konsep bilangan

Pengantar Teknologi Informasi
Sistem Bilangan
 Number System adalah Suatu cara untuk mewakili
besaran dari suatu item fisik. Sistem Bilangan
menggunakan suatu bilangan dasar atau basis (base /
radix) yang tertentu. Dalam hubungannya dengan
komputer.
sistem bilangan tak bertanda
 Macam-macam sistem bilangan ditentukan
berdasarkan radix atau base-nya. Beberapa jenis
sistem bilangan antara lain adalah sistem bilangan
decimal, sistem bilangan biner, sistem bilangan
heksadesimal, sistem bilangan octal, sistem bilangan
Binary Coded Decimal (BCD), dan lain sebagainya.
Bilangan decimal (base 10)
 Sistem bilangan decimal adalah sistem bilangan yang
banyak dipergunakan dalam kehidupan sehari-hari.
Sistem ini menggunakan radix atau base 10. Bilangan
Base 10 artinya bilangan yang memiliki perpangkatan
10 (semisal 100, 101, 102, dan lain sebagainya). Bilangan
yang ada dalam sistem bilangan ini antara lain adalah
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, dan 9.
 Sebagai contoh adalah bilangan 157(10). Hasil dari
Bilangan decimal 157(10) adalah :
 157(10) = (1 x 100) + (5 x 10) + (7 x 1).
Bilangan biner (base 2)
 Sistem bilangan biner adalah sistem bilangan dengan
base 2. Bilangan Base 2 artinya bilangan yang memiliki
perpangkatan 2 (semisal 20, 21, 22, dan lain
sebagainya). Bilangan yang ada dalam sistem bilangan
ini antara lain adalah 0 dan 1.
Konversi Bilangan Biner ke dalam
Bilangan Desimal
 Perhatikan contoh di bawah ini! Di bawah ini
merupakan contoh konversi atau mengubah dari
bilangan biner ke dalam bilangan decimal.
 1110(2)
= (1 x 23) + (1 x 22) + (1 x 21) + (0 x 20)
=8+4+2+0
= 14
Konversi bilangan Desimal ke
dalam bilangan Biner
 Untuk mengubah angka desimal menjadi angka biner digunakan metode
pembagian dengan angka 2 sampai hasil terakhir 0. Mari kita perhatikan
contohnya!
205(10)
205 : 2
= 102
102 : 2
= 51
51 : 2
= 25
25 : 2
= 12
12 : 2
=6
6:2
=3
3:2
=1
1:2
=0
Maka hasilnya:
205(10) = 11001101(2)
sisa 1
sisa 0
sisa 1
sisa 1
sisa 0
sisa 0
sisa 1
sisa 1
Konversi bilangan Desimal ke
dalam bilangan Biner
Note:
Untuk menuliskan notasi binernya, pembacaan
dilakukan dari bawah yang berarti 11001101(2)
Bilangan heksadesimal (base 16)
 Sistem bilangan heksadesimal adalah sistem bilangan
dengan base 16. Bilangan Base 16 artinya bilangan yang
memiliki perpangkatan 16 (semisal 160, 161, 162, dan
lain sebagainya). Bilangan yang ada dalam sistem
bilangan ini antara lain adalah 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,
A, B, C, D, E, dan F. Karena Heksadesimal merupakan
pangkat dari dua, maka Heksadesimal berkaitan
dengan prinsip biner.
Konversi bilangan Heksadesimal ke
bilangan biner
DIGIT HEKSADESIMAL
DIGIT BINER
0000
0
0001
1
0010
2
0011
3
0100
4
0101
5
0110
6
0111
7
1000
8
1001
9
1010
A
1011
B
1100
C
1101
D
1110
E
1111
F
Konversi dari bilangan
heksadesimal ke bilangan biner
 Ubahlah bilangan heks 5D9316 menjadi bilangan biner!
5
= 0101
D
= 1101
9
= 1001
3
= 0011
Note:
 Jadi bilangan biner untuk heks 5D9316 adalah
0101110110010011
Konversi bilangan biner ke
heksadesimal
0010
1101
0110
1100
1011
2
D
6
C
B
Maka hasilnya adalah 2D6CB
Bilangan octal (base 8)
 Sistem bilangan octal adalah sistem bilangan dengan
base 8. Bilangan Base 8 artinya bilangan yang
memiliki perpangkatan 8 (semisal 80, 81, 82, dan lain
sebagainya). Bilangan yang ada dalam sistem bilangan
ini antara lain adalah 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, dan 7. Karena
octal merupakan pangkat dari dua, maka octal
berkaitan dengan prinsip biner.
Konversi bilangan octal ke bilangan
biner
DIGIT OCTAL
DIGIT BINER
0000
0
0001
1
0010
2
0011
3
0100
4
0101
5
0110
6
0111
7
Konversi Oktal ke biner
 Ubahlah bilangan oktal 63058 menjadi bilangan biner!
6305
110 011 000 101
Note:
 Masing-masing digit oktal diganti dengan ekivalens 3
bit (biner)
Konversi bilangan biner ke octal
 Ubahlah bilangan biner 1010100001101 menjadi
bilangan oktal!
001
010
100
001
101
1
2
4
1
5
 Maka hasilnya adalah 12415
Binary Coded Decimal
 BCD adalah sistem pengkodean bilangan desimal yang
metodenya mirip dengan bilangan biner biasa; hanya
saja dalam proses konversi, setiap simbol dari bilangan
desimal dikonversi satu per satu, bukan secara
keseluruhan seperti konversi bilangan desimal ke
biner biasa. Hal ini lebih bertujuan untuk
“menyeimbangkan” antara kurang fasihnya manusia
pada umumnya untuk melakukan proses konversi dari
desimal ke biner -dan- keterbatasan komputer yang
hanya bisa mengolah bilangan biner.
Konversi bilangan BCD ke bilangan
desimal
DIGIT BCD
DIGIT DESIMAL
0000
0
0001
1
0010
2
0011
3
0100
4
0101
5
0110
6
0111
7
1000
8
1001
9
Konversi bilangan BCD ke decimal
 BCD adalah sistem pengkodean bilangan desimal yang
metodenya mirip dengan bilangan biner biasa; hanya
saja dalam proses konversi, setiap simbol dari bilangan
desimal dikonversi satu per satu, bukan secara
keseluruhan seperti konversi bilangan desimal ke
biner biasa. Hal ini lebih bertujuan untuk
“menyeimbangkan” antara kurang fasihnya manusia
pada umumnya untuk melakukan proses konversi dari
desimal ke biner -dan- keterbatasan komputer yang
hanya bisa mengolah bilangan biner.
Konversi bilangan BCD ke bilangan
desimal
 Misalkan bilangan yang ingin dikonversi adalah 0001
0111 0000BCD.
Hasil perhitungannya adalah sebagai berikut:
0001  1
01117
00000
 Maka hasilnya adalah 17010.
Konversi bilangan decimal ke BCD
 Misalkan bilangan yang ingin dikonversi adalah 17010.
 Hasil perhitungannya adalah sebagai berikut:
110  0001BCD
710 0111BCD
010 0000BCD
Maka hasil nya adalah 0001 0111 0000BCD
Bilangan bertanda (Signed fixed
point numbers)
 Bilangan bulat (integer) dapat dibagi menjadi 2 jenis, yaitu:
bulat tak-bertanda (unsigned integer) dan bulat bertanda (signed
integer). Bilangan bulat tak bertanda adalah bilangan bulat yang
tidak mengandung tanda bilangan positif atau negatif,
sedangkan bilangan bulat bertanda mempunyai nilai positif atau
negatif. Pada sistem desimal tanda bilangan menggunakan
simbol + untuk bilangan positif dan simbol – untuk bilangan
negatif. Persoalan muncul pada mesin digital, yaitu bagaimana
tanda – atau + disimpan didalam memori yang hanya dapat
menyimpan simbol 0 dan 1. Karena itu untuk sistem bilangan
biner diperlukan penyajian tertentu untuk menyatakan suatu
bilangan adalah positif atau negatif. Untuk bilangan biner ada 2
cara penyajian bilangan bulat bertanda, yaitu: sign-andmagnitude, one’s Complement, two’s complement dan Excess
Representation.
Signed magnitude
 Signed Magnitude Juga di sebut “sign and magnitude”. Cara
mengubah bilangan bertanda decimal menjadi bilangan biner
dengan sign magnitude adalah dengan Bit paling kiri merupakan
tanda (sign) (0 = positive, 1 = negative) dan bit sisanya
merupakan magnitude.
Contoh:
+2510 = 000110012
-2510 = 100110012
Note:
 2 representasi dari nilai 0:
+0 = 000000002
-0 = 100000002
 Nilai terbesar adalah +12710, Nilai terkecil adalah -12710, jika
dengan menggunakan representasi 8-bit.
One’s complement
 Cara mengubah bilangan bertanda decimal menjadi bilangan




biner dengan One’s complement adalah Bit paling kiri adalah
tanda (sign) (0 = positive, 1 = negative). Bilangan One’s
complement diperoleh dengan cara membalik setiap bit (0  1,
dan 1  0 )
Contoh:
+2510 = 000110012
-2510 = 111001102
Note:
2 representasi dari nilai 0:
+0 = 000000002
-0 = 111111112.
Nilai terbesar adalah +12710, Nilai terkecil adalah -12710, jika
dengan menggunakan representasi 8-bit.
Two’s complement
 Cara mengubah bilangan bertanda decimal menjadi
bilangan biner dengan Two’s complement adalah
dengan Bit paling kiri merupakan tanda (0 = positive, 1
= negative). Bilangan Two’s complement Diperoleh
dengan cara membalik setiap bit ( 0  1, dan 1  0 )
kemudian ditambah 1.
Contoh
 Contoh
+2510 =
0
0
0
1
1
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
(One’s Complement)
1
+
-2510 =
1
1
1
0
0
1
1
1
(Two’s Complement)
 Note:
 2 representasi dari nilai 0:
+0 = 000000002
-0 = 000000002
 Nilai terbesar adalah +12710, Nilai terkecil adalah -12810, menggunakan
representasi 8-bit.
Excess Representation
 Cara mengubah bilangan bertanda decimal menjadi
bilangan biner dengan Two’s complement adalah
dengan Bit paling kiri adalah tanda (biasanya 1 =
positive, 0 = negative). Representasi positif dan negatif
dari suatu bilangan diperoleh dengan menambahkan
bias ke representasi two’s complement. Contoh(excess
128 menambahkan 128 ke versi two’s complement,
Biarkan semua carry out pada MSB) :
12 = 000011002
+1210 = 100011002
-1210 = 011101002
Excess Representation
 Didapat dari:
Bilangan biner
00001100
One’s Complement (-12)
11110011
Two’s Complement (-12)
11110100
Excess Representation (-12)
01110100
Note:
 representasi dari nilai 0:
+0 = 100000002
-0 = 100000002
 Nilai terbesar adalah +12710, Nilai terkecil adalah 12810, menggunakan representasi 8-bit.
3-Bit Signed Integer
Representations
Bilangan Pecah
 Bilangan pecahan bisa muncul dari adanya operasi
pembagian yang tidak habis dibagi. Contoh dalam desimal,
misalkan kita membagi bilangan 23 dengan 4, maka
hasilnya tidak bulat karena ada sisa, hasil bulatnya adalah 5
dan sisanya adalah 3. Untuk dituliskan dalam satu notasi
yang utuh maka dituliskan bagian bulatnya dan bagian
pecahannya yang dipisahkan oleh „titik‟ (yang biasanya
disebut titik desimal). Untuk contoh tersebut hasilnya
dituliskan 5.75 (karena ¾ = 0.75).
 Bilangan yang mempunyai nilai pecahan (misalnya
3.2575) dapat direpresentasikan dengan dua format
bilangan: fixed-point dan floating-point.
Fixed Point Numbers
 Bilangan pecahan fixed-point mempunyai jangkauan yang dibatasi
oleh jumlah digit signifikan yang digunakan untuk merepresentasikan
bilangan tersebut. Misalnya bilangan pecahan desimal sepuluh digit.
Bilangan tersebut dinyatakan dengan fixed-point, yaitu satu digit
untuk tanda, empat digit untuk angka utuh dan lima digit untuk angka
pecahan. Jangkauan bilangan tersebut adalah 0 sampai 9999 untuk
angka utuh dan 0.00001 sampai 0.99999 untuk angka pecahan,
sehingga nilai bilangan yang mungkin adalah -9999.99999 sampai
+9999.99999 dengan presisi 0.00001. Contoh bilangan tersebut yang
valid adalah -9.00102 dan 100.99998. Bilangan ±10000 tidak bisa
dinyatakan dengan sistem bilangan sepuluh digit ini. Sedangkan
bilangan 0.000005 tidak memenuhi derajat presisi yang diinginkan,
walaupun berada dalam jangkauan bilangan. Bilangan tersebut akan
dibulatkan ke 0.00000 atau 0.00001, yang berarti ada selisih sebesar
±0.000005 dari nilai yang diinginkan.
 Contoh:
 +256.75
Floating Point Numbers
 Bilangan pecahan dapat disajikan dengan 2 cara yaitu: titik
tetap (Fixed Point) dan titik-mengambang Floating Point).
Cara pertama yaitu dengan menampakkan titik desimal
pada posisi tertentu. Sedangkan cara kedua menggunakan
notasi perkalian dengan radiks yang dipangkatkan
tertentu, dengan nilai pangkat bisa positif atau negatif.
Contoh-contoh dalam desimal:
Contoh 1.
Fixed-point = +256.75
Dalam Floating Point = +0.25675 x 10(+3)
Ditulis dengan notasi = +0.25675E+3
Aritmatika Bilangan
 Pada bagian ini kita akan membahas penjumlahan dan
pengurangan biner.
Penjumlahan Bilangan Biner
 Penjumlahan biner tidak begitu beda jauh dengan




penjumlahan desimal. Seperti bilangan desimal,
bilangan biner juga dijumlahkan dengan cara yang
sama. Pertama-tama yang harus dicermati adalah
aturan pasangan digit biner berikut:
0+0=0
0+1=1
1 + 1 = 0 dan menyimpan 1
1 + 1 + 1 = 1 dengan menyimpan 1
Contoh 1
Pengurangan Bilangan Biner
 Pengurangan biner dapat dilaksanakan dengan cara




yang sama. Tapi untuk menghindarkan kebingungan
silahkan lihat Bentuk Umum pengurangan berikut:
0–0=0
1–0=0
1–1=0
0 – 1 = 1 (dengan meminjam ‘1’ dari digit disebelah
kirinya! )
Contoh
1
1
1
1
0
1
1
bilangan biner untuk 123
1
0
1
0
0
1
bilangan biner untuk 41
-
1
0
1
0
0
1
0
Desimal 82