BABII-LogikaProposisi

Proposition Logic
(Logika Proposisional)
Bimo Sunarfri Hantono
[email protected]
Proposition (pernyataan)
Merupakan komponen penyusun logika dasar yang
dilambangkan dengan huruf kecil (p, q, r, ...) yang
memiliki nilai kebenaran (True atau False).
Diwakili oleh kalimat deklaratif.
Lawan kalimat deklaratif = Kalimat Terbuka
Untuk mengkombinasikan dua atau lebih proposisi
diperlukan “connective (penghubung)”.
Syntactics Rule (Aturan Sintaktik)
Adalah aturan yang diperlukan untuk mengkombinasikan
antara propositions dan propositional connectives untuk
menghasilkan sentences (kalimat logika).
Propositions + Propositional Connectives -> Sentences
Propositional connective yang digunakan adalah :
Not (~), and ( ), or ( ), if – then - (->),
If – then - else, dan if and only if (<->)
Interpretasi
Adalah pemberian nilai kebenaran (true atau false)
pada setiap symbol proposisi dari suatu kalimat logika.
Semantic Rule (Aturan Semantik)
Adalah suatu aturan yang digunakan untuk
menentukan “truth value” dari suatu sentence, yaitu :
1. Negation Rule (Aturan NOT)
2. Conjunction Rule (Aturan AND)
3. Disjunction Rule (Aturan OR)
4. Implication Rule (Aturan IF-THEN)
5. Equivalence Rule (Aturan IF -AND ONLY IF -)
6. Conditional Rule (Aturan IF–THEN-ELSE)
Semantic Rule (Aturan Semantik)
Negation Rule (Aturan NOT)
p
not p
true
false
false
true
Semantic Rule (Aturan Semantik)
Conjunction Rule (Aturan AND)
p
q
p and q
true
true
true
true
false
false
false
true
false
false
false
false
Semantic Rule (Aturan Semantik)
Disjunction Rule (Aturan OR)
p
q
p or q
true
true
true
true
false
true
false
true
true
false
false
false
Sifat-sifat aljabar logika untuk konjungsi
dan disjungsi
Hukum Idempoten
p or p = p
p and p = p
Hukum Komutatif
p or q = q or p
p and q = q and p
Hukum Assosiatif
(p or q) or r = p or (q or r)
(p and q) and r = p or (q or r)
Sifat-sifat aljabar logika untuk konjungsi
dan disjungsi
Hukum Distributif
p or (q and r) = (p or q) and (p or r)
p and (q or r) = (p and q) or (p and r)
Hukum Identitas
p or false = p
p and true = p
p or true = true
p and false = false
Sifat-sifat aljabar logika untuk konjungsi
dan disjungsi
Hukum Komplemen
p or not p = true
p and not p = false
not (not p) = p
Hukum De Morgan
negasi dari konjungsi dan disjungsi
not (p or q) = not p and not q
not (p and q) = not p or not q
Semantic Rule (Aturan Semantik)
Implication Rule (Aturan IF-THEN)
Implikasi bernilai “salah” bila anteseden benar dan konsekuen salah.
p
q
if p then q
true
true
true
true
false
false
false
true
true
false
false
true
Semantic Rule (Aturan Semantik)
Implication Rule (Aturan IF-THEN)
Jika (p->q) adalah implikasi, maka :
(q->p) adalah konvers
(not p->not q) adalah invers
(not q->not p) adalah kontraposisi
Jika (p->q) bernilai benar, maka:
belum tentu (q -> p), (not p -> not q),
(not q -> not p) bernilai benar.
Semantic Rule (Aturan Semantik)
Equivalence Rule (Aturan IF -AND ONLY IF -)
Biimplikasi bernilai “benar”, jika penyusun proposisi bernilai sama
p
q
p if and only if q
true
true
true
true
false
false
false
true
false
false
false
true
Semantic Rule (Aturan Semantik)
Conditional Rule (Aturan IF–THEN-ELSE)
Jika p bernilai benar maka q berlaku; Jika p bernilai salah maka r berlaku
p
true
true
true
true
false
false
false
false
q
true
true
false
false
true
true
false
false
r
true
false
true
false
true
false
true
false
if p then q else r
true
true
false
false
true
false
true
false
Latihan
1.
2.
Tentukan nilai kebenaran (truth value) dari sentence berikut, dengan
menggunakan truth table :
a.
F: (f and g) if and only if (g and g)
b.
G: if (if p then q) then q
c.
H: ((p or q) and not r) if and only if (if p then r) and (if q then r)
Jika diberikan suatu nilai (interpretasi) True untuk p dan s dan False
untuk q dan r, maka tentukanlah nilai kebenaran untuk kalimat
berikut:
a.
((if p then q) and (if q then p) if and only if (q or not p)
b.
(p and (if r then s)) if and only if ((if r then s) and p)
Properties of Sentence
Valid. Suatu sentence f disebut valid, jika untuk
setiap interpretation I for f, maka f true. Contoh:
a. (f and g) if and only if (g and f)
b. f or not f
c. (p and (if r then s)) if only if ((if r then s) and p)
d. (p or q) or not (p or q)
e. (if p then not q) if and only if not (p and q)
Properties of Sentence
Satisfiable. Suatu sentence f disebut satisfiable, jika
untuk suatu interpretation I for f, maka f true.
Contoh:
a. If (if p then q) then q
b. (if p then q) or (r and s)
c. (if p then q) or r
Properties of Sentence
Kontradiksi. Suatu sentence f disebut kontradiksi,
jika untuk setiap interpretation I for f, maka f false.
Contoh:
a. p and not p
b. ((p or q) and not r) if and only if ((if p then r)
and (if q then r)
Quantifier Sentence
Pernyataan yang memuat ekspresi kuantitas obyek
yang terlibat Misalnya: semua, ada, beberapa, tidak
semua, dll
Ada dua macam, kuantor:
1. Universal Quantifier (for all…)
2. Existential Quantifier (for some…)
Quantifier Sentence
Universal Quantifier (for all…)
Mempunyai makna umum dan menyeluruh
Notasi:
, dibaca semua, seluruh, setiap
Penulisan:
x
S -> p(x); Semua x dalam semesta s mempunyai sifat p
Contoh:
1.
Semua orang yang hidup pasti mati
2.
Setiap mahasiswa pasti pandai
3.
Seluruh mahasiswa ganteng-ganteng dan cantik-cantik
Quantifier Sentence
Existential Quantifier (for some…)
Mempunyai makna khusus atau sebagian
Notasi:
, dibaca terdapat, ada, beberapa
Penulisan:
y
S -> q(y); Terdapat y dalam semesta s mempunyai sifat q
Contoh:
1.
Ada siswa di kelas ini yang ngantuk
2.
Beberapa mahasiswa yang mendapat nilai A mata kuliah Logika dan
Algoritma
Ingkaran Pernyataan Berkuantor
( x) p(x) = ( y) p(y)
( y) q(y) = ( x) q(x)
Contoh:
p : Semua mahasiswa harus pandai
~p : Ada mahasiswa yang tidak pandai
q : Ada pejabat yang korupsi
~p : Semua pejabat tidak korupsi
Pembuatan Kesimpulan Berdasarkan
Implikasi
Modus Ponens
p -> q
p
q
Contoh:
Jika seseorang itu adalah mahasiswa maka ia pasti pandai
Dian Sastro adalah seorang mahasiswa
Dian Sastro pasti pandai
Pembuatan Kesimpulan Berdasarkan
Implikasi
Modus Tellens
p -> q
~q
~p
Contoh:
Jika Inul adalah mahasiswi yang baik maka ia pasti tidak
nyotek di ujian
Inul nyontek dalam ujian
Inul bukan mahasiswi yang baik
Pembuatan Kesimpulan Berdasarkan
Implikasi
Prinsip Syllogisme
p -> q
q -> r
p -> r
Contoh:
Jika ia rajin maka ia pasti pandai
Jika ia pandai maka ia pasti sukses
Jika ia rajin maka ia pasti sukses
Latihan
1.
Buktikan bahwa sentence berikut memiliki sifat “valid” (p and (if r then s)) if
and only if ((if r then s) and p)
2.
Jika diberikan interpretasi p, q, dan r berturut turut adalah True, False, dan True.
Tentukan truth value dari sentence berikut:
3.
a.
If ((if q then not p) or not q) then (p if and only if q) else not r
b.
If (if p then (if q then r)) then (if (if p then q) else (if p then r))
Jika diberikan dua implikasi seperti berikut:
If (p or q) or not (p or q) then ((f and g) if and only if (g and f)
If ((f and g) if and only if (g and f) then ( p and not p)
Tentukan kesimpulannya dengan menggunakan prinsip Syllogisme, serta berikan
truth value-nya dengan menggunakan truth table.