soal-latihan-analisis-vektor-semester-pendek

SOAL LATIHAN ANALISIS VEKTOR
SEMESTER PENDEK I 2016/2017
Kelompok 1 (Diana Fitria A dan Tena Maya A)
1. Nyatakan manakah yang merupakan vektor dan merupakan skalar:
a.
Harga tiket bioskop
b.
Arus sungai
c.
Jalur penerbangan awal dari Jakarta ke Amsterdam
d.
Populasi dunia
e.
Berat
f.
Kalor jenis
g.
Kerapatan
h.
Volum
i.
Kecepatan
j.
Kalori
2. Sebuah mobil bergerak ke arah utara seauh 3 km, kemudian 5 km ke arah timur laut.
Gambarkan perpindahan ini secara grafis dan tentukan vektor perpindahan resultannya
secara grafis dan secara analitis.
3. Perlihatkan bahwa penjumlahan vektor adalah assosiatif.
4. Diketahui a = 3, -2, 1, b = 2, -4, -3, c = -1, 2, 2 carilah besarnya a, a+b+c, dan 2a3b-5c.
5. Diketahui a = 2, -1, 1, b = 1, 3, -2, c = -2, 1, -3, dan d = 3, 2, 5 carilah skalarskalar k, l, m sehingga d=ka+lb+mc.
Kelompok 2 (Titik Puji Lestari, Ratna Puji Lestari, dan Tiara Chairianajati)
1. Suatu hari seorang pedagang kaki lima menjual a buah pisang goreng, b buah tahu
goreng, dan c kaleng minuman ringan. Ia memasang harga Rp. 2.000,00 untuk pisang
goreng, Rp. 1.500,00 untuk tahu goreng, dan Rp. 1.000,00 untuk minuman ringan. Jika
A = a, b, c dan P = 2000,1500,1000 . Apakah makna dari hasil kali A.P ?
2. Tentukan proyeksi skalar dan proyeksi vektor dari b ke a jika diketahui a = < -2, 3, -6
> dan b = < 5, -1, 4 >.
3. Tentukan hasil kali silang dari a = i + 3j - 2k dan b = -i + 5k, dan tunjukkan bahwa a
dan b orthogonal dengan vector 𝒂 × 𝒃.
4. Hitung luas jajar genjang dengan titik-titik sudut A(-2,1), B(0,4), C(4,2), dan D(2,-1).
5. Hitung volume parallel epipedum dengan sisi-sisi yang berdekatan PQ, PR, dan PS,
jika P(3, 0, 1), Q(-1, 2, 5), R(5, 1, -1), dan S(0, 4, 2).
Kelompok 3 (Fista Istiqomah dan Elina Dwi Novitasari)
1. Carilah persamaan garis melalui titik (5, 1, 3) yang searah vektor v = 3i – 5j + 2k.
Kemudian carilah dua titik lainnya pada garis tersebut.
2. Carilah persamaan bidang yang melalui titik P(3,-1,2), Q(8,2,4), dan R(-1,-2,-3).
3. Carilah titik potong garis x = 2 + 3t, y = -4t, z = 5 + t memotong bidang 4x + 5y – 2z =
10.
4. Carilah persamaan garis melalui titik (-1, 0, 5) dan (4, -3, 3). Dimanakah garis ini
memotong bidang-xy? Dimanakah memotong bidang x – 2y + 3z = 5.
5. Carilah sudut antara bidang x + y + z = 1 dan x – 2y + 3z = 1. Kemudian carilah
persamaan garis perpotongan antara kedua bidang ini.
Kelompok 4 (Surya Ariyanti, Ilma Hasanata, dan Elviana)
1. Carilah daerah asal dan fungsi vektor dari:
a. r(t) =t2, t – 1, 5 + t
b.
𝑡
𝐫(𝑡) = ln 𝑡 𝐢 + 𝑡−1 𝐣 + 𝑒 −𝑡 𝐤
2. Carilah limit dari:
𝑡2
a. lim (𝑒 −3𝑡 𝐢 + 𝑠𝑖𝑛2 𝑡 𝐣 + cos 2𝑡 𝐤)
𝑡→0
1+𝑡 2
b. lim ⟨1−𝑡 2 , 𝑡𝑎𝑛−1 𝑡,
𝑡→∞
1−𝑒 −2𝑡
𝑡
⟩
3. Tentukan persamaan vektor dan persamaan parametrik dari segmen garis PQ, jika:
a. P(2, 0, 0) dan Q(6, 2, -2)
b. P(-1, 2, -2) dan Q(-3, 5, 1)
4. Carilah fungsi vektor yang menyatakan kurva perpotongan dari:
a. Silinder x2 + y2 = 1 dan bidang z = xy.
b. Hiperboloid z = x2 - y2 dan silinder x2 + y2 = 1
5. Carilah 𝐫(𝑡) jika 𝐫"(𝑡) = 6𝑡𝐢 + 12𝑡 2 𝐣 − 6𝑡𝐤 dan 𝐫′(0) = 𝐢 − 𝐣 + 3𝐤.
Kelompok 5 (Zaki Ahmada, Noor Shofia Zahra, dan Septriana M)
2
1. Diketahui 𝐫(𝑡) = 3 𝑡 3 𝐢 + 𝑡 2 𝐣 + 𝑡 𝐤. Carilah vektor 𝑇, 𝑁, 𝐵 dan 𝜅 untuk 𝑡 = 1.
2
2. Diketahui 𝐫(𝑡) = 3 𝑡 3 𝐢 + 𝑡 2 𝐣 + 𝑡 𝐤 . Jika 𝐫(𝑡) menyatakan vektor posisi pergerakan
suatu partikel, tentukan komponen singgung dan komponen normal dari vektor
percepatan untuk 𝑡 = 1.
3. Jika r(t) = 2 sin t i + 5t j + 2 cos t k. Carilah vektor singgung satuan T(t), vektor normal
satuan N(t), vektor binormal satuan B(t) dan kelengkungan κ untuk t = 0.
a. Jika r(t) = t3 i + 3t2 j + 2t k. Carilah besar dari kecepatan dan percepatannya serta
tentukan komponen singgung dan komponen normal dari vektor percepatan untuk t
=1
Kelompok 6 (Kiki Adiningsih dan Niko Dodi C)
1.
Berikan 5 contoh medan vektor.
2.
Berikan 5 contoh medan skalar.
3.
Diketahui medan skalar yang didefinisikan oleh f x, y, z   3x 2 z  xy3  5 , carilah f
pada titik (0, 0, 0), (1, -2, 2), dan (-1, -2, -3).
4.
Gambarkan medan vektor F dengan fungsi F yang diketahui F x, y, z   zk
5.
Tentukan gradien fungsi-fungsi berikut:
a. f x, y, z   x 2  y 3  z 4
b. f x, y, z   x 2 y 3 z 4
1
x
x
x
x
c. f x, y, z   e sin  y  ln z   e sin  y  ln z i  e cos y  ln z  j  e sin  k
z
Kelompok 7 (Umi Maslakhah dan Nugrahaning Nisa A)
1.
Hitung integral garis ∫𝐶 𝑦𝑧 𝑑𝑦 + 𝑥𝑦 𝑑𝑧 dengan 𝐶 adalah kurva dengan persamaan
vektor 𝐫(𝑡) = √𝑡 𝐢 + 𝑡 𝐣 + 𝑡 2 𝐣 0 ≤ 𝑡 ≤ 1.
2.
Hitung integral garis
 xy
2
dx  2 x 2 y dy dengan 𝐶 kurva tertutup segitiga dengan titik
C
3.
4.
sudut (0,0), (2,2), dan (2,4).
Tentukan kerja yang dilakukan gaya Fx, y, z   x2i  xyj untuk memindahkan partikel
sepanjang seperempat lingkaran dengan persamaan vektor rt   cos t i  sin t j ,0 ≤ t ≤
π/2.
Tentukan kerja yang dilakukan oleh medan gaya F  yi  zj  xk dalam memindahkan
sebuah partikel yang menelusuri kurva 𝑥 = 𝑡, 𝑦 = 𝑡 2 , 𝑧 = 𝑡 3 , 0 ≤ 𝑡 ≤ 2.
5.
Hitung
 F  dr , di mana Fx, y, z    yi  xj  z k
2
dan C adalah kurva perpotongan
C
dari bidang x  z  2 dan tabung x 2  y 2  1 . (C mempunyai orientasi berlawanan arah
jarum jam dan dilihat dari atas)
Kelompok 8 (Arif Rohman Jaya dan Hahan Aulia)
1. Hitung integral garis  xy 2 dx  x 3 dy dengan 𝐶 persegi panjang dengan titik sudut (0,0),
C
(2,0), (2,3), dan (0,3).
 xy
2. Hitung integral garis
2
dx  2 x 2 y dy dengan 𝐶 kurva tertutup segitiga dengan titik
C
sudut (0,0), (2,2), dan (2,4).
3. Dengan Teorema Green hitung integral garis
y
3
dx  x 3 dy dengan 𝐶 kurva tertutup
C
dengan persamaan x  y  4 .
2
2
4. Dengan Teorema Green hitung integral garis
 x
3



 y 3 dx  x 3  y 3 dy dengan 𝐶
C
adalah perbatasan daerah di antara lingkaran-lingkaran x 2  y 2  1 dan x 2  y 2  9 .
5. Gunakan teorema Green untuk mencari kerja yang harus dilakukan oleh gaya
Fx, y, z   xx  y i  xy 2 j dalam menggerakkan partikel dari titik asal sepanjang
sumbu x ke (1,0), kemudian sepanjang ruas garis ke (0,1), dan kemudian kembali ke
titik asal sepanjang sumbu y.
Kelompok 9 (Agung Dwi P dan Ari Setiawan)
1. Hitung integral permukaan∬𝑆 (𝑧 + 𝑥 2 𝑦) 𝑑𝑆 ; 𝑆 adalah bagian silinder 𝑦 2 + 𝑧 2 = 1
yang terletak di antara bidang x = 0 dan x = 3 di oktan pertama.
2. Hitung integral permukaan ∬𝑆 𝐅 ∙ 𝑑𝐒, dengan 𝐅(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥 𝐢 − 𝑧 𝐣 + 𝑦 𝐤, dan 𝑆
adalah bidang 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 = 4 di oktan pertama.
Kelompok 10 (Ongki Fitriana dan Lia Herliana U)
1. Carilah div 𝐅 dan curl 𝐅 jika diketahui F  x  yz i   y  xzj  z  xyk .
2. Berikan masing-masing satu contoh medan vektor konservatif dan medan vektor tidak
konservatif. Jelaskan alasannya.
3. Tunjukkan bahwa 𝐅 konservatif, kemudian tentukan fungsi potensialnya jika diketahui




F  2 xz3  6 y i  6 x  6 yz j  3x 2 z 2  y 2 k
.
4. Dengan hasil di nomor (2), tentukan usaha yang dilakukan oleh gaya F untuk
menggerakkan benda dari titik P(1, -1, 1) ke titik (2, 1, -1).