analisis kinerja metode zero suffix dalam

ANALISIS KINERJA METODE ZERO SUFFIX DALAM
MENYELESAIKAN MASALAH TRANSPORTASI
FUZZY DAN LINIER
Tofan Adityawan1, Sapti Wahyuningsih2
Universitas Negeri Malang
E – mail : [email protected]
ABSTRAK: Salah satu masalah dalam kehidupan sehari – hari yang dapat
diselesaikan dengan Riset Operasi adalah masalah transportasi fuzzy dan linier, yaitu
suatu masalah bagaimana mengalokasikan barang yang tepat terhadap biaya agar
diperoleh biaya pendistribusian yang minimum. Salah satu metode yang digunakan
untuk menyelesaikan masalah transportasi fuzzy dan linier adalah metode
Terkecil – MODI yaitu melalui dua tahap pengerjaan, tahap pertama dikerjakan
dengan metode
Terkecil sebagai metode pencari solusi awal. Tahap kedua
dikerjakan dengan menggunakan metode MODI untuk menguji keoptimuman dari
solusi awal, sehingga dapat diperoleh hasil yang optimum. Pada pengerjaan dengan
metode
Terkecil – MODI terdapat suatu kasus yaitu pembuatan lintasan tertutup
secara berulang – ulang untuk mendapatkan solusi yang optimum, sehingga
membutuhkan waktu pengerjaan yang lama. Hal inilah yang mendasari adanya
metode penyelesaian masalah transportasi fuzzy dan linier yaitu metode Zero Suffix
untuk mengatasi kasus tersebut.
Metode Zero Suffix dimulai dengan pengurangan biaya di dalam tablo baris
dengan biaya yang paling minimum pada baris, kemudian dilanjutkan pengurangan
biaya di dalam tablo kolom dengan biaya paling minimum pada kolom. Selanjutnya
mencari suffix value dari masing – masing kolom, dengan memilih suffix value
terbesar. Dilanjutkan memilih biaya nol pada tablo transportasi lalu memilih
minimum dari permintaan dan persediaan dilanjutkan mengalokasikannya ke dalam
tablo. Pencarian suffix value ini tetap berlanjut sampai semua baris dan kolom jenuh.
Dengan demikian untuk menyelesaikan masalah transportasi fuzzy dan linier
dengan menggunakan metode
Terkecil – MODI jika terdapat kasus pembuatan
lintasan tertutup secara berulang – ulang dapat digunakan metode Zero Suffix.
Kata kunci: Masalah Transportasi Fuzzy dan Linier, Metode Zero Suffix, Lintasan
Tertutup.
Riset operasi adalah salah satu cabang matematika yang sering diterapkan
dalam kehidupan sehari – hari. Masalah dalam riset operasi biasanya
dimodelkan ke dalam suatu tablo, yang berisi kapasitas permintaan, kapasitas
persediaan, biaya per unit barang dari sumber ke tujuan, banyaknya tujuan dan
banyaknya sumber. Pada umumnya tablo ini digunakan untuk mengatasi
masalah pengiriman barang dari beberapa sumber ke beberapa tujuan dengan
biaya yang seminimal mungkin agar memperoleh laba maksimum. Masalah
seperti ini dalam riset operasi disebut sebagai masalah transportasi. Masalah
transportasi dibedakan menjadi dua macam yaitu masalah transportasi linier
dan masalah transportasi fuzzy, ada banyak metode yang dapat digunakan
untuk menyelesaikannya, salah satunya dengan metode
Terkecil – MODI.
Pada penyelesaian masalah dengan menggunakan metode
Terkecil –
MODI jika terjadi pembuatan lintasan tertutup secara berulang – ulang akan
memperlama pengerjaan dalam menentukan solusi yang optimum.
Permasalahan seperti ini berdasarkan ( Fegade, 2012 ) dapat diselesaikan
dengan metode alternatif yaitu metode Zero Suffix.
1.
2.
Tofan Adityawan adalah mahasiswa jurusan Matematika FMIPA Universitas Negeri Malang
Sapti Wahyuningsih adalah dosen jurusan Matematika FMIPA Universitas Negeri Malang
Metode Zero Suffix dimulai dengan pengurangan biaya di dalam tablo
baris dengan biaya yang paling minimum pada baris, kemudian dilanjutkan
pengurangan biaya di dalam tablo kolom dengan biaya paling minimum pada
kolom. Selanjutnya mencari suffix value dari masing – masing kolom, dengan
memilih suffix value terbesar. Dilanjutkan memilih biaya nol pada tablo
transportasi lalu memilih minimum dari permintaan dan persediaan
dilanjutkan mengalokasikannya ke dalam tablo. Pencarian suffix value ini
tetap berlanjut sampai semua baris dan kolom sudah jenuh.
PEMBAHASAN HASIL YANG DIKERJAKAN
Secara umum masalah transportasi linier dapat dimodelkan sebagai berikut.
Mencari pengalokasian xij yang tepat terhadap biaya sehingga mendapatkan biaya
pendistribusian yang optimum.
Fungsi tujuan dari masalah transportasi linier adalah sebagai berikut,
m
n
i
j
f   cij xij  c11 x11  ......  cmn xmn
(B. Susanta, 1993 : 200)
Pemodelan masalah transportasi linier dapat dilihat sebagai berikut,
Tablo 2.1 Gambaran umum masalah transportasi
Tujuan
cm1
bj
cm2
xm2
b1
b2
Keterangan :
Si : Sumber ke i
, i  1, 2,..., m
D j : Tujuan ke j
, j  1, 2,..., n
ai : Persediaan ke i
b j : Permintaan ke j
…..
…..
…
…
…
c1n
x1n
…
cmn
xmn
bn
, i  1, 2,..., m
, j  1, 2,..., n
cij : Biaya transportasi per unit barang dari asal i ke tujuan j , i  1, 2,..., m
, j  1, 2,..., n
xij : Banyak unit barang yang diangkut dari asal i ke tujuan j , i  1, 2,..., m
, j  1, 2,..., n
a1
…..
…
…..
ai
Dn
…..
xm1
…
c12
x12
…..
…..
Sm
……
D2
c11
x11
…..
S1
D1
…..
Sumber
am
Masalah Transportasi Seimbang
Suatu masalah transportasi dikatakan seimbang apabila jumlah penawaran
dari beberapa sumber sama dengan jumlah permintaan atas beberapa tempat
tujuan, yaitu
m
n
i
j
 bi   a j
(B. Susanta, 1993 : 202)
Masalah Transportasi Tidak Seimbang
Masalah transportasi yang sering dibahas adalah masalah transportasi
seimbang, dimana persediaan sama dengan permintaan. Namun kenyataannya,
kasus seimbang sangat jarang dan yang sering ditemui adalah kasus tak seimbang,
dimana persediaan lebih besar dari permintaan atau sebaliknya yaitu sebagai
berikut.
m
n
 bi   a j
i
j
m
n
b   a
i
i
j
(B. Susanta, 1993 : 202)
j
Bilangan Fuzzy
Bilangan fuzzy adalah perluasan dari bilangan real, dalam arti bahwa itu
tidak mengacu pada suatu nilai tunggal melainkan pada suatu nilai tunggal yang
mungkin berhubungan, dimana setiap nilai kemungkinan memiliki bobot sendiri
antara 0 sampai 1. Bobot ini disebut dengan sebagai fungsi keanggotaan,
dinotasikan dengan  dan tertutup pada R dengan interval tertutup  0,1
(S. Narayanamoorty, 2013 : 72). Dengan demikian bilangan fuzzy adalah suatu
bilangan yang memiliki nilai keanggotaan 1 jika bilangannya termasuk dalam
anggota penuh dan bernilai 0 jika bilangannya tidak termasuk pada anggota.
Operasi Bilangan Fuzzy
Definisi 1
Misalkan A   a, b, c  dan B   d , e, f  adalah dua bilangan fuzzy triangular atau
bilangan fuzzy segitiga Maka,
1. A  B   a, b, c    d , e, f    a  d , b  e, c  f 
2. AB   a, b, c    d , e, f    a  d , b  e, c  f 
(Basirzadeh, 2011 : 1559)
Definisi 2
Misalkan A   a, b, c, d  dan B   e, f , g , h  adalah dua bilangan fuzzy trapezoidal
atau bilangan fuzzy trapesium. Maka,
1. A  B   a, b, c, d    e, f , g , h    a  e, b  f , c  g , d  h 
2. AB   a, b, c, d    e, f , g , h    a  h, b  g , c  f , d  e 
(Basirzadeh, 2011 : 1559)
Pemodelan Masalah Transportasi Fuzzy
Untuk menyelesaikan masalah transportasi fuzzy, maka harus dimodelkan
dulu ke dalam suatu tablo, adapun fungsi tujuan dari masalah transportasi fuzzy
adalah meminimumkan
m
n
z   cij xij
i 1 j 1
Dengan,
n
x
j 1
ij
m
x
i 1
ij
 ai
i  1,..., m
 bj
j 1,..., n
xij  0
i  1,..., m
j  1,..., n
,
(Pandian, 2010 : 1826)
Tablo untuk masalah transportasi fuzzy, dapat diihat di bawah ini
…
…
…
…
Sumber
Tablo 2.2 Masalah transportasi fuzzy
Tujuan
1
…………..
n
Persediaan
c11 …………..
c1n
a1
1
M
cml
…………..
cmn
am
Permintaan
b1
…………..
bn
Keterangan :
m  jumlah dari titik persediaan ;
n  jumlah dari titik permintaan ;
xij  jumlah tidak pasti dari unit barang yang dikirimkan dari
titik persediaan i ke titik permintaan j. i  1, 2,..., m
, j  1, 2,..., n
cij  biaya tidak pasti per unnit barang yang didistribusikan dari
titik persediaan i ke titik permintaan j;
i  1, 2,..., m
, j  1, 2,..., n
ai  persediaan tidak pasti pada titik persediaan ke i , i  1, 2,..., m
b j  permintaan tidak pasti pada permintaan ke j
(Pandian, 2010 : 1827)
, j  1, 2,..., n
Definisi 3
Suatu himpunan dari alokasi xij yang memenuhi baris dan kolom ekuivalen
merupakan solusi feasible fuzzy. (Mohanaselvi, 2012 : 371)
Definisi 4
Suatu solusi feasible fuzzy untuk masalah transportasi fuzzy dengan m sebagai
sumber dan n sebagai tujuan dikatakan solusi feasible dasar fuzzy jika jumlah
alokasinya (m  n  1) . Jika jumlah alokasi pada solusi dasar fuzzy kurang dari
(m  n  1) , ini disebut sebagai solusi feasible dasar fuzzy yang merosot.
(Mohanaselvi, 2012 : 371)
Definisi 5
Suatu solusi feasible fuzzy dikatakan solusi fuzzy yang optimal jika total biaya
transportasi fuzzy minimum. (Mohanaselvi, 2012 : 371)
Teorema 1 (Eksistensi dari solusi feasible fuzzy)
Kondisi syarat perlu dan syarat cukup untuk eksistensi dari solusi feasible fuzzy,
untuk masalah transportasi fuzzy adalah
m
n
i 1
j i
 ai   b j
Bukti :
(Kondisi syarat perlu)
Misalkan terdapat solusi feasible fuzzy untuk masalah transportasi fuzzy yang
diberikan seperti pada penjelasan sebelumnya,
m
Maka
n
 x
i 1 j 1
ij
n
m
 ai dan  xij  b j , sehingga diperoleh
j 1 i 1
m
n
 a  b
i 1
i
j 1
j
(Kondisi syarat cukup)
Misal diasumsikan bahwa
m
n
i 1
j 1
 ai   b j . Lalu distribusikan persediaan pada
sumber ke dengan proporsinya ke permintaan dari semua tujuan.
Misalkan xij  i b j , dimana i adalah faktor proporsional dari sumber ke .
Karena persediaan harus didistribusikan secara keseluruhan.
m
n
i 1
j 1
Diperoleh  xij  i  b j ,
Oleh karena itu
xij  i b j 
ai
b
j 1
Didapatkan
b j dengan i 
n
n
n
j 1
j 1
j
 xij  i  b j 
ai
n
b
j 1
n
ai
b
n
b
j 1
j 1
j
j
 ai
j
n
x
Dapat disimpulkan
ij
j 1
 ai
m
Demikian juga dengan
 xij 
j 1
bj
m
a
i 1
m
Dapat disimpulkan
x
j 1
ij
m
a
i 1
i
 bj
i
b j
(Mohanaselvi, 2012 : 371)
Metode Pendekatan untuk Menyelesaikan Masalah Transportasi Fuzzy
Dalam menyelesaikan permasalahan transportasi fuzzy, tablo fuzzy harus
diubah terlebih dahulu ke bentuk linier agar lebih mudah dalam pengerjaannya.
Adapun metode untuk mengubah tablo masalah transportasi fuzzy ke tablo
permasalahan transportasi linier, adalah sebagai berikut.
a. Metode “ New Approach”
Untuk bilangan fuzzy triangular, gambar grafiknya sebagai berikut
1
0,5
0
c
b
a
Gambar 3.2.3.1 Bilangan fuzzy triangular
Ditentukan dengan rumus,
1
M Tri (Q)   2a  b  c 
4
Keterangan :
M Tri (Q) : Pendekatan nilai yang pasti untuk himpunan fuzzy triangular Q,
Q dapat berupa himpunan permintaan fuzzy, himpunan persediaan fuzzy
atau himpunan biaya fuzzy
a, b, c
: Sembarang bilangan real dengan M Tri (Q)  0
(Bazirzadeh, 2011 : 1557)
Untuk bilangan fuzzy trapezoidal, gambarnya sebagai berikut,
1
0,5
0
a
c
d
b
Gambar 3.2.3.2 Bilangan fuzzy trapezoidal
Ditentukan dengan rumus,
1
M Tra (Q)   a  b  c  d 
4
Keterangan :
M Tra (Q) : Pendekatan nilai yang pasti untuk himpunan fuzzy trapezoidal Q,
Q dapat berupa himpunan permintaan fuzzy, himpunan persediaan fuzzy
atau himpunan biaya fuzzy
a, b, c, d : Sembarang bilangan real dengan M Tra (Q)  0
(Bazirzadeh, 2011 : 1558)
b. Metode Robust Ranking
Jika Q adalah bilangan fuzzy, maka Robust Ranking dapat didefinisikan
sebagai berikut,
1
R(Q)   (0,5)( L, U )d
0
Keterangan :
R  Q  : Robust Ranking untuk himpunan fuzzy triangular Q .
Q dapat berupa himpunan permintaan fuzzy, himpunan persediaan
fuzzy, atau himpunan biaya fuzzy
1

: integral dengan batas 0 sampai 1
0
(0,5) : nilai tengah dari interval  0,1
( L,U ) : Perhitungan batas atas dan batas bawah dari himpunan fuzzy Q
Misalkan terdapat himpunan permintaan fuzzy, himpunan persediaan fuzzy
atau himpunan biaya fuzzy triangular dengan Q  (a, b, c) triangular, maka
( L,U )   b  a    a, c   c  b   . (Fegade, 2012 : 37)
Metode Zero Suffix
Metode Zero Suffix adalah salah satu metode optimalisasi masalah
transportasi yang langsung menguji keoptimuman dari tablo transportasi tanpa
harus menentukan solusi awal. Jadi untuk mendapatkan solusi yang optimum,
metode Zero Suffix tidak perlu menggunakan metode lain lagi seperti MODI atau
Stepping Stone.
Langkah – langkah metode Zero Suffix :
1. Menyusun tablo transportasi untuk masalah transportasi yang diberikan.
2. Kurangi entri biaya setiap baris pada tablo transportasi dengan Cij masing –
masing baris yang paling minimum dan setelah dihasilkan tablo yang baru
atau tereduksi, lanjutkan dengan mengurangi entri biaya setiap kolom dari
tablo transportasi yang dihasilkan dengan Cij dari kolom yang paling
minimum.
3. Dalam tablo biaya yang telah dikurangi akan ada setidaknya biaya bernilai 0
di setiap baris atau kolom, kemudian cari suffix value. Suffix value
dinotasikan dengan S , yaitu,
S adalah himpunan penambahan biaya yang berdekatan paling dekat dengan
biaya yang bernilai 0 dari kolom tablo transportasi.
4. Pilih maksimum dari S , jika memiliki satu nilai maksimum. Jika memiliki
dua atau lebih biaya yang bernilai sama maka pilih salah satu dan cari biaya
yang bernilai 0 pada kolom suffix value yang terbesar, jika tidak ada biaya
bernilai 0 maka pilih biaya yang ada atau tersisa lalu pada biaya itu menjadi
alokasi barang dengan memperhatikan permintaan dan persediaan.
5. Setelah langkah 4, pilih minimum ai , b j  lalu alokasikan ke dalam tablo
transportasi. Tablo yang dihasilkan harus memiliki setidaknya satu biaya
bernilai 0 pada setiap baris atau kolom, selain itu ulangi langkah 2.
6. Ulangi langkah 3 sampai langkah 5 hingga diperoleh biaya yang optimum.
Pada kolom atau baris yang sudah jenuh memiliki suffix value 0.
(Hasan, 2012 : 48)
Contoh masalah transportasi linier
Tablo 3.1 Masalah transportasi linier
TUJUAN
P
GUDANG
Q
R
S
A
2
3
4
1
400
B
1
5
6
2
300
C
0
3
1
4
200
150
500
200
50
900
SUMBER
PABRIK
PERMINTAAN
PERSEDIAAN
Dengan dikerjakan menggunakan metode Zero Suffix diperoleh hasil sebagai
berikut.
P
Q
2
A
B
1
150
400
100
0
C
bj
R
3
4
5
6
3
150
500
1
2
50
1
200
ai
S
4
200
50
400
300
200
900
Jadi diperoleh biaya yang minimum sebagai berikut,
f min  (400  3)  (150  1)  (100  5)  (50  2)  (200  1)
 1.200  150  500  100  200
 2.150
Contoh Masalah transportasi fuzzy
Tabel 3.2 Permasalahan transportasi fuzzy yang disederhanakan
P
(-2,3,8)
(4,9,16)
(2,7,13)
(1,4,7)
A
B
C
bj
Q
(-2,3,8)
(4,8,12)
(0,5,10)
(0,3,5)
R
(-2,3,8)
(2,5,8)
(0,5,10)
(1,4,7)
S
(-1,1,4)
(1,4,7)
(4,8,12)
(2,4,8)
ai
(0,3,6)
(2,7,13)
(2,5,8)
(4,15,27)
Setelah dikerjakan dengan metode pendekatan Robust Ranking dan metode Zero
Suffix didapatkan hasil sebagai berikut
P
A
3
B
C
bj
Q
3
3
10
8
7,5
1
4
R
5
2,5
2,5
3
5
2,5
1,5
4
5
5
1,5
4
ai
S
8
5
3
7,5
5
15,5
Didapatkan solusi dengan biaya transportasi yang minimum sebagai berikut.
f min  (3  3)  (2,5  5.)  (5  4)  (1  7,5)  (2,5  5)  (1,5  5)
 9  12,5  20  7,5  12,5  7,5
 69
Untuk tablo transportasi fuzzynya sebagai berikut,
P
A
(0,3,6)
B
C
bj
(1,1,1)
(-2,3,8)
Q
(-2,3,8)
(4,9,16)
(4,8,12)
(2,7,13)
(1,4,7)
(0,3,5)
(0,5,10)
(0,3,5)
R
(-2,3,8)
(0,3,5)
(1,1,2)
(2,5,8)
(0,5,10)
(1,4,7)
ai
S
(-1,1,4)
(2,4,8)
(1,4,7)
(0,3,6)
(2,7,13)
(4,8,12)
(2,4,8)
(2,5,8)
(4,15,27)
PENUTUP
Kesimpulan
Berdasarkan pembahasan diperoleh kesimpulan bahwa
1. Metode Zero Suffix merupakan salah satu metode optimalisasi untuk
mencari pengalokasian barang yang tepat sehingga total biaya pengiriman
menjadi minimum dengan menerapkan suffix value pada masalah
transportasi fuzzy dan linier yaitu suatu masalah transportasi dimana
biaya, permintaan, persediaan nominalnya terletak antara selang tertentu
sehingga mengakibatkan ketidakpastian dalam menentukan nominal yang
pasti. Sedangkan untuk masalah transportasi linier, permintaan,
persediaan, biaya nominalnya jelas.
2. Pada penerapan metode Zero Suffix untuk masalah transportasi fuzzy,
tablo transportasi fuzzy diubah terlebih dahulu ke dalam transportasi linier
dengan menggunakan Robust Ranking atau New Approach, sedangkan
untuk masalah transportasi linier dapat langsung dikerjakan dengan
metode dasar dan metode optimalisasi. Pada penyelesaian masalah
transportasi metode Zero Suffix ini dapat menjadi alternatif penyelesaian
pada kasus pembuatan lintasan tertutup secara berulang – ulang pada
metode Cij terkecil – MODI karena metode ini akan langsung mencari
suffix value yang selanjutnya dibuat acuan untuk pengalokasian tablo.
Saran
Saran yang dapat diberikan setelah diuraikan penjelasan mengenai metode
Zero Suffix adalah apabila pada saat penyelesaian masalah transportasi fuzzy
atau linier terdapat pembuatan lintasan tertutup secara berulang – ulang yaitu
pada metode Cij terkecil – MODI, maka kasus tersebut dapat diselesaikan
dengan menggunakan metode Zero Suffix.
DAFTAR PUSTAKA
Bazirzadeh, Hadi.’ An Approach for Solving Fuzzy Transportation Problem’,
Applied Mathematical Sciences, (2011), Vol 5, No 32, Page 1549 –
1566.
Fegade, M.R, Jadhav, V.A, Muley A.A. ‘Solving Fuzzy Transportation
Problemusing Zero Suffix and Robust Ranking Methodology’,IOSR
Journal of Engineering, (2012), Vol 2, Page 36 – 39.
Hasan , M.K. ‘ Direct Method for Finding Optimal Solution of a Transportation
Problem are not Always Reliable’, Internatonal Refereed Journal of
Engineering and Science, (2012), Vol 1, Page 46 – 52.
Mohanaselvi, S. ‘Fuzzy Optimal Solution to Fuzzy Transportation Problem: A
New Approach’, International Journal on Computer Science and
Engineering, (2012), Vol 4, No 03, Page 367 – 375.
Narayanamoorthy,S., Saranya,S. and Maheswari,S. ‘A Method for Solving Fuzzy
Transportation Problem (FTP) using Fuzzy Russell’s Method’,
International Journal of Intelegent System and Applications, (2013),
Vol 02, Page 71 – 75.
P, Pandian and Natarajan, G. ‘A New Method for Finding an Optimal Solution of
Fully Intervel Integer Transportation Problems’, Applied Mathematical
Sciences, (2010), Vol 04, No 37, Page 1819 – 1830.
Susanta, B. 1993.Program Linier. Jakarta. Departeman Pendidikan dan
Kebudayaan Direktorat Jenderal Pendidikan Tinggi.