materi : operasi bilangan a) menyelesaikan masalah

MATERI : OPERASI BILANGAN
A) MENYELESAIKAN MASALAH YANG TERKAIT DENGAN
PERBANDINGAN BERBALIK NILAI
B) MENERAPKAN OPERASI PADA BILANGAN IRASIONAL
C) MENERAPKAN KONSEP LOGARITMA
Oleh :
Hartono
Materi disampaikan pada Pelatihan SMK Model
(Seni-Pariwisata-Bisnis/Non Teknik)
Yogyakarta
2010
Kompetensi
Kompetensi yang diharapkan dicapai oleh para peserta setelah membaca modul ini dan
mengikuti pelatihan adalah mampu :
1. memahami konsep perbandingan berbalik nilai dan skala serta mampu
menerapkannya pada permasalahan terkait
2. memahami operasi pada bilangan irasional
3. memahami konsep logaritma dan sifat-sifatnya serta mampu menerapkan konsep
logaritma pada permasalahan terkait
Indikator
Indikator yang digunakan untuk melihat capaian kompetensi para peserta adalah peserta
mampu :
1. Menjelaskan konsep perbandingan berbalik nilai
2. Menerapkan konsep perbandingan berbalik nilai pada permasalahan terkait
3. Menerapkan konsep skala pada permasalahan terkait
4. Menyederhanakan bentuk akar
5. Merasionalkan penyebut yang berbentuk irasional
6. Menjelaskan sifat-sifat logaritma
7. Menerapkan sifat-sifat logaritma untuk menghitung nilai dari bentuk logaritma
Perbandingan berbalik nilai
Perbandingan berbalik nilai adalah perbandingan dari dua buah besaran (sesuatu yang dapat
diukur) yang nilainya selalu berkebalikan yakni apabila satu besaran membesar nilainya
maka besaran yang lain nilainya mengecil. Sebagai contoh si Fulan berangkat ke sekolah naik
motor lintasan yang dilewati setiap harinya tetap (artinya jarak dari rumah ke sekolah tetap).
Apabila kecepatan rata-rata naik sepeda motor dinaikkan (kecepatan rata-rata bertambah
besar nilainya) maka waktu tempuh yang diperlukan semakin kecil/singkat (semakin cepat
sampai di sekolah). Namun apabila kecepatan rata-rata sepeda motor dikurangi (kecepatan
rata-ratanya kecil) maka waktu tempuh yang diperlukan semakin lama ( waktu tempuhnya
semakin besar). Dalam hal ini kecepatan rata rata dan waktu tempuh merupakan dua besaran
yang perbandingannya berbalik nilai yakni apabila kecepatan rata-rata membesar maka waktu
yang diperlukan mengecil dan sebaliknya apabila kecepatan rata-rata mengecil maka waktu
yang diperlukan membesar.
Contoh yang lain, untuk membangun sebuah rumah dengan 45 tenaga kerja diperlukan waktu
24 hari, apabila pemborongnya ingin menyelesaikannya dalam waktu 18 hari maka berapa
banyak pekerja yang dibutuhkan? Dalam hal ini ada dua besaran yaitu banyaknya pekerja dan
waktu untuk menyelesaikan pembangunan, dua besaran tersebut perbandingannya berbalik
nilai yakni manakala banyaknya pekerja semakin besar (banyak) maka waktu yang digunakan
untuk menyelesaikan semakin kecil (pendek/cepat) dan sebaliknya.
Skala
Skala biasanya dipakai pada peta ataupun denah rumah. Skala dituliskan dalam bentuk
perbandingan yang menggambarkan perbandingan antara ukuran (panjang) pada peta atau
denah dengan ukuran (panjang) yang sebenarnya (keadaan riel). Bentuk standarnya dituliskan
dalam perbandingan
1:k
artinya satu satuan panjang di peta sama dengan k kali satuan panjang pada keadaan
sebenarnya. Sebagai contoh pada peta tertuliskan skala 1 : 100.000, ini berarti 1 cm pada peta
menggambarkan 100.000 cm pada keadaan sebenarnya. Jadi panjang pada keadaan
sebenarnya sebesar 100.000 cm = 1000 m = 1 km. Dengan kata lain 1 cm pada peta sama
dengan 1 km pada keadaan sebenarnya.
Penting diperhatikan disini bahwa skala di sini hanya satu dimensi yakni hanya dimensi
panjang saja. Sehingga untuk menghitung luas harus hati-hati.
Contoh 1 : (UN SMK 2005/2006) Sebuah ruangan berbentuk persegipanjang digambar
dengan skala 1 : 300 panjang 4 cm dan lebar 2 cm, maka luas ruangan sebenarnya adalah ......
Jawab : Skala 1 : 300 berarti 1 cm pada denah sama dengan 300 cm pada keadaan
sebenarnya. Jadi 1 cm sama dengan 300 cm = 3 m keadaan sebenarnya. Sehingga panjang
ruangan sebenarnya 4 x 3 m = 12 m dan lebarnya 2 x 3 m = 6 m. Jadi luas ruangan
sebenarnya adalah 12 m x 6 m = 72 m2.
HATI – HATI !!!. KESALAHAN YANG SERING TERJADI ADALAH LUAS
PERSEGI PANJANG PADA GAMBAR ADALAH 4 cm X 2cm = 8 cm2. KARENA
SKALA 1 : 300 MAKA LUAS RUANGAN SEBENARNYA ADALAH 300 X 8 cm2=
2400 cm2
Bentuk akar
Yang dimaksudkan dengan bentuk akar pada modul ini adalah a dengan a suatu bilangan
bulat positip. Beberapa sifat yang berkaitan dengan bentuk akar adalah
a2  a ,
ab  a
b dan
a

b
a
b
Bentuk akar ada yang dapat disederhanakan dan ada yang tidak. Sebagai contoh perhatikan
bentuk-bentuk akar berikut
12  4  3  4 3  2 2 3  2 3
18  9  2  9 2  32 2  3 2
27  9  3  9 3  32 3  3 3
2 , 3 , 5 , 17
Keempat buah bentuk akar yang terakhir dikatakan bentuk-bentuk akar sederhana sedangkan
bentuk-bentuk akar 12 , 18 , 27 dikatakan bukan bentuk akar sederhana karena masingmasing dapat dituliskan dalam bentuk 2 3 , 3 2 dan 3 3.
Untuk menyederhanakan bentuk akar diperlukan pengertian tentang faktorisasi prima dari
suatu bilangan bulat positip. Bilangan prima adalah bilangan bulat positip yang mempunyai
tepat dua faktor yang berbeda yakni bilangan 1 dan bilangan itu sendiri, sebagai contoh 2, 3,
5, 17, 23 dan lain lain. Bilangan bulat positip lebih besar dari 1 dan bukan bilangan prima
disebut bilangan komposit. Berikut ini adalah suatu teorema yang fundamental pada teori
bilangan :
Setiap bilangan komposit selalu dapat dinyatakan sebagai hasil kali dari bilangan-bilangan
prima secara tunggal, kecuali hanya berbeda urutannya.
Apabila hasil faktorisasi prima dari bilangan a memuat dua atau lebih faktor yang sama maka
bentuk akar a dapat disederhanakan, dan apabila tidak ada faktor yang sama pada hasil
faktorisasi primanya maka a tidak dapat disederhanakan.
Pada dasarnya bentuk akar a merupakan bilangan irasional kecuali a dapat dinyatakan ke
dalam bentuk b2 dengan b suatu bilangan bulat positip, maka a merupakan bilangan bulat
positip. Bilangan irasional adalah bilangan yang tidak dapat dinyatakan sebagai hasil bagi
dari dua bilangan bulat atau apabila dinyatakan ke dalam bentuk desimal maka banyaknya
digit takhingga dan tidak mempunyai pola.
Lebih lanjut, 12 dan 27 dikatakan sejenis karena masing-masing dapat disederhanakan
ke bentuk 2 3 dan 3 3 . Sehingga
12  27  2 3  3 3  5 3 dan 12  27  2 3  3 3   3 .
Tetapi 12 dan 18 dikatakan tidak sejenis karena bentuk sederhananya dalam bentuk
dan 3 . Sebagai latihan perhatikan contoh berikut ini.
Contoh 2: (UN SMK 2009/2010) p  6  3 27
2
dan q  4  12 maka nilai p+q adalah ....
Seperti contoh di atas, bentuk akar dapat digabungkan dengan bilangan rasional yakni
secara umum dapat dituliskan dalam bentuk a  b c dengan a dan b bilangan bulat tetapi c
merupakan bilangan bulat positip. Selanjutnya bentuk a  b c dikatakan sebagai kawan dari
a  b c atau sebaliknya. Hasilkalinya sebagai berikut
(a  b c )  (a  b c )  a 2  b 2 c . Sehingga hasilnya merupakan bilangan rasional. Dengan
demikian apabila kita mempunyai pecahan dengan penyebut irasional yang berbentuk akar,
maka penyebutnya bisa dibuat menjadi rasional dengan cara mengalikan penyebut maupun
pembilangnya dengan kawan dari penyebutnya.
1 2
Contoh 3: (UN SMK 2008/2009) Bentuk sederhana dari
adalah ....
1 2
Jawab : Penyebutnya merupakan bilangan irasional yakni 1 2 sehingga kawannya adalah
1 2 . Apabila pecahan tersebut baik pembilang maupun penyebutnya dikalikan dengan
1 2 maka tidak merubah dari nilai pecahan tersebut (merupakan pecahan senilai) yakni
1 2 1 2 1 2 2  2 3  2 2



 3  2 2 .
1 2
1
1 2 1 2
Jadi bentuk sederhananya adalah  3  2 2 .
Logaritma
Pembahasan pada modul ini, semesta pembicaraan dibatasi pada himpunan semua bilangan
riel.
Logaritma merupakan kebalikan dari perpangkatan. Untuk itu, sebelum membahas tentang
logaritma perlu melakukan reviu mengenai perpangkatan dan sifat-sifatnya.
Definisi 1 : Misalkan m dan n adalah bilangan-bilangan asli dan a adalah bilangan riel positip
yang tidak sama dengan 1.
a 
a
(1) a m  a



m faktor
1
(2) a m  m
a
(3) a o  1, a 1  a .
Berdasarkan definisi di atas dapat diturunkan beberapa sifat seperti berikut ini :
Untuk bilangan-bilangan asli m dan n berlaku
(1.1) a m  a n  a m n
am
 a mn
n
a
(1.3) (a m ) n  a mn
(1.2)
(1.4) (ab) n  a n b n
a
an
(1.5) ( ) n  n
b
b
Contoh 4 : Ada berapa digit hasil dari 413  5 27 ? Jawab : 27 digit.
Selanjutnya perhatikan persamaan berikut ini
a x  c dengan a  0 dan a  1.
Apabila solusinya ada, maka solusinya adalah suatu bilangan riel yang dinotasikan dengan
a
log c ( logaritma dari c dengan bilangan pokok a ) atau dituliskan x  a log c . (Kapan
solusinya ada? Sehingga bentuk a log c akan bermakna manakala ........)
Secara umum didefinisikan sebagai berikut :
Definisi 2 : ab  c  b  a log c dengan a  0 dan a  1 .
Sifat-sifat yang dapat diturunkan berdasarkan definisi di atas adalah :
a log c
(2.1) a
c
(2.2) a log a b  b
(2.3) a log a  1
(2.4) a log 1  0
(2.5)
am
log a n 
n
m
(2.6) a log xy  a log x  a log y
(2.6a) a log b n  n a log b
x
(2.7) a log  a log x  a log y
y
(2.8) a log b 
p
p
log b
log a
dengan p  0 dan p  1
Catatan : Logaritma dengan bilangan pokok e yakni e log x dituliskan ln x ( logaritma
natural ). Bilangan e adalah bilangan irasional yang didefinisikan sebagai hasil limit dari
(1  1n ) n untuk n   .
81
log 3 3 . Bentuk ini dapat dituliskan sebagai
3
3
Sehingga berdasarkan sifat (2.5) hasilnya 2  .
4 8
Contoh 5: Hitunglah
34
3
log 3 2 .
Contoh 6: (UN SMK 2009/2010) Nilai 2 log 12  2 log 6  2 2 log 2 adalah .....
Contoh 7: (UN SMK 2005/2006) Jika 7 log 2  p, 7 log 3  q, 7 log 5  r maka
7
log 150  .....
Contoh 8: (UN SMK 2008/2009) 3 log 5  m dan 3 log 2  n
maka 4 log 45 adalah .....
Contoh 9: Jika 2 log 3  a , nyatakan 27 log 32 dalam bentuk a.
Berdasarkan sifat (2.8) , (2.2) dan (2.6a) dapat ditulis
2
27
log 32 2 log 2 5
5
5
.
log 32  2
 2
 2

3
log 27
log 3
3 log 3 3a
Jadi
27
log 32 
5
.
3a
Contoh 10: (UM UGM )Jika 2 x  a dan 2 y  b dengan x, y  0 maka
2x  3y
dapat
x  2y
dituliskan
dalam bentuk 1 
2
2
log ab
(penjabarannya sebagai latihan)
log ab 2
Daftar Pustaka
Purcell, E. J. and Varberg, D (1987), Kalkulus dan Geometri Analitis, terjemahan
edisi ke-5, Jakarta : Erlangga
Forbes, J. E. and Eicholz, R. E. (1971) Mathematics for Elementary Teachers, Massachusetts
: Addison-Wesley Publishing Company
Marsigit (2006) Mathematics for Junior High School, Jakarta : Yudhistira
Sartono Wirodikromo (2000), Matematika 2000 untuk SMU, Jakarta : Erlangga