MEDAN SKALAR Jika pada tiap-tiap titik dari suatu daerah R dalam

1
MEDAN SKALAR
Jika pada tiap-tiap titik x, y, z  dari suatu daerah R dalam ruang dikaitkan dengan sebuah bilangan
atau skalar f x, y, z  , maka f disebut fungsi skalar dari kedudukan atau fungsi titik skalar (skalar
point function) dan kita mengatakan bahwa sebuah medan skalar f telah didefinisikan dalam R.
Contoh-contoh:
1. Temperature pada setiap titik di dalam atau di atas permukaan bumi pada suatu saat tertentu
mendefinisikan sebuah medan skalar.
2. f x, y, z   x 3 y  z 2 mendefinisikan sebuah medan skalar.
Sebuah medan skalar yang tak bergantung pada waktu disebut medan skalar stasioner.
MEDAN VEKTOR
Jika pada tiap-tiap titik x, y, z  dari suatu daerah R dalam ruang dikaitkan dengan sebuah vektor
V x, y, z  , maka V disebut fungsi vektor dari kedudukan atau fungsi titik vektor (vektor point
function) dan kita mengatakan bahwa sebuah medan vektor V telah didefinisikan dalam R.
Contoh-contoh:
1. Jika kecepatan pada tiap-tiap titik
x, y, z 
dalam sebuah fluida yang sedang bergerak
diketahui pada saat tertentu, maka sebuah medan vektor terdefinisikan.
2. V x, y, z   xy 2 i  2 yz 3 j  x 2 zk mendefinisikan sebuah medan vektor.
Sebuah medan vektor yang tak bergantung pada waktu disebut medan vektor stasioner.
Beberapa contoh lain dari medan vektor ditunjukkan pada gambar-gambar di bawah ini:
Medan vektor yang menunjukkan kecepatan dan arah angin di Teluk San Fransisco
Medan vektor yang menunjukkan aliran air laut di Nova Scotia
Medan vektor pada R2 dan R3 direpresentasikan pada gambar-gambar berikut ini:
Pertemuan 9
2
Medan vektor pada R2
Medan vektor pada R3
Contoh:
Sebuah medan vektor didefinisikan oleh F x, y    yi  xj . Gambarkan F dengan membuat sketsa
dari beberapa vektor F x, y  seperti pada gambar di bawah ini.
Caranya dapat dengan menghitung beberapa nilai F x, y  seperti pada tabel di bawah ini (lengkapi
dengan menentukan nilai F x, y  ).
(x,y)
(1,0)
(2,2)
(3,0)
(0,1)
(-2,2)
(0,3)
F(x,y)
(x,y)
(-1,0)
(-2,-2)
(-3,0)
(0,-1)
(2,-2)
(0,-3)
F(x,y)
GRADIEN
Misalkan f x, y, z  terdefinisikan dan terdifferensiabel pada tiap-tiap titik x, y, z  dalam suatu
daerah tertentu dari ruang (yakni f mendefinisikan sebuah medan skalar differensiabel), gradient f
dituliskan f atau grad f didefinisikan:
f x, y, z   f x x, y, z i  f y x, y, z j  f z x, y, z k
Perhatikan bahwa f mendefinisikan sebuah medan vektor.
Komponen dari f dalam arah disebut vektor satuan a diberikan oleh f . A dan disebut turunan
arah dari f pada arag a. secara fisis, ini adalah laju perubagan f pada x, y, z  dalam arah a
Pertemuan 9
3
Contoh:
Tentukan gradien medan vektor dari f x, y  
f
f
i
j  2 xyi  x 2  3 y 2 j
x
y


Soal:
1. Diketahui medan skalar yang didefinisikan oleh f x, y, z   3x 2 z  xy3  5 , carilah f pada
titik (0, 0, 0), (1, -2, 2), dan (-1, -2, -3).
2. Gambarkan medan vektor F dengan fungsi F yang diketahui F x, y, z   zk
3. Tentukan gradien fungsi-fungsi berikut:
a. f x, y, z   x 2  y 3  z 4
b. f x, y, z   x 2 y 3 z 4
c. f x, y, z   e x sin  y  ln z 
Sumber:
Stewart, J. (2012). Calculus Early Tracendentals Seventh Edition. Belmont: Brooks/Cole Cengage
Learning.
Spiegel, M. R. 1991. Analisis Vektor. Seri Buku Schaum. Erlangga: Jakarta
Pertemuan 9