PROPORSI (LOGIKA MATEMATIKA)

 Logika:
sistem yg didasarkan atas
proposisi.
 Proposisi: pernyataan yang
bernilai benar atau salah, tapi
tidak kedua-duanya.
 Kita katakan bahwa nilai
kebenaran dari suatu proposisi
adalah benar (T) atau salah (F).
 Berkorespondensi dengan 1 dan
0 dalam dunia digital.
PROPORSI ITU APA?
Proposisi-proposisi merupakan
pernyataan-pernyataan yang
ada di dalam suatu argumen
Pernyataan-pernyatan tersebut
mempunyai properti yaitu suatu
nilai benar atau salah
PROPORSI ITU APA?
Proposisi: setiap pernyataan yang
bernilai benar atau salah. Tidak bisa
bernilai kedua-duanya atau nilai lainnya.
Misal pernyataan “Program komputer ini
memiliki bug” adalah proposisi yang
bernilai benar atau salah.
Contoh Proposisi
5
Ini suatu pernyataan ?
Ini suatu proposisi ?
Apa nilai kebenaran dari
proposisi ini ?
Contoh Proposisi (2)
6
Ini pernyataan ?
Ini proposisi ?
Apa nilai kebenaran dari
proposisi ini ?
Contoh proposisi (3)
7
Ini pernyataan ?
yes
Ini proposisi ?
no
Nilai kebenarannya bergantung pada nilai y, tapi
nilai ini tidak spesifik.
Kita katakan tipe pernyataan ini adalah fungsi
proposisi atau kalimat terbuka.
Contoh proposisi (4)
8
Ini pernyataan ?
yes
Ini proposisi ?
yes
Nilai kebenaran dari
proposisi tersebut ?
false
Contoh proposisi (5)
9
Ini pernyataan ?
no
Ini permintaan.
Ini proposisi ?
no
Hanya pernyataan yang dapat menjadi
proposisi.
Contoh proposisi (6)
10
Ini pernyataan ?
yes
Ini proposisi ?
yes
Apa nilai kebenaran
proposisi tersebut ?
probably false
Contoh proposisi (7)
11
Ini pernyataan ?
yes
Ini proposisi ?
yes
… sebab nilai kebenarannya
tidak bergantung pada nilai x
dan y.
Apa nilai kebenaran dari
proposisi tsb ?
true
Menggabungkan proposisi
12
Seperti dalam contoh sebelumnya, satu atau
lebih proposisi dapat digabung membentuk
sebuah proposisi majemuk
(compound proposition).
Selanjutnya, notasi proposisi diformalkan
dengan menggunakan alfabet seperti p, q, r,
s, dan dengan memperkenalkan beberapa
operator logika.
SEJENAK TENTANG PROPORSI ...
1. Manakah dari pernyataan-pernyataan
berikut yang merupakan proposisi?
(a)Apakah jawabanmu ini sudah benar, Andri?
(b)Andri pergi kuliah
(c)4 adalah bilangan prima
(d)Andri, pergilah ke sekolah sekarang juga!
SEJENAK TENTANG PROPORSI ...
2. Manakah dari pernyataan-pernyataan berikut
yang berupa proposisi atomik dan yang
berupa proposisi majemuk?
(a)Setiap orang Indonesia kaya raya
(b)Andri dan Dewi sama-sama kaya raya
(c)Andri kaya raya atau banyak hartanya
Sejenak tentang proporsi....
3. Beri nilai konstanta proposisional T atau
F pada pernyataan berikut:
(a)Yogyakarta ibukota negara Indonesia
(b)Angka 8 adalah angka genap
(c)Jepang berbentuk negara republik
(d)Hari ini hari Senin
Tabel Kebenaran
Tabel kebenaran adalah suatu tabel
yang menunjukkan secara sistematis
satu demi satu nilai-nilai kebenaran
sebagai hasil kombinasi dari proposisiproposisi yang sederhana
Tabel Kebenaran
 Setiap perangkai logika memiliki nilai
kebenaran masing-masing.
 Perangkai logika yang digunakan:
Perangkai
Simbol
Dan (and)

Atau (or)

Bukan (not)

Jika…maka… (if…then.../implies)

Jika dan hanya jika (if and only if)

Operator Logika
18
Negasi (NOT)
 Konjungsi - Conjunction (AND)
 Disjungsi - Disjunction (OR)
 Eksklusif Or (XOR)
 Implikasi (JIKA – MAKA)
 Bikondisional (JIKA DAN HANYA JIKA)

Negasi (NOT)
19
Operator Uner, Simbol: 
P
P
true
false
false
true
Conjunction (AND)
20
Operator Biner, Simbol: 
P
Q
PQ
true
true
true
true
false
false
false
true
false
false
false
false
Disjunction (OR)
21
Operator Biner, Simbol: 
P
Q
PQ
true
true
true
true
false
true
false
true
true
false
false
false
Exclusive Or (XOR)
22
Operator Biner, Simbol: 
P
Q
PQ
true
true
false
true
false
true
false
true
true
false
false
false
Implikasi (JIKA - MAKA)
23
Implikasi p  q adalah proposisi yang bernilai
salah jika p benar dan q salah, dan bernilai benar
jika lainnya.
P
Q
PQ
true
true
true
true
false
false
false
true
true
false
false
true
Implikasi p  q
Jika p, maka q
 Jika p, q
 p mengakibatkan q
 p hanya jika q
 p cukup untuk q
 Syarat perlu untuk p
adalah q

q jika p
 q ketika p
 q diakibatkan p
 q setiap kali p
 q perlu untuk p
 Syarat cukup untuk q
adalah p

24
Contoh Implikasi
25
Implikasi
“Jika hari ini hari Jumat maka 2+3 > 7.”
bernilai benar untuk semua hari kecuali hari
Jumat, walaupun 2+3 > 7 bernilai salah.
Kapan pernyataan berikut bernilai benar?
“Jika hari tidak hujan maka saya akan pergi
ke Malang.”
Bikondisional (JIKA DAN HANYA JIKA)
26
Operator Biner, Simbol: 
P
Q
PQ
true
true
true
true
false
false
false
true
false
false
false
true
Tautologi dan Kontradiksi
27
Tautologi adalah pernyataan yang selalu benar.
Contoh:
 R(R)
 (PQ)(P)(Q)
Jika ST suatu tautologi, kita tulis ST.
Jika ST suatu tautologi, kita tulis ST.
Tautologi dan Kontradiksi (2)
28
Kontradiksi adalah pernyataan yang selalu
bernilai salah.
Contoh:
 R(R)
 ((PQ)(P)(Q))
Negasi dari suatu tautologi adalah suatu
kontradiksi, negasi dari kontradiksi adalah
suatu tautologi.
Konversi, Kontrapositif, & Invers
29

q  p disebut konversi dari p
q

q  p disebut kontrapositif dari p

p  q disebut invers dari p
q
q
Ekspresi Logika
30
Contoh 4. Ubah ke dalam ekspresi logika:
“Anda mempunyai akses internet hanya jika anda
mahasiswa Teknik Informatika STT RRI atau anda
bukan mahasiswa STT RRI”
Solusi. Misal a : “Anda punya akses internet”
m: “Anda mhs Teknik Informatika STT RRI”
f : “Anda mhs STT RRI”
a  (m   f)
• Dua proposisi P(p,q,…) dan Q(p,q,….) disebut ekivalen logic
bila keduanya mempunyai tabel kebenaran yang sama
P(k,q,…) = Q(p,q,…)
p
q
p q
qp
pq
T
(p q) ( q 
p)
T
T
T
T
T
F
F
T
F
F
F
T
T
F
F
F
F
F
T
T
T
T
T
• Proposisi berikut adalah ekivalen logik
ppp
(p  q)  r  p  (q  r)
pqqp
p  (q  r)  (p  q)  (p  r)
pfp
pt t
p~p t
~~p p
~(p q)  ~ p  ~ q
ppp
(p  q)  r  p  (q  r)
pqqp
p  (q  r)  (p  q)  (p  r)
ptp
pff
p~pf
~t  f, ~ f  t
~(p  q)  ~ p  ~ q
• Proposisi berikut adalah ekivalen logik
PPP
(P  Q)  R  P  (Q  R)
PQQP
P  (Q  R)  (P  Q)  (P  R)
PFP
PT T
P~P T
~~P P
~(P Q)  ~ P  ~ Q
Hukum Idem
Hukum Asosiatif
Hukum Komutatif
Hukum Distributif
Hukum Identitas
Hukum Identitas
Hukum Komplemen
Hukum Komplemen
Hukum De Morgan
Hukum Idem
Hukum Asosiatif
Hukum Komutatif
Hukum Distributif
Hukum Identitas
Hukum Identitas
Hukum Komplemen
Hukum Komplemen
Hukum De Morgan
PPP
(P  Q)  R  P  (Q  R)
PQQP
P  (Q  R)  (P  Q)  (P  R)
PFP
PT T
P~P T
~~P P
~(P Q)  ~ P  ~ Q
• Misalkan P(p,q,…) dan Q(p,q,….)adalah proposisi. Maka
tiga kondisi di bawah ini adalah ekivalen
(1) ~ P(p,q,…)  Q(p,q,…) adalah tautologi
(2) P(p,q,…)  ~ Q(p,q,…) adalah kontradiksi
(3) P(p,q,…)  Q(p,q,…) adalah tautologi
•Suatu proposisi P(p,q,…) disebut implikasi logik ke proposisi
Q(p,q,….) dinyatakan dengan :
P(p,q,…)  Q(p,q,….)
Bila satu dari ketiga kondisi di atas berlaku
SOAL LATIHAN PROPORSI
1. Gunakan variabel proposisional A untuk “Andri
kaya raya” dan B untuk “Andri hidup bahagia”.
Lalu ubah pernyataan berikut menjadi bentuk
logika:
(1) Andri tidak kaya
(2) Andri kaya raya dan hidup bahagia
(3) Andri kaya raya atau tidak hidup bahagia
(4) Jika Andri kaya raya, maka ia hidup bahagia
(5) Andri hidup bahagia jika dan hanya jika ia
kaya raya
SOAL LATIHAN PROPORSI
2. Beri variabel proposisional terserah Anda, dan ubah
pernyataan berikut menjadi bentuk logika!
(1) Jika Andri ada di Malioboro, maka Dewi juga ada
di Malioboro
(2) Pintu rumah Dewi berwarna merah atau coklat
(3) Berita itu tidak menyenangkan
(4) Andri akan datang jika ia mempunyai kesempatan
(5) Jika Dewi rajin kuliah, maka ia pasti pandai
SOAL LATIHAN PROPORSI
3. Jawab pertanyaan berikut dengan tabel
kebenaran!
(1) Apakah nilai kebenaran dari AA?
(2) Apakah nilai kebenaran dari AA dan
AA?
(3) Apakah AB mempunyai nilai kebenaran
yang sama dengan BA?
(4) Apakah (AB)C mempunyai nilai
kebenaran yang sama dengan A(BC)?