisan aritmatika.
Sedangkan beda (b) dirumuskan sebagai berikut.
b = ...
= ...
= ...
= ...
NB: Beda adalah selisih antara dua suku yang berurutan
Kesimpulan:
Diberikan barisan aritmatika: U1, U2, U3, . . ., Un. Jika suku pertamanya U1 = a
dan bedanya b, maka rumus suku ke-n ( Un ) adalah:
Un = ...
dengan b =
102
LAMPIRAN 3
Jika jumlah dari n suku pertama deret aritmatika dilambangkan dengan Sn,
maka:
Sn = U1 + U2 + U3 + ...+ Un
Sehingga U1 = a
U2 =
U3 =
.
.
Un-1 =
Un =
Persamaan diatas menjadi:
Sn = a + ... + ... +
...
+…+…
Berapakan hasilnya jika Sn (pertama) + Sn (kedua), dimana Sn yang kedua
adalah urutan barisan kebalikan dari Sn pertama atau urutan barisan Sn
pertama yang di urutkan dari belakang.
Sn =
a
+…+
Sn =
...
+ ... +
...
+ ... + ...
... =
...
+ ... +
...
+ ... + ...
Ada berapa suku
...
+…+…
.... suku
... = ...
Sehingga,
Sn = ...
103
+
104
LAMPIRAN 1
BARISAN GEOMETRI
Kegitan:
Melipat kertas


Aktivitas siswa : perkelompok
Bahan
: selembar kertas berbentuk persegi
(Luas kertas 1 satuan luas)

Urutan kegiatan :
Kegiatan
Luas hasil lipatan
1.
Lipat keempat sudutnya ke tengahtengah
… satuan luas
2.
Lipat lagi keempat sudutnya ke tengahtengah
...... satuan luas
3.
Ulangi lagi proses diatas
4.
Ulangi lagi proses diatas
...... satuan luas
...... satuan luas
Sebelum dilipat
1 satuan luas
105
Sesudah dilipat
Lipatan 1
… satuan luas
Lipatan 2
...... satuan luas
Lipatan 3
Lipatan 4
...... satuan luas ....... satuan luas
Jika … , ... , ... , ... , ... adalah empat suku pertama suatu barisan geometri
Secara umum dapat dikatakan bahwa barisan : U1, U2, U3, U4, ... ,Un
merupakan barisan geometri
jika:
U
U 2 U3 U 4


 ...  n = konstanta
U1 U 2 U 3
U n1
Konstanta tersebut dinamakan rasio ( r ) dan Rumus umum suku ke-n barisan
geometri dengan suku pertama ( U1 ) a dan rasio ( r ) dapat ditentukan sebagai
berikut ini.
U1 = a
U2 = ...
U3 = ...
U4 = ...
:
:
Un = ...
106
LAMPIRAN 3
DERET GEOMETRI
Seperti halnya pada deret aritmatika, jika kita memiliki suatu barisan geometri
maka dapat dibentuk suatu deret yang merupakan penjumlahan berurut dari
suku-suku barisan tersebut, yang disebut deret geometri. Secara umum dapat
dinyatakan bahwa:
Jika U1, U2, U3, ... Un merupakan suku-suku dari suatu barisan geometri maka:
U1 + U2 + U3 + ... + Un disebut deret geometri, dengan U n  ar n 1
Jika Sn merupakan jumlah n suku pertama dari deret geometri, maka rumus
untuk Sn dapat ditentukan dengan langkah-langkah sebagai berikut:
Sn = U1 + U2 + U3 + U4 + ... + Un, maka:
Sn =
+ … + ... + ... + ... +
Kalikan Sn dengan r
rSn =
+ ... + ... +... + ... + ... +
Kurangkan Sn dengan rSn
Sn
=
rSn
=
+ … + ... + ... + ... +
+ ... + ... + ... +
... +
... = …
... = ...
Jadi runus Sn adalah = ......
107
-
108
DAFTAR NILAI TES KELAS XI-A AKUNTANSI SEMESTER I
TAHUN AJARAN 2011/2012
SMK PGRI 2 SALATIGA
NO
NAMA
NILAI
NILAI AKHIR
TES 1
TES 2
TES 3
80
91
80
83.67
96
53
85
78.00
100
82
78
86.67
96
77
76
83.00
4
ACNESIA NIDRIA MELATI
PUTRI
ADI SAPUTRO
AGUNG MULYA
PRASETYO
AINUR ROIS SETYAWAN
5
ANDYTA MERDIYANA
92
95
76
87.67
6
ARNITA NOVIANTI
96
100
85
93.67
7
96
100
92
96.00
72
95
74
80.33
9
ASTRINI
ATHTHOHAROH SITI
NURUL LATIFAH
AVRIYANI SETYANINGSIH
84
95
74
84.33
10
CHISWATUN KHASANAH
92
75
90
85.67
11
DARIYATI
92
95
76
87.67
12
DEASY AGUSTIN
64
87
85
78.67
13
DEVINDA NENGTIYAS
76
85
76
79.00
14
DEWI CITA NARINDRATI
96
100
92
96.00
15
EVA YULIANA
72
95
75
80.67
16
EVI PUSPITASARI
72
100
74
82.00
17
92
100
89
93.67
84
95
78
85.67
19
FENITA BUDIYANTI
HERLINDA KARINIA
LUPITASARI
HILDA ELINA
100
100
85
95.00
20
INDAH EKA STYANINGSIH
92
100
80
90.67
21
KRISMIYATI
98
100
80
92.67
22
KUSNANTO
100
85
85
90.00
23
LIA SUMILAH
88
100
80
89.33
24
MILKHATUN NIKMAH
76
93
80
83.00
25
NITA ARIANI PUSPADEWI
84
93
78
85.00
26
NURI WIDAYANINGSIH
72
100
80
84.00
27
PUPUT CAHYANI
92
95
80
89.00
1
2
3
8
18
109
31
PUTRIANA
WULANINGRUM
RATIH PALUPI
RISKA SOLEQHA
HANDAYANI
SITI ISTIQOMAH
32
SITI WAHYU APRIYATI
92
98
80
90.00
33
SUGIARTI
84
87
76
82.33
34
ULUL MASRUROH
72
100
80
84.00
35
UMI FAJRIYAH
72
100
80
84.00
36
UMI KHOLIFAH
68
87
85
80.00
37
YULIS SUGESTI
96
96
85
92.33
JUMLAH
3190
3428
3009
RATA-RATA KELAS
86.22
92.65
81.32
28
29
30
72
96
85
84.33
96
96
85
92.33
88
95
80
87.67
96
87
90
91.00
110
111
112