4FUNGSI DAN GRAFIKNYA

4
FUNGSI DAN GRAFIKNYA
4.1 FUNGSI
•
Fungsi dari himpunan X ke himpunan Y adalah sebuah relasi (perkawanan) dengan
cara setiap anggota himpunan X hanya dipasangkan dengan satu dan hanya satu kali
dengan anggota himpunan Y.
X
Y
f
O O O O x
Daerah asal
O O O f(x)
Daerah nilai
Gambar 4.1 Fungsi
•
•
•
Daerah asal (Domain): himpunan elemen-elemen tempat fungsi tersebut mendapat
nilai.
Daerah nilai: himpunan nilai-nilai yang diperoleh dari hasil operasi suatu fungsi.
Cara Menuliskan Fungsi
a. Untuk memberi nama fungsi digunakan huruf tunggal, seperti f, g, atau F.
b. f(x) dibaca “f dari x” atau “f pada x” , menunjukkan nilai yang diberikan f
kepada x.
c. f : x Æ y ; y = f(x) ; atau f(x,y) = 0
Contoh 4.1
Untuk f(x) = x2 – 2x, carilah nilai dari :
a. f(4), b. f(4+h), c. f(4+h)-f(4), dan c. [f(4+h)-f(4)]/h
Penyelesaian:
a. f(4) = 42 – 2.4 = 8
b. f(4+h) = (4+h)2 - 2(4+h)= 16 + 8h + h2 - 8 - 2h = 8 + 6h + h2
c. f(4+h) - f(4) = 8 + 6h + h2 - 8 = 6h + h2
d. [f(4+h)-f(4)]/h = (6h + h2)/h = (h(6+h))/h = 6+h
Lukmanulhakim Almamalik
IV- 1
•
Daerah asal alamiah: bilamana untuk sebuah fungsi daerah asalnya adalah tidak
dirinci, maka selalu dianggap bahwa daerah asalnya adalah himpunan bilangan real
yang terbesar, sehingga aturan fungsi ada maknanya dan memberikan nilai bilangan
real.
Contoh 4.2
Cari daerah asal alamiah untuk fungsi a. f(x) = 1/(x-3) dan b. g(t) = 9 − t 2
Penyelesaian:
a. Agar fungsi f mempunyai jawab Real, maka syaratnya adalah x ≠ 3. Dengan
demikian daerah asal alamiah untuk f adalah {x∈R : x ≠ 3 }
b. Agar fungsi g mempunyai jawab Real, maka syaratnya adalah 9 - t2 ≥ 0. Ini dicapai
dengan mensyaratkan bahwa |t| ≤ 3. Daerah asal alamiah untuk g adalah {x∈R : |t| ≤
3 } atau [-3,3]
•
Untuk y = f(x), maka x seringkali disebut peubah bebas dan y adalah peubah tak
bebas.
A. MENGGAMBAR GRAFIK FUNGSI
•
Bila daerah asal dan daerah nilai sebuah fungsi merupakan bilangan real, kita dapat
membayangkan fungsi tersebut dengan menggambarkan grafiknya pada suatu
bidang koordinat.
Contoh 4.3
Buatlah sketsa grafik fungsi f
a. f(x) = x2 – 2
b. f(x) = x3 – 2x
Penyelesaian:
Sketsa grafik fungsi f(x) = x2 – 2 dapat dilihat pada gambar 4.2 dan sketsa grafik fungsi
f(x) = x3 – 2x dapat dilihat pada gambar 4.3.
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
f(x)
7
2
-1
-2
-1
2
7
Gambar 4.2 Sketsa grafik fungsi f(x) = x2 – 2
Lukmanulhakim Almamalik
IV- 2
Grafik fungsi f adalah grafik dari persamaan y= f(x) = x3 – 2x
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
f(x)
-21
-4
1
0
-1
4
21
Gambar 4.3 Sketsa grafik fungsi f(x) = x3 – 2x
•
Bagaimana bentuk grafik dari fungsi-fungsi berikut:
a. y = x
b. y = |x|
c. y = |x| + 2
d. y = | x – 3 | + 2
e. y = x2
f. y = (x+3)2
g. y = x2 + 3
B. FUNGSI GENAP DAN FUNGSI GANJIL
•
•
Suatu fungsi f(x) dikatakan sebagai Fungsi Genap jika f(-x) = f(x), grafik simetri
terhadap sumbu y.
Suatu fungsi f(x) dikatakan sebagai Fungsi Ganjil : jika f(-x) = -f(x), grafik simetri
terhadap titik asal.
Contoh 4.4
Apakah fungsi f(x) = 3x merupakan fungsi genap, ganjil atau bukan keduanya?
Penyelesaian:
Karena f(-x) = 3(-x) = -3x = - f(x), maka fungsi tersebut merupakan fungsi ganjil.
Atau kita uji dengan suatu bilangan, misalkan x = 1 dan x = -1.
Jika x = 1
maka f(1) = 3.1 = 3
Jika x = -1 maka f(-1) = 3 (-1) = -3
Karena f(-1) = - f(1) makan fungsi f(x) = 3x merupakan fungsi ganjil.
Lukmanulhakim Almamalik
IV- 3
C. FUNGSI KHUSUS
•
Fungsi Mutlak |
|
Contoh 4.5
Nilai dari || -3, 2 || = || 3, 2 || = 3,2
•
Fungsi bilangan bulat terbesar x
Contoh 4.6
a.
b.
− 3,1 = - 4 (bilangan bulat terbesar yang lebih kecil dari -3,1 adalah -4)
3,1 = 3
(bilangan bulat terbesar dari yang lebih kecil dari 3,1 adalah 3)
D. OPERASI PADA FUNGSI
•
Jumlah, Selisih, Hasil kali, Hasil bagi, dan Pangkat Fungsi
a. (f+g)(x) = f(x) + g(x)
(jumlah fungsi)
b. (f -g)(x) = f(x) - g(x)
(selisih fungsi)
c. (f.g)(x) = f(x) . g(x)
(hasil kali fungsi)
d. (f/g)(x) =
•
f(x)
g(x)
(hasil bagi fungsi)
Komposisi Fungsi
(f o g)(x) = f(g(x))
(g o f)(x) = g(f(x))
(dibaca f “bundaran” g)
(dibaca g “bundaran” f)
Contoh 4.7
x -3
dan g(x) = x , maka
2
x -3
(f+g)(x) = f(x) + g(x) =
+ x dengan daerah asal [0, ∞)
2
x -3
- x dengan daerah asal [0, ∞)
(f -g)(x) = f(x) - g(x) =
2
x -3
(f.g)(x) = f(x) . g(x) =
. x dengan daerah asal [0, ∞)
2
f(x)
x -3
(f/g)(x) =
=
dengan daerah asal [0, ∞)
g(x)
2 x
Jika diketahui f(x) =
a.
b.
c.
d.
⎡ x - 3⎤
2
e. f2(x) = [f(x)]2 = ⎢
⎥ =
⎣ 2 ⎦
f. g3(x) = [g(x)]3 =
( x) = x
Lukmanulhakim Almamalik
x 2 - 6x + 9
dengan daerah asal adalah R
4
3
3
2
dengan daerah asal adalah R
IV- 4
Contoh 4.8
x -3
dan g(x) = x , maka
2
x -3
a. (f o g)(x) = f(g(x)) = f x =
2
x -3
⎛ x -3⎞
b. (g o f)(x) = g(f(x)) = g ⎜
⎟=
2
⎝ 2 ⎠
Jika diketahui f(x) =
( )
Contoh 4.9
6x
dan g(x) = 3x , maka
(x − 9)
6.6
36 4
a. (f o g)(12) = f(g(12))=f( 36 ) = f(6) = 2
=
=
(6 − 9) 27 3
Jika diketahui f(x) =
( )
2
b. (f o g)(x) = f 3x =
6 3x
2
( 3x ) - 9
=
6 3x 2 3x
=
3x − 9 x − 3
Latihan 4.1
1. Untuk f(x) = x2 – 1, hitunglah
a. f(1)
b. f(1/x)
c. f(0)
d. f(3x)
e. f(-6)
f. f(1/2)
g. f(2t)
h. f(t2)
i. f(k)
j. f(k-1)
2. Mana dari fungsi-fungsi di bawah ini yang termasuk ke dalam fungsi genap, fungsi
ganjil, atau tak satupun. Kemudian sketsakan grafiknya!
a. f(x) = -4
b. f(x) = 3x
c. F(x) = 2x + 1
d. g(x) = 3x2 + 2x -1
e. g(x) =
u3
8
3. Untuk f(x) =
a.
b.
c.
d.
e.
f.
x
dan g(x) = 1 + x carilah
(x − 1)
(f+g)(2)
(g/f) (3)
(f o g)(x)
(g o f)(x)
(g o f)(0)
(f . g)(x)
Lukmanulhakim Almamalik
IV- 5