MA3231 Analisis Real

MA3231 Analisis Real
Hendra Gunawan*
*http://hgunawan82.wordpress.com
Analysis and Geometry Group
Bandung Institute of Technology
Bandung, INDONESIA
Program Studi S1 Matematika ITB, Semester II 2016/2017
HG* (*ITB Bandung)
MA3231 Analisis Real
29 March 2017
1 / 25
BAB 16. BARISAN FUNGSI
1
16.1 Barisan Fungsi dan Kekonvergenan Titik Demi Titik
HG* (*ITB Bandung)
MA3231 Analisis Real
29 March 2017
2 / 25
BAB 16. BARISAN FUNGSI
1
16.1 Barisan Fungsi dan Kekonvergenan Titik Demi Titik
2
16.2 Kekonvergenan Seragam
HG* (*ITB Bandung)
MA3231 Analisis Real
29 March 2017
2 / 25
BAB 16. BARISAN FUNGSI
1
16.1 Barisan Fungsi dan Kekonvergenan Titik Demi Titik
2
16.2 Kekonvergenan Seragam
3
16.3 Kriteria Cauchy untuk Kekonvergenan Seragam
HG* (*ITB Bandung)
MA3231 Analisis Real
29 March 2017
2 / 25
16.1 Barisan Fungsi dan Kekonvergenan Titik Demi Titik
Bila pada bab-bab sebelumnya kita membahas fungsi sebagai sebuah
objek individual, maka pada bab ini dan selanjutnya kita akan
membahas keluarga fungsi yang membentuk suatu barisan.
Dalam aplikasi, barisan fungsi muncul ketika kita berupaya
menghampiri sebuah fungsi dengan keluarga fungsi yang kita kenal
baik (seperti polinom).
HG* (*ITB Bandung)
MA3231 Analisis Real
29 March 2017
3 / 25
16.1 Barisan Fungsi dan Kekonvergenan Titik Demi Titik
Sebuah barisan fungsi adalah suatu pengaitan n 7→ fn , n ∈ N, yang
kita tuliskan sebagai hfn i.
Di sini fn merupakan fungsi dan untuk tiap n ∈ N kita asumsikan
bahwa fn mempunyai daerah asal yang sama, sebutlah A ⊆ R.
Seperti pada pembahasan barisan bilangan real, ketika dihadapkan
dengan sebuah barisan fungsi hfn i kita akan tertarik untuk
membahas perilaku fn ketika n → ∞.
Dalam perkataan lain, kita ingin mempelajari kekonvergenan barisan
hfn i pada A.
HG* (*ITB Bandung)
MA3231 Analisis Real
29 March 2017
4 / 25
16.1 Barisan Fungsi dan Kekonvergenan Titik Demi Titik
Mengingat bahwa untuk tiap x ∈ A, fn (x) membentuk suatu barisan
bilangan real, maka kekonvergenan barisan fungsi hfn i dapat
didefinisikan melalui kekonvergenan barisan bilangan hfn (x)i.
Bila untuk tiap x ∈ A, barisan hfn (x)i konvergen ke suatu bilangan
(yang secara umum bergantung pada x), sebutlah Lx , maka kita
peroleh sebuah fungsi f : A → R dengan f (x) = Lx .
Jadi, untuk setiap x ∈ A, kita mempunyai
fn (x) → f (x),
HG* (*ITB Bandung)
n → ∞.
MA3231 Analisis Real
29 March 2017
5 / 25
16.1 Barisan Fungsi dan Kekonvergenan Titik Demi Titik
Dalam hal ini, kita katakan bahwa hfn i konvergen titik demi titik ke
f , dan kita tuliskan
fn → f (titik demi titik),
n → ∞.
Fungsi f di sini disebut sebagai limit (titik demi titik) barisan hfn i.
HG* (*ITB Bandung)
MA3231 Analisis Real
29 March 2017
6 / 25
16.1 Barisan Fungsi dan Kekonvergenan Titik Demi Titik
Contoh 1. Misalkan untuk tiap n ∈ N kita mempunyai
fn (x) := xn ,
x ∈ [0, 1].
Maka, barisan fungsi hfn i konvergen titik demi titik ke fungsi f
dengan
0, 0 ≤ x < 1;
f (x) :=
1, x = 1.
Untuk mendapatkan gambaran tentang apa yang terjadi, gambarlah
grafik beberapa buah fungsi fn dan juga grafik fungsi f , pada sebuah
sistem koordinat yang sama.
HG* (*ITB Bandung)
MA3231 Analisis Real
29 March 2017
7 / 25
16.1 Barisan Fungsi dan Kekonvergenan Titik Demi Titik
Dalam Contoh 1 kita melihat bahwa fn kontinu pada [0, 1] untuk tiap
n ∈ N, namun f tidak kontinu pada [0, 1].
Jadi, kekonvergenan titik demi titik secara umum tidak
mempertahankan sifat kekontinuan fungsi. Padahal, dalam
aplikasinya, ini merupakan salah satu isu penting.
Oleh karena itu, dalam pembahasan berikutnya, kita akan
mempelajari jenis kekonvergenan barisan fungsi yang lebih kuat, yang
mempertahankan antara lain sifat kekontinuan fungsi.
HG* (*ITB Bandung)
MA3231 Analisis Real
29 March 2017
8 / 25
16.1 Barisan Fungsi dan Kekonvergenan Titik Demi Titik
Diberikan suatu barisan fungsi hfk i, kita mempunyai deret fungsi
∞
P
fk , yang didefinisikan sebagai limit titik demi titik dari barisan
k=1
jumlah parsial
n
P
fk , asalkan barisan jumlah parsial ini konvergen.
k=1
Jika barisan jumlah parsial tersebut konvergen titik demi titik ke
fungsi s pada A, maka s disebut sebagai jumlah deret pada A.
Dalam hal ini, kita tuliskan
∞
X
fk (x) = s(x), x ∈ A.
k=1
Secara umum, indeks k dapat berjalan mulai dari sembarang k ∈ Z.
HG* (*ITB Bandung)
MA3231 Analisis Real
29 March 2017
9 / 25
16.1 Barisan Fungsi dan Kekonvergenan Titik Demi Titik
Sebagai contoh, jika fk (x) := xk , k = 0, 1, 2, . . . , maka kita peroleh
∞
P
1
deret geometri
xk , yang konvergen ke 1−x
untuk |x| < 1 (lihat
k=0
kembali Bab 5).
Pembahasan mengenai deret fungsi, khususnya deret yang berbentuk
∞
X
an (x − c)n
n=0
akan dilakukan secara mendalam pada Bab 18.
HG* (*ITB Bandung)
MA3231 Analisis Real
29 March 2017
10 / 25
16.1 Barisan Fungsi dan Kekonvergenan Titik Demi Titik
SOAL
1
2
Tinjau barisan fungsi hfn i dengan fn (x) := xn , yang konvergen
ke 0 untuk setiap x ∈ [0, 1). Diberikan x ∈ [0, 1) dan > 0,
tentukan N ∈ N sedemikian sehingga untuk setiap n ≥ N
berlaku |fn (x) − 0| < . Apa yang terjadi dengan x = 1?
Untuk masing-masing barisan fungsi di bawah ini, tentukan
sebuah fungsi f yang merupakan limitnya (titik demi titik).
n
1
2
3
4
5
fn (x) := xn , x ∈ [0, 1].
fn (x) := nx(1 − x2 )n , x ∈ [0, 1].
fn (x) := nx , x ∈ R.
x2n
fn (x) := 1+x
2n , x ∈ R.
√nx , x > 0.
fn (x) := sin
n x
HG* (*ITB Bandung)
MA3231 Analisis Real
29 March 2017
11 / 25
16.2 Kekonvergenan Seragam
Misalkan hfn i adalah suatu barisan fungsi yang, katakanlah,
konvergen titik demi titik ke fungsi f pada A.
Dalam hal ini, diberikan x ∈ A dan > 0, terdapat N ∈ N
sedemikian sehingga untuk setiap n ≥ N berlaku |fn (x) − f (x)| < .
Secara umum bilangan N di sini bergantung pada x, selain pada .
Bila bilangan N tadi berlaku untuk tiap x ∈ A, maka hfn i dikatakan
konvergen seragam ke f pada A.
HG* (*ITB Bandung)
MA3231 Analisis Real
29 March 2017
12 / 25
16.2 Kekonvergenan Seragam
Jadi, barisan fungsi hfn i konvergen seragam ke f pada A apabila
untuk setiap > 0 terdapat N ∈ N sedemikian sehingga untuk setiap
n ≥ N dan x ∈ A berlaku
|fn (x) − f (x)| < .
Dalam hal ini kita tuliskan
fn → f (seragam),
n → ∞.
Jelas bahwa kekonvergenan seragam akan mengakibatkan
kekonvergenan titik demi titik.
(Dalam perkataan lain, kekonvergenan titik demi titik merupakan
syarat perlu untuk kekonvergenan seragam.)
HG* (*ITB Bandung)
MA3231 Analisis Real
29 March 2017
13 / 25
16.2 Kekonvergenan Seragam
Gambar 16.1 Pita dengan lebar 2 dan median grafik fungsi f
HG* (*ITB Bandung)
MA3231 Analisis Real
29 March 2017
14 / 25
16.2 Kekonvergenan Seragam
Perhatikan bahwa ketaksamaan |fn (x) − f (x)| < setara dengan
f (x) − < fn (x) < f (x) + .
Bila ini berlaku untuk setiap n ≥ N dan x ∈ A, maka grafik fungsi
fn pada A berada di antara ‘pita’ [f − , f + ] yang mempunyai
lebar 2 dan median grafik fungsi f , sebagaimana diilustrasikan
dalam Gambar 16.1.
HG* (*ITB Bandung)
MA3231 Analisis Real
29 March 2017
15 / 25
16.2 Kekonvergenan Seragam
Contoh 2. Barisan fungsi hfn i dengan fn (x) := xn , x ∈ [0, 1], tidak
konvergen seragam ke f pada [0, 1], dengan
0, 0 ≤ x < 1;
f (x) :=
1, x = 1.
Di sini, pita [f − 41 , f + 14 ] tidak akan memuat grafik fn untuk n
berapa pun.
HG* (*ITB Bandung)
MA3231 Analisis Real
29 March 2017
16 / 25
16.2 Kekonvergenan Seragam
Lemma berikut (yang merupakan negasi dari definisi kekonvergenan
seragam) dapat dipakai untuk menyelediki ketidakkonvergenan
seragam suatu barisan fungsi.
Lemma 3. Barisan fungsi hfn i tidak konvergen seragam ke fungsi f
pada A jika dan hanya jika untuk suatu 0 > 0 terdapat subbarisan
hfnk i dari hfn i dan barisan bilangan hxk i di A sedemikian sehingga
|fnk (xk ) − f (xk )| ≥ 0 .
Dengan menggunakan Lemma 3, ketidakkonvergenan seragam
barisan fungsi dalam Contoh 2 dapat dibuktikan dengan mengambil
1/k
, sehingga
0 = 14 , nk = k dan xk = 21
1
1
|fnk (xk ) − f (xk )| = − 0 = > 0 .
2
2
HG* (*ITB Bandung)
MA3231 Analisis Real
29 March 2017
17 / 25
16.2 Kekonvergenan Seragam
Ketidakkonvergenan seragam barisan dalam Contoh 2 juga dapat
dijelaskan dengan teorema di bawah ini (yang mengatakan bahwa
kekonvergenan seragam mempertahankan sifat kekontinuan).
Teorema 4. Misalkan hfn i konvergen seragam ke f pada suatu
interval I ⊆ R. Jika fn kontinu di c ∈ I untuk tiap n ∈ N, maka f
juga kontinu di c.
HG* (*ITB Bandung)
MA3231 Analisis Real
29 March 2017
18 / 25
16.2 Kekonvergenan Seragam
Bukti. Diberikan > 0, pilih N ∈ N sedmeikian sehingga untuk
setiap n ≥ N dan x ∈ I berlaku
|fn (x) − f (x)| < .
3
Karena fN kontinu di c, maka suatu interval Iδ (c) ⊆ I yang memuat
c sedemikian sehingga untuk setiap x ∈ Iδ (x) berlaku
|fN (x) − f (x)| < .
3
Jadi, untuk setiap x ∈ Iδ (c), kita mempunyai
|f (x) − f (c)| ≤ |f (x) − fN (x)| + |fN (x) − fN (c)| + |fN (c) − f (c)|
< + + = .
3 3 3
Ini membuktikan bahwa f kontinu di c.
HG* (*ITB Bandung)
MA3231 Analisis Real
29 March 2017
19 / 25
16.2 Kekonvergenan Seragam
SOAL
1
Selidiki apakah masing-masing barisan fungsi di bawah ini
konvergen seragam ke limitnya.
n
1
2
3
4
5
2
3
fn (x) := xn , x ∈ [0, 1].
fn (x) := nx(1 − x2 )n , x ∈ [0, 1].
fn (x) := nx , x ∈ R.
x2n
fn (x) := 1+x
2n , x ∈ R.
sin√nx
fn (x) := n x , x > 0.
Buktikan jika hfn i dan hgn i konvergen seragam ke f dan g pada
A (berturut-turut), maka hfn + gn i konvergen seragam ke f + g
pada A.
Misalkan fn (x) := x + n1 dan f (x) = x, x ∈ R. Buktikan bahwa
hfn i konvergen seragam ke f pada R, namun hfn2 i tidak
konvergen seragam ke f 2 pada R.
HG* (*ITB Bandung)
MA3231 Analisis Real
29 March 2017
20 / 25
16.3 Kriteria Cauchy untuk Kekonvergenan Seragam
Dalam membahas kekonvergenan seragam, seringkali kita terbantu
dengan pengertian norma seragam berikut.
Ingat bahwa untuk A ⊆ R, fungsi f : A → R dikatakan terbatas
pada A apabila f (A) merupakan himpunan terbatas.
Sekarang, jika f terbatas pada A, maka kita definisikan norma
seragam f pada A sebagai
kf kA := sup {|f (x)| : x ∈ A}.
Perhatikan bahwa kf kA < setara dengan |f (x)| < untuk tiap
x ∈ A.
HG* (*ITB Bandung)
MA3231 Analisis Real
29 March 2017
21 / 25
16.3 Kriteria Cauchy untuk Kekonvergenan Seragam
Menggunakan norma seragam, kita mempunyai lemma berikut
tentang kekonvergenan seragam.
Lemma 5. Misalkan fn terbatas pada A untuk tiap n ∈ N. Maka,
barisan hfn i konvergen seragam ke f pada A jika dan hanya jika
lim kfn − f kA = 0.
n→∞
Dengan menggunakan Lemma 5, kita juga dapat membuktikan
ketidakkonvergenan seragam barisan fungsi dalam Contoh 2, dengan
menghitung bahwa
kfn − f k[0,1] = 1
untuk tiap n ∈ N.
HG* (*ITB Bandung)
MA3231 Analisis Real
29 March 2017
22 / 25
16.3 Kriteria Cauchy untuk Kekonvergenan Seragam
Dengan menggunakan norma seragam, kita peroleh pula kriteria
berikut untuk kekonvergenan seragam suatu barisan fungsi.
Teorema 6 (Kriteria Cauchy untuk Kekonvergenan Seragam).
Misalkan fn terbatas pada A untuk tiap n ∈ N. Maka, barisan hfn i
konvergen seragam ke suatu fungsi terbatas f pada A jika dan hanya
jika untuk setiap > 0 terdapat N ∈ N sedemikian sehingga untuk
sembarang m, n ≥ N berlaku kfm − fn k < .
Bukti. Misalkan hfn i konvergen seragam ke f pada A. Diberikan
> 0 sembarang, pilih N ∈ N sedemikian sehingga untuk setiap
n ≥ N berlaku kfn − f kA < 2 . Akibatnya, jika m, n ≥ N , maka
|fm (x) − fn (x)| ≤ |fm (x) − f (x)| + |fn (x) − f (x)| <
+ =
2 2
untuk tiap x ∈ A. Jadi kfm − fn kA < untuk m, n ≥ N .
HG* (*ITB Bandung)
MA3231 Analisis Real
29 March 2017
23 / 25
16.3 Kriteria Cauchy untuk Kekonvergenan Seragam
Sebaliknya, misalkan untuk setiap > 0 terdapat N ∈ N sedemikian
sehingga untuk m, n ≥ N kita mempunyai kfm − fn kA < . Maka,
untuk setiap x ∈ A, berlaku
|fm (x) − fn (x)| ≤ kfm − fn kA < ,
untuk m, n ≥ N . Ini berarti bahwa hfn (x)i merupakan barisan
Cauchy di R, dan karenanya ia merupakan barisan yang konvergen,
katakanlah ke f (x).
Selanjutnya, untuk setiap x ∈ A, kita mempunyai
|fm (x) − f (x)| = lim |fm (x) − fn (x)| ≤ ,
n→∞
untuk m ≥ N . Ini menunjukkan bahwa hfn i konvergen seragam ke f
pada A.
HG* (*ITB Bandung)
MA3231 Analisis Real
29 March 2017
24 / 25
16.3 Kriteria Cauchy untuk Kekonvergenan Seragam
SOAL
1
Buktikan Lemma 5.
2
Misalkan hfn i dan hgn i adalah barisan fungsi terbatas pada A,
yang konvergen seragam ke f dan g pada A (berturut-turut).
Tunjukkan bahwa hfn gn i konvergen seragam ke f g pada A.
3
Uji-M Weierstrass. Misalkan hfn i adalah barisan fungsi pada A
dan
n ∈ N. Buktikan jika
P∞ |fn (x)| ≤ Mn untuk tiap x ∈ A danP
∞
M
konvergen,
maka
deret
fungsi
k
k=1
k=1 fk konvergen
seragam pada A.
HG* (*ITB Bandung)
MA3231 Analisis Real
29 March 2017
25 / 25